Функции Ф. Холла на группах лиева типа ранга Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, Выпуск 1, С. 37-39

УДК 512.542.5

ФУНКЦИИ Ф. ХОЛЛА НА ГРУППАХ ЛИЕВА ТИПА РАНГА 11

Д. В. Левчук

Для групп лиева типа ранга 1 над конечными полями вычисляется обобщенная функция Эйлера, введенная Ф. Холлом, которая для циклических групп совпадает с обычной арифметической

функцией Эйлера.

Ключевые слова: группа лиева типа, группа Ри, п-базы группы, функции Эйлера на группах.

Введение

Ф. Холл в работе [1] выделил важный инвариант р„(О) произвольной конечной группы О, названный п-той функцией Эйлера: это число всех п-баз в О, т. е. упорядоченных порождающих наборов из п элементов группы О. Ясно, что р„(О) > 0 только для п-порожденной группы О, а для циклической группы имеем рч(О) = р(|О|), где р есть обычная арифметическая функция Эйлера. Другой инвариант из [1] наиболее естественно определяется для конечной простой неабелевой группы О: это наибольшее число I = („(О) такое, что прямое произведение I групп, изоморфных О, есть п-порожденная группа. Ф. Холл установил также связь введенных инвариантов (см. лемму 1 ниже).

Известно, что всякая конечная простая неабелева группа О порождается двумя элементами. Вопрос о нахождении ее инварианта (2 (О) записал в Коуровской тетради С. А. Сыскин [2, вопрос 12.86]. Инварианты (2(О) и (2(О) были найдены в [1] для знакопеременных групп малых степеней и групп РБЬ2 над полем простого порядка; Н. М. Сучков и Д. М. Приходько [3] вычислили их для групп БЬ2(д), д = 2П, и групп Сузуки Бх(д). В настоящей работе инварианты исследуются в классе групп лиева типа ранга 1.

1. Как заметил Ф. Холл [1], группа автоморфизмов А^ О произвольной группы О действует как регулярная группа подстановок на множестве всех п-баз в О. Для простых групп отсюда вытекает

Лемма 1. Если О — конечная простая неабелева группа, то

Р„(О) = („(О) О|. (1)

Множество всех пар (ж, у) £ (О, О), для которых подгруппа (ж, у) нормализует какую-либо неединичную абелеву подгруппу группы О, далее обозначаем через Ш(О) или,

© 2008 Левчук Д. В.

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 06-01-00824а.

38

Левчук Д. В.

кратко, Ш. Совокупность всех пар из Ш с первым элементом порядка Ь обозначаем через Ш^.

Простая группа О(д) лиева типа ранга 1 определяется над конечным полем порядка д > 3. Для нее возможны всего 4 типа: РБЬ2(д), Бг(д), д = 22п+1 (группа Сузуки), Ке(д), д = 32п+1 (группа Ри) и РБЩ(д) (унитарный случай), где д есть квадрат.

К основным результатам статьи относится

Теорема 2. Если О(д) — простая группа Ри Ке(д), то

МО(д)) = Ю(д)\2 -|Ш\-\О(д)\ £ ^Г - ^2^2(8))ЦМ. (2)

СЕ (т)сСЕ (д) | ( )| | ()|

Равенство (2) выполняется также для групп БЬ2(д), д = 2п, и Бх(д), если в правой части равенства опустить последнее слагаемое.

2. Нам потребуются предварительные сведения о группах лиева типа ранга 1 и их подгуппах. В стандартном линейном представлении группы О(д) ее порождают антидиагональная инволюция т с коэффициентами из простого подполя ОЕ(р) С ОЕ(д) и силов-ская р-подгруппа и — нижняя (или верхняя) унитреугольная подгруппа в О(д). Основными являются также диагональная подгруппа Н, мономиальная подгруппа N = НX (т) (она является диэдральной группой, исключая унитарный случай) и подгруппа Бореля В = и X Н — нормализатор подгруппы и. В соответствии с выбором О(д), известны равенства [4, 5]:

|Н| = (д - 1)/й, й = НОД (2,д - 1), 1, 1 илиНОД (3, ^д + 1); (3)

\А^ О(д)| = йп •|О(д)| (д = рп), |и| = д, д2, д3 или д^д. (4)

Разложение Брюа О(д) = В(т)В (= В(т)и) приводит к дважды транзитивному представлению группы О(д) и дает, наряду с канонической формой элементов, формулу порядка группы:

\о(д)\ = \в\(1 + \и |) = \Н | ■ |и |. (1 + |и |).

Лемма 3. Группа О(д) действует сопряжениями на множестве сопряженных с и подгрупп, как дважды транзитивная группа подстановок. Любые две различные сопряженные с и подгруппы пересекаются по единице.

