CC BY
42
Метод циклографического моделирования, применяемый для решения задач геометрической оптики на плоскости, позволяет решать любую из задач оптического преобразованиях пучков прямых на плоскости. Результаты работы могут быть использованы в тех областях науки и техники, где моделируемые процессы какого-либо излучения подчиняются законам геометрической оптики.
Список литературы
1. Корнблит С. СВЧ оптика. Оптические принципы в приложении к конструированию СВЧ антенн: пер. с англ. / под ред. О. П. Фролова. М.: Связь, 1980. 360 с.
2. Кобак В. О. Радиолокационные отражатели / под ред. О. Н. Леонтьевского. М. : Сов. радио, 1975. 248 с.
3. Юрков В. Ю., Литунов С. Н. Основы теории и расчета светонаправляющих конструкций: моногр. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2015. 112 с.
4. Борисова К. В. [и др.]. Расчёт отражающей поверхности, фокусирующей излучение в произвольную кривую в пространстве // Компьютерная оптика. 2014. № 3. С. 449-455.
5. Литунов С. Н., Ревзина Н. В. , Юрков В. Ю. Конструирование криволинейного отражателя // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. 2015. № 1 (137). С. 5-8.
6. Pottmann H., Wallner J. Computational Line Geometry. Berlin. Heidelberg: Springer Verlag, 2001. 565 p.
7. Fiedler W.: Cyklographie. Leipzig, Poggendorff III, 1882. 440 p.
8. Peternell M. Rational two-parameter families of spheres and rational offset surfaces // Journal of Symbolic Computation. 2010. Vol. 45. P. 1-18.
9. Панчук К. Л., Кайгородцева Н. В. Циклографическая начертательная геометрия: моногр. Омск : Изд-во ОмГТУ, 2017. 232 с.
10. Choi H. I., Choi S. W., Moon H. P. Mathematical theory of medial axis transform // Pacific J. Math. 1997. Vol. 181(1). P. 57-88.
11. Любчинов Е. В., Нитейский А. С. , Панчук К. Л. Геометрическое моделирование криволинейных отражателей // Россия молодая: передовые технологии - в промышленность. 2017. № 1. С. 254-260.
12. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М. : Гос. изд-во техн.-теорет. литер., 1956. 420 с.
УДК 004.925.83
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГЕНЕРАЦИИ СЕМЕЙСТВА КОНТУРНО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ (ЭКВИДИСТАНТ) ОБРАБАТЫВАЮЩЕГО ИНСТРУМЕНТА
GEOMETRIC MODEL OF GENERATION OF THE FAMILY OF THE CONTOUR-PARALLEL TRAJECTORIES (EQUIDISTANT FAMILY) OF THE MACHINE TOOL
Т. М. Мясоедова, К. Л. Панчук
Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия
T. M. Myasoedova, K. L. Panchuk
Omsk State Technical University, Omsk, Russia
Аннотация. В работе рассмотрено аналитическое решение геометрической модели формообразования эквидистантных кривых, т.е. контурно-параллельных линий для плоского контура с островом. Геометрическая модель являются пространственной и основана на циклографическом отображении. Она отличаются от известных моделей и их решений для рассматриваемой задачи формообразования тем, что на этапах компьютерной пространственной визуализации позволяет получать более полное и наглядное представление о взаимосвязи и взаимовлиянии геометрических объектов модели. Приведен пример, подтверждающий работоспособность предложенной геометрической модели рассматриваемой задачи формообразования. Модель может быть использована при автоматизированном проектировании траектории режущего инструмента для обработки карманной поверхности на станках с ЧПУ.
Ключевые слова: эквидистанта, циклографическое отображение, «-поверхность, геометрическая модель, контурно-параллельные траектории инструмента.
DOI: 10.25206/2310-9793-2018-6-2-262-269
I. Введение
Контурно-параллельные траектории обрабатывающего инструмента, геометрически представляющие собой семейство эквидистантных линий, являются широко используемыми траекториями для выполнения операции фрезерования, например, при формообразовании карманных поверхностей [1, 2].
Решение задачи генерации контурно-параллельных траекторий с применением диаграмм Вороного рассмотрено в работах [3, 4] и основано на определении биссектрис линий и круговых дуг. Нахождение контурно-параллельных траекторий перемещения инструмента для обработки изделий на станках с ЧПУ с использованием программной среды CAM/CAD систем основано на применении медиальной оси преобразований MAT (medial axis transform) области с граничным контуром [5, 6, 7, 8, 9].
Большинство применяемых моделей генерации в геометрическом плане являются плоскостными. В них при генерации контурно-параллельных траекторий образуется семейство эквидистантных линий относительно контура кармана и семейство эквидистантных линий относительно контура острова в кармане. Эти семейства рассматриваются как разные геометрические объекты, что приводит к проблеме, когда карманные внутренние и островные наружные эквидистантные линии начинают пересекаться [10, 11], что требует дополнительного анализа и разработки алгоритма отсечения нерабочих частей пересекающихся линий. В предлагаемой пространственной геометрической модели оба семейства рассматриваются как единый геометрический объект. Это позволяет получить на этапах компьютерной визуализации более полное и наглядное пространственное представление о взаимосвязи и взаимовлиянии всех геометрических объектов, участвующих в образовании семейства эквидистантных линий, и тем самым минимизировать вычислительные затраты и ошибки вычислений.
