О моделировании временного ряда линейной системой с пространством состояний Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.71

С. Г. IIушков

О моделировании временного ряда линейной системой с пространством состояний

Представление систем моделями с пространством состояний оказывается наиболее предпочтительным, когда речь идет об исследовании динамики различных процессов и управления ими. Модели такого типа играют чрезвычайно важную роль во многих областях применения. В данной работе мы будем иметь дело с одной из таких прикладных областей с анализом временных рядов. Мы будем решать проблему построения модели, которая бы объясняла заданный временной ряд.

В процессе решения этой проблемы возникает принципиальная трудность, состопщая в том, что многие модели, которые хотелось бы использовать, не могут объяснить данные наблюдаемого временного ряда точно. Стандартный выход из этой затруднительной ситуации заключается и применении статистических методов для построения приближенной модели временного ряда. Тогда проблема моделирования временного рпда превращается в определение вероятностной меры случайной системы.

Такой подход удобен в целом ряде случаев и применяется наиболее часто [1], Однако он не может служить в качестве общей методологии моделирования временных рядов по гой причине, что отсутствие согласованности между моделью и наблюдаемым временным рядом возникает прежде всего не по причине случайности или шума измерения, а благодаря сознательному использованию модели, структура которой ме может охватить всей сложности наблюдаемого явления.

В настоящей работе предлагается нестатистический подход к проблеме моделирования и анализа временных рядов.

Пусть IV : -V Л4 (г+ - множество неотри-

цательных целых чисел, Г? - поле действительных чисел) наблюдаемый временной ряд:

ш(0), ш(1)........хи(і)......

(1)

Рассматривается проблема построения модели, которая бы объясняла этот временной ряд. Будем искать такую модель в классе конечномерных линейных стационарных динамических систем.

Под линейной стационарной динамической системой с дискретным временем с т входами и р выходами над Н будем понимать математи-

ческий объект Е = (Р, О, Н, J)t где

Р : X -► Х,С : В.га -> X, (2)

Н : X -» Ш>,.1 : Бт -> 11р

есть II -линейные отображения, X векторное пространство над П. (пространство состояний). Динамическое поведение системы Е определяется уравнениями:

х(< ■+ 1) = Рх{і) + би(<), у (<) = Н .г(<) 4- ./«(<)>

(3)

где < 6 г+, х(1),х(1 + 1) е X, и(|) с у( 0 Е У — №

Рассматривая проблему построения модели

(2) (3) на основе информации о временном ряде (1), мы будем различать задачи точного и приближенного моделирования. Под задачей точного моделирования будем подразумевать задачу построения модели вида (2)-(3), которая полностью (точно) объясняет временной ряд (1). Задачей приближенного моделирования является построение модели (2)-(3), объясняющей ряд (1) лишь приближенно. При этом строится'“олти-мальнан модель, являющаяся результатом компромисса между высокой точностью модели и ее низкой сложностью. Способы разрешения этого компромисса, а так?ке способы формализации понятий сложности и точности модели могут быть различными.

Методы анализа временного ряда (1) и способы построения его модели (2)—(3) зависят также от дополнительной информации или предположений, касающихся структуры временного ряда. Относительно структуры временного ряда будем различать 4 случая:

1) временной ряд импульсная характеристика (представление отображения вход-вход) системы;

2) временной ряд - структурированные данные вход-выход, т.е. ряд пар (м(<), у(1)) для моментов времени < — 0,1,...;

3) временной ряд неструктурированные данные вход-выход;

4) временной ряд - выходной сигнал у(1) системы, полученный в моменты времени < = 0,1,....

Рассмотрим эти случаи более детально.

Импульсная характеристика

системы

Импульсная характеристика или отображение вход-выход системы (2)-(3) полностью опре деляется последовательностью матриц размера р х т над П.

А\, /Ь,...

