Линейный фильтр Калмана-Бьюси с авторегрессионными сигналом и шумом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.21 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 3

МБС 60035, 60010

Линейный фильтр Калмана—Бьюси с авторегрессионными сигналом и шумом*

Т. М. Товстик

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Товстик Т. М. Линейный фильтр Калмана—Бьюси с авторегрессионными сигналом и шумом // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 3. С. 452-463. https://doi.org/10.21638/11701 /spbu01.2018.309

В задаче фильтрации Калмана—Бьюси наблюдаемый процесс является суммой полезного сигнала и шума, причем начало фильтрации совпадает с началом наблюдений. В литературе рассматривается фильтрация Калмана—Бьюси как для скалярных, так и для векторных марковских процессов. В настоящей работе рассматривается линейная задача фильтрации Калмана—Бьюси для системы, у которой как сигнал, так и шум не являются марковскими процессами. Сигнал и шум являются независимыми стационарными процессами авторегрессии, порядок которых больше единицы. Выводятся рекуррентные уравнения для фильтрации, ошибки фильтрации и для ее условных взаимных корреляций. Рекуррентные соотношения используют ранее найденные оценки и несколько последних наблюдаемых значений. Предлагается оптимальный способ задания начальных данных. Получаются алгебраические уравнения для предельных значений ошибки (дисперсии) фильтрации и взаимных корреляций. Корни этих уравнений позволяют судить о сходимости процесса фильтрации. Приводятся примеры, в которых процесс фильтрации сходится, и примеры, в которых он не сходится. Для контроля теоретических формул фильтрации и ее ошибки используется метод Монте-Карло.

Ключевые слова: фильтр Калмана—Бьюси, процессы авторегрессии высокого порядка.

1. Введение. В математической модели динамической системы на вход поступает случайный сигнал со случайным шумом, на выходе системы ведутся наблюдения суммы сигнала и шума. По этой сумме нужно найти линейную или нелинейную оценки сигнала. Такая оценка одного процесса по наблюдениям за другим процессом, который коррелирует с первым, называется фильтрацией. Исторически сначала были разработаны методы фильтрации, основанные на наблюдениях по всему прошлому [1—4].

В фильтрации Калмана—Бьюси начальный момент фильтрации совпадает с начальным моментом наблюдений. Первоначально этот вид фильтрации для дискретного времени был предложен в [5], а для непрерывного времени — в [6]. В последующих работах [7-10] для обоих видов фильтрации рассматриваются векторные динамические системы, в основном, в марковском варианте.

В случае фильтра Калмана—Бьюси задача фильтрации решается с помощью рекуррентных уравнений. В связи с этим исследуются вопросы существования и устойчивости решения.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 17-01-00267а). (¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2018

2. Алгоритм рекуррентных уравнений фильтрации Кальмана—Бьюси и ошибки фильтрации. Пусть наблюдаемый процесс (г является суммой двух независимых процессов, представляющих сигнал 6г и шум

Сг = + т- (1)

Процессы 6г и предполагаются некоррелированными стационарными в широком смысле последовательностями авторегрессии порядков п и т (АР(п) и АР(т)) с известными параметрами

п т

У]ак 6 г—к = ао = 1, Пг—к = а?е?(Ь), Ъ0 = 1. (2)

к=0 к=0

Здесь £\(Ь) и (Ь) —некоррелированные последовательности, причем

Ее<(Ь) = 0, Ее?(Ь) = 1, Ее^(Ь)е^(в) = 5и5ц, г,] = 1,2, (3)

где 5к] —символ Кронекера. У характеристических полиномов а(г) = ЕП=о акгп—к и Ь(г) = т=о Ькгт—к корни по модулю меньше единицы, что обеспечивает стационарность процессов [3].

Стационарные последовательности 6г и п имеют спектральные плотности [3]

1 а? „,,,1 а?

