CC BY
49
УДК 004.3 DOI: 10.17213/0321-2653-2014-6-27-31
ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛА ДЛЯ МОДЕЛИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ
ВОЛАТИЛЬНОСТИ
© 2014 г. И.В. Мисюра
Мисюра Илья Владимирович - аспирант, Южный федеральный университет. Тел. (863) 2-444-601. E-mail: ilya. misyura@gmail.com
Misyura Ilya Vladimirovich - post-graduate student, Southern Federal University. Ph. (863) 2-444-601. E-mail: ilya.misy ura@gmail.com
Рассматривается задача фильтрации сигналов со скачками, происходящими в случайные моменты времени на фоне белого шума. Методы нахождения нелинейной оценки сигнала со скачками приложены к модели стохастической волатильности, которая описывает природу многих явлений. Результатом работы является описание резкого изменения траектории сигнала с помощью изменчивой вола-тильности, а также синтез нелинейных фильтров, которые позволяют найти оценку ненаблюдаемой части сигнала. Основная цель при этом - избежать излишнего сглаживания сигнала. Во многих приложениях, например в распознавании и анализе изображений, важная информация содержится в границе изображения. Применение линейных фильтров типа Калмана-Бьюси и Винера приводят к размытию границы и потери по этой причине важной для анализа и распознавания изображения информации.
Ключевые слова: фильтрация; метод Монте-Карло; уравнение Гамильтона, Якоби, Беллмана; уравнение Эйлера; фильтр Калмана-Бьюси.
The problem offiltering of signals with jumps occurring at random times on the background of white noise. Methods of finding the nonlinear signal evaluation with shocks applied to the stochastic volatility model, which describes the nature of many phenomena. The result is a description of a sharp change in the signal path using the variable volatility and also the synthesis of nonlinear filters that allow you to find an estimate of the non-observed signal. The main objective is avoiding excessive smoothing signal. In many applications, such as image recognition and analysis, important information is contained in the boundary of the image. The use of linear filters such as Kalman-Bucy and Wiener lead to blurring boundaries and the loss of important for the analysis and recognition of image information.
Keywords: filtering; Monte Carlo method; Hamilton equation; Jacobi equation; Bellman equation; Euler equation; Kalman-Bucy filter.
Введение
В статье рассматривается вычисление нелинейной оценки сигнала со скачками. Под скачком будем понимать резкое изменение траектории, при этом траектория может быть непрерывной. Вопросам нелинейной фильтрации уделяется значительное внимание в литературе, начиная с работы Р. Липцера и А. Ширяева [1], в которой получены уравнения для оптимальной в среднеквадратическом смысле оценки сигнала для условно-гауссовских апостериорных распределений сигнала. Среди основных монографий, посвященных нелинейной фильтрации сигналов, следует упомянуть работы A. Bain, D. Crisan [2] и Schuss Z. [3], в которых используется стохастический анализ для вывода уравнений нелинейной фильтрации. Уравнения нелинейной фильтрации, как правило, настолько сложны, что не удается привести уравнения к замкнутой форме.
Основная задача фильтрации заключается в следующем. Для двухкомпонентного процесса Zt = ( Xt, Yt )
на полном вероятностном пространстве (Q, F, P) требуется для заданной функции f вычислить условное математическое ожидание
M ( f ) = E ( f ( Xt ) / FY ) .
Фильтрация Ff определяется стандартным образом Ff = ст(ст(Г5 :0 < 5 < t)v N), где N - семейство
событий нулевой вероятности на полном вероятностном пространстве (Q, F, P). Предполагается, что Z -
cadlag процесс, поэтому Ff = Ff . Аналогично определяются фильтрации Ff и FtX . Наиболее популярной является диффузионная модель:
dYt = A (Xt) dt + dWt; t v tf t (1)
dXt = a (Xt) dt + b (Xt) dUt.
В этой модели процессы W и U - независимые винеровские процессы относительно некоторой общей фильтрации Ft со стандартными условиями полноты и непрерывности справа. Естественным выглядят вложения о -подалгебр Ff с FtX f с Ft и
FtX с FtX f с Ft. Если t
EJ|A (Xs )| ds , (2)
0
t
то инновационный процесс It = Yt -J Ms (A) ds явля-
0
ется винеровским процессом. Второе уравнение имеет единственное непрерывное сильное решение при выполнении локального условия Липшица и условия линейного роста:
|а (х)- а (у)| + \Ь (х)- Ь (у)| < k (п)|х - у|,
при|х| < п,|у < п,
|а ( х)|+ |Ь ( х)|< k (1)| х.
