CC BY
10DOI 10.24412/2308-6920-2021-6-319-320
ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ОПТИМАЛЬНОГО
УПРАВЛЕНИЯ ВЫТЯЖКОЙ КВАРЦЕВОГО КАПИЛЛЯРА
*
Первадчук В.П. , Владимирова Д.Б.
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь
E-mail: [email protected]
Рассматривается задача оптимального управления процессом вытяжки полого кварцевого волокна в изотермической постановке. Математическая модель изучаемого процесса включает в себя уравнение движения для определения скорости перемещения частиц, два уравнения неразрывности для нахождения формы внешней и внутренней поверхности капилляра, а также набор начальных и граничных состояний, обусловленный выбором режима процесса деформации [1,2]. Линеаризация модели, при которой каждое из входящих в ее состав уравнений линеаризуется в окрестности некоторого установившегося программного (стационарного) состояния, позволяет получить модель возмущенного состояния системы, уравнения которой описывают отклонения значений скорости и геометрических параметров волокна от своих программных состояний:
Rlt + а^ + а2 R + а3Я2 + + P2V = 0, R2t + а 4 R~2x + а5 R~2 + аб R1 + вУх + P4V = 0,
Vt = 3vVX* + в5 Vx + e6V + «у R1x + а8 R1 + а9 R2 х + «10 R2, (1)
R1I t=0 = R10, R2I1=0 = iR20,VRL=0 = V0,
i~J 0 = R10,RU 0 = ■V20,VV| 0 = Vf,V L = R.
lx=0 lx=0 lx=0 J \x=L
В (1) Rj = R1(/, x), R2 = R2(t, x) - возмущения внутреннего и внешнего радиусов капилляра соответственно, V = V(t, x) - возмущение скорости движения частиц расплава, (t, x) е [0; т] х [0; L] - пара переменных "время-пространственная координата", ось x расположена по оси симметрии капилляра и направлена в сторону его утонения, т, L > 0 , v - кинематическая вязкость кварца, рассчитанная при некоторой характерной температуре процесса вытягивания, коэффициенты а1, Pj, i = 1,...,10, j = 1,...,6 -
функции аргумента x, зависящие от стационарных состояний нелинейной модели, правые части начальных и граничных условий есть функции переменных x и t соответственно. В случае, когда начальные и краевые условия (1) однородные, решением дифференциальной задачи (1) являются функции тождественно равные нулю. Однако, если хотя бы одно из этих условий неоднородно, что означает на практике наличие либо геометрического дефекта заготовки, либо колебаний скоростей подачи (вытягивания) от своих программных значений, то решение (1) демонстрирует эволюцию этого дефекта или распространение колебаний во времени и по длине вытяжки. Предлагается формулировка и решение задачи оптимального управления нейтрализации такого рода возмущений.