Ш 2тг|££=0 Г Ш 2тг| Е^о^^Г

Из (1)-(3) следует, что Е£г = Е6г = Е^г = 0. Дисперсии а?, а? и корреляции Кв(к) = Е6г+к6г, Кп(к) = Е'цг+кщ, к = 0,1,..., процессов 6г и пг можно найти из уравнений Юла—Уокера [11], которые, например, для процесса 6г имеют вид

У^ак Кв (г - к) = 0, г = 1, 2,...,п, ^ак Кв (к) = а?. (4)

?.

к=0 к=0

Коэффициенты корреляций процессов 6г и г/г будем обозначать рв(к), рп(к), к = 0,1,... При сделанных предположениях вторые моменты процессов 6г и пг ограничены [3] и, следовательно, = Е6? + Е-ц? < ж.

Пусть ^ = а{ш : £о,..., —наименьшая а-алгебра, порожденная величинами

!Со,...,Сг}.

Задача фильтрации Калмана—Бьюси состоит в прогнозе процесса 6г при Ь > 0 по наблюдениям за процессом £г,Ь > 0.

В работе [9] рассмотрен случай т = п =1. Ниже исследуется более общий случай п > 1, т > 1.

Исключив из рассмотрения процесс цг, который является шумом, получим уравнения для процесса Сг при п > т в виде

т т п

Сг+1 = Ьк Сг+1—к(ак - Ьк )6г+1—к - ^ ак 6г+1—к + а1 е^Ь + 1)+а? е?(Ь + 1)

к=1 к=1 к=т+1

и при п < т в виде

т п т

Сг+1 = Ьк Сг+1—к(ак - Ьк )6г+1—к + ^ Ьк 6г+1—к + а^1(Ь + 1) + а?е?(Ь +1).

к=1 к=1 к=п+1

В связи с тем, что изучение случаев п > т, п = т и п < т проводится аналогично, будем рассматривать их одновременно, введя следующие обозначения:

■ = шах{п, т}, ак = 0, к > п, Ь^ = 0, г > т. (5)

Тогда процессы 6г и Сг будут удовлетворять системе уравнений

0г+1 = ан 0ь+1-к + а + 1),

^ (6) т ,ш 4 '

Сг+1 = - ЬкСг+1-к - (ак - Ьк)0г+1-к + + 1) + + 1).

к=1 к=1

Так как из двух зависимых процессов и 6г наблюдается только один, то пару (С, 6) называют частично наблюдаемой последовательностью.

Оценку процесса 6г и ее ошибку относительно а-алгебры ^ обозначим, соответственно,

¡г = ), ъ = Е[6 - ¡¡)2№]. (7)

При ■ > 1 в рекуррентные уравнения, по которым можно вычислять ¡лг и 7г, входят взаимные условные ковариации

К[з] = Е[(6 - л)(6- - л]. (8)

В случае фильтра Кальмана—Бьюси условные ошибки , как и условные ковариа-ции К г[в], совпадают с безусловными [9]. Введем случайные величины

6ь+1 = 6- Е(64+1 ), Сг +1 = 0. + 1 - Е((г +1 №) и их условные ковариации относительно а-алгебры ^

Би(г) = сау(6тД+1^) = Е{(6т)2},

Б^) = ссу(04+1,Сг+1 №) = Е{6г+1)^ }, (9)

Б22(1) = са-у(0,+1,0+1^) = Е{(°+1)2 }.

В [9] рассматривается задача фильтрации Калмана—Бьюси, в которой процессы 6г и гц являются стационарными процессами авторегрессии первого порядка (марковскими процессами). В случае, когда процессы 6г и % гауссовские, оценки тг и находятся на основании теоремы о нормальной корреляции [9], которая для гаус-совской случайной величины дает формулу оптимальной оценки и ее ошибки по значениям другой (зависимой) случайной величины. Согласно теореме о нормальной корреляции имеем

= Е№+1|{^с,Ст}) = + - Е(с4+1|^)], (10)

Б22 (!)

Ъ+1 = СОУ(0(+1, в1+0+1» = Ви(г) - (11)

Б22(!)

В [9] доказывается, что если процессы 6г и цг не гауссовские, но некоррелированны, а вторые моменты процессов (6) ограничены, то оптимальная (в среднеквад-ратическом смысле) линейная оценка 6г относительно Ся, 0 < в < Ь, и ее ошибка удовлетворяют равенствам (10), (11).

