Оценивание кривизны точек плоского зашумленного контура. Некоторые вероятностные модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 007.001.362

А.Н. Каркищенко, А.Е. Лепский ОЦЕНИВАНИЕ КРИВИЗНЫ ТОЧЕК ПЛОСКОГО ЗАШУМЛЕННОГО КОНТУРА. НЕКОТОРЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ

1.Введение .

Распознавание плоских двумерных изображений объектов осуществляется, как правило, путем сравнения контура силуэта объекта с эталонными контурами, хранимыми в том или ином виде. Число граничных пикселей может достигать нескольких тысяч. Поэтому стараются выделить 30-50 наиболее информативных граничных точек контура. Такие точки обычно называют контрольными. Контрольные точки выбираются, как правило, с помощью оценивания значений функции кривизны контура. Если контур гладкий, то его кривизна к{Р) в точке Р определяется как производная &S(P) функции наклона в(Р) (угол между

касательной и положительным направлением оси Ох) по длине дуги S Реально имеется только дискретный контур, состоящий из отдельных пикселей. Поэтому функцию кривизны оценивают косвенно. Например, ее можно оценить с помощью так называемого метода геометрического сглаживания, который описан в пункте 2. Этот метод, состоящий в сопоставлении каждой точке Р контура Г некоторого числа (веса) v( Р), отличается простотой реализации и устойчивостью к зашумлению. Особенности использования метода геометрического сглаживания рассмотрены в работе [1]. В пункте 3 исследованы некоторые вероятностные модели зашумления контура и показана устойчивость геометрического сглаживания к такому зашумлению.

2. Описание алгоритма геометрического сглаживания

Пусть Г - плоский дискретный замкнутый контур. Выполним заливку этого контура -получим бинарное изображение /, которое можно описать с помощью матрицы (#//). (1

Clÿ “іQ ^• )£/• Зафиксируем граничный пиксель P(Îq,]о)^Г и рассмотрим его

некоторую Є -окрестность UE{P) = {(^k): p(s-i0,к-Уо) ^е} В качестве метрики р

можно использовать p(s,k) = max{|j|,|fc)}, p(s,k) =“\Js^ +k^ p(s,k) =|i| +\k\ и др-Подсчитаем количество точек ü(y, (/,_/) &U£{P) принадлежащих и не принадлежащих

бинарному изображению I: М(Р) = ,y)efye(/>)’ М(Р) = X(/|y)ef/c(/5)■

I М(Р)-М(Р)\

Вычислим вес ve(/*) точки Р: Ve(/0 = maх{щР),ЩР>) Т0ШУ Р"Г бУ'8“

считать контрольной, если V£(P) >h, где h - некоторое пороговое значение.

В работе [2] было показано, что вес V£( Р) точки Р є Г является функцией от кривизны к(Р) кривой в данной точке. Точнее, имеет место приближенная формула

к(Р) ~~—Ve(P) Причем точность этой формулы тем выше, чем меньше кривизна кривой

Г В точке Р или радиус окрестности £.

Поскольку вычисление веса vc(P) зашумленного контура связано с вычислением площади области, ограниченной случайной кривой, то устойчивость веса v£(P) к зашумлению контура определяется зависимостью числовых характеристик площади области, ограниченной случайной кривой Г, от параметров зашумления.

3. Некоторые вероятностные модели зашумления контура и оценка числовых характеристик случайной площади

Введем в рассмотрение следующие классы явно и параметрически заданных на Плоскости функций:

А¿¡1^ [ОС,/3] множество параметрически заданных дискретных функций, т.е. пар

Функций s(t) определенных на без самопересечений и

Удовлетворяющих следующему условию: для любой функции

s(t) = (x(t),y(t))aztzp е Adisk[cc,(3] существует такое конечное разбиение Т = }д.

отрезка [СС,Р\, что либо х(() = const, либо _у(0 = const на ['* ,t/c+\) апя всех ^• Если это условие выполняется для конкретного разбиения Т, то саму дискретную функцию будем обозначать ST;

Аш([а,Р\,т) - множество параметрически заданных целочисленных функций, т.е. пар Функций s(t) = определенных на [«,/3], без самопересечений и

Удовлетворяющих условию: для конечного разбиения Т = }/. отрезка [o', Д] и любой

Функции j(0=W0.X0)crS/Si8e^ii1t([a,A|>T) либо x(t)=COHSt, либо y{t) = const на для всех ^ •

Теперь под дискретным двумерным (целочисленным двумерным) зашумлением плоской кривой Г определяемой параметрической функцией S, будем понимать плоскую случайную кривую Г т.е. кривую, заданную случайной функцией ?' = (^',У), которая Удовлетворяет условиям:

а) все реализации этой функции ST = (хг,уг) е А^^[сс, Д) (/4int ([а, /3], т));

б) Л/[3,'] = 5;

в) %(t) и У(/) - независимые случайные величины, ссчения которых при разных t Также независимы;

г) для любой пары t/(,ii(+ieT либо *(^) = *т(^) и *(/£+l) = *r(^t+l) ли®°

у^к) = уЛк)и Х^+|) = л(^+1)-

Кроме того, предположим, что дисперсией случайной функции S“(t) является некоторая

Функция О2 (/) = (С^ (0, сТу (0) •

Обозначим через Ds - область, a fi(Ds) - площадь области, ограниченной кривой, 3аДанной функцией S . Если S' - случайная функция, то - случайная величина. Будем

ИсПользовать обозначения = X^, Х^) = У к > хт(^к) = %к ’ У-г^к) = У к •

Пусть квадрируемая область D ограничена замкнутой гладкой без самопересечений кривой Г, заданной параметрической функцией s(t) = (х((), y(0)a£t£/3 • Предположим,