При этом для выполнения условия (2) достаточно абсолютной интегрируемости функции А (х) на интервале [0, t]. Так как инновационный процесс является винеровским процессом, то для процесса М1 (f)
можно записать стохастическое дифференциальное уравнение Кушнера - Стратоновича [2, 3]:
М (/) = м,(о/) а+[М( (/А) - м,(/) м,(А)] л,. (3) Генератор О процесса X имеет следующий вид:
д/Ь2 (х) д2/
Gf = а (х Н- +
дх
2 дх2
Стратоновича, связанных либо с линериализацией нелинейных уравнений (1), либо с методами малого параметра. Обзор этих методов можно найти в работе [3].
Альтернативой условному математическому ожиданию является оценка, полученная в результате минимизации функционала энергии шума:
min J (х (.)) = j
х(.)/х(0)=хо 0
(Y (t)-A ( х (t))) ( х (t)-а ( х (t )))2
b2 (х(t))
dt.
Если Ь (х) = Ь , то уравнения Гамильтона - Якоби -Беллмана для функции Беллмана
S (t, х) = min
х(. ([t ,T ])/x(í )=v
(Y (s)-A (х (s))) +
( х ( s )-а ( х ( s )))2
Наилучшей среднеквадратической оценкой X; по наблюдаемой траектории (Ys ,0 < 5 <;) является условное
математическое ожидание М( (х) = Е (Х; / ^), для которого уравнение (3) приобретает вид
аМ; (х) = М{ (а) Ж + [М{ (хА) -М{ (х)М{ (А)] х х^ -м( (А)а;].
В этом уравнении участвуют четыре неизвестных процесса: (х),(а),(хА) и (А). Для того
чтобы получить замкнутую систему уравнений, необходимо установить дополнительные связи между этими процессами. Наиболее простые соотношения получаются в линейном случае (Фильтр Калмана - Бьюси [2, 3]):
А (х) = Ах, а (х) = ах, Ь (х) = Ь . (4)
В линейном случае возникает замкнутая система уравнений относительно двух неизвестных процессов
(х) и М( (х2), благодаря тому что условный закон распределения Law (Х; / FY) является нормальным законом распределения, для которого справедливо равенство
М{ (х3 )= М{ (х) 3М; (х2 )- 2М; ( х) .
Наиболее общий случай, связанный с условно-гауссовским распределением, рассмотрен в уже упомянутой работе [1].
Существует ряд достаточно трудоемких вычислительных методов решения уравнения Кушнера -
Ь2
будут иметь вид
дБ(;,х) Ь2 (дБ(;,х) д; 4 I дх
ds
+ а ( х)
dS (t, х)
дх
= -(Y - A (х ))2
(5)
с краевым условием Б (Т, х) = 0 . При этом оценка удовлетворяет уравнению:
*(t)= а(х(,))-Ь2 ®(х(t>,t)
dt
2
дх
(6)
Вместо уравнений (5), (6), основанных на принципе оптимальности, может быть использовано уравнение Эйлера:
х - а' (х) х - b2 (Y - A (х)) A (х) = 0,
(7)
которое является необходимым условием оптимальности решения. В линейном случае (4) уравнение (7) является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. В уравнениях (5) и (7) присутствует производная по времени случайного процесса Y. Для диффузионной модели почти все траектории являются непрерывными и не-дифференцируемыми функциями. Поэтому следует предварительно аппроксимировать процесс Y (;)
процессом с гладкими траекториями. Аналогичную оговорку следует сделать и относительно процесса X. И в первом, и во втором случае это связано с энергией
белого
шума: j ((W )2 +(U )2) ds
которая равна беско-
нечности. Поэтому естественно предположить, что в
+
+
+
2
уравнениях (1) вместо белого шума использован процесс с ограниченной энергией. В уравнении (7) оценка должна быть дважды дифференцируема, в то время как в уравнении (7) достаточно существования первой производной.
Модель стохастической волатильности
В литературе рассматривается семейство моделей под общим названием модели стохастической вола-тильности [4]. Мы остановимся на рассмотрении модели следующего вида:
dYt = A (Xt ) dt + dWt ; dXt = a ( Xt ) dt + y[z~tdUt ;
(8)
Law ^Xt / F/ ) является смесью нормальных законов.
Непосредственное использование (9) невозможно из-за неизвестного процесса Mt (z).
Один из способов преодолеть эту трудность состоит в использовании метода Монте-Карло. Для этого в уравнениях (9) заменим Mt (y) на траекторию Zt. Поскольку коэффициенты стохастического дифференциального уравнения
dZt = k (m - Zt) dt + ст Jz~tdVt
удовлетворяют глобальному условию Липшица, то существует непрерывная модификация процесса Z . Замена приводит к иному второму уравнению в (9):
dZt = k (т - Zt) dt + а^ ^ tdVt.