Из (6) следует

п

Е(6г+1\Г£) = - ак 1^г+1—к, к=1

т ш

Е(Сг+1\^гС) = - Ьк Сг+1—к -^2 (ак - Ьк )^г+1—к.

Ьк цг+1—к к=1 к=1

Для вычисления ковариаций (9) находим соответствующие составляющие

(12)

6г+1 = - ЕГп=1 ак(6г+1—к - Цг+1—к) + а1 е1(Ь + 1),

Сг+1 = - ^2(ак - Ьк)(6г+1—к - Иг+1—к) + а^1(Ь + 1) + а?е?(Ь + 1). к=1

Вычисление ковариаций случайных величин (12) приводит к равенствам

п п— 1 п

Ви(Ь) = ^2 аЪг+1—к + 2^ ак аг Кг+1—к [г - к] + а?,

к=1 к=1 г = к+1

п ш — 1 ш

Вп(Ь) = У2 ак (ак-Ьк)1г+1—к + ^ ^ (ак (аг-Ьг) + аг (ак-Ьк))Кг+1—к [г - к]+а?

к=1 к=1 г=к+1

ш ш — 1 ш

В??(Ь) = ^2(ак - Ьк)2Ъ+1—к + 2^ У2 (ак - Ьк)(аг - Ьг)Кг+1—к[г - к] + а? + а"?.

к=1 к=1 г=к+1

(13)

Теорема. Пусть (С, 6) — частично наблюдаемая последовательность, удовлетворяющая уравнениям (6). Тогда при выполнении равенств (5) величины рг+1, 7г+1 и Кг+1[в] при Ь > V - 1, V = тах{п, т}, подчиняются следующим рекуррентным уравнениям:

к=1 В??(Ь)

Сг+1 + ^2 Ьк Сг+1—к + ^2(ак - Ьк)иг+1—к

Ьк цг+1—к к=1 к=1

(14)

ъ+1 = Вп(г) - (15)

В??(Ь)

Кг+1[в] = ак [(1 - бкя)Кг+1—т[п(к,я) [\к - в\] + ¿к^г+1—з] +

к=1

В12(Ь) ш

)[\к - в\] + бкя^г+1—4 , (16)

В??(Ь) —

к=1

512 (_ Ь)

к=1

где в = 1, 2,...,т — 1, условные корреляции К+^в] определены в (8), а корреляции Б^ (€) находятся по формулам (13).

Доказательство. Из формулы (10) следует (14). Из (6) и (10) получаем

#4+1 - М«+1 = ^+1 - -=г7ТТТС4+1 = ^+1 - 1- (17)

Е(&)2 Б22 (!)

Вычисление математических ожиданий от квадратов случайных величин с обеих сторон равенства (17) приводит к формуле (15). Используя формулы (12) и (17), получаем

п

$t+i — Mt+i — — ak(@t+i-k — lt+i-k) + ai£i(t +1) —

k=i

Bi2 (t)

B22 (t)

— y^ (ak — bk )(0t+i-k — Mt+i-k) + ai £i(t + 1) + £2(t + 1)

k=i

• (18)

Умножение обеих частей равенства (18) на (0t+i-s — it+i-s) с последующим вычислением условных математических ожиданий относительно a-алгебры Ff приводит к равенству (16). Здесь учитывается равенство

z { Yt, t — s,

E{(0t—it)(0s—is)\Fmax(t,S)} — „ r, n (19)

[ ^max(t,s)[\t — s\], t — S^

Теорема доказана.

3. Предельная ошибка фильтрации. Будем говорить, что предельная ошибка фильтрации существует, если пределы

Y^ —lim Yt, Кж [s] — lim Kt[s], s — 1, 2,^,w — 1, (20)

t^ж t^ж

полученные из уравнений (14)—(16), конечны и удовлетворяют условиям А:

1) 0 < Yto < ж,

2) \KTO[s]\ <Y~, 1 < s < w — 1,

3) ковариационная матрица, составленная из предельных дисперсии и ковари-аций (20), является положительно-определенной.

Уравнения (13) и (14)—(16), если в них перейти к пределу при t ^ ж и воспользоваться обозначениями Bi j — limt^TO Bi j(t), i,j — 1,2, i < j, принимают вид

n n-i n

Yж — ak +2^ akar Кж[г — k] + a\ — BX2IB22,

k=i k=ir=k+i

n

KTO[s] — — ak [(1 — Sks)K,x[\k — s\] + 4sY~] + (21)

k=1 B w

+ 75— У~](ak - bk) [(1 - Sks)K00[\k - s|] + 4s7oo] , B22 k=1

где корреляции Вц определяются равенствами

ад — 1 w

В12 ак (а к - Ък + (ак (аг - Ьг) + ат (ак - Ък ))Кж[т - к] + а2

к=1

к=1г=к+1 ^ — 1 w

В22 =^2(ак - Ък)21ж + 2^ (ак - Ък )(аг - К )Кж[т - к] + а"2 + а\.

к=1 к=1 г=к+1

Назовем уравнения (21) предельными. Если предельные уравнения дают несколько решений, удовлетворяющих условиям А, то одно из них совпадает с решением, полученным из рекуррентных уравнений (14)—(16) при £ — ж (см. ниже пример 3 при ап = 0.3). Если предельные уравнения не имеют решений, удовлетворяющих условиям А, то и уравнения (14)—(16) не дают такого решения. Подтверждением является пример 3 при ап = 1 и пример 2, в котором ошибка фильтрации — ж при £ —у ж (см. раздел 5 статьи).

Если решение рекуррентных уравнений не приводит к конечным значениям, это свидетельствует о том, что шум «поглощает» сигнал.

4. Задание начальных данных. Процесс наблюдается в моменты времени £ = 0,1,..., и при этих же значениях £ вычисляется прогноз ¡лг и его ошибка процесса вг. Рекуррентные формулы (14)—(16) действуют при £ > и>, поэтому их нужно дополнить начальными данными при 0 < £ < и> - 1.

Согласно теореме о нормальной корреляции при £ = 0 получаем

Ио

соу(6>о,Со) соу(Со,Со)

Со,

■70

22 +

(22)

остальные начальные значения ¡лг и тоже выводятся из этой теоремы.

В начальные прогнозы щ при 1 < Ь < ю - 1 входят ^ и, соответственно, и щ. Но процессы при £ < п и щ при £ < т не могут подчиняться уравнениям (2), так как они наблюдаются с момента £ = 0, а при I < 0 они не заданы. С другой стороны, корреляции процесса при 1 < £ < и> - 1 должны совпадать с заданными. Чтобы удовлетворить этим требованиям, процессы и щ при 1 < £ < и> - 1 будем аппроксимировать процессами авторегрессии, порядок которых может быть меньше, чем п и т, соответственно, но первые £ корреляций у каждого из них будут совпадать с корреляциями исходных процессов (2). Процессы и % представим в виде процессов авторегрессии

0г+1 = -^2 ак+1°г+1-к + а1+1)£1(г + 1), по = шт(г +1,п), 0 < г < ю - 2,

Пг+1

к=1 то

-^2 Ъ к Пг+1-к + а^1 £2^ + 1), то = шт^ + 1, т).

к=1

(23)

При £ + 1 > п получаем по = п и коэффициенты процесса вг+1 в (23) совпадают с коэффициентами вг в (2):

Лг+1)

= ак, к = 1,... ,п, а^1 = а1, по = п, £ + 1 > п.

к

При £ +1 < п коэффициенты в (23) находим из системы Юла—Уокера

4+1 4+1

]Г4т)Де(г - к)=0, г = 1, 2,...,£+1, = 1, ]Гак4+1)Де(^) = (а|4+1)}2,

к=о к=0

(24)

в которой исходными данными являются Кд(к) —корреляции процесса (2), и поэтому первые £ +1 корреляций процесса в4+1 из (23) такие же как и у процесса (2). Однозначное решение системы (24) при любом 0 < £ < п — 1, следует из положительной определенности корреляционной матрицы вектора (08+1, #я+2,..., $я+п) при любом в.

