CC BY
63
УДК 519.71 + 519.95
С. Г. Пушков
Моделирование пространства состояний асимптотически устойчивых динамических систем
Работа посвящена исследованию проблемы построения модели пространства состояний для динамической системы, заданной своим поведением вход-выход. Для асимптотически устойчивых систем представлен метод
построения модели пространства состояний, основанный на оценивании матриц импульсной последовательности и вычислении ее приближенной конечномерной реализации.
Введение
При исследовании различных процессов и управлении ими очень часто используются мо -дели, основанные на наблюдении входных и выходных сигналов объекта и представлении его поведения в пространстве состояний. Для линейных стационарных динамических систем с дискретным временем над полем соотношение между входными и выходными сигналами задается отображением вход-выход или импульсной характеристикой.
Задача представления систем в пространст-ве состояний очень тесно связана с проблемой реализации динамических систем. В том случае, когда импульсная последовательность мат -риц задана точно и требуется построить точную модель пространства состояний, задача реализации может быть решена в рамках алгебраического подхода к проблеме [1]. В этом случае задачу вычисления (точной) конечномерной реализации можно решить с помощью алгоритма Хо [1] или используя модификации алгоритма вычисления конечномерной реализации [2, с. 107-112; 3, с. 56-63], а также другие методы вычисления реализации. Методология приближенного моделирования, представленная в работе [4], основана на построении оптимальной приближенной авторегрессионной модели.
В настоящей работе представлены методы приближенного моделирования пространства состояний линейных стационарных
динамических систем, основанные на вычислении приближенной реализации
отображения вход-выход (импульсной
последовательности матриц). При этом задача приближенной реализации рассматривается как обобщение задачи точной реализации на случай систем с ”шумом”. Этот подход также требует наличия информации об импульсной
характеристике системы.
1. Реализация линейных динамических систем
Определение 1. Линейной стационарной динамической системой с дискретным временем с т входами и р выходами над полем К будем называть сложный объект^ — (F,G,H ,J) •где
F : X -4 X,G : К™ Х,Н : X Кр ,J :U У есть JT-линейные отображения (К - гомомор-х (t + 1) = Fx(t) + Gu(t);
y(t) = Hx(t) + Mt), (1)
где t G Z,x(t),x(t -I- 1) e X,u(t)€U = Km,
множество всех целых чисел.
При исследовании проблемы реализации
оказывается, что вся информация,
необходимая для определения пространства
состояний системы, содержится в тройке
матриц^ Ф Н J [5,
6]. Каждая система ^ = (& • G, Н )индуцирует
естественное понятие отображения вход-выход г . ijT, _. Yz
, которое каждой последовательности входных сигналов ставит в соответствие последовательность выходных сигналов.
Определение 2. Пусть К - по лес нормированием, — (F’G, Н)< _ некоторая^-линейная система, ||.|| - матричная норма, согласованная с нормой пространства состояний системы Е. Тогда Е называется устойчивой [6], если последовательность^!^' Н>* = }
является ограни
ченной, и Е называется асимптотически устойчивой, если ‘ .Urn HF’H = 0.
Определение 3. Пусть задано некоторое отображение вход-выход / (являющееся К -гомоморфизмом, К - поле). Линейная система Е над полем К называется реализацией отображения вход-выход /, если отображение "—' од системы Е совпадает с /, т.е. если /s = /•
Для линейных динамических систем над полями известно [1], что задание отображения вход-выход эквивалентно заданию бес -конечной последовательности матриц размера рхт{{/= Кт,У = Кр)
{-Аь-Аг,(2 В этом случае построение системы Е эквива-лентно построению тройки матриц (Е, О, И) размеров" ' "• " х 11 Р 4 "соответственно,
- размерность пространства состояний системы X. Тогда для матриц последовательности (2) и для матриц реализации выполняется соотношение
Если для последовательности (2) существует
то существует А Я. вгу
Ar+j+1 = ~ Аг+] ,(7 = 0,1,...). (4)
1=1
г будем называть попяцком системы
Пусть Л = И ■ ! ДО И . поле всех
действитель
ных чисел. Рассматривая задачу приближенной реализации как обобщение задачи точной реализации на случай систем с ’’шумом”, ее можно сформулировать так: для последовательности (неточно) заданных матриц размера р х т над полем Я
конечномерная реализация,
Г ’ ’
(5)
найти размерность п и построить тройку мат -риц (Е,О,И) над Я таких, чтобы функция несогласованности
Нг = 1,2,..., ТУ)
между наблюдаемой последовательностью матриц (5) и системой^ ~
принимала
минимальное значение на множестве всех троек (Е, О, И), где Е - матрица размера п х п,О - матрица размера п х т, Н - матрица размера рх п.
Метод решения этой задачи зависит от формы представления системы, вида функции несогласованности, метода оценивания размерности системы, метода минимизации функции несогласованности и других факторов. Наиболее
п оР Ор ор''
Ор 1р.. Ор
Е-
вр
Ор
Ор
Ор . .
