CC BY
24
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
УДК629.114.2 Чекаев Анатолий Николаевич,
аспирант Красноярского института железнодорожного транспорта - филиала ИрГУПС,
тел.: (8-392)-248-08-36, 8-960-768-3045, e-mail: a_svitach@mail.ru
Свитачев Анатолий Иванович д. т. н., доцент, зав. кафедрой «Математика» Красноярского института железнодорожного транспорта - филиала ИрГУПС, тел.: (8-392)-248-08-36, 8-960-768-3045, e-mail: a_svitach@mail.ru
Орловский Сергей Николаевич к. т. н., доцент кафедры проектирования лесного оборудования Сибирского государственного технологического университета тел.: (8-392)-248-08-36, 8-960-768-3045, e-mail: a_svitach@mail.ru
МОДЕЛИРОВАНИЕ И СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СИЛОВЫХ ПЕРЕДАЧ
МАШИННЫХ АГРЕГАТОВ
A.I. Svitachev, S.N. Orlovsky, A.N. Chekaev
MODELING AND PERFECTION OF DYNAMIC CHARACTERISTICS POWER TRANSMISSIONS OF MACHINE UNITS
Аннотация. В работе рассматриваются методы построения математических моделей силовых передач машинных агрегатов с активными и пассивными рабочими органами в виде многомассовых колебательных систем, нахождение их динамических характеристик и методы оптимизации динамических свойств. Предложенные методы рассмотрены на примерах динамических моделей силовых передач машинно-тракторных агрегатов промышленного и лесохозяйственного назначения.
Ключевые слова: моделирование, силовая передача.
Abstract. In the article, methods of construction of mathematical models of power transmissions of machine units with active and passive working units in the form of multimass oscillatory systems, a finding of their dynamic characteristics and methods of optimization of dynamic properties are considered. The offered methods are considered on examples of dynamic models of power transmissions of tractor units of industrial and silvicultural appointment.
Keywords: modelling, a power transmission.
Одним из основных путей совершенствования динамических свойств силовых передач машинных агрегатов является развитие методов моделирования в виде эквивалентных многомассовых колебательных систем, оценки их динамических характеристик и оптимизации. В работе рассматриваются методы построения мате-
матических моделей силовых передач машинных агрегатов
с активными и пассивными рабочими органами в виде многомассовых колебательных систем, нахождение их динамических характеристик и методы оптимизации динамических свойств. Предложенные методы рассмотрены на примерах динамических моделей силовых передач машинно-тракторных агрегатов промышленного и лесо-хозяйственного назначения [1, 2, 3].
Анализ работ показывает, что динамическая модель машинного агрегата может быть представлена как цепочная система сосредоточенных масс с моментами инерции Ji, соединенных упругими связями с коэффициентами жесткости с^ и демпфирующими силами с коэффициентами демпфирования Ьь с действующими на нее возмущающими силами при следующих допущениях:
1. Крутильные колебания в силовой передаче не вызывают вертикальных и угловых колебаний корпуса машины, а лишь накладываются на ее поступательное движение.
2. Валы обладают только упругими свойствами, т. е. их инерционными характеристиками пренебрегаем.
3. Шестерни вращающихся деталей двигателя, корпуса сцепления, диски колес, звездочки гусениц и др. являются абсолютно жесткими дисками, т. е. учитываются только их инерционные характеристики.
Современные технологии. Механика и машиностроение
ш
4. В случае цепочной системы представления разница между величинами инерционных и жесткостных параметров левой и правой бортовой передачи незначительна.
К вышеперечисленному можно добавить существенное замечание - данная динамическая схема подразумевает параметры системы постоянными, и в ряде работ не учитывается агрегатируе-мое орудие при взаимодействии с окружающей средой, а заменяется возмущающими воздействиями. При установившихся режимах работы это допустимо, при переходных же режимах может привести к существенным погрешностям. Характерной особенностью машинных агрегатов, как колесных, так и гусеничных, является взаимодействие крутильной колебательной системы силовой передачи с пространственной подсистемой «агре-гатируемое орудие - корпус - подвеска - грунт». Поэтому в динамической модели необходимо учитывать, активный или пассивный орган в рабочем агрегате. При активном агрегате идет разделение мощности на функционирование рабочего органа и движение агрегата, в случае с пассивным рабочим органом разделение мощности отсутствует.
Для пассивного рабочего органа динамические модели представлены на рис.1, а динамическая модель для активного рабочего органа в агрегате с учетом цепочного представления передачи представлена на рис. 2.
<11 3:
тгт шт та
-НЦ-
'Мф
Рис. 1. Динамическая модель машинного агрегата (пассивный рабочий орган)
Следует отметить, что поступательно движущиеся массы гусеничной тележки mгт, машинного агрегата (на основе трактора) mт и агрегируемого орудия mао приводятся к крутильным колебаниям по формулам Jгт=mгтr2А2, Jт=mтr2/Р, Jб=mбrА2, где г - радиус зацепления ведущей звездочки, i - передаточное число соответствующего участка, ср, су, сг - коэффициенты жестко-стей соответственно рамы, сцепного устройства, грунта и ведущего участка гусеницы, которые приводятся к валу муфты сцепления так же, как и моменты инерции, а линейные перемещения масс
трактора и агрегируемого орудия si приводятся к угловым перемещениям по формуле ф1=si/r.
Математические модели данных систем в линейном приближении представляются системой дифференциальных уравнений (в матричном виде)
^Х"+ВХ'+СХ=Р() где^ В, С - матрицы моментов инерции, коэффициентов демпфирования, жесткостей;Р(^) - вектор возмущающих воздействий, Х(0- вектор угла закрутки масс системы.
3а
Двигатель
КПП
Центр., кон. Згт 3т передача
Рис. 2. Динамическая модель машинногоагрегата (активный рабочий орган)
Применив преобразование Лапласа к выражению, в предположении нулевых начальных условий получим уравнение относительно изображений переменных Х^) в матричной форме:
• Р ($),
где W(s) -матрица передаточных функций.
Ж(5) = / • 52 + В • 5 + с]"1 = I • (Л,)пп ,
А = • 52 + В • 5 + с] = |(а, )ии| - определитель.
Для вычисления передаточных функций систем (рис. 1 , 2) получены рекуррентные соотношения в виде:
- для цепочной модели (рис. 1) А = Б1п;
- для разветвленной модели (рис. 2)
А = 01 к+т'°к+т+1 к+т+—а к+т'°1 к-1°к+1 к+т°к+т+2 к+т+Ъ
где определитель Бкп трехдиагональной матрицы находится по рекуррентной формуле:
°кп = ^к'°к+1 п-а к+1'°к+2 п , °кк= к = 1 ... ,п,
ак= -(Ък^+Ок) , ёк= Jk•s2 + (Ьк-1 + Ък) я + Ск-1 +еь При исследовании динамических свойств силовой передачи встает задача нахождения передаточных функций, а по ним амплитудно-частотных характеристик (АЧХ). Данные характеристики являются более полными и качественными характеристиками динамики машин и представляют собой изменения амплитуды и фазы при единичном воздействии в зависимости от изменения частоты. Более того, при оптимизации дина-
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
Щк ) =
(- 1)к+ скЧг+2 • • 4кВи -1 (Ак+2 пЧк+1 + Ак+1п)
б) для l = 1
(5) =
в) для l > k
Щк (*) =
г) для l = и+1
(-1) к+1 С^
к+1п
ЛА
1п
(- 1)к+ЧА1к-А+А +2***а1 -1(Ап + аВ+1п )
¿Ап
(-1)к+-+1 сАк+а+2...апПк+п
К+1к (5) =
■п+1А1п
п ' Х п + Сп-1 (Хп-1 Хп ) + Сп (Хп Хп+ 2 ) +
+ Сп+1 (Хп - Хп+1 ) + СП (Хп - ХП ) = О, ( п+1 + Сп+1 (Хп - Хп+1 ) + Сп+2 (Хп+1 - Хп+2 ) = РВ ),
• Х
п+2
+ Сп (Хп - Хп+2 ) - Сп+2(Хп+1 - Х п+2 ) = Мс ^
мических свойств системы возникает необходимость знания аналитической зависимости частотных характеристик от конструктивных параметров (инерционных, жесткостных, демпфирующих и др.).