что контур Г подвергается дискретному двумерному зашумлению - получается случайный

контур Г, реализации которого заданы параметрически функциями

5т(0=(хт(0>Ут(0)а£1£ре АсИхк[а>Р\> где Т = {1к}к соответствующее разбиение

отрезка [ОС,(5\. Пусть J конечное множество разбиений ^ — {¡к}к отрезка [ОТ, /3] и

Т(У) = Т разбиение, получающееся в результате объединения всех разбиений из J теУ

Будем рассматривать только такие разбиения, что шах ^+| ~tk\ —>0 при |У| —

к:1ке т(У)

Теорема I. Если гладкий без самопересечений контур Г задан функцией .у(/) = (.*(/)> У(0)а£1^р и подвержен дискретному зашумлению, то

/ Л

1) лф4А-)] = М^);2) Ст2[^(/)Г)]<3 1Х ¡о*Ц)Щ+1у 1<г2х(1)Щ

V г г

тм1х=]щ,1у=Цл)\.

Г г

Следствие. Если 0^(0 = = С0ПЯ1, <?у(0 = = С0Я.У/ , то

^ 3(0-2 . ¡2 +ст2 . ф

Пусть фиксировано некоторое конечное разбиение Т={/^}^_0 отрезка [ос,(5\ и квадрируемая область £> ограничена замкнутой без самопересечений кривой Г заданной параметрической функцией = (х(0,у(0) е А(п1([ог, Д],т) . Предположим, что контур

Г подвергается целочисленному двумерному зашумлению получается случайный контур Г, все реализации которого заданы параметрическими функциями

лт(0 = (ВД»ЯО) е Аы([а,/3],т).

Теорема 2. Если т={1к}к=^, контур Г задан функцией

s(t) = (*(/), .у(О) е ДЬ7) и подвержен целочисленному двумерному зашумлению,

то

М[М(0Т)] = К05) ; 2)о-2[/</)7)] = ^| Х°2(**)°?(**+|) +

(^+і)°?(^)+ <^(^)Д2Л+<^(^)Д2л*}. где Лхк=хк+]-хк^,

АУ к = Д'л+і _^-i •СЧИТая х-\ = *и - У-i = >л •

л л 9 9

Следствие. Если <7x(tk) =Ох = const, (Ту (tk) = 0\, = const ,то сг2 [/< /)г) ] = -| {2 (я -і-1) crj ст^ +а$А2у +а2А2х},

где А2х = Хд2л* . &у = Ха2Л к=0 к=О

ЛИТЕРАТУРА

1. Каркищепко A.H., Лепский A.E., Безуглов A.B., Об одном способе векторного Ч аналитического представления контура изображения/ Изв. ТРТУ "Материалы Вееров научно-техн. конф. "Интел. САПР-97", Таганрог: ТРТУ, 1998, №2(8), с.107-111.

2. Лепский А.Е., Кривизна и вес точки контура плоского изображения объскта/тезисы докл. Всерос. науч.-техн. конф. "Компьютерные технологии в инж. и управл. деятельности", ТР ГУ, Таганрог, 1998.

УДК 007.001.362

А.Б. Лепский ОЦЕНКА ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОГО ВЕСА В ОДНОМЕРНОЙ МОДЕЛИ ЗАШУМЛЕНИЯ КОНТУРА ПЛОСКОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ

1.Введсние

При распознавании плоских проекций изображений объектов по их контурам большую роль играют точки контура, имеющие высокую кривизну. Такие точки называют контрольными. Поскольку изображение обычно является зашумленным, то кривизну контура в точке стараются оценить косвенно. При этом предпочтение отдается тем методам оценки кривизны, которые являются устойчивыми к зашумлению (см., например, [1], [2]). В этой работе для оценки кривизны будем использовать метод геометрического сглаживания, предложенный в работе [2]. В этом методе каждой граничной точке Р бинарного

. ( \ /1,0',У)е/

изображения /: yUy J, £7(у = ^ ^ ставится в соответствие вес этой точке по формуле

V(F)= \м(Р)-ЩН

max{ М( Р), М( F)} ’ где М(Р) = ^ЛеиАпау, M(P) = 'Z{ij)<EUAP)(\-aij) число точек попадающих и соответственно не прпадающих в Е -окрестность Ue(P) = {(.У,Аг): p{s — i$,k — Уд) — е} точки Р (здесь р некоторая метрика). Тогда

точка Р считается контрольной, если VE(P)>h, где he [0,1] некоторое пороговое

значение. Известно (см. [3]), что вес является асимптотической функцией кривизны контура в Данной точке. В настоящей статье рассмотрена одна модель одномерного зашумления и показана устойчивость веса к такому зашумлению.

2. Модель целочисленного одномерного зашумления

Введем в рассмотрение следующие классы функций:

Аш([а,¡3\,Т) - множество параметрически заданных целочисленных функций, т.е. пар Функций s(t)=(x(t))y(t))ailip, определенных на [tt,/J], без самопересечений и

Удовлетворяющих условию: для конечного разбиения Т= отрезка [&,Р\ и любой

Функции ^(/) = (x(i),X0)a^s/3eAjnt([a,^],T) либо x(t) = COnSt, либо y(t) = const Ha[/fc>^+i) Для всех k\

Л®п1([а, Д],т) - множество параметрически заданных ступенчатых функций, т.е. пар Функций j(i) = y(0)a<t^p € Ани([а,Д]>т) и удовлетворяющих условиям: