Научная статья на тему 'Оценка динамических параметров и характеристик по математическим моделям машинно-тракторных агрегатов и их эффективное использование'

Оценка динамических параметров и характеристик по математическим моделям машинно-тракторных агрегатов и их эффективное использование Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
270
44
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МОДЕЛИРОВАНИЕ / MODELING / МАШИННО-ТРАКТОРНЫЙ АГРЕГАТ / MACHINE AND TRACTOR UNIT / ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ / DYNAMIC CHARACTERISTICS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Свитачев Анатолий Иванович

В работе рассматриваются основные динамические параметры и характеристики и методы их нахождения по математическим моделям машинно-тракторных агрегатов. Рассматривается оценка процессов динамики элементов силовой передачи при основных серийных возмущающих воздействиях. На основе проведенного анализа современных исследований динамические составляющие, определяющие нагруженность силовой передачи гусеничного трактора, можно разделить на четыре группы по источникам воздействий: воздействия от технологического сопротивления, от микропрофиля, от пространственных колебаний трактора на подвеске, от навесных и агрегатируемых орудий; от гусеничного движителя в зависимости от шага гусеницы и быстроходности трактора; от гармонических составляющих крутящего момента двигателя; от редукторной части трансмиссии и неравномерности вращения кардана. Выявлено процентное содержание составляющих групп в общей динамической нагруженности силовой передачи по данным большинства исследователей. Разработанные методы вычисления параметров и характеристик позволяют более полно и эффективно использовать математические модели машинно-тракторных агрегатов для анализа их динамических свойств. Определен перечень основных динамических параметров и характеристик и методы их нахождения, исходя из математических моделей динамики МТА на основе современных компьютерных технологий системы MathCad, с целью более полного и эффективного анализа динамических свойств.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Свитачев Анатолий Иванович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ESTIMATION OF DYNAMIC PARAMETERS AND CHARACTERISTICS ON MATHEMATICAL MODELS OF MACHINE-TRACTOR AGGREGATES AND THEIR EFFECTIVE USE

In the work, the key dynamic parameters and characteristics methods of their stay on mathematical models of machine and tractor units are considered. The assessment of processes of dynamics of elements of a power transmission is considered at the main serial revolting influences. On the basis of the spent analysis of modern probes the dynamic components defining stress loading of a power transmission of the crawler tractor can be devided into four groups on radiants of affectings: affectings from technological resistance, from a microprofile, from the space oscillations of a tractor on a suspender, from hinged and ganged up tools; from a caterpillar locomotor depending on a pitch of a caterpillar and rapidity of a tractor; from wave constituents of a twisting moment of the propeller; from a geared part of transmission and nonuniformity of twirl of a cardan. Percentage of every group in general dynamic stress loading a power transmission according to the majority of contributors is determined. The developed methods of parameters and characteristics calculation allow to use mathematical models of machine and tractor units for the analysis of their dynamic properties better and more effectively.

Текст научной работы на тему «Оценка динамических параметров и характеристик по математическим моделям машинно-тракторных агрегатов и их эффективное использование»

показывает сопоставимые результаты (рис. 4 и 6).

3. Для обеспечения удовлетворительной сходимости алгоритма необходимо задавать высокое значение параметра к„,„, входящего в штрафной коэффициент. Очевидно, что повышение этого параметра до определенного предела увеличивает скорость сходимости. Таким образом мы можем регулировать выпуклость модифицированной функции Лагранжа Fp по переменным X.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М., 1975.

2. Банди Б. Методы Оптимизации. Вводный курс. М. : Радио и связь, 1988._

3. Nelder-Mead algorithm [Electronic resource] // Schol-arpedia. URL: http://www.scholarpedia.org/article/Nelder-Mead_algorithm. (access date: 12.03.2012).

4. Хайруллин В. Р. Методические указания к лабора-торно-практическим работам по методам оптимизации. Казань, 2013. 63 с.

5. Дмитриева Т.Л., Безделев В.В. Использование мно-гометодной стратегии оптимизации в проектировании строительных конструкций // Изв. вузов. Строительство. 2010. № 2. C. 90-95.

6. Дмитриева Т. Л. Параметрическая оптимизация в проектировании конструкций, подверженных статическому и динамическому воздействию. Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 2010. 176 с.