Отметим, что в группе РБЬ2(д) существует циклическая подгруппа А1 порядка (1 + |и\)/й = (д + 1)/й и каждая из подгрупп Н и А1 имеет индекс 2 в своем нормализаторе, являющемся диэдральной группой.

Как обычно, Сс(Б) и Nc (Б) (или, кратко, С (Б) и N (Б)) обозначают, соответственно, централизатор и нормализатор подмножества Б в группе О. В группе Ри Б,е(д) централизатор (единственной) диагональной инволюции п имеет вид С(п) = (п) х Ь(д), Ь(д) ~ РБЬ2(д), и содержит мономиальную подгруппу N. Поэтому группа Ри содержит циклические холловы подгруппы нечетных порядков (д —1)/2 и (д +1)/4, соответственно, подгруппу Ао индекса 2 в Н и подгруппу А1 в Ь(д). В группах Ри и Сузуки существуют также самоцентрализуемые циклические холловы подгруппы А2 и А3 порядка д + 1 + и д + 1 — л,/Рд, соответственно. Нормализатор такой подгруппы А» есть группа Фробени-уса с ядром А» и неинвариантным множителем < Ь > порядка 2р, причем число 1 + \и1 равно 1 + д2 = \A2\ ■ |А31 для групп Сузуки и 1 + д3 = 4\A1\ ■ |А2| ■ |А3| для групп Ри.

Группу О(д) с расширенной диагональной подгруппой Н выбираем как и в [4, § 8.4], В частности, С(д) ~ РОЬ2(д) при О(д) = РБЬ2(д) и С(д) ~ Р^(д) при О(д) = РБ^(д).

Функции Ф. Холла на группах лиева типа ранга 1

39

Нормализатор N[G(m)] подгруппы G(m) есть самонормализуемая подгруппа; он изоморфен группе G(m) при |N[G(m)] : G(m)| > 1. Согласно [4, 8.4.7], имеем

G(q) = G(g)H = В(т)В, В = U X Я, |G(q)/G(q)| = |Я/Я| = d.

Группа Re(3) (— Aut SX2(8)) является единственной непростой группой Ри. Согласно [6, теорема 1], подгруппы

В = N (U ) = U X Я, C (n), N (Ai) (i = 1,2, 3), Re(m), (5)

исчерпывают, с точностью до сопряженности, все максимальные подгруппы простой группы Ри Re(q). Поэтому, если подгруппа M группы Re(q) не лежит в одной из сопряженных с В, C (n) или N (Ai) подгрупп, то она сопряжена либо с какой-либо подгруппой Re(m) при GF(m) С GF(q), либо с коммутантом Re(3)' — SL2(8), причем |G(q) : N(Re(3)')| = |G(q) : G(3)|. Это завершает доказательство для групп Ри. Поскольку случай групп G(q) = SX2(q), q = 2n, Sz(q) исследован в [3], то теорема полностью доказана.

3. Число НОД (|Я(1 + |U|)) равно ^Jq + 1 при G(q) = PSUa(q), а в остальных случаях, очевидно, не превосходит числа 2. Для группы G(q) через W(— (аналогично, W(+)) обозначим множество пар (x, y) G W, |x| > 2, для которых подгруппа (x, y) сопряжением переводится в В или N (соответственно, нормализует циклическую подгруппу порядка, делящего число 1 + |U| и не делящего |Я|). Несложно убедиться, что

W(Re(q)) = Wi U W2 U W3 U W6 U W9 U W(+) U W(-).

Это число находим по аналогии с подобными числами W(Sz(q)) и W(SX2(q)) в [1] и [3].

Отметим, что для вычисления инвариантов ¿2(G) и p>2(G) для групп G(q) = PSX2(q) с нечетным q и унитарных групп, в отличие от групп из теоремы 2, приходится вычислять инварианты для подгрупп сопряженных с G(m)).

Литература

1. Hall P. The Eulerian functions of a group // Qurt. J. Math.—1936.—V. 7.—P. 134-151.

2. Коуровская тетрадь (Нерешенные вопросы теории групп). 14-е изд. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1999.—134 c.

3. Сучков Н. М., Приходько Д. М. О числе пар порождающих групп L2(2m) и Sz(22k+1) // Сиб. мат. журн.—2001.—Т. 42, № 5.—C. 1162-1167.

4. Carter R. Simple groups of Lie type.—New York: Wiley and Sons, 1972.—331 p.

5. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле.—М.: Мир, 1975.—262 с.

6. Левчук В. М., НужинЯ. Н. О строении групп Ри // Алгебра и логика.—1985.—Т. 24, № 1.—С. 26-41.

Статья поступила 8 февраля 2008 г.

Левчук Денис Владимирович Сибирский федеральный университет Красноярск, 660074, РОССИЯ E-mail: levchuk@lan.krasu.ru