Оптимальное стабилизирующее управление процессом вытяжки оптического волокна в условиях неизотермичности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВКВО-2019 Стендовые

ОПТИМАЛЬНОЕ СТАБИЛИЗИРУЮЩЕЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ ВЫТЯЖКИ ОПТИЧЕСКОГО ВОЛОКНА В УСЛОВИЯХ НЕИЗОТЕРМИЧНОСТИ

Первадчук В.ПЛ Владимирова Д.Б., Гордеева И.В.

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь * E-mail: [email protected]

DOI 10.24411/2308-6920-2019-16194

В работе рассмотрена задача оптимального стабилизирующего управления процессом вытяжки оптического волокна. Математическая модель, описывающая данный процесс, является системой дифференциальных уравнений в частных производных относительно функций радиуса волокна, его скорости и температуры. В целях оптимизации производственного процесса вытяжки важно и актуально осуществлять управление рядом параметров в режиме реального времени. К числу таких параметров можно отнести температуру печи и скорость намотки готового волокна. При этом важно, чтобы другие параметры процесса (например, его геометрические характеристики) были стабильными.

Сформулируем задачу оптимального стабилизирующего управления процессом вытяжки. При этом функцией управления является отклонение скорости намотки готового волокна, а наблюдением - отклонение радиуса волокна от его стационарного (программного) состояния по всей длине рассматриваемого участка вытяжки. Линеаризованная одномерная система дифференциальных уравнений для функций R(t, z), v(t, z), T(t, z), -(?)el2(q), Q = [0;l]x[0;t],z e[0;l] t е[0;т] [1] и целевой функционал задачи оптимизации имеют вид:

+ YjL —

dt st dz 2 dz

dV 3M0 d2V _ , -.dV _ , v- , -.dR M- Mdf , vv

— = + Д (z)— + p2 (z- + a; (z)— + a2 (zR + ft (z)— + V2 (zT, dt Re dz 2 dz dz dz

IV = X~7T + ^3 (z)dT- + V4(zF + a3(z^ + a4(z)R + Рз(z— dt Pe dz 2 dz dz

R\ t=0 = R, (z), R\z=0 = R0 (t),

- t=0 = - (z), - z=0 = - (t), - z=L = -(t),

T\ t=0 = Ts (z), T\ z =0 = T (t), T\ z=L = TL (t),

t L t

F(-) = J J (Rst (L)R(t, l))2 dzdt+aJ -2 (t, L)dt ^ mm.

0 0 0

Здесь коэффициенты a1 (z), a2 (z), a3 (z), Д (z), Р2 (z), Р3 (z), cpx (z), (p2 (z), щ (z), (p4 (z) зависят от стационарных решений Rst (z), Vst (z), Tst (z) ; ц0 - постоянная вязкости расплава; X - коэффициент теплопроводности кварца; Re, Pe - числа Рейнольдса и Пекле соответственно; z е[0; l], t е[0;т], параметр a > 0 .

Используя вариационный метод, аналогичный методу Лагранжа, описанный в [2], получим систему оптимальности в следующем виде:

№6 2019 СПЕЦВЫПУСК «ФОТОН-ЭКСПРЕСС-НАУКА 2019» [email protected] 371

ВКВО-2019- Стендовые

dR

dR Vst dV

~ = v,,^ +-0-

dt

dz

2 dz

R t=0 = Rs (z), R z=0 = R0 (t)

dV~ = 3Г drV1 + Р (z )dV + Р2 (z)V + «1 (z)dR + «2 (z)R (zz)dT + ф (z f

dt Re dz2

dV

dR

df

dz

dz

dz

Vr = V W V z=0 = V0(t), V z. %,

df = IT ^ +V3 (z)df +V4 (z)V + «3 (z)dR + «4 (zR + Р3 (z)V , dt Pe dz 2 dz dz

f \,=0 = Ts (z) T \z=0 = To (t), f \Z==L = Tl (t),

dq +~T(Vs'q + «1 (z)p + «3 (z)s) ~ «2 (z)P ~ «4 (z)s =

dt dz

q\,=-r = 0, q|z=L = 0,

-I - 3Г&+f (Ь^) p Ь (--)p-Р. (-- )-■ 0,

f\,=t =0, p\z=0=0, p\z=L =0,

+ ^((р1(z)p + Фз(z )s) - Ф2(z )p - V4(z )s = 0

dt Pe dz 2 dz

= 0, Sz=0=0, 4

0,

где q(t, z), p(t, z), s(t, z) e L2 (q) некоторые вспомогательные функции (функции сопряженного состояния) и функция оптимального управления ~0 (t) =

3^0 dp

aRe dz

z=L

Литература

1. Васильев В.Н., Дульнев Г.Н, Наумчик Е.Д., Инж.-физ. журнал 55(2), 284-292 (1988)

2. Pervadchuk V.P., Vladimirova D.B., Gordeeva I.V., et al, AIP Conference Proceedings 1926, 020036 (2018)

372

№6 2019 СПЕЦВЫПУСК «ФОТОН-ЭКСПРЕСС-НАУКА 2019» [email protected]

s

t=i