Аналогичный результат получаем для процесса гц в (23), а именно, при £+1 > т имеем

Ъ\кт) = Ьк, к = 1,...,т, а2'+1) = а2, то = т, £ +1 > т, а если £ +1 < т, то коэффициенты в (23) получаем из системы Юла—Уокера

4+1 4+1

^ък:+1)Яп(г — к) = 0, г = 1, 2.....4+1, ьО^ = 1, £Ъ^ Щ{к) = (4т))2.

=0 =0

(25)

Если у процесса (¿+1 при 0 < £ < т — 2 составляющие имеют вид (23), то начальные значения пары процессов (6) при по = шт(£ + 1,п) и то = шт(£ + 1, т) принимают вид

по

,(¿+1) а.. . , _1_

0г+1 = — акт)#4+1- к + а^+^е^г + 1), V = max(mо, по),

(26)

=1 то

(4+1 = — £ Ъ к4+1)С4+1- к — £(а к4+1) — ъ к4+1))^4+1- к + =1 =1 +а(4+1)е1 (£+1)+ а^1^^ + 1).

Система (26) отличается от системы (6) тем, что величины

п, т, т, ак, а1, Ък, а2,

входящие в (6), заменяются, соответственно, на

п т „ а(4+1) а(4+1) Ъ(4+1) а (4+1) nо, mо, v, ак , а1 , ък , а2 .

Значит, с учетом этих замен при £ < т будут справедливы формулы (13) и (14)—(16). При £ > т переходим к основному алгоритму, описываемому формулами (14)—(16).

Итак, для вычисления начальных значений фильтрации ¡л4 и ее ошибки 74 при 0 < £ < т — 1 были найдены начальные представления (23)—(25) процессов в4 и п4 при тех же причем их корреляции при 0 < в < т — 1 совпадают с корреляциями процессов (2).

5. Примеры. Во всех примерах сигнал в4 будет процессом АР(3) с ст^ = 1, в4 — 2.5в4-1 + 2.33в4-2 — 0.80104_з = 0.093е1(£), рд (1) = 0.924.

а

t

л . V --1-1-1-1-

Г ' 20 40 60 80 100

Рис. 1. Графики функций вь (пунктирная линия), щ (сплошная линия) и л при ап = 1 (а); а-п = 2 (б) в условиях примера 1.

В первом примере пределы (20) существуют и конечны. Во втором примере — ж при £ — ж и, следовательно, прогноз процесса невозможен. В третьем примере при ап < 0.3 пределы (20) существуют, а при ап > 0.4 не существуют, но ошибки фильтрации колеблются, оставаясь ограниченными, и поэтому фильтрация Кальмана—Бьюси возможна.

Пример 1. Пусть шум щ является процессом АР(2):

Пг - 1.4пг-1 +0.85^-2 = 0.344£2(1), ап = 1, рп(1) = 0.757.

В этом и других примерах начальные значения фильтрации щ и ошибки при £ = 0,1, 2 определяем согласно п. 4.

На рис. 1, как и на остальных рисунках, приведены графики процесса вг, его фильтрации щ и ошибки фильтрации 7г.

С целью оценки влияния дисперсии шума на фильтрацию были проведены также расчеты с ап = 2 и ап = 0.5. Для ап =2 графики приведены на рис. 1, б. Видим, что увеличение дисперсии шума приводит к большему расхождению сигнала и фильтрации.

Ошибка фильтрации и ковариации Кг\г],г = 1, 2, стабилизируются при £ « 40, их предельные значения при трех значениях ап даны в табл. 1.

Замечание. Подтверждением того, что предложенный способ выбора начальных данных является оптимальным, послужил эксперимент с использованием метода Монте-Карло. Были промоделированы гауссовские процессы и щ с исходными

данными из примера 1. Пусть , yts\ zts\ 0 < t < M, 1 < s < N — реализации процессов 9t, r/t и Zt ■ При M = 100 моделирование было повторено N = 5000 раз.