таких, что

Л, = НР'~1С\ /=1.2,______ (4)

Будем считать наблюдаемый временной ряд импульсной характеристикой (импульсной последовательностью матриц отображения вход-выход) некоторой системы Е = (Р, О, Я, 7). Тогда г/ = рхт, п задачу моделирования временною ряда (1) можно сформулировать как задачу реализации следующим образом: для заданного временного ряда (1) найти такую четверку матриц (Г, 6’, Я, I). чтобы ш(0) = 7, И») = ЯР"1^ (г = 1.2....), где Н - матрица размера />х и, F матрица размера п х п, С - матрица размера п х т, п - размерность реализации.

Как в случае точной, так и в случае приближенной реализации, наибольший интерес представляют модели минимальной размерности В атом случае можно говорить о единственности решения задачи с точностью до изоморфизма систем [2]. Для таких систем, если Е = - одна из реализаций минимальной размерности п, то остальные реализации имеют вид Е' = (ПГП~3. ПС, ЯП-1, У), где П невырожденная матрица размера п х п. Особый интерес представляют реализации, являющиеся полностью наблюдаемыми и полностью достижимыми (управляемыми).

Если ряд (1) представляет собой точные данные, то задача реализации временного ряда линейной системой в такой постановке может быть решена с использованием методов и алгоритмов конечномерной реализации [2-4]. Вопрос существования такой реализации сводится к вопросу рекуррентности наблюдаемого ряда или эквивалентному ему условию ограниченности раша ганкелевой матрицы, составленной из членов заданного временного ряда.

Если ряд (1) представляет собой ’’зашумленные" данные, то задача реализации временного ряда линейной системой решается методами приближенной реализации [5].

Структурированные данные вход-выход

Пусть наблюдаемый временной ряд представляет собой структурированные данные о

входных и выходных сигналах некоторой системы:

uu{t) = (u(t),y(t)), t- 0.1...., (5)

где u(t) £ Rm, у(t) € Iip для всех / =0,1,.... Под структурированностью здесь понимается чет кое разделение и упорядочение входных и выходных сигналов системы в векторе наблюдений w(t). Для такого случая q = р + т, и задача моделирования временного ряда (1) в виде (5) мо-жет быть сформулирована так: для заданного <]-мерного временного ряда (5) найти такую систему (2)-(3), для которой временной ряд получается в результате измерений входных и выходных сигналов системы.

Поставленная таким образом задача моделирования временного ряда включает в себя следующие подзадачи:

1) определение размерности пространства состояний X;

2) определение начального состояния .с(О);

3) определение матриц F, G, Я, J системы.

Рассмотрим сначала задачу точного моделирования временного ряда (5). В общем случае задача точного моделирования в такой постановке не может быть разрешена однозначным образом, даже если мы имеем дело со скалярной системой (го = р = 1). В предположении, что х-(0) = 0. поставленная задача моделирования временного ряда (5) может быть решена в два этапа. На первом этапе вычисляются матрицы Ai (* = 0,1,...) отображения вход-выход (импульсной характеристики) системы, т.е. матрицы размера рхт, удовлетворяющие условиям

к

У(к) = X] Л*и(к -г), к = 0,1....../. (6)

»=о

На втором этапе решается задача конечномерной реализации, т.е. определяется размерность системы и матрицы F,G,H,J, удовлетворяющие уравнениям (4). При этом ,/ = До- Следует заметить, что задача первого этапа имеет единственное решение только в скалярном случае и когда и(0) ф 0.

Задача приближенного моделировании временного ряда (5) в общей постановке (х(0) ф 0), т.е, задача одновременного определения состояния и параметров системы на основании данных ряда (5) относится к числу некорректных задач и не может быть разрешена однозначным образом. Для случая, когда начальное состояние системы ж(0) = 0, задача может быть решена с использованием двухэтапной процедуры. На первом этапе оцениваются матрицы .4,- (/ =

0,1,...) импульсной характеристики системы. 11а втором этапе решается задача приближенной реализации. В предположении асимптотической устойчивости системы задача первого этапа может быть решена методами, изложенными в работе [6]. Задача второго этапа по оцениванию матриц II системы в случае квадратичной Функции несогласованности может быть решена методом, представленным в [7].

Неструктурированные данные вход-выход

Пусть наблюдаемый временной ряд (1) представляет собой неструктурированные данные о входных и выходных сигналах некоторой системы. Причем, в отличие от предыдущего случая, ц данном случае заранее неизвестно, какие компоненты этого ряда являются входными, а какие выходными сигналами системы. Основными причинами рассмотрения таких временных рядов являются ситуации, когда заранее неизвестно, что является причинами, а что - следствиями, это желательно решить в результате наблюдений и анализа временного ряда. Достаточное количество примеров таких ситуаций можно найти в эконометрике.

Таким образом, в данном случае задача моделирования временного ряда (1) может быть сформулирована так: для заданного (/-мерного временного ряда (1) найти такую систему (2)-

(3), для которой д = р + т, и наблюдаемый временной ряд получается в результате измерений входных и выходных сигналов системы.

Задача моделирования временного ряда в такой постановке включает в себя:

1) определение размерности пространств входных и выходных сигналов системы (т и р для Г и У соответственно);

2) определение размерности пространства состояний Л';

3) определение начального состояния л'(0);

4) определение матриц Г,С,Н,3 системы.

Как и в предыдущем случае, при .г(О) ф 0

задача одновременного определения параметров п состояния системы не может быть разрешена голько на основании данных временного ряда (1). Поэтому мы также, как и ранее, будем полагать, что аг(0) = 0. Но даже при таком условии нельзя говорить о единственности представления (2)-(3). Особый интерес представляют минимальные реализации (минимальные представления). Речь идет о системах (2)—(3) с пространством состояний минимальной размерности п. В случае точного моделирования все линейные минимальные реализации будут эквивалентны с

точки зрения поведения вход-выход, и можно го-1 ворить о единственности реализации с точностью до изоморфизма.

В случае моделей с пространством состояний наряду с минимальностью размерности пространства состояний п можно исследовать также вопрос о минимальности размерности пространства входных сигналов т. На самом деле мини-мальность пространства состояний и минимальность пространства входных воздействий тесно связаны, а именно, п и тп можно одновременно выбрать минимальными.

В работе [8] задача точного моделирования (с минимальными пространствами входных воздействий и состояний) решается с использованием так называемых структурных индексов поведения, определяемого рядом (1). Там приведены алгоритмы построения моделей (2)-(3) с наикратчайшим запаздыванием.

Там же представлены методы приближенного моделирования ряда (1) системой (2)-(3). Предложенные методы позволяют построить оптимальные модели временного ряда, удовлетворяющие либо условию минимальной сложности при ограничении на уровень несогласованности между моделью и наблюдаемым рядом, либо условию минимальной несогласованности при ограничении на сложность модели.

Выходной сигнал системы

I >

Для многих задач более естественной является ситуация, когда наблюдаемый временной ряд представляет собой данные только о выходных сигналах системы:

МО = г/(0> * = 0,1,..., (7)

где у(<) € Г?.р для всех < = 0,1,___Для этого

случая д = ри задача моделирования временного ряда в виде (7) может быть сформулирована гак:

для заданного р-мерного временного ряда (7) найти такую систему (2)-(3), для которой наблюдаемый временной ряд получается в результате измерений выходных сигналов системы.

Поставленная таким образом задача моделирования временного ряда включает в себя:

1) определение размерности пространства входных воздействий (га для {/);

2) определение последовательности входных сигналов

«(<) € и, < = 0,1,...; (8)

3) определение размерности пространства состояний Х\

4) определение начальною состояния .с(О):

5) определение матриц Г, Ст. Н,./ системы.

