Оценивание параметров приближенной реализации: случай квадратичной функции несогласованности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.71 + 519.95

С. Г. Пушков

Оценивание параметров приближенной реализации: случаи квадратичной функции несогласованности

Классическая проблема реализации состоит в определении модели пространства состояний для динамической системы, заданной своим поведением вход-выход [1]. В [2] предложен подход к решению проблемы приближенного моделирования, объединяющий теории реализации и идентификации. И настоящей работе предложены методы вычисления приближенной реализации для случая квадратичной функции несогласованности между наблюдениями и моделью системы на основе альтернативного подхода, при котором сложность модели характеризуется размерностью (порядком) системы. При этом предполагается существование детерминированной системы соответствующей размерности. Сначала устанавливается способ вычисления приближенной реализации для скалярного случая. Затем результат распространяется на общий случай многомерных систем.

Рассматривается линейная стационарная динамическая система с дискретным временем над полем К (с т входами и р выходами), под которой понимается объект 2 = (Г, С, Н) с динамическим поведением

*(< + 1) = Рх(1) + Си(1),у(1.) =

где *(«),*(*+ 1) € Х.и{1) е и = Кт,у(1) € У = Кр,и,Х,У - пространства входных сигналов, состояний и выходных сигналов соответственно.

Каждой такой системе Е = (Р. С, И) соответствует отображение вход-выход /а. Система Е называется точной реализацией отображения вход выход / тогда и только тогда, когда /в = /.

Известно [1], что отображение вход-выход может быть эквивалентным образом представлено бесконечной последовательностью матриц размера р х т

\АХ,А,,...}. (1)

В этом случае поведение вход-выход системы Е определяется уравнением

У( О =Е,-=1 = 1,2,...),

а задача реализации состоит в определении размерности системы Е (размерности пространства состояний) и в построении тройки матриц

(Р, О, И) над полем К таких, что

Аі = 11Р{~1С, (г.= 1,2,...).

Известно также [1], что последовательность (1) реализуема конечномерной линейной системой тогда и только тогда, когда существуют такое г и такие 0і, 02, • • •! 0г, ,|Т0

Г

А-+і+і — - X] > и = 1, • • ■)• (2) «=1

Система Е, реализующая конечную часть последовательности (1), называется частичной реализацией.

Пусть К = Я, где Я - поле всех действительных чисел Рассматривая задачу приближенной реализации как обобщение задачи точной реализации на случай систем с ’’шумом”, ее можно сформулировать так:

для последовательности неточно заданных матриц размера р х т над полем Я

{Ях,Яа,...} - (3)

найти размерность п и построить тройку матриц (і'1,0, Н) над Я таких, чтобы функция несогласованности е(2г\ НР'~ХС\ і = 1,2,...) между наблюдаемой последовательностью матриц (3) и системой Е = (Р, С, Я) принимала минимальное значение на множестве всех троек {Р,С, II), г де Р матрица размера и хп,С ~ матрица размера п х т, Я - матрица размера р х п.

Конкретный метод решения этой задачи зависит от формы представления системы, вида функции несогласованности, метода оценивания размерности системы, метода минимизации функции несогласованности и других факторов.

На практике мы имеем дело не с бесконечным представлением отображении вход-выход

(3), а с конечной последовательностью матриц

{7*\, • • ■, >

соответствующей конечному числу измерений в моменты времени I = 1,2,..., N. В этом случае, в сущности, решается задача частичной приближенной реализации с функцией несогласованности є(2і\ Н Рі~10; і = 1,2,..., ЛГ). Подход к решению задач приближенной реализации как к оцениванию порядка и параметров системы по конечному числу наблюдений является в своей основе статистическим.

Выбор вида функции в определяет метод получения оценок параметров системы - матриц .Г,С, Я. В практических приложениях чаше всего в качестве функций несогласованности рассматриваются функции от нормы разности

\\Zi- НГ~ХС\\^= 1.2,...,

которая в данном случае является мерой погрешности приближения.

Под оцениванием параметров реализации будем понимать оценивание элементов матриц и Я в случае, когда известна размерность системы п или ее порядок г. Очевидно, количество и набор оцениваемых параметров помимо размерности реализации зависят также от формы представления линейной динамической системы.

Наиболее предпочтительной для оценивания параметров является каноническая форма представления динамической системы:

/ ор Ор ■ Ор \

Ор Ор ь • Ор

ор 0Р О;р 1р

\-ftUp -02 1р -0-Л Гр .. Мр/

(4)

(А\\

Аі

\аг/

где 0р,1р и Е'рГ - нулевая и единичная матрицы соответствующих размеров, .4], Ло, ..., Аг - матрицы размера р х т над полем Я. В работе [3, с. 56-63] представлен алгоритм вычисления точной реализации (для детерминированных систем), матрицы которой имеют именно такой канонический вид. Для таких реализаций размерность п системы связана с ее порядком г соотношением п = рг.