Рассмотрим две статистики ф(т) и которые будем использовать для получения соответствующих критериев. Статистика

AT) \xt - ßt\ г— _ 1 (s) _ 1 О)

фу ' = max -=— V iv, xt = — > xf , ш = — > u: ,

о<t<T J^Z ' N ^ 4 ' h t

v Jt s=1 s=1

вычисляет максимальное при 0 < t < T расхождение нормированных выборочных средних Xt и ßt. Статистика

дает аналогичную оценку для ошибок фильтрации и их выборочных оценок 7г. В последней формуле Б"2 обозначает выборочную дисперсию . При уровне значимости /3 = 0.05 и А,? = 1.96, где = 1-/3, /(¿) = ехр(-г2/2)/^

выполнение неравенств ф(т) < Ар, Ф(т) < Ар при Т > ю согласуется с гипотезой, что - ) = при £ < Т .В табл. 1 для трех значений ап приведены величины статистик ф(1о) и Ф(1о), из рассмотрения которых можно судить о согласовании начальных данных с решением, полученным с помощью рекуррентных уравнений.

Таблица 1.

<Уц 0(10) ф(Ю) 7оо ЛГоо[1] Коо[2]

0.5 1.53 1.54 0.222 0.154 0.045

1 1.19 1.47 0.864 0.595 0.175

2 1.30 0.92 3.432 2.358 0.697

Пример 2. Пусть шум щ является процессом АР(2):

Пг + 1.6Пг-1 + 0.89пг-2 = 0.243£2^), ап = 1, рп (1) = -0.847.

Модуль фильтрации и ее ошибка быстро растут, поэтому нет возможности прогнозировать процесс вг, используя формулы (14)-(16). Предельные уравнения не дают решений, удовлетворяющих условиям А. На рис. 2 приводятся графики процесса 9г, фильтрации и ошибки фильтрации .

" Mt

■ 20

Рис. 2. Графики функций 9 t (пунктирная в условиях примера 2.

), ßt (сплошная линия) и jt при а^ = 1

20 40 60 80 100

Рис.3. Графики функций вь (пунктирная линия), щ (сплошная линия) и л при ап = 1 (а); ап = 0.3 (б) в условиях примера 3.

Данный пример показывает, что не всегда можно пользоваться предложенным выше методом фильтрации.

Пример 3. Шум п4 является процессом АР(3):

П4 — 1.4^4-1 + 0.2^4-2 + 0.216^4-3 = 0.1087£2СО, Рп (1) = 0.991.

При ап > 0.4 вычисления по рекуррентным формулам (14)-(16) приводят (^4, К4[1], К4 [2]) к двум чередующимся вариантам, в частности, при ап = 1 и Ь > 200 их значения приведены в табл. 2.

Таблица 2.

1 11 1 КЬ[1] 1 Кг[2] | | 7(+1 | А'4+1[1] 1 ^4 + 1И |

| 0.951 | 0.902 | 0.812 | | 0.906 | 0.882 | 0.812 |

Предельные уравнения (21) не дают ни одного решения, удовлетворяющего условиям А. На рис. 3, а приводятся графики процесса в4 и фильтрации ¡л4, а также график 74 при ап = 1.

Если ап < 0.3, то предельные уравнения (21) дают два варианта предельных значений, при ап = 0.3 они приведены в табл. 3.

Таблица 3.

№ 7оо Л'оо[ 1] Л'оой

1 0.111 0.109 0.106

2 0.141 0.139 0.133

Вычисления по рекуррентным формулам (14)—(16) приходят к варианту №1 в табл. 3. На рис. 3, б приведены графики 6t, pt и Yt при аГ1 = 0.3.

6. Обсуждение. Во всех примерах модули корней характеристических полиномов близки к единице. Чем дальше модули корней от единицы, тем более устойчиво ведет себя система, что приводит к конечности предельных величин (21). Во всех примерах приведены первые коэффициенты корреляций сигнала и шума. Если w > 2 и у сигнала и шума коэффициенты корреляций по модулю близки к единице и противоположны по знакам, то это может привести к неограниченному росту ошибки фильтрации Yt (см. пример 2).

Литература

1. Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных процессов // Изв. АН СССР. Математика. 1941. №5. C.3-14.

2. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time-series. Cambridge, 1949. 243 p.

