CC BY
82
УДК 681.39; 007.001.362 Федотов Н.Г., Голдуева Д.А.
ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет», Пенза, Россия
ТРЕЙС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТЕКСТУР, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Введение
Согласно существующим в настоящий момент методам анализа трехмерных поверхностей, формирование признаков осуществляется на основе контурного и текстурного описания наблюдаемой проекции изображения трехмерного объекта, целью которых является инвариантное представление объекта при изменении его масштаба и поворота в наблюдаемой плоскости.
Большинство методов распознавания трехмерных объектов, как правило, предполагают анализ плоских проекций наблюдаемых изображений. Такой подход объясняется относительной новизной задачи распознавания 3Б-образов, в то время как по задачам распознавания плоских изображений накоплен богатый опыт. Поэтому методы 3Б-распознавания, в основном, базируются на обработке двумерных изображений .
Общая идея подобных алгоритмов заключается в следующем. Предположим, имеется изображение проекции некоторого трехмерного объекта из известного класса эталонных объектов. Тогда самый простой метод его распознавания будет заключаться в переборе всех возможных комбинаций проекций эталонных объектов и выбора среди них наиболее подходящих к представленной проекции в соответствии с выбранной мерой сходства. В результате работы такого алгоритма сразу несколько объектов из эталонных могут подходить к представленной проекции. Например, по одной из проекции цилиндра можно сделать вывод, что это еще и шар. Поэтому ошибки распознавания такого рода в алгоритмах распознавания 3Б-образов по одной проекции не исключаются.
Почти все алгоритмы распознавания трехмерных образов реализуют описанную выше идею и отличаются лишь способом подбора проекций трехмерных объектов. Таким образом, они предполагают предварительное упрощение анализируемого трехмерного объекта, что ведет к потере существенной доли полезной информации и, как следствие, к снижению точности анализа 3Б изображений.
В настоящей статье предлагается новый универсальный подход к анализу текстур, представленных в трехмерном пространстве, основанный на аппарате стохастической геометрии и функционального анализа, позволяющий анализировать подобные текстуры непосредственно, без предварительного их упрощения .
Кроме того, большинство методов анализа трехмерных объектов оперируют небольшим количеством признаков, имеющих конкретную интерпретацию в терминах решаемой задачи. Метод анализа трехмерных текстур, основанный на аппарате стохастической геометрии и функционального анализа, позволяет в режиме автоматической генерации формировать десятки тысяч признаков изображений, что повышает надежность их классификации. Рассматриваемое в настоящей статье трейс-преобразование является первым этапом анализа текстур, представленных в трехмерном пространстве.
1. Общая теория трейс - преобразования
Подход с позиции стохастической геометрии позволяет автоматически, без непосредственного участия эксперта генерировать большое число новых признаков, имеющих не только конкретную интерпретацию в терминах рассматриваемой задачи, но и являющихся абстрактной характеристикой изображения. Опора на большое количество признаков повышает надежность распознавания.
Признаки изображения в рассматриваемом подходе имеют структуру в виде композиции трех функционалов [1] :
П(F) = © о P о T(F n l(в,р)) ,
где 0, р полярные координаты сканирующей прямой 2(0, р), с которыми связаны функционалы 0 и P соответственно; функционал T связан с параметром t, задающем точку на сканирующей прямой 2(0, р); F(x, у, z) - функция изображения в пространстве (х, у, z). Подобное представление признака оказалось продуктивным в силу своей геометричности: многие известные формулы стохастической геометрии и известные преобразования Радона, Хо, Фурье и др. укладываются в такую трехкомпонентную форму [2] . В связи с характерной структурой такие признаки были названы триплетными. Функционал Т называют трейс-функционалом, P - диаметральным функционалом, 0 - круговым функционалом. Функционалы T, P и 0 выбираются из различных областей математики: теории вероятности, математической стати-
стики, теории рядов и фракталов, стохастической геометрии и т. д. Таким образом, триплетные признаки сохраняют следы генезиса соответствующих областей математики, чем объясняется гибкость и интеллектуальность алгоритмов распознавания, базирующихся на триплетных признаках. В частности, при надлежащем выборе функционалов можно получать признаки инвариантные по отношению к движению и линейным деформациям изображений, что очень важно при распознавании текстур микрошлифов из области металлографии [3] . Кроме того, могут быть получены признаки, которые простым образом зависят от указанных преобразований [4].
Первым этапом формирования триплетного признака является геометрическое трейс-преобразование (трейс от английского слова trace - след), связанное со сканированием изображения по сложным траекториям. Рассмотрим данное преобразование боле подробно.
Прямая 2 на плоскости может определяться перпендикуляром р (р ^ 0), проведенным из начала координат к этой линии, и углом 0 (0 £ 0 £2р) между перпендикуляром и положительным направлением оси Ох:
2(0, р)= {(x, у)| x cos 0 + y sin 0 = р},
где x, у - декартовы координаты на плоскости.
Таким образом, множество всех направленных прямых G, пересекающих круг радиусом R с центром в начале координат («сетчатку»), однозначно параметризуется множеством
Л = {( 0, р)| 0 < 0 < п, - R < р < R}
при том условии, что параметры (0, р) и (п, - р) задают одну прямую. Множество прямых на сетчатке есть в топологическом смысле не что иное, как лист Мёбиуса.
Наибольшее применение в прикладных исследованиях нашел вариант сканирования изображения совокупностью дискретных решеток. Изображение F(x, у) на входной сетчатке распознающей системы сканируется решеткой параллельных прямых, отстоящих друг от друга на некоторое расстояние Др. Далее сканирование производится для нового значения угла, получившего дискретное приращение Д0, решеткой линий с тем же расстоянием Др между линиями.
Рассмотрим функцию трёх независимых переменных
2(0, р, t) = (р cos 0 - t sin 0, p sin 0 + t cos 0).
Это естественное параметрическое представление сканирующей прямой. Параметр t связан с естественной одномерной системой координат на прямой.
Каждой точке t сканирующей прямой 2(0, р, t) ставится в соответствие число из множества {0, 1} согласно следующему правилу:
f(6, р, t)
1; t є F п l,
0; t Ї F п l.
Эта функция равна 1 в интервалах пересечения прямой с изображением - интервалы (ti, t2) и (t3, t4). В других точках прямой 2 она равна нулю.
Посредствам первого из тройки, образующей триплетный признак, функционала T получаем некоторую характеристику g взаимного расположения сканирующей прямой 2(6, р) и изображения F, т.е. g(6, р) = T(F п 1(9,р)) = Tf (6, р, t)
В качестве указанной характеристики может выступать число пересечений прямой с изображением, свойства окрестности такого пересечения и т.п. В простейшем случае функционал Tf(6, р, t) может быть суммой длин ненулевых отрезков в области определения функции f(6, р, t). Функционал Т назван трейс-функционалом. Для нас желательным свойством является независимость вычислений от движения изображения, поэтому единственное требование, которое мы накладываем на Т, формулируется следующим образом. Пусть изображение претерпело сдвиг и поворот, при этом возникло новое изображение F'.Под действием того же преобразования прямая 2, пересекающая изображение F, перейдет в прямую 2', оставаясь, таким образом, «вмороженной» в изображение. Требуется, чтобы T(2, F) = T(2', F'). Это равенство должно быть верным для всех прямых и всех допустимых изображений. Такое свойство назовем полной инвариантностью функционала Т.
Аналогично, как и в стохастической геометрии, определена случайная величина g(6, р) =
T(Fп 1(9,р)) , распределение которой не зависит от сдвигов и поворотов изображения. Поэтому числовые характеристики этой случайной величины опять могут служить признаками изображений.
Совокупность характеристик g(6j, р±) взаимного расположения всех возможных сканирующих прямых 2(6j, р±) и изображения F(x, у) образует трейс-матрицу, элемент T(6j, р±, t) которой есть значение
функционала Т, характеризующее взаимное расположение исследуемого изображения F(x, у) и сканирующей линии 2 с i-ым значением параметра р и j-ым значением параметра 6.
Будем считать, что если прямая 2 не пересекает изображение, то T(F п 1(9, р)) есть заданное число (например, 0). Трейс-матрица 2п-периодична в направлении горизонтальной оси О0, причем через каждый интервал длины п столбцы её переворачиваются. Это объясняется тем, что множество сканирующих прямых составляют неориентированные прямые, т.е., прямые с координатами (0, р) и (0 +п, - р) на плоскости изображения задают одну и ту же прямую. Таким образом, первоначальному изображению F(x, у) можно поставить в соответствие новое изображение Ф(6, р), цвет (или яркость) в каждой точке (6j, р±) которого определяется числом T(6j, рі, t). Полученный образ есть трейс-трансформанта.
Преобразование, переводящее исходное изображение в трейс-трансформанту, есть трейс-
преобразование.
Если выбрать в качестве Т функционала суммарную длину пересечения Tf(6, р, t) = ^xf , то в
i
этом частном случае трейс-преобразование совпадает с преобразованием Радона для бинарных изображений. Примеры применения преобразования Радона в качестве трейс-преобразования можно найти в работах.
Следует отметить, что при определенном выборе Т функционала трейс-преобразование становится эквивалентным преобразованиям Фурье, Хо, Радона-Хо, но не совпадает с ними.
Трейс-преобразование является эффективным инструментом при изучении движений распознаваемых объектов и их масштабных изменений. Это объясняется тем, что трейс-трансформанта сохраняет информацию о первоначальном объекте, т.е. тип трейс-матрицы не изменяется под действием группы движений (поворота, переноса) и гомотетии, но каждое из этих преобразований вносит свою характерную компоненту при формировании трейс-трансформанты.
2. Трейс - преобразование текстур, представленных в трехмерном пространстве
Текстуры, представленные в трехмерном пространстве, в отличие от двумерных, имеют еще одну группу характеристик, описывающую особенности высот. Поэтому, для анализа подобных текстур, целесообразно построить совокупность признаков, учитывающую как особенности проекции текстуры на плоскость хОу, так и особенности высот анализируемых изображения.
В настоящей работе для примера рассматривались трехмерные текстуры, полученные при помощи атомно-силового микроскопа.
Пример трехмерной текстуры, полученной при помощи атомно-силового микроскопа, демонстрирует рисунок 1.
полученной при помощи атомно-силового микроскопа Для построения трейс-матрицы анализируемая текстура сканируется сеткой параллельных ей, перпендикулярных плоскости (хОу). Результатом пересечения сканирующей плоскости и
плоско-
анализи-
руемой поверхности является некоторая кривая q(9,p,z) , заданная в цилиндрической системе коорди-
нат параметрами в, р и z. Каждая кривая q(q,P,z) разбивается на участки, соответствующие интервалам между двумя соседними минимумами. Каждому участку кривой q(0,p, z) ставится в соответствие некоторая характеристика. Далее совокупности полученных значений функционал Т ставит в соответствие некоторое число д(в], pi), характеризующее взаимное расположение сканирующей плоскости а и изображения F(x, y, z) . Совокупность характеристик д(вj, pi) взаимного расположения всех возможных сканирующих плоскостей и изображения F(x, y, z) образует трейс-матрицу.
Триплетные признаки трехмерных текстур имеют следующий вид: n(F) = © о P о T(F na) ,
где а - сканирующая плоскость перпендикулярная плоскости хОу, F(x, у, z) - функция изображения в пространстве (х, у, z)., заданная в цилиндрической системе координат параметрами в, р и z. Проекция кривой q на плоскость хОу есть прямая 1(в, р), где в, р её полярные координаты, с которыми связаны функционалы 0 и P соответственно; функционал T связан с параметром t, задающим точку на прямой 1.
Для анализа трехмерных текстур, выделим две группы триплетных признаков:
признаки, характеризующие особенности проекции минимумов трехмерных текстур на плоскость хОу;
признаки, характеризующие особенности высот трехмерных текстур.
Причем вторую группу можно подразделить на три 2.1, 2.2 и 2.3.