\ -ЬаН -оа1р -ошр ••
1р
-ьа1р )
где Ор, 1р и Е?г нулевая и единичная матрицы соответствующих размеров, А г ,А2,..- ,АГ -матрицы размера р х т над полем Я. Существование такого представления следует из критерия реализуемости,’' И А>/^2.... ’гсоответ
ствуют аналогичным параметрам из соотношения рекуррентности (4). Преимущество канони -ческой формы представления заключается в минимальности количества параметров, которые нужно оценивать.
Для канонической формы дредставления ли -нейной динамической системы и квадратичной функции несогласованности задача оценивания параметров системы Е ставится как задача ми -нимизации функции несогласованности:
где..... - матричная евклидова норма, 1 вычис
ляются согласно (3).
Задача оценивания порядка системы ставит -ся как задача минимизации функции Ф: тшФ(г, Ы, ег).
Один из распространенных способов оцени -вания порядка системы основан на вычислении финальной ошибки прогнозирования при использовании для оценивания параметров метода наименьших квадратов. Специальная критериальная функция в этом случае принимает вид
Ф(г, N,£rУm,p)
N + 1 4- 1/2 (ш + р)г
N - 1 - 1/2{т + р)г
1/2 (т+р)
£г
2. Оценивание импульсной последовательности матриц
Методология формирования моделей про -странства состояний, рассматриваемая в насто -ящей работе, в качестве исходной информации использует информацию об импульсной характеристике (отображении вход-выход) системы. Этот подход перед непосредственным решением задачи построения модели требует предва-рительной обработки экспериментальных дан -ных, заключающейся в оценивании представле -ния отображения вход-выход системы.
В случае, если в качестве представления
Утверждение 1. Для асимптотически
отображения вход-выход с динамическим устойчивых динамических систем решение за -поведением (1) используется дачи (7) удовлетворяет матричному
последовательность матриц, то имеет место соотношение
гдеи(<) Є К.т и у(ї) Є В.р - векторы входных и выходных сигналов в момент времени /, соответственно, ,*(0) Є К-"- векторнеизвестного начального состояния системы, АН) Є Ії.рхт і-й член последовательности матриц представления отображения вход-выход, = ^Ни 3 - соответствующие матрицы системы.
Для асимптотически устойчивой системы можно воспользоваться следующим методом оценивания матриц последовательности. Пусть г - время затухания переходных процессов. Тогда согласно (б) можно записать
Пусть N - число экспериментов - пар
(«(*),«(*)),* = 1
. Будем определять 'И./). І — 0. I..г из
решения задачи ми нимизации квадратичного функционала
І=Г+1
у{і) - X! А(іМ* _ і)
3=0
тгп,
Л5= Я.
(И)
Доказательство. Для евклидовой нормы имеем
Из условия существования минимума функционала Ф получаем следующую систему уравнений:
(< = 0,1,... ,г;г = 1,2,... ,р;в= 1,2,... ,т),
(7) откуда имеем
где ||.|| - матричная евклидова норма.
Введем в рассмотрение блочные матрицы
(8)
(9)
где - матрица размера т х ?п,
N т т
X -лм*-О =
1=г+1^=0к = 1
N
= £ Уг(»М*-0.
•=т+1
[і = 0,1,... ,г;г= 1,2,... ,р;в= 1,2,... ,т).
(10) Меняя порядок суммирования, получаем (г + 1)рт линейных алгебраических уравнений относительно (г4-1 )рт неизвестных ог*(;):
г т N
X ***(*-і)«»(*-<) =
;=0*=1 і=т+1
N
= X Уг(«>а(*-0.
<=г+1
(12)
(< = 0,1,..., г; г = 1,2,... ,р;» = 1,2,..., ш).
Соотношения (12) можно записать в матричном виде следующим образом:
С учетом обозначений, введенных (8-10), получаем матричное уравнение (11), что и требовалось доказать.
Таким образом, оценки матриц импульсной последовательности асимптотически устойчивой системы мы можем получить, решив матричное уравнение (11).
Заключение
Изложенный подход позволяет строить мо -дель пространства состояний линейной стацио -нарной динамической системы с дискретным временем на основе данных наблюдения за входными и выходными сигналами системы. В отличие от известных методов разработанная методика формирования модели пространства состояний позволяет свести задачу моделирования к двухэтапной процедуре. На первом этапе по измерениям входных и выходных сигналов системы оценивается ее импульсная характеристика (представление отображения вход-выход), затем на втором этапе решается задача приближенной реализации. Для асимптотически устойчивых динамических систем представлен метод оценивания импульсной последовательности
Литература
1. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.,
1971.
2. Пушков С.Г. О вычислении конечномерной реализации // Кибернетика и системный анализ. 1991, №6.
3. Пушков С.Г. Об алгоритме конечномерной реализации // Автоматика и телемеханика. 1991, №10.
4. Willems J.C. From Time Series to Linear System. II // Automatica, 1986, 22, №6. (Вил
леме Ян К. От временного ряда к линейной системе // Теория систем. Математические методы и моделирование. М., 1989).
5. Eilenberg S. Automata, languages and machines vol.A. New York Academic Press,
6. Математические методы в теории систем (сб. перев. статей) / Под ред. Ю.И. Журав -лева. М., 1979.