Предположим, что имеется геометрический дефект внешней стенки капилляра, описываемый функцией времени R2| = Rdef (t). Сформулируем задачу оптимального управления системой (1) как
задачу с граничным управлением и граничным наблюдением: корректируя во времени отклонения скорости вытягивания капилляра (u(t) = Vd), минимизировать геометрические отклонения на готовом продукте. При этом наблюдением системы могут быть как отклонения одного из радиусов, например, внешнего, так и обоих радиусов вытягиваемого капилляра:
F = о1 J Rj2 dt + о 2 J R22 dt + ^u(t )||2 ^ min,01,о2 е {0,1},а > 0. (2)
0 lx=L 0 1x=L
Обозначим составляющие в целевом функционале (2) Fb F2, F3 соответственно. Тогда F = F1 + F2 + F 3 - суммарная величина квадратов геометрических отклонений как на внешней стенке, так и на внутренней c учетом корректив, вносимых управлением, F! + F2 - расчет той же задачи без управления (u(t)=0), F3 - величина, известная в теории оптимального управления как цена управления [3]. Показано, что необходимым условием оптимальности в сильной форме для задачи управления (1,2) будет являться краевая задача для исходных функций V, R1, R2 и функций их двойственных состояний - p, q, s следующего вида:
№6 2021 СПЕЦВЫПУСК «ФОТОН-ЭКСПРЕСС-НАУКА 2021»
Rlt + aiRix + a2Ri + a3R2 + + p2V = 0, R2/ + aRx + aR + a6R + p3Vx + в4V = 0 V = 3vVxx + PVx + P6V + ay Rix + а%&1 + a9 R x + ^2,
R, = 0,R2\ = 0,V = 0, Ri = 0,R2 It=0 It=0 It=0 lx=0
1
n def,V .= 0,V , = — (Ap + fcq + 3VSxX x=0 J lx=0 lx=L 0-3
Pt + (a1 P)x + a2p - a64 - (a7s)x + a8s = 0, q + (a4?)x - a5? - a3p - (a9s)x + a10s = 0, st + 3vsxx - (Pbs)x + e6s + (A P)x + (РзФx - в2P - 044 = 0,
R1 R2
pL = qL = sL = s n= s r = 0, p r =—, q r =— •
r lt = r 1\t = T \t = T lr=(l \y=l 7 Г \y=l 7 1\y=l
(3)
!lt=т
It=T
x=0
x=L
lx=L
x = L
Значение функции оптимального управления - регулирование скорости вытяжки во времени, определяется после решения (3) по явной формуле
(
03
u(t) = v|x_ l =-Ц-(Р1 p+hq+3vsx)
(4)
1= 1
Численная реализация (3) проводилась методом конечных элементов в системе мультифизического моделирования Сош8о1 МиШрЬу8Ю8. Результаты моделирования представлены на рис.1.
2
i, pes
Wa
-6А1
—
-ft! (u.oprt
-Й2
-—W •iu-01-
— м- (u-Oi
-1
PL
Рис. 1. Динамика отклонения формы готового капилляра в режиме с управлением и без него, оптимальная скорость (слева); оценка эффекта от управления (справа)
Расчеты проводились для заготовок с величиной дефекта геометрических размеров внешней стенки не более 5%. Рассчитано, что в режиме без управления влияние такого дефекта на готовом продукте может достичь пиковых отклонений от программных состояний в 7%, кроме того, при этом незначительные отклонения будет иметь и внутренняя стенка капилляра. Однако в режиме оптимальной корректировки скорости этот дефект удается понизить до уровня 2 % (расчет представлен для a = 1E - 8). Показано также, что эффективность управления зависит от параметра a цены управления. Изменяя значения этого параметра в среднем на 3 порядка, удается перейти от режима, близкого по результатам моделирования к полному отсутствию управления (a = 5E - 6), к режиму, в котором влияние дефекта почти полностью компенсировано (a = 5E - 9..5Е - 8) достаточно высокими корректирующими значениями скорости - их пиковые значения достигают здесь в среднем 15 %. На рис. 1 представлены расчеты целевой функции (2) и различных ее составляющих, в том числе, расчет выражения F+F2 в случае полного отсутствия управления (2.75Е-5) и в режиме оптимального управления (4.9Е-6 при a = 5E - 9).
Таким образом, в работе показана принципиальная возможность построения математического аппарата управления процессом вытяжки капилляра, обоснован выбор управляющего параметра, численно исследована эффективность управления - зависимость отклика наблюдаемых параметров от силы управляющих воздействий.
Литература
1. D.B. Vladimirova 10.1109/SUMMA50634.2020.9280809 IEEE (2020)
2. D.B. Vladimirova IOP Conf. Series: Earth and Environmental Science 720 (2021)
3. В.П.Первадчук, Д.Б.Владимирова, Д.Н.Дектярев 10.25728/pu.2020.6.7 (2020)
320.
.№6 2021 СПЕЦВЫПУСК «ФОТОН-ЭКСПРЕСС-НАУКА 2021» [email protected]