Изображение крутящего момента на ^м валу определяется выражением
тогда передаточная функция, устанавливающая связь между крутящим моментом на ^м валу силовой передачи и возмущающей силой P\(t), приложенной к 1-й массе, представляется для цепочной модели так: а) для l < k
^ J2
ШШЛ
^-1 Jn ^+2
М
П 1 ........_1 | сп-1 сп
сп+1 П сп+2
¡1* [ Г И |
11
а
М
'п+1
Рис. 3. Динамическая модель с учетом дополнительных связей при силовом и кинематическом воздействии на систему
Передаточная функция виброизоляции силовой передачи от сил технологического сопротивления Мс(1;) на вал муфты сцепления представляется в виде
Р
Мс
ё.
ап+2
1 - 4
п+2 2
М„
А
, где
А =
Среди основных направлений повышения надежности и долговечности силовых передач и оптимизации динамических свойств можно выделить два:
- выбор оптимальных конструктивных параметров силовой передачи;
- рациональный выбор структуры силовой передачи (структурная оптимизация). Структурная оптимизация подразумевает
снижение динамических колебаний на основе методов вибротехнологий путем введения пассивных и активных дополнительных связей систем виброзащиты и виброизоляции.
Рассмотрим АЧХ многомассовых систем при введении дополнительных связей при силовом и кинематическом воздействии на систему (рис. 3).
Система уравнений с введенной дополнительной связью в виде одномассовой цепи Сп-1 -/п+1 - Сп+2 имеет вид:
■ • Х1 + с (Х - х-1 ) = М (/)
О О
В
п п+2 —
п—1 В п п+2 - а
ёп ап+1 ап
ап+1 ёп+1 ап+2
ап ап+2 ё п+2
ап 1 О 0
ёп ап+1 ап
ап+1 ёп+1 ап+2
ап а п+2 ёп+2 _
1 • А • А п-2 ^п+1 п+2
в'
> вп+1 п+2
ёп+1 ап+2 ап+2 ё п+2
1 = (-1)'
• а • а2 • *••• ап
— (-1)п+2 2 • • а2 • •••• ап-!
п+2 2
• ••• а„
ап ап+2
ё п+2 ап+1
ап ап+2
ё п+2 ап+1
4п+2 2
ап ап
ё п+2 а
• / /. • 1
На примере шестимассовой модели трансмиссии ЛХТ-55 (рис.3), с введенной дополнительной связью, передаточные функции виброизоляции силовой передачи от сил технологического сопротивления Мс(1;) на вал муфты сцепления имеют вид
- - А - А
47 1 47 2
1 7 М М„
А
где А7 х — ах • а2 • а3 • а4(а6 • а7 -ё6 • а5),
Х1 Х2
а
а
2
а
п-1
п+2 1
Современные технологии. Механика и машиностроение
ш
А7 2 = —d1 • а2 • а3 • а4(а6 • а7 -• а5),
О*
А = А 4 • О* 5
d5 а6 а
7 = а6 d6 а
а5 а
»2 • А 3
О 7 =
6 а7
а?
Можно рассмотреть нули передаточной функции, приравняв числитель к нулю.
А7 1 — А7 2 = 0 ,
т. е. (а + ^) • а • а • а4 (а • а — ^ • а)= о.
Рассмотрим нахождение передаточных функций виброзащиты от микропрофиля при введении пассивных динамических связей, жесткост-ных или демпфирующих, на участке Jтр - сп - хп (рис. 4).
(
Мв
З2
34 3
сз
с4 сп
с5
)
М
Рис. 4. Виброзащита микропрофиляпри введении пассивных динамических связей, жесткостных или демпфирующих, на участке 1тр- сп- хп
Передаточная функция виброзащиты от воздействия микропрофиля Хп на вал муфты сцепления имеет вид
А5 1 — А5 2
Щ 5(ш) =
<Р\
А
/1 + а) • а2 • а • а4 •
где А = Д 6 =
А
а
а2
а
а d 4 а4
а5 d.
а
dЛ
Рассмотрим разветвленную схему с приводом активного рабочего органа при введении дополнительных связей на месте сцепного устройства с агрегатируемым орудием (рис. 5).