УДК 629.114.2

Свитачев Анатолий Иванович,

д. т. н., профессор кафедры «Математика и информатика», Сибирский государственный технологический университет, тел. (8391) 227-87-81

ОЦЕНКА ДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ И ХАРАКТЕРИСТИК ПО МАТЕМАТИЧЕСКИМ МОДЕЛЯМ МАШИННО-ТРАКТОРНЫХ АГРЕГАТОВ И ИХ ЭФФЕКТИВНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ

A. I. Svitachev

ESTIMATION OF DYNAMIC PARAMETERS AND CHARACTERISTICS ON MATHEMATICAL MODELS OF MACHINE-TRACTOR AGGREGATES AND THEIR EFFECTIVE USE

Аннотация. В работе рассматриваются основные динамические параметры и характеристики и методы их нахождения по математическим моделям машинно-тракторных агрегатов. Рассматривается оценка процессов динамики элементов силовой передачи при основных серийных возмущающих воздействиях. На основе проведенного анализа современных исследований динамические составляющие, определяющие нагруженность силовой передачи гусеничного трактора, можно разделить на четыре группы по источникам воздействий: воздействия от технологического сопротивления, от микропрофиля, от пространственных колебаний трактора на подвеске, от навесных и агрегатируемых орудий; от гусеничного движителя в зависимости от шага гусеницы и быстроходности трактора; от гармонических составляющих крутящего момента двигателя; от редукторной части трансмиссии и неравномерности вращения кардана. Выявлено процентное содержание составляющих групп в общей динамической нагруженности силовой передачи по данным большинства исследователей.

Разработанные методы вычисления параметров и характеристик позволяют более полно и эффективно использовать математические модели машинно-тракторных агрегатов для анализа их динамических свойств.

Определен перечень основных динамических параметров и характеристик и методы их нахождения, исходя из математических моделей динамики МТА на основе современных компьютерных технологий системы MathCad, с целью более полного и эффективного анализа динамических свойств.

Ключевые слова: моделирование, машинно-тракторный агрегат, динамические характеристики.

Abstract. In the work, the key dynamic parameters and characteristics methods of their stay on mathematical models of machine and tractor units are considered. The assessment ofprocesses of dynamics of elements of a power transmission is considered at the main serial revolting influences. On the basis of the spent analysis of modern probes the dynamic components defining stress loading of a power transmission of the crawler tractor can be devided into four groups on radiants of affectings: affectings from technological resistance, from a microprofile, from the space oscillations of a tractor on a suspender, from hinged and ganged up tools; from a caterpillar locomotor depending on a pitch of a caterpillar and rapidity of a tractor; from wave constituents of a twisting moment of the propeller; from a geared part of transmission and nonuniformity of twirl of a cardan. Percentage of every group in general dynamic stress loading a power transmission according to the majority of contributors is determined.

The developed methods ofparameters and characteristics calculation allow to use mathematical models of machine and tractor units for the analysis of their dynamic properties better and more effectively.

Keywords: modeling, machine and tractor unit, dynamic characteristics.

Анализ работ и опыт исследований показывает, что машинный агрегат представляют в виде системы масс, соединенных упругими и фрикционными связями, с действующими на нее возмущающими силами. В работе [1, с. 22] представлена справка в виде таблицы по истории изучения во-

проса моделирования динамики машинно-тракторных агрегатов (МТА). Дополнив приведенные данные исследованиями за последние годы рядом работ [2, с. 11, 3, с. 93, 5, с. 153, 6, с. 36, 7, с. 133, 8, с. 54 и др.], можно сделать вывод, что построенные математические модели по многомас-

совым динамическим системам силовых передач используются недостаточно эффективно. Иными словами, мало «черпается» информации для анализа и оптимизации динамических свойств силовых передач из разработанных математических моделей. Ряд авторов строят математические модели, но по ним ничего не считают, так как результаты расчетов не совпадают с выводами по исследуемой проблеме. В данной работе рассмотрены основные динамические параметры и характеристики и методы их оценки, которые можно получить по математическим моделям для более полного анализа динамических свойств силовых передач.

Цель работы

Разработать комплекс динамических параметров и характеристик и методы их оценки по математическим моделям машинно-тракторных агрегатов с целью более полного и эффективного анализа их динамических свойств.

Рассмотрены следующие задачи исследования:

- определить список основных динамических параметров и характеристик;

- разработать метод вычисления спектра собственных частот и изменение его при варьировании упруго-инерционными параметрами;

- разработать методы нахождения передаточных функций, амплитудно-частотных, амплитудно-частотно-массовых, амплитудно-частотно-жесткостных и амплитудно-частотно-демпфирующих характеристик в зависимости от упруго-инерционных параметров;

- моделирование динамических систем с дополнительными связями и нахождение их частотных характеристик;

- оценка процессов динамики элементов силовой передачи при основных серийных возмущающих воздействиях для установившихся и переходных режимов работы.