Винеровские процессы Ш, и, V являются независимыми процессами. В рассматриваемой модели присутствует трехкомпонентный процесс (7, X, Z), в
котором компонента 7 является наблюдаемой компонентой. Процесс Z оказывает опосредованное влияние на процесс 7 через процесс X. Особенность этой ситуации заключается в том, что в уравнении Кушнера - Стратоновича следует рассматривать функцию от двух переменных: f (с, у). В уравнении
генератор двухкомпонентного процесса (X, Z) имеет
следующий вид:
Gf = а (с+ k (т - у+
дх
dz
z + —
2
( -а
d 2 f ( x, z ) 2 d 2 f ( x, z )
dx2
- + CT
d2 z
Для функции f (с) = с в линейном случае получим следующую систему уравнений:
dMt (х) = aMt (х) dt + A Mt (x2 ) - (Mt (x))
dIt
dt +
+ A
dM't (x2 ) =
2aM't (x2 ) + Z
dt +
+A
Mi (x3 )-Mi (x)Mi (x2 )] dIt.
Выполнив несложные преобразования (9), в результате получим уравнения для приближенной оценки условного математического ожидания ЯЯt (с):
dMit (с) = аМ. (с) dt + Ау1 (/) Ш,.;
d rt =
2ayi - A2 (yt )2 + Z]
dt ;
(10)
dMt (x2 ) = 2aMt (x2 ) + Mt (y)
Mt (x3 )-Mt (x)Mt (x2 )] dIt ; (9)
Mt (x3 )= Mt (x) 3Mt (x2 )- 2M2 (x) .
Справедливость последнего равенства вытекает из того, что условный закон распределения
1 N 1 N
М, (с) = -ЕЯ (с),У, (с) = -Еу, (с).
N ¿=1 N .=1
В (10) использовано обозначение:
у, = М, (с2)-(М, (с))2,
заметим, что у - среднеквадратическая ошибка фильтрации. Для использования (10) необходимо генерировать в необходимом количестве траектории случайного процесса Z1. В связи с эти обратимся к третьему уравнению модели (8):
dZt = k (т - Zt) dt + алZtdVt.
Рассмотрим решетку (Ш) на R + и последовательность уравнений:
dZ j t = k ( m - Z j t ) dt + ст^Z j t dVt,
(/' -1) h < t < ih , : начальными условиями Z .-1 (. j)h , причем Z0 0 = m .
2
Аппроксимируем i-е уравнение приближенным уравнением
j,t - к (m - Z],t)dt + ^Zj-1,(j-1)h d" t
dZ j t - к (m -решение которого имеет вид
dVt
ZU - Zj-1,(j-i)h + m (1 - exp (-k (t - (j -1) h))) +
+ CTVZj-i,(j-i)h i exp(-k(t -s))dV . (11)
V (j-1 )h
Из уравнения (11) следует равенство
Zj,h - Zj-1,(j-1)h + m (!- exP(-kh)) + '
Ф(х) - функция распределения стандартного нормального закона распределения.
Пример фильтрации приведен на рисунке.
u 2,0 В
о
я 1,5 к
Nl,0
g0,5
Результат фильтрации сигнала
I- jh
+ CTVZj-1.(j-1)h J eXP (-k (jh - s))
- s)) dV .
(j -1)h
jh
Случайная величина | ехр (-k (; - 5)) dVs яв-
(1 -1)л
ляется нормальной случайной величиной с нулевым математическим ожиданием и дисперсией
— [1 - ехр (-2кк)] . При малом шаге к справедливы 2k
приближенные равенства:
1 - ехр (-кк)« кк, -1 [1 - ехр (-2кк)] « к,
которые позволяют вычислять Z1j ]Ъ следующим образом:
Zг = Zг + ткк + ст. е] (12)
],]к ]-1,(]-1)к V ] -1,(]-1)к ] У '
с начальным значением Z '00 = 0. В (12) (е] ) -
независимые серии независимых стандартных нормальных случайных величин. Кусочно-линейная непрерывная аппроксимация траектории , которая может быть использована в (10), будет иметь вид:
Zi-z
7' - 7'
jh Zj-1,( j-1)h
(t -( j - 1h))-
+ Z
j-1,( j-1)h
1 [h( j-1),hj) (t) .