Признаки первой и второй группы имеют одинаковую трехфункциональную структуру. Отличие между ними заключается лишь в подходе к заданию характеристик отрезков прямой 1(в, р), соответствующих одному участку кривой q между двумя значимыми соседними минимумами. Для построения признаков, характеризующих особенности проекции трехмерных текстур на плоскость хОу, каждому отрезку ai прямой 1(в, р), соответствующему i-му участку кривой q между двумя значимыми соседними минимумами, ставится в соответствие его длина. Для построения признаков типа 2.1 каждому отрезку ai прямой 1(в, р), соответствующему i-му участку кривой q между двумя значимыми соседними минимумами, ставится в соответствие максимальная высота на отрезке ai. Для построения признаков типа 2.2 каждому отрезку ai прямой 1(в, р), соответствующему i-му участку кривой q между двумя значимыми соседними минимумами, ставится в соответствие коэффициент асимметрии. Для построения признаков типа 2.3 каждому отрезку ai прямой 1(в, р), соответствующему i-му участку кривой q между двумя значимыми соседними минимумами, ставится в соответствие радиус кривизны в точке с максимальной координатой z отрезка ai.
Для формирования признаков первого и второго типа функция £(в, р, t) принималась равной:
f(e, р, t) = z, где z - высота в точке t прямой 1(в, р) такой, что F паФ0 , 1(в, р) - проекция пересечения f na на плоскость xOy.
По построенной трейс-матрице путем последовательной свертки диаметральным и круговым функционалом определяется признак n(F) = © о р о T(F na) .
Заключение
Существует обширный класс задач медицинской, технической диагностики, где ключевая информация заключена в зрительных образах, многие из которых содержат текстуры, представленные в трехмерном пространстве. В настоящей статье рассмотрена задача построения трейс-преобразования для текстур, представленных в трехмерном пространстве. Трейс-преобразование является удобным инструментом изучения движущихся объектов и объектов, подвергающихся масштабным изменениям. Оно дает основу для инвариантного по отношению к аффинным преобразованиям распознавания и кроме того определяет параметры этого преобразования. Трейс-преобразование является также источником формирования нового класса конструктивных признаков распознавания - триплетных признаков, характерной особенностью которых является их структура в виде композиции трех функционалов. Предложенный в статье метод построения трейс-преобразования текстур, представленных в трехмерном пространстве, позволяет формировать триплетные признаки двух типов: характеризующие особенности проекции текстур, представленных в трехмерном пространстве, на плоскость (хОу); характеризующих особенности высот текстур, представленных в трехмерном пространстве. Таким образом, построенная группа признаков позволит более полно описать трехмерные текстуры без предварительного их упрощения. Благодаря трехкомпонентной структуре триплетных признаков возможна генерация большого их количества, что позволяет увеличить гибкость, универсальность и надежность распознавания. Причем при определенном выборе функционалов, входящие в структуру триплетного признака, формируемые характеристики приобретают свойства инвариантности к группе движений и масштабным преобразованиям.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 12-07-00501
ЛИТЕРАТУРА
1. Федотов Н.Г. Методы стохастической геометрии в распознавании образов. Москва: Радио и
связь, 1990. - 144с.
2. Федотов Н. Г. Теория признаков распознавания образов на основе стохастической геометрии и функционального анализа. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 304 с.
3. Федотов Н.Г., Голдуева Д.А. Анализ цветных объектов с позиции стохастической геометрии и функционального анализа // Надежность и качество : труды Международного симпозиума : в 2 т. -Пенза : Изд-во Пенз. ГУ, 2012. - Т. 2. - С. 390-392. http://elibrary.ru/item.asp?id=17917107
4. Федотов Н.Г., Романов С.В., Крючкова Е.А., Мокшанина Д.А. Автоматическая генерация триплетных признаков распознавания изображений ультразвуковых исследований // Надежность и качество : труды Международного симпозиума : в 2 т. - Пенза : Изд-во Пенз. ГУ, 2010. - Т. 2. - С. 263-265. http://elibrary.ru/item.asp?id=15601906