При использовании данной формы представления динамической системы оценивать нужно коэффициенты /?1, 02, • • • , 0г £ Я и коэффици

где А< = ЯЯ'-^.

Следует заметить, что существенное влияние на выбор метода оценивания параметров и свойства этих оценок оказывает выбор вида функции несогласованности e(\\Zi — А*||;г = 1,2,...,//). Выбирать здесь нужно как вид самой функции е, так и норму ||.||.

Для канонической формы представления линейной динамической системы и квадратичной функции несогласованности задача оценивания параметров системы £ ставится как задача минимизации функции несогласованности:

N

ГПІП

•Аі, ,... ,0г 7~“'

1 = 1

(5)

где ||.|| - мат ричная евклидова норма,

Л,- = ПГ'-1С.

Рассмотрим задачу оценивания параметров п-мерной системы Е методом наименьших квадратов для скалярного случая, т.е, для случая, когда т — р — 1,г = п. В этом случае оценивать нужно 2п параметров А1, Аг, • ■ ■, Ап и 0\, /?2,. •., Рп ■ Выберем в качестве оценок ,4], .4г,..., Ап числа , /?2> ■ ■ -,2п соответственно. Тогда исходная задача сведется к задаче оценивания 71 параметров, а именно:

пип

£;і|Я<-Л||а= тш £ \\Zi-Ai\f.

1 ітї ’ і=п + 1

Пусть аг = — /?п_,+і(г - 1,2,..., га). Тогда соотношение рекуррентности (2) можно переписать как

А, = Е r.1^iAl-j, (і = п + 1,7* + 2,...), j=i

(6)

и наша задача оценивания параметров примет вид

енты матриц Ль Л2, ..., Лг є Ярхт, т.е. все- гаіп0і о. ЕІІп-н (Е"=і аз2>-з ~&) >

го г + пар параметров. Для скалярного случая, когда т = р = 1, данное представление является представлением с минимальным числом параметров. В этом случае г — га, число параметров, которые нужно оценить, равно 2га.

Таким образом, решение задачи оценивания параметров линейной динамической системы в канонической форме сводится к решению задачи минимизации функции несогласованности:

е(||2( - Л,||;г = 1,2,...,/V) -* пап

Ах. .. ,АГ,Р 1,... ,Рг

т.е. мы получаем стандартную задачу линейной регрессии, решение которой эквивалентно решению системы п линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных сц,... , ап :

п / А/ \ N

Е ( Е ) ч = Е

7 = 1 \1=п4-1 / *=п +1

(к = 1,2,..., га).

Полученные иями оценки параметров Лх,а2,,.. ,а„ являются ничем иным, как оценками Юла-Уолкера параметров авторегрессионной модели. Следует отметить, однако, что эти оценки не являются эффективными [4]. Поэтому целесообразным является путь решения задачи, когда эти оценки берутся в качестве начального приближения с последующим уточнением решения численными методами наименьших квадратом уже для '2т1 параметров <*1,02и .41, Л2) • •., Ап. Таким образом, в этом случае решается задача

П111І

А і,А„ ,£іі

'і=п+1 \>' = 1 ,

с начальными приближениями %\,2ъ..........2п для

. 1 ], Л2,. ..Дп и решением системы уравнений (7) для аз,.. • , с*„, Аі для г > п вычисляются по формулам (6).

Дли многомерных линейных динамических систем над числовыми полями остается верным соотношение рекуррентности (2). Задача заключается в том, чтобы найти порядок г и оценить первые г членов последовательности матриц и коэффициенты соотношения рекуррентности. После этого систему можно записать в виде (4). Особенностью многомерного случая является большее многообразие выбора вида функции несогласованности и соответствующих методов ее минимизации.

Подход, изложенный в предыдущем разделе, остается верным и дли многомерных систем Выбрав в качестве матричной нормы евклидову матричную норму, в качестве функции несогласованности среднеквадратичное отклонение в евклидовой норме:

і Н і — 1, 2,..., Лг) —

= є[%і] Аі; і — 1,2,..., Л) =

N

Лі\\\

і=і

а в качестве оценок матриц А\, А?,..., Аг - матрицы , -?2,.. полагая а,- = —А—;+і, с учетом соотношения рекуррентности (2) в виде

Г

.4; = ' а,- 4,- , , (г = г 1, г -)- 2,.,.),

получаем задачу оценивания параметров »1, о2. • • • . «г, в виде:

Л'

ті а є = тіп

«1,... ,»г ,С1ГГ

І=Г + і

Будем называть эту задачу упрощенной задачей оценивания параметров приближенной реализации с квадра тичной функцией несогласованности, задача (5) будет называться полной задачей оценивания параметров приближенной реализации.