М
34 35
сз
с4
с5
I
р
с с
11
спхп
J» ^ J10
Рис. 5. Динамическая схема с приводом активного рабочего органа при введении дополнительных связей
Найдем АЧХ виброизоляции от воздействия фрезы:
- на вал муфты сцепления
Щ 7(ш) =
(^ + а) • • а • а 4
А — А
А7 3 А7 4
А
а6 а5 а7
• О 11
А
А = А = 7 • О8 11 — а82 • О1 1 • О*з 7 • Д 11
7 = Д 4 • О 5 7 — а2 • О 3 • О6 7 , О*3 7 = Д 4 • О*5 7 — а2 • Д 3 • О6 7 ,
d5 а6 а5
О*5 7 = а6 d6 а7
а5 а7 d7
а
А п =
<1и
а
к +1 к+1 <к+1
а
к + 2
ап <п
- на карданный вал
Щ 7^) = ^ = Д 2 • а3 • а
(р3 А7 3 А7 4
^С А
• а4 • а6 d 6 а а • О8 11 — а82 • Д • а3 • а4
А
а6 а5
^ а7
• 11 + А 3 • а4
а6 а5
^ а7
• О8 11 — а
А
• А 1 • О3 3 • а4 • а6 d 6 а5 • О „
а
А
3
с
I-
с
3
J
6
С
с
■5
СП ХП
а
2
4
а
5
5
5
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
В заключение следует отметить, что предложенный метод нахождения передаточных функций, а по ним и АЧХ, позволяет оценить динамические свойства силовых передач машинных агрегатов, установить аналитическую зависимость изменения динамических свойств от конструктивных параметров, а с введением пассивных и активных дополнительных связей перейти к оптимизации динамических свойств всех систем агрегата. Вводимые дополнительные связи обладают большим количеством конструктивных параметров (жесткостных, инерционных, демпфирующих), и выбор их должен осуществляться с помощью многокритериальной оптимизации по различным критериям совершенствования динамических свойств и характеристик машинного агрегата с учетом комплекса возмущающих воздействий и их частотного диапазона. Данная задача определяет направление дальнейших исследований по совершенствованию динамических свойств машинных агрегатов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Свитачев А. И., Гозбенко В. Е., Чекаев А. Н. Совершенствование динамических свойств силовых передач машинных агрегатов на основе методов вибротехнологий // Транспортная инфраструктура Сибирского региона : материалы межвуз. науч.-практ. конф. / Иркут. гос. ун-т путей сообщ. - Иркутск : ИрГУПС, 2009. - Т. 2. - С. 360-364.
2. Свитачев А. И., Орловский С. Н. Анализ динамических свойств силовых передач лесохозяй-ственных агрегатов с активными рабочими органами // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2007. - № 1(13) -С.19-22.
3. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / Елисеев С. В., Резник Ю. Н., Хомен-ко А. П., Засядко А. А. / Читин. гос. ун-т ; Иркут. гос. ун-т путей сообщ. - Иркутск : Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2008. - 523 с.
УДК 517.444 Петкович Дойчин,
естественно-математический факультет, Косовска Митровица, Сербия
т. 453045, 89148930050, e-mail: tz@icc.ru, Димитровски Димитар, естественно-математический факультет, Скопие, Македония т. 453045, 89148930050, e-mail: tz@icc.ru,
ОДНОАМПЛИТУДНЫЕ ^ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ НЕ-ШТУРМА ВТОРОГО ПОРЯДКА
D. Petkovich, D. Dimitrovsky
THE ONE-AMPLITUDE NONHARMONIC NOT-STURM RIPPLING OF THE SECOND ORDER
Аннотация. При решении уравнений колебаний второго порядка в соответствии с методом порядковых итераций возможно применение теоремы Проди об асимптотических решениях. Стремление коэффициента этого уравнения к бесконечности приводит в общем случае к двух-амплитудному решению. Негармонические колебания с одинаковой амплитудой для этого случая ранее не рассматривались. В статье предлагается условие для одноамплитудного решения, которое выходит за рамки условий классической теоремы о колебаниях, представляющее связь между амплитудой и частотой.
Ключевые слова: негармонические колебания, функции Штурма.
Abstract. When we solve rippling equations of the second order according to method of ordinal iterations we can use the theorem of Prodi about asymptotic solutions. The coefficient of this equation tends to infinity, that leads to two-amplitude solution in general case. Nonharmonic rippling with the same amplitude for this case has not been considered earlier. In this article we offer the condition for one-amplitude solution which exceeds the limits of conditions of classical rippling theorem. This proposed condition presents the connection between amplitude and frequency.
