CC BY
67
Е.В. Истигечева, А.А. Мицель
Оценивание параметров волатильности
Рассматривается возможность построения гарантированных оценок параметров волатильности в авторегрессионной модели условной неоднородности и модели стохастической волатильности методом последовательного анализа. Разработан алгоритм оценивания параметра в модели стохастической волатильности с использованием фильтра Калмана — Бьюси.
Введение
Эмпирический анализ финансовых, экономических и социальных индексов должен начинаться с построения подходящей вероятностно-статистической модели. В конечном счете, одна из важных целей эмпирического анализа статистических данных по финансовым индексам состоит в прогнозировании, предсказании «будущего движения цен». Насколько это прогнозирование будет надежно, зависит от удачного выбора модели, точности оценивания определяющих ее параметров и качества экстраполяционного оценивания [1]. Пусть
^ = Vй" — (1)
значение цены акций или обменного курса в момент времени " . Из (1) следует, что
(2)
^ = ln ^
J0
В классе рассматриваемых моделей величина нормированных цен определяется как
^ = ^ + ... + ^ , (3)
где
^n = ln^. (4)
Ъп-1
Наблюдение дисперсии временных рядов, возникающих на финансовых рынках и в других секторах экономики, позволяет выявить ряд общих статистических особенностей. Эти особенности в основном заключаются в следующем:
1) существует характерное изменение дисперсии ряда во времени;
2) имеются скопления больших по модулю значений временного ряда, разделенные колебаниями относительно малой интенсивности («кластеризация больших по модулю отклонений»);
3) существует высокая (по сравнению с распределением Гаусса) вероятность больших по модулю значений ряда.
Данные свойства финансовых временных рядов были замечены уже в начале XX века. Однако удовлетворительное их объяснение было предложено Робертом Энгле только в начале 1980-х годов. Он предположил, что изменение дисперсии определяется не внешними факторами, как это считали его предшественники, а внутренними параметрами и предысторией системы, в частности, реализованными в предыдущие моменты времени значениями временного ряда. Эта концепция получила название авторегрессионной условной неоднородности (авторегрессионность — зависимость от предшествующих значений ряда, условность — дисперсия рассчитывается при условии, что предшествующие значения ряда известны, неоднородность — изменение дисперсии во времени) или в сокращенной латинской аббревиатуре ARCH. Проверка концепции ARCH показала ее большие возможности при объяснении статистических особенностей временных рядов, возникающих на валютных и иных финансовых рынках [2].
АВДИ-модель
Для описания эволюции величин у = (уП )П выбирается условно-гауссовская модель, в которой
^ = °пеп , (5)
где ап — функциональная волатильность, которая определяется следующим образом:
аП = «0 + Е«У-; - Н (0,1), П > 1; (6)
\ =1
уП — наблюдения, п = 1,...,Н , Н — объем выборки; р — параметр, характеризующий качество модели; ах — параметры волатильности; еп — «базисная» последовательность, которая в теории временных рядов обычно считается белым гауссовским шумом и которая идентифицируется с источником случайности, определяющим стохастический характер исследуемых вероятностно-статистических объектов [3].
При больших значениях параметра р многомерная модель (5) не применима на практике из-за своей неэкономичности, поскольку сложно сформулировать ограничения, которые можно было бы наложить на такую громоздкую модель.
Рассмотрим данную модель при р = 1 :
аП = «0 + а1^2-1 . (7)
Перепишем соотношение (5) в виде
У = аПеП . (8)
В работе [1] рассматривается возможность оценивания неизвестных параметров методом максимального правдоподобия, однако там же указывается на недостаток этого метода, который состоит в том, что даже при Н = 1000 оцениваемая модель не является ковариационно стационарной. Оценим параметры волатильности в модели (7) методом последовательного анализа.
Умножая правую часть (7) на 1 - 1 + еП , а левую — на еП и определив новую случайную 2 1
величину как еП - I = Лп , получим
Обозначим
2 2 / 2 ^ У = «0 + а1^2-1 + (а0 + «1^-1 /V
2
«0 +а1^2-1 = Чл-1
и, воспользовавшись обозначением у2 = 1 , будем иметь
1 = «0 + «11-1 + Чл-1Лл . (9)
Перепишем данную формулу в векторно-матричном виде:
1 = (1л-1 )т , (10)
где 0 =[«0, «1 ]Т ; ЪП =[1,1П ; ^ = Ч-1ЛП — шум наблюдений.
Оценим неизвестный параметр 0 методом последовательного анализа [4]. Для построения оценки в качестве базовой возьмем оценку, полученную методом наименьших квадратов:
Н
0Н = ^ Е -11л , (11)
п =1
где матрица Ьн определяется следующим образом:
Н
= Е ^П-1
п =1
Пусть с — убывающая последовательность положительных величин, таких что
Е
^ =2
< ГС).
Наблюдая процесс {2 }, введем момент остановки т = т(с^) по следующей формуле:
Т = ¡пГ[т > 1: ХК.Ц4 > с }.
п =1
Для каждого т,^ > 1 , введем модифицированную оценку методом наименьших квадратов (МНК) = 6(т(с^)) , построенную с использованием базовых оценок из (11) как
0 (т-) = G
j
X Z-iZrn + KCj Z _1-1~
S =
п=2
X Z-1ZT-1 +KCj )Z -1
(12)
п=2
где 0 < ц(с.) < 1 — корректирующий множитель, определяемый уравнением
X \к-Ц4 +^(cj) —
п =1
=с ■
Следовательно,
^(с.) =
-X Z-1I
п =1
"V1
Пусть Н > 0 , тогда гарантированная оценка имеет вид
е*(н )=X v. 0 . =1
(13)
где v- = —-— ; р = р (Н ) = inf > 1 : xb. - Н j; d. = b (с. ) определяется следующим образом:
EE d [ j=1 J
V =1
b- =
-1
0,
-2
, detGT > 0; Tj
det G T = 0. Tj
Длительность процедуры определяется Н(Н) = т(ср) + 1.
Важным свойством гарантированной оценки является тот факт, что 6* (Н ) характеризуется априорно известной среднеквадратической точностью.
Модель стохастической волатильности
Принципиальная альтернатива ДРОИ-модели заключается в том, чтобы сделать параметр ст^ зависящим не от прошлых наблюдений, а от некоторых ненаблюдаемых компонентов. Такие модели получили название «модели стохастической волатильности».
Модели стохастической волатильности характеризуются наличием двух источников случайности — е = (еп ) и V = ) , определяющих поведение последовательности ^ = ) со значениями
Уп = ^ , = , = «0 + X °<*п -V + °vVn ,
V =1
где av — дисперсия процесса vп ■
Будем говорить, что y = (уп ) подчиняется SV-модели (Stochastic Volatility), т.е. модели стохастической волатильности. Среди таких моделей стохастической волатильности широко известна модель Р. Энгле, предложенная в 1994 году [3]:
4
4
с
4
с
Уп , (14)
log h =«0 + «1 log h-1 +avvn, (15)
где h — стохастическая волатильность; yn — наблюдения; {vn ]-, {en }— шумы.
Пусть Evn = 0, Ev^ = 1,E |loge^ | . Предположим, что параметры aV и E(loge^) являются известными. Обозначим 6 = [«0, «1 ] — вектор неизвестных параметров, которые нужно оценить.
В [1] для оценивания параметров стохастической волатильности предложены метод моментов и построение оценки квазиправдоподобия. В данной работе предлагается построить оценки неизвестных параметров методом последовательного анализа и использовать для оценивания фильтр Калмана — Бьюси.
Метод последовательного анализа. Рассмотрим возможность построения оценки методом последовательного анализа, этому методу посвящена работа Конева [4].
Модель SV может быть приведена к системе линейных уравнений без потери информации:
1 = +Лп , (16)
=«0 + «1*n-1 +avvn , (17)
где = logh2, Z = logyn - р Лп = logen - р.
Если шумы vn, en являются гауссовскими, т.е. vn, en ~ N(0,1), тоР = -1,27 , var(-pn) = я2/2 . Возвращаясь к (16), имеем
zn =«0 + «1Zn-1 , (18)
где = Лп - «1Лп-1 + avvп .
Это уравнение может быть переписано в виде
Z = ZT-16+tn , Z = (1,Zn )T . Гарантированная оценка для 6 строится на основе оценки Юла — Уокера, заданной следующими формулами:
N
6N = ^N1 Е Z-2Zn , (19)
n=2
N
GN = Е Z-2^п-1 ,
n=2
где G^1 — обратная матрица к G^ (которая по предположению существует). Оценка Юла — Уокера используется здесь вместо оценки, полученной методом наименьших квадратов, так как она является асимптотически несмещенной в предположении, что шум Лп ^ 0 в наблюдениях (16). Гарантированная оценка строится аналогично методу, описанному выше.
Выберем такую неубывающую последовательность ск , что ск > 0 и li mc^ = , при этом
1
Е - .
k>1 c
По мере наблюдения процесса {zn} последовательно находятся марковские моменты \ = Т(С^) по формуле
Г m 2
x(h) = inf jm > 2: Е \К-2|| >h > 0 I п = 2
Здесь || || — евклидова норма для векторов и матриц, т.е. ||в||2 = trB • . Для каждого х^k > 1 , модифицированная оценка Юла — Уокера определяется как
6(ф)) = ё-,^)
Ф)-1
Е Z - 2Zn + -2Zr(h)
n=2
(20)
G
■T(h)
4(h) -1 s Z-2ZT-1 +
n=2
T(h) - 2 ZT(h) -1
где ^(h) — корректирующий множитель, единственным образом определяющийся уравне-
T(h) -1
S ||Z-2II
n =2
T(h) - 2
= h.
Для того чтобы закончить процедуру, введем параметр Н > 0 , определяющий последовательный план (Ы(Н), 6 (Н)) , который состоит из длительности ^(Н) и оценки 9 (Н):
П(Н) =т(с0) +1 ,
f
0*(H) =
Y
(21)
Г ^ Г ^9.
„ ^=1 ^ =1
V-1 У -1
Здесь ст — количество оценок типа (20), вошедших во взвешенное среднее, при этом ст определяется формулой
ст = ct(H) = inf jk > 1 : SD - H
j =1
где Dj = b (c j определяется следующим образом:
b(h) =
h
-2
II^tmI 0,
,detG-h) > 0,
detG
-1
T(h)
= 0.
В [4] было показано, что для любого Н > 0 последовательный план (^(Н), 9 (Н)) обладает свойствами:
1) Н(Н) с вероятностью Р9 — почти наверное;
2) зирЕ|б*(Н) -9|2 < Н - Р = 2 (0* + 2ст^£
' k>1 ck
Фильтр Калмана — Бьюси. Вычислительные аспекты алгоритмов оценивания параметров в моделях стохастической волатильности связываются обычно с фильтром Калмана — Бьюси [5].
Для оценки волатильности x = logh2 естественно было бы воспользоваться оптимальной в среднеквадратическом смысле оценкой:
mn = E(xn|^1,...,^), Yn = E(Xn -mn)2.
К сожалению, нелинейность рассматриваемой модели делает задачу отыскания mn в явном виде почти безнадежной. Поэтому необходимо линеаризовать модель и далее воспользоваться теорией гауссовской линейной фильтрации Калмана — Бьюси.
Будем рассматривать систему линейных уравнений (16), (17). Тогда при допущении, что
m n = E (xn ,..., z j и дисперсия Yn = (x - m n j , соответствующая система рекуррентных
уравнений оптимальной линейной фильтрации, определяющая эволюцию величин mn и yn , имеет следующий вид:
mn+1 = (a0 + a1mn ) +
«1 'Yn
1 + Yn
Z+1 -Yn
!n+1
(«1 Yn + )-
'Yn ]2
+ Yn
(22)
(23)
с начальными данными
m0 = Ex,, Y0 = D*0.
(24)
2
2
1
2
Объявив параметр «0 = 0 в (17), а также дополнив второе слагаемое в (16) множителем а^, играющим роль интенсивности шумов наблюдений, рассмотрим модифицированную линейную систему уравнений
1л+1 = Л+1 +1, (25)
Л + 1 = + + 1 . (26)
Последовательная оценка на основе метода наименьших квадратов будет иметь вид
«1 =
Е Zn + Z
n =1_
х ✓ ч '
Е(п -*Л)
(27)
п =1
где х — момент остановки процедуры, определяемый следующим образом:
х = х(Н) = minjm : Е (z2 -°Л)>H.
п=1
Для этой системы оптимальная оценка тП и ее ошибка уп удовлетворяют системе рекуррентных уравнений оптимальной линейной фильтрации
тп+1 =
(«1 mп )+
«1 Тп
аЛ +Тп
Z+1 - тп
Тп+1 =| «1 Тп + av I 2 -
ОЛ + Оп
[«1 • Тп ]
(28)
(29)
с начальными данными типа (24).
Выполненные нами вычислительные эксперименты показали, что модифицированная система типа (25)—(26) является адекватной моделью, описывающей реальные данные.
Заключение
В результате работы были получены оценки параметров функциональной волатильнос-ти в авторегрессионной модели условной неоднородности методом последовательного анализа на основе модифицированной оценки МНК. Важным свойством этой оценки является то, что она строится с априорно заданной среднеквадратической точностью и процедура построения оценки сходится при любых начальных значениях параметров модели. Разработан алгоритм оценивания функции стохастической волатильности с применением фильтра Кал-мана — Бьюси. Результаты моделирования показали, что ARCH- и SV-модели хорошо описывают реальные данные. Это позволяет сделать хороший прогноз на будущую динамику финансовых индексов, что является особенно актуальным в последнее время, когда активность на финансовых рынках постоянно растет.
2
Литература
1. Шепард Н. Статистические аспекты моделей типа ARCH и стохастическая волатиль-ность / Н. Шепард // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 1996. — Т. 3, вып. 6. - С. 764-826.
2. Лоскутов А.Ю. К проблеме описания финансовых временных рядов. III. ARCH-моде-ли на финансовом рынке России / А. Ю. Лоскутов, А. А. Бредихин // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2004. — Т. 11, вып. 3. — С. 1-12.
3. Robert F. Engle. Bayesian Analysis of Stochastic Volatility Models / Robert F. Engle // Journal of Business and Economic Statistics. — 1994. — V. 12, № 4. — P. 395—397.
4. Konev V.V. Guaranteed estimation of parameters in stochastic volatility models / V.V. Konev // 26th International congress of actuaries. — 1998. — V. 7. — P. 121—135.
5. Ширяев А.Н. Вероятность / А.Н. Ширяев. — М. : Наука, 1980. — 576 с.