Для анализа нагруженности силовых передач МТА к основным динамическим параметрам и характеристикам можно отнести следующие:

- спектр собственных частот и изменение спектра при варьировании упруго-инерционными параметрами;

- диапазоны частот основных возмущающих воздействий;

- передаточные функции в зависимости от упруго-инерционных параметров;

- амплитудно-частотные, амплитудно-частотно-массовые, амплитудно-частотно-жест-костные и амплитудно-частотно-демпфирующие характеристики;

шшт

- при необходимости фазово-частотные характеристики;

- дополнительные связи и математические модели с дополнительными связями;

- амплитудно-частотные характеристики многомассовых систем с дополнительными связями;

- процессы динамики элементов силовой передачи при основных установившихся серийных возмущающих воздействиях;

- процессы динамики элементов силовой передачи при переходных возмущающих воздействиях и др.

Следует, конечно, отметить, что введение дополнительных связей в многомассовые модели больше относится к оптимизации системы МТА. Вопросы оптимизации не будем затрагивать в данной работе, а оставим на будущее. Рассмотрим только методы нахождения динамических характеристик многомассовых систем при введении дополнительных связей.

Первоначальным этапом исследования динамических свойств МТА является оценка частотного диапазона основных возмущающих воздействий (как внешних, так и внутренних) и их амплитудная величина. В работах В. В. Шеховцова и автора данной статьи [9, 10, 11] представлен достаточно полный анализ основных возмущающих воздействий и их частотный диапазон как для колесных, так и для гусеничных тракторов.

На основе проведенного анализа современных исследований [11] динамические составляющие, определяющие нагруженность силовой передачи гусеничного трактора, можно разделить на четыре группы по источникам воздействий:

1) воздействия от технологического сопротивления, от микропрофиля, от пространственных колебаний трактора на подвеске, от навесных и агрегатируемых орудий (частота от 0-30 рад/сек., характер - случайный);

2) от гусеничного движителя в зависимости от шага гусеницы и быстроходности трактора (частота от 25 до 200 рад/сек., характер случайный);

3) от гармонических составляющих крутящего момента двигателя (частота от 90 до 6000 рад/сек., характер - случайный, близкий к регулярному);

4) от редукторной части трансмиссии и неравномерности вращения кардана (частота от 30 до 6000 рад/сек., характер - суперпозиция случайных и регулярных составляющих).

Процентное содержание составляющих групп в общей динамической нагруженности си-

ловой передачи по данным большинства исследователей изображено на рис. 1.

50-60%

20-30%

5-15%

5-8%

I II III IV

Рис. 1. Диаграмма процентного содержания

составляющих динамической нагруженности силовой передачи трактора

Данные диапазоны воздействий следует учитывать при оптимизации динамических свойств путем корректировки АЧХ варьированием упруго- инерционных параметров или введением дополнительных связей.

Для построения математической модели, нахождения передаточных функций и АЧХ строится многомассовая динамическая схема. Следует отметить, что не надо стремиться к простому увеличению масс. Число масс должно определяться верхним частотным диапазоном воздействий, который рассматривает исследователь. Так, например, расчеты крутильных колебаний тракторов показывают, что упрощенная до 10-12 масс эквивалентная схема охватывает собственные частоты до 3000-6000 рад/сек. В работах Н. С. Соколова-Добрева и др. рассматриваются 34 [1] и 98 [2] массовых моделей силовых передач сельскохозяйственных тракторов, приводятся системы дифференциальных уравнений. Такие многомассовые системы можно без опасения упрощать до 12-15 масс. С другой стороны оказывается не совсем правильно рассматривать многомассовую машину в виде механической системы с одной степенью свободы [4, 11]. После построения математической модели по динамической схеме в виде системы дифференциальных уравнений с постоянными параметрами целесообразно для выявления резонансных режимов вычислить спектр собственных частот и изменения спектра в зависимости от упруго-инерционных параметров. Методика вычисления приводится в работах [1, 10]. Но не надо

думать, что собственные частоты вычислены идеально точно, естественна некоторая погрешность, так как значения упруго-инерционных параметров в процессе работы МТА могут незначительно меняться. Будем полагать, что собственные частоты колеблются около своих найденных значений и погрешность незначительна. Отмечаем, вычисление собственных частот и сравнение их с диапазоном частот основных возмущающих воздействий не дают полной картины величины динамических нагрузок без вычисления амплитудно-частотных и фазово-частотных характеристик. Данные характеристики представляют изменения амплитуды колебаний нагрузки в зависимости от частоты. Более того, можно рассматривать, варьируя тем или иным интересующим нас параметром, амплитудно-частотные характеристики в двумерном и амплитудно-частотно-массовые, амплитудно-частотно-жестко-стные и амплитудно-частотно-демпфирующие характеристики в трехмерном изображении.