Для того чтобы процесс был больше нуля с вероятностью 1 -а, достаточным условием является \тк
неравенство ст <.— , где г - решение уравнения
Ф(x) -M(1 -а), где M -
число узлов решетки;
Заключение
Модели стохастической волатильности являются достоверным средством моделирования явлений различной природы. Модель стохастической волатильно-сти впервые появилась в работах H. Johnson and D. Shanno [4], J. Hull and A. White [5], L. Scott [6], J. Wiggins [7]. Исследования были продолжены в работах E. Stein, J. Stein [8], S. Heston [9], R. Schobel, J. Zhu [10], L. Rogers, L. Veraart [11]. Вычисления в рамках этих моделей сводятся к решению трехмерного фундаментального уравнения в частных производных. При различных упрощающих предположениях в ряде случаев удалось найти замкнутое решение задач, не относящихся к стохастической фильтрации, в основном - это работы по стохастической финансовой математике. В остальных случаях предлагается использование численных методов. В нашей работе изменчивость волатильности используется для описания возможности резкого изменения траектории сигнала в отличие от работы [12] c аддитивной скачкообразной составляющей.
Литература
1. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Нелинейная фильтрация диффузионных марковских процессов. Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР, 104 (1968), 135 - 180.
2. Bain A.,Crisan D. Fundamentals of stochastic filtering. Springer. 2009. P. 390.
3. Schuss Z. Nonlinear filtering and optimal tracing. Springer. 2012. P. 262.
4. Johnson H., Shanno D. Option pricing when the variance is changing. Journal of Financial and Quantitative Analysis. Vol. 22, 1987. P. 143-151.
5. Hull J., White A. The pricing of options on assets with stochastic volatilities. Journal of Finance. 1987. Vol. 42, № 2. P. 281 - 300.
6. Scott L. Option pricing when the variance changes randomly: theory, estimation and an application. Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1987. vol. 22. P. 419 - 438.
0
h
7. Wiggins J.B. Option values under stochastic volatility: theory and empirical estimates. Journal of Financial Economics. 1987. Vol. 19. no. 2. P. 351 - 372.
8. Stein E., Stein J. Stock price distributionswith stochastic volatiliy: an analytic approach. Reviews of Financial Studies. 1991. Vol. 4. no. 4. P. 727 - 752.
9. Heston S. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bondand currency options. Reviews of Financial Studies. 1993. Vol. 6. no. 2. P. 327 - 343.
10. Schobel R., Zhu J. Stochastic volatility with an Ornstein-Uhlenbeck process: an extension. European Financial Review. 1999. Vol. 3.P. 23 - 46.
11. Rogers L.C.G., Veraart L.A.M. A stochastic volatility alternative to SABR. Journal of Applied Probability. 2008. Vol. 45. no. 4. P. 1071 - 1085.
12. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Интерполяция и фильтрация скачкообразной компоненты Марковского процесса. Изв. АН СССР, сер. матем. 33, 1969. С. 901 - 914.
References
1. Lipcer R.Sh., Shiryaev A.N. Nelinejnaya fil'traciya diffuzionnyh markovskih processov. Tr-dy Matem. in-ta im. V.A. Steklova AN SSSR [Nonlinear filtering of diffusion Markov processes. Tr-dy Mat. in-TA them. C. A. Steklov, USSR Academy of Sciences], 104 (1968), pp. 135 - 180.
2. Bain A.,Crisan D. Fundamentals of stochastic filtering. Springer, 2009, 390 p.
3. Shuss Z. Nonlinear filtering and optimal tracing. Springer, 2012. 262 p.
4. Johnson H., Shanno D. Option pricing when the variance is changing. Journal of Financial and Quantitative Analysis. Vol. 22, 1987, pp. 143-151.
5. Hull J., White A. The pricing of options on assets with stochastic volatilities. Journal of Finance, 1987, vol. 42, no. 2, pp. 281 -300.
6. Scott L. Option pricing when the variance changes randomly: theory, estimation and an application. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1987, vol. 22, pp. 419 - 438.
7. Wiggins J.B. Option values under stochastic volatility: theory and empirical estimates. Journal of Financial Economics, 1987, vol. 19, no. 2, pp. 351 - 372.
8. Stein E., SteinJ. Stock price distributionswith stochastic volatiliy: an analytic approach. Reviews of Financial Studies, 1991, vol. 4, no. 4, pp. 727 - 752.
9. Heston S. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bondand currency options. Reviews of Financial Studies, 1993, vol. 6, no. 2, pp. 327 - 343.
10. Schobel R., Zhu J. Stochastic volatility with an Ornstein-Uhlenbeck process: an extension. European Financial Review, 1999, vol. 3, pp. 23 - 46.
11. Rogers L.C.G., Veraart L.A.M. A stochastic volatility alternative to SABR. Journal of Applied Probability, 2008, vol. 45. no. 4, pp. 1071 - 1085.
12. Lipcer R.Sh., Shiryaev A.N. Interpolyaciya i fil'traciya skachkoobraznoj komponenty Markovskogo processa [Interpolation and filtering of jump components of the Markov process]. Izv. AN SSSR, ser. matem. 33, 1969, pp. 901 - 914.
Поступила в редакцию 10 ноября 2014 г.