3. Розанов Ю.А. Стационарные случайные процессы. М.: Наука, 1990. 271с.

4. Товстик Т. М. Стационарные случайные процессы с рациональными спектральными плотностями. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000. 84 с.

5. Kalman R. E. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems // Journal of Basic Engineering. 1960. P. 35-45.

6. Kalman R.E., Bucy R. S. New results in linear filtering and prediction theory // Journal of Basic Engineering. 1961. P. 95-108.

7. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана—Бьюси. М., 1982. 200 с.

8. Фомин В. Н. Операторные методы теории линейной фильтрации случайных процессов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996. 306 с.

9. Ширяев А.Н. Вероятность —2. М.: Изд-во МЦНМО, 2004. 408с.

10. Граничин О.Н. Введение в методы стохастической оптимизации и оценивания. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 131 с.

11. Yule G. U. On a method of investigating periodicities in disturbed series, with special reference to Wolfer's sunspot numbers // Phil. Trans. Royal Soc. A. 1927. Vol.226. P. 267-298.

Статья поступила в редакцию 13 декабря 2017 г.; рекомендована в печать 22 марта 2018 г.

Контактная информация:

Татьяна, Михайловна Товстик — канд. физ.-мат. наук, доц.; peter.tovstik@mail.ru

Linear Kalman—Bucy filter with an autoregressive signal and noise

T. M. Tovstik

St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Tovstik T. M. Linear Kalman—Bucy filter with an autoregressive signal and noise. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2018, vol. 5(63), issue 3, pp. 452-463. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.309

In the Kalman—Bucy filter problem the observed process consists of a sum of a signal and of a noise. The filter begins simultaneously with the beginning of observation, and it is necessary to estimate a signal. As a rule, this problem is studied both for scalar and for vector Markovian processes. In this paper, the scalar linear problem is considered, but a signal and a noise are independent stationary autoregressive processes with orders larger than unit. The recurrent equations for the filter process, for its error, and for its condition

correlations are obtained. These recurrent equations contain the previous estimates and some last observed data. The optimal definition of initial data is proposed. The algebraic equations for the limit values of the filter error and for the limit cross-correlations are delivered. The roots of these equations lead to a criterion of the filter process convergence. Some examples at that the filter process converges or not converges are given. The Monte-Carlo method is used for a control of theoretical formulas for the filter and its error. Keywords: Kalman—Bucy filter, autoregressive processes of high order.

References

1. Kolmogorov A. N., "Interpolation and extrapolation of stationary random processes", Izv. AN USSR. Mathematics (5), 3-14 (1941) [in Russian].

2. Wiener N., Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time-series (Cambridge, 1949, 243p.).

3. Rozanov Ju.A., Stationary random processes (Nauka, Moscow, 1990, 271 p.) [in Russian].

4. Tovstik T. M., Stationary random processes with rational spectral densities (St. Petersburg Univ. Publ., St. Petersburg, 2000, 84p.) [in Russian].

5. Kalman R. E. "A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems", Journal of Basic Engineering, 35-45 (1960).

6. Kalman R. E., Bucy R. S., "New results in linear filtering and prediction theory", Journal of Basic Engineering, 95-108 (1961).

7. Brammer K., Siffling G., Kalman—Bucy—Filter. Deterministische Beobachtung und Stochastis-che Filterung (Munchen, 1975).

8. Fomin V. N., Operator methods of linear filter random processes (St. Petersburg Univ. Publ., St. Petersburg, 1996, 306 p.) [in Russian].

9. Shiryaev A. N., Probalility — 2 (MTsNMO Publ., Moscow, 2004, 408 p.) [in Russian].

10. Granichin O.N., An introduction to methods stochastic optimization and estimation (St. Petersburg Univ. Publ., St. Petersburg, 2003, 131 p.) [in Russian].

11. Yule G. U., "On a method of investigating periodicities in disturbed series, with special reference to Wolfer's sunspot numbers", Phil. Trans. Royal Soc. A 226, 267-298 (1927).

Author's information:

Tatiana M. Tovstik — peter.tovstik@mail.ru