На рис. 2 и 3 представлены результаты расчетов начального участка АЧХ (Ас, п.в.(®) - от сопротивления со стороны пачки до первичного вала) шестимассовой модели трелевочного трактора ЛХТ-55 и графическое изображение изменения в зависимости от изменения податливости валов заднего моста и податливости первичного вала соответственно. Как видим, характер изменения АЧХ совершено разный.

По рис. 2 можно наблюдать значительные изменения АЧХ в диапазоне 2-й собственной частоты (при уменьшении податливости 2-я собственная частота увеличивается, а при увеличении уменьшается, по амплитуде колебания практически не изменяются). Этим свойством можно воспользоваться при выборе рациональных параметров путем снижения динамических воздействий от карданной передачи, наблюдаемых в данном диапазоне частот.

350 400 (■>. рад'с

Рис. 2. АЧХ Ас, п.в.(ю) при уменьшении податливости вала

заднего моста в 2 раза (-), при увеличении

в 2 раза (---) и базовый вариант (••••)

Рис. 3. АЧХ Ас, п.в.(ю) при уменьшении податливости

первичного вала в 2 раза (-), при увеличении

в 2 раза (---) и базовый вариант (••••)

По рис. 3 наблюдаем совершенно иную картину. Значения собственных частот остаются без изменения, но величина амплитуд значительно изменяется в диапазоне низкочастотных воздействий (при уменьшении податливости уменьшается, а при увеличении растет). Данным свойством следует воспользоваться при снижении низкочастотных динамических воздействий (например, со стороны волока или сопротивления агрегатируе-мому орудию). На рис. 4 представлена амплитуд-но-частотно-жесткостная характеристика, соответствующая АЧХ, изображенной на рис. 3, но в трехмерном пространстве, где по оси у откладывается коэффициент увеличения податливости t в интервале от 0 до 4. По графику наблюдаем, что с ростом податливости амплитуды колебаний значительно увеличиваются, при этом значения первых собственных частот не меняются. Методы вычисления частотных характеристик проводились в системе MathCad и подробно изложены в работах [1, 10].

Рис. 4. Амплитудно-частотно-жесткостная характеристика Ас, п.в.(ю, () - от сопротивления со стороны пачки до первичного вала

Приведенные примеры расчетов АЧХ подтверждают, что нахождение собственных частот

без исследования АЧХ не дает полной картины о динамических свойствах силовой передачи.

С целью виброизоляции силовой передачи от сил технологического сопротивления и виброзащиты от микропрофиля можно ввести дополнительные динамические связи. Это могут быть различного вида упруго-инерционно-демпфирующие устройства. Чаще всего современные исследователи рассматривают сцепные устройства МТА, эффективность действия которых целесообразно изучать на стадии проектирования.

Рассмотрим оценку динамических характеристик многомассовых систем при введении дополнительных связей, силового и кинематического воздействия на систему (рис. 5). Система уравнений с введенной дополнительной связью в виде одномассовой цепи си-1 - Jn+\ - сп+2 имеет вид

■ х 1 + е1(х1 - х2) = М (г),

' Хп + Сп-1(Хп-1 - Хп ) + Сп (Хп - Хп+2 ) + + Сп+1 (Хп - Хп+1 ) + СП (Хп - ХП ) = 0,

J.

Хп+1 + Сп+1 (Хп - Хп+1 ) + Сп+2 (Хп+1 - Хп+2 ) =

= Рв (г),

J п+2 ' Хп+2 + Сп (Хп - Хп+ 2 ) - Сп+2 (Хп+1 - Х п+2 ) =

=Мс (г).

Ниже приводится пример разветвленной схемы с приводом активного рабочего органа при введении дополнительных связей на месте сцепного устройства для агрегата на базе трактора ДТ-75 с агрегатируемым орудием типа ЩДМ-1 (рис. 6).