Очевидно, представленная задача не может

быть разрешена однозначным образом только на основании временного ряда (7). Если речь идет о построении модели (2)-(3) минимальной размерности пространств входных сигналов и состояний, то методы, предложенные в [8]. позволяют построить 1акую модель, которая является одним из представителей класса эквивалентности систем с минимальными размерностями и и А', отврчающих поведению (7).

Для скалярного случая (тп = р = 1} и а:(0) = О При входных сигналах

и(0) = 1 ,и(1) = 0 (# = 1,2,...)

данная задача сводится к рассмотренной нами ранее задаче для случаи, когда наблюдаемый временной ряд является импульсной характеристикой системы

Если положить

«(*) = 0. / = 0.1....,

то на основании данных ряда (7) нет возможности определить матрицы 6' и ./. И данном случае речь можно вести о построении наблюдаемой части системы, динамическое поведение которой определяется уравнениями

г(/. т 1) — Га’(<).

у(1) = Их(1).

Задавая значения ряда (8) (и, соответственно. размерность т), мы получаем задачу рассмотренного ранее случая структурированных данных вход-выход.

При рассмотрении задачи приближенного моделирования ряда (7) отдельно можно выделить два случая:

1) ряд (8) представляет собой случайный шум с нулевым средним;

2) ряд (8) представляет собой заданную последовательность входных сигналов.

Первый случай представляет собой типичную задачу фильтрации, которая может быть ре шена соответствующими методами. Второй случай аналогичен задаче идентификации по одновременному оцениванию параметров и состояния системы, т.е. мы получаем рассмотренную нами ранее задачу приближенного моделирования структурированных данных вход-выход,

Для общего случая приближенного моделирования ряда (7) в работе [8] представлены методы, позволяющие получать оптимальные модели с минимальными пространствами входных сигналов и состояний. Оптимальность здесь понимается в том же смысле, что и при рассмотрении случая неструктурированных данных вход-выход.

Подводя итог нашего исследования, следует заметить, что возможности применения предложенного подхода к моделированию временных рядов не ограничиваются рассмотренными нами случаями. В частности, имеет право на существование абстрактный подход к моделированию временного ряда, когда независимо от структуры временного ряда он отождествляется с импульсной характеристикой некоторой системы. Таким образом, происходит вложение рассматриваемой наблюдаемой системы в некоторую систему, для которой временной ряд является импульсной характеристикой. С использованием такого метода можно решать, например, такие задачи, как задача фильтрации электрокардиографических сигналов [9]. Наконец, следует заметить, что представленные методы моделирования временных рядов являются обобщением методов, основанных на авторегрессии.

Литература

1. Покс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов Прогноз и управление. Вып. 1 -2. М.. 1974.

2. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М., 1971.

3. Пушков СТ. О вычислении конечномерной реализации // Кибернетика и системный анализ. 1991.

! Пушков Сі.Г. Об алгоритме конечномерной реализации // Автоматика и телемеханика. 1991. №10.

5 Пушков СТ. О представлении данных конт-

роля линейных динамических систем // Измерения, контроль и автоматизация производственных процессов: Сборник докладов четвертой международной конференции. Т. 2. Барнаул, 1997.

6. Пушков С.Г. Моделирование пространства состояний асимтотически устойчивых динамических систем // Известия АГУ. 1999. № 1.

7. Пушков С,Г Оценивание параметров приближенной реализации: случай квадратичной функции несогласованности // Известил АГУ. 2000. №1.

М А1 ЕМ.ЛГИ КА

8 Виллеме Ян К. От временного ряда к линейной системе. // Теория систем. Математические методы и моделирование. М., 1У8У.

9. Пушков С.Г. Методы фильтрации электрокардиографических сигнаюв, основанные на

системной реализации временных рядов // Измерения, контроль и автоматизация производственных процессов. Сборнин докладов четвертой международной конференции, Т. 2. Барнаул, 1997.