Пусть £гА' - след матрицы А'. Тогда относительно решения упрощенной задачи оценивания параметров приближенной реализации имеет место следующий результат.

Предложение 1. Решение упрощенной задачи оценивания параметров приближенной реализации с квадратичной функцией несогласованности (8) удовлетворяет системе г линейных алгебраических уравнений относительно , О'о, ... ,аг:

£

.;=і

Е іг

Оі] — ^ ^ ІТ [ — ),

(9)

1 = г-Н

(Аг = 1,2,..г).

Доказательство. Для евклидовой нормы матрицы с коэффициентами из поли действительных чисел имеем [5]:

(Е,/ = 1 г-3 * (Е>=1 а.І^І-з ~ ] >

где іг.Х - след матрицы А'. Используя известные свойства следа матрицы [5, 6], получаем:

||Ел'=1 ^ I =

[(Еі=і — 2і^Еі=і =

*Г [Е^гі Е./ = 1 * Е/ = 1

*г [Е.)=і Е*=і — 12]=і

- е:=і +ад -

Еі=і аз^г {.%*-)2і) —

- Е,Г=і <*і*г (ЗД_,) + іг (ЗД =

Е;=1 Ек = 1 ~

-2 Еі=і + ІГ [2хг\\.

Таким образом, для функции несогласованности имеем

«= Е

І— Г -|*1

2-У

(10)

І = Г+ 1

V Е ч<*к>г-і-1к=1

~2Е азіг {2і-і2'і) + Іг (2і2і) ■

з-1

Решение задачи (8) получается из решения системы уравнениП

^=0,(Л=1, 2,.

С учетом соотношения (10) имеем

& = Е^+1 [Е,Г=1 aja.tr (Ъ-^и) +

+ ££=1 а/са^г (г/і-к7.'ІЧ) - -2акіг (2,•_*#;) =

Л'

2ак Е

і=г+1

X] *зіг (%-кг1_^ -

3=1

(к = 1,2.....г),

= 0,

или

N г N

*=г + 1. ^=1 г=г + 1

(Л = 1,2,..., т*).

Таким образом, получаем систему г линейных алгебраических уравнений относительно

аь ос2,... , аг :

Е

і=і

Іі=г+1

N

аз = Щ іг^і-кЯ}),

і=г 4*1

(/г = 1.2,..., г).

Мы получили систему линейных алгебраических уравнений (9). Предложение 1 доказано.

Повышения качества оценок параметров приближенной реализации можно достигнуть решением полной задачи (5) в окрестности решения упрощенной задачи. Таким образом, для оценивания параметров приближенной реализации целесообразно применять двухэтапную процедуру. На первом этапе решается упрощенная задача, которая позволяет решением системы линейных алгебраических уравнений получить оценки параметров/?!,,^! ■ • >0г- На втором этапе полученные оценки уточняются решением полной задачи. Для этого можно использовать численные методы поиска локального минимума (например, метод покоординатного спуска) функции несогласованности в окрестности оценок , 02, ■ ■ ■, Рг и 2], 2 > .

При конструировании алгоритмов вычисления приближенной реализации первый :>тап оценивания параметров системы может быть совмещен с оцениванием порядка системы. Для определения порядка г системы можно использовать многомерную процедуру метода, основанного на вычислении финальной ошибки прогнозирования для авторегрессионных моделей [4].

Изложенный подход к решению задачи оценивания параметров приближенной реализации позволяет конструировать алгоритмы вычислении приближенной реализации для случая квадратичной функции несогласованности. В отличие от известных методов разработанная методика построения приближенной конечномерной реализации позволяет получать реализации, матрицы Р, О и И которой имеют канонический вид. Использование двухэтапной процедуры оценивания параметров реализации позволяет улучшать качество оценок. Разработанные методы вычисления приближенной реализации хорошо приспособлены для построения численных алгоритмов и соответствующего программного обеспечения.

Литература

1. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М., 1971.

2. Виллеме Ян К. От временного ряда к линейной системе // Теория систем. Математические методы и моделирование. М., 1989.

3. Пушков С.Г. Об алгоритме конечномерной реализации // Автоматика и телемеханика. 1991, №10.

4. Современные методы идентификации систем (пер. с англ.) / Под ред. П.Эйкхопфа. М., 1983.

5. Воеводин В.В., Кузнецов 10.А. Матрицы и вычисления. М., 1984.

6. Ланкастер П. Теория матриц (пер. с англ.) М., 1982.