1\

с1

Мд

1п-

I

сп-1

_сп_

сп+Ш сп+2 "п | 1п+1

+2

)

Мс

Рис. 5. Динамическая модель с учетом дополнительных связей при силовом и кинематическом воздействии на систему

Расчет динамических характеристик проводится методами, изложенными в работах [1, 14].

Построенные математические модели МТА могут быть использованы для оценки реальных процессов динамики силовых передач. Для этого представляют основные возмущающие воздей-

-<

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

М

3 сз с4 с5

о. с„

сб 1 7 ЗА

т

с

с.

с.

с.

J

8

J J

J

11

Сп

9

Хп

Рис. 6. Динамическая схема с приводом активного рабочего органа при введенной дополнительной связи

Расчеты вынужденных колебаний динамических систем целесообразно проводить в системе MathCad [1]. Для этого систему дифференциальных уравнений второго порядка сводят к системе первого порядка и решают численным методом Рунге - Кутты с применением встроенных функций гкГкЫ, Rkadapt или ВиМоег. Пример расчета приводится на рис. 7.

Рис. 7. Изменение динамических нагрузок М на валу муфты сцепления(—) и на рабочем оборудовании

(-) при к = 0,2 м и V = 0,8 м/сек при продольно-угловых

и вертикальных колебаниях лесопогрузчика

ствия в виде гармонических воздействий (или суммы гармоник) определенной частоты и амплитуды. Например, В. Ф. Полетайкин, рассматривая динамику рабочих режимов гусеничных лесопогрузчиков ЛТ-188 [13], микропрофиль детерминированного воздействия представляет выражением

h(t) = ^ (1 - cos2™t / L),

где hmax - наибольшая высота препятствия, L -длина препятствия, частота v = 0,7 ^ 1,4 м/с, в среднем 0,8 м/с.

J4 J5 J

Выводы

В работе определены перечень основных динамических параметров и характеристик и методы их нахождения исходя из математических моделей динамики МТА на основе современных компьютерных технологий системы MathCad с целью более полного и эффективного анализа динамических свойств.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Свитачев А.И. Динамика трансмиссий гусеничных тракторов с учетом навесного оборудования. Красноярск : Изд-во КрасГАУ, 2005. 190 с.

2. Соколов-Добрев Н.С. Разработка методов анализа и снижения динамической нагруженности силовых передач гусеничных сельскохозяйственных тракторов : автореф. дис. ... канд. техн. наук / Н.С. Соколов-Добрев. Волгоград, 2007. 21 с.

3. Динамическая модель силовой передачи гусеничного сельскохозяйственного трактора тягового класса 6. / Н.С. Соколов-Добрев, Шеховцов В.В., Иванов И.А., Ляшенко М.В. // Известия ВолгГТУ. Сер. Наземные транспортные системы. 2010. Вып. 3. № 10. С. 92-96.

4. Ксеневич И.П. Аспекты проектирования сложных вероятностных нелинейных динамических неголономных систем // Тракторы и сельхозмашины. 2007. № 8.

5. Анисимов Г.М. Условия эксплуатации и нагруженность трансмиссии трелевочного трактора // Лесн. промышленность. М., 1975.

6. Снижение динамической нагруженности трансмиссии трактора Т-150 / Чернявский И.Ш., Шаповалов Ю.К. и др. // Тракторы и сельхозмашины. 1999. № 4. С. 35-37.

7. Влияние на частоты собственных колебаний упруго -инерционных параметров элементов силовой передачи трактора ВТ-100 / Шеховцов В.В. и др. // Международный научно -исследовательский журнал. 2013. № 7 (14) Ч. 2. С. 132-135.

8. Развитие научных основ долговечности муфт сцепления, карданных передач и тормозов. Выбор оптимальных параметров упругофрикционных демпферов, встроенных в ведомые диски сцеплений тракторов : метод. указ. / ГОНГИ НАТИ. М., 1984. 175 с.

9. Шеховцов В.В. Анализ и синтез динамических характеристик автотракторных силовых передач и средств для их испытания. Волгоград : ВолгГТУ, 2004. 224 с.

10. Свитачев А.И. Математическое моделирование и оптимизация динамических процессов силовых передач транспортных машин. Красноярск : Изд-во Город, 2009. 272 с.

11. Геллер Ю.А. Оценка эффективности виброизоляции землеройных машин при наличии упругой связи // Системы. Методы. Технологии. 2013. № 1 (17). С. 33-37.

7

P

c

12. Полетайкин В.Ф. Повышение технического уровня гусеничных лесопогрузчиков на основе анализа динамики их рабочего оборудования : автореф. дис. ... докт. техн. наук / В.Ф. Полетайкин. М., 1989. 42 с.

13. Полетайкин В.Ф. Проектирование лесных машин. Динамика элементов конструкции гусеничных

лесопогрузчиков. Красноярск : Изд-во КГТА, 1997. 248 с.

14. Свитачев А.И., С.Н. Орловский, А.Н. Чекаев Моделирование и оптимизация динамической нагружен-ности силовых передач машинно-тракторных агрегатов. Вестн. КрасГАУ, 2012. № 4._

УДК 517.977.1 Рогалев Алексей Николаевич,

к. ф.-м. н., старший научный сотрудник, Институт вычислительного моделирования СО РАН, тел. (8391) 249-83-29, 8-962-074-5281, e-mail: rogalyov@icm.krasn.ru

БЕЗОПАСНОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ И ОЦЕНКИ ОБЛАСТЕЙ ДОПУСТИМЫХ ОТКЛОНЕНИЙ

A. N. Rogalyov

SECURITY OF COMPLEX SYSTEMS AND ESTIMATES OF THE REGION TOLERANCE

Аннотация. Для вычисления гарантированных границ зон опасных состояний и пороговых значений параметров сложных систем, которые соответствуют границам этих зон, применяется класс методов гарантированного оценивания решений систем дифференциальных уравнений и множеств значений функционалов, построенных на решениях этих систем. Методы, строящие гарантированные границы множеств решений систем дифференциальных уравнений, основаны на символьном представлении формул, аппроксимирующих оператор сдвига вдоль траектории. После нахождения символьных формул вычисляются области включения, содержащие каждое приближенное решение при варьировании параметров значений, затем оценки глобальных ошибок для всех приближенных решений, соответствующих этим символьным формулам. Завершает алгоритм операция объединения этих множеств включений, реализуемая, например, как сложение множеств. Такой подход позволяет определять границы множеств решений, точно отслеживающие поведение множества всех точных решений, а также устранить влияние эффекта структурной неустойчивости.

Учитывается, что многие системы, особенно технические, функционируют в течение конечного промежутка времени. При этом представляет интерес не только факт устойчивости или неустойчивости этих систем, но и количественные оценки решений, а также принадлежность значений этих решений областям безопасности функционирования. Многие параметры реальных объектов могут быть измерены только с ошибкой. Чтобы обеспечить гарантированность оценок, требуется оценивать результаты для всех значений этих параметров.

Методы гарантированного оценивания областей решений дифференциальных уравнений учитывают постоянно действующие возмущения на конечном интервале времени. Среди приложений этих методов мы выделим задачи проверки гарантированных условий безопасности и задачи построения множеств достижимости.

Ключевые слова: гарантированное оценивание решений дифференциальных уравнений, области допустимых отклонений, гарантированные условия безопасности, символьная формула решений, области возможных значений, оценки ошибки.

Abstract. To calculate the guaranteed zone boundaries of dangerous conditions and threshold parameters of complex systems, which correspond to the boundaries of these zones, there a class of methods for guaranteed estimation of solutions of differential equations systems and sets of values offunctions built on the solutions of these systems are used. Methods that build guaranteed estimations of regions of differential equations solutions take into account the constantly acting perturbations on a finite time interval. Among the applications of these methods we select the problem of testing conditions of guaranteed security and the problem of constructing reachable sets.

Keywords: guaranteed estimation of solutions of differential equations, the field of tolerance, guaranteed security conditions, symbolic formula of solutions, range of possible values, error estimation.

Введение

Надежность и безопасность сложных систем связаны с состоянием систем при анализе их функционирования. Под надежностью понимают свойство системы сохранять во времени и в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания. Безопасным принято полагать такое состояние сложной системы, при котором возмущение внешних и внутренних параметров не приводит к невозможности функционирования и развития системы.

Любая система большой сложности характеризуется множеством состояний в некотором

межпороговом пространстве состояний, как бы исследуя крайние точки, границы существования системы, выполняя поиск безопасного состояния. Однако чем сложнее система, тем опаснее возможность приближения непосредственно к порогам вхождения в зону предкатастрофического состояния [1]. Возникает задача, состоящая в том, что приближение к пороговым состояниям приводит к нарушению безопасности функционирования и разрушению систем.

Современная стратегия обеспечения безопасности в сложных системах, переносит акцент с усилий, направленных на реагирование на последствия катастроф, на деятельность по их прогнозированию и предотвращению. Любой объект

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.