Эквидистанта, в зависимости от положения относительно исходного граничного контура, может иметь петли самопересечения. Возникает задача «обрезки» самопересекающихся эквидистант. Задачу исключения петель самопересечения семейства эквидистант внутри области решают, используя медиальную ось преобразований области MAT. Под MAT понимается множество всех вписанных в область кругов максимальных радиусов, т.е. касающихся ее граничного контура. Координаты (x,y) центра круга и его радиус R - это тройка чисел, множество которых для всех вписанных кругов максимальных радиусов определяет MAT [5, 6, 7, 8]. Центры всех этих кругов образуют медиальную ось MA. Самопересечение эквидистанты происходит в точках на MA и определяется на основании информации о радиусах вписанных кругов. Таким образом, MAT, как множество пар «точка, радиус», позволяет решать задачу обрезки эквидистант с последующим переходом к автоматизированному проектированию контурно-параллельных линий, представляющих собой траектории режущего инструмента.
Возможен иной подход к формированию семейств эквидистант (в дальнейшем множество OC - offset curves), основанный на представлении MAT как некоторого пространственного образа, взаимно-однозначно соответственного заданному прообразу - плоской области с граничным контуром. В новом подходе MAT - это пространственная кривая, восстановленная на основе циклографического отображения [9, 14] в пространстве по геометрической информации об области и ее граничном контуре. MAT образуется при пересечении всевозможных линейчатых а-поверхностей, образующие прямые которых наклонены к плоскости контура под углом а=45° [15]. При этом а-поверхности формируются по геометрической информации об области и ее граничном контуре. Это приводит к формообразованию некоторой а-оболочки, накрывающей заданную область с граничным контуром. А -оболочка и плоская область с граничным контуром - это взаимно-однозначно соответственные двухпараметрические геометрические объекты. Последующее рассечение а-оболочки множеством горизонтальных плоскостей вдоль оси z с шагом Azi=S=const приводит к образованию на ней семейства линий уровня, ортогональные проекции которых на плоскости заданной области представляют собой семейство OC внутри этой области. Семейство OC необходимо для последующих автоматизированных расчетов траектории перемещения инструмента, обрабатывающего карманные поверхности, и составления управляющих программ для станков с ЧПУ.
II. Постановка задачи
Сравнивая два подхода к формообразованию OC - существующий и предложенный в настоящей работе, можно заметить различие технологий формообразования: в первом случае MA формируется на основе уплотняющей интерполяции (уплотнение множества касательных кругов, заполняющих плоскую область) с выполнением последующего построения семейства OC и, при необходимости, MAT. Во втором случае вначале формируется MAT, затем строится а-оболочка и выполняются сечения ее пучком горизонтальных плоскостей с равным шагом по оси z. После этого получают MA и семейство OC на основе ортогонального отображения линий сечения на плоскую область.
В предлагаемом подходе отпадает необходимость в сложном аналитическом оперировании множеством касательных кругов для получения MA, MAT и OC. При этом появляется возможность получения на этапах ком-
пьютерной визуализации более полного и наглядного пространственного представления о взаимосвязи и взаимовлиянии всех геометрических объектов, участвующих в образовании множества OC. Исходя из предложенного подхода к формообразованию линий OC ставится задача разработать геометрическую модель с аналитическим решением, реализующую этот подход, и выполнить экспериментальную проверку работоспособности этой модели.
III. Теория формообразования МАТ
MAT представляет собой пространственную кривую линию, которая ограничивает по высоте (в направлении оси z) a-оболочку, представляющую собой отсек составной линейчатой а-поверхности. ^4-оболочка опирается на граничный контур заданной области на плоскости (xy). Между двумерными множествами точек а-оболочки и области существует взаимно-однозначное соответствие. MAT и a-оболочка полностью определяются заданной областью и ее граничным контуром.
Пусть на плоскости (xy) заданы некоторые замкнутые многоугольные контуры: a(ab...,a„) и b(bb...,bk). Внешний контур a(ab...,a„) состоит из отрезков a, последовательно соединенных своими концами, внутренний островной контур b(bb...,bk) состоит из отрезков bj, также последовательно соединенных своими концами. Отрезки контуров a и b представлены уравнениями:
a, : rai = (xa,(t,Xya,(t,)); bj : rbj = (xbj(tj),ybj(tj)); t,,tj 6 R .
Через каждый отрезок проводится плоскость, для отрезков внешнего контура a под углом 45° к плоскости (xy), для отрезков внутреннего контура b - под углом -45° к плоскости (xy). Для моделирования плоскостей к каждому отрезку контура в плоскости (xy) задается эквидистанта. Для отрезков a¡ внешнего контура эквидистанта eai(xy) задается во внутрь замкнутого контура a, для отрезков внутреннего контура b¡ эквидистанта ebj(xy-) задается снаружи замкнутого контура b. Затем каждая из эквидистант смещается по оси z в одном из направлений на величину ее параметра положения относительно отрезка исходного контура. В результате смещений образуются линии eai и ebj. Линии a„ eai, и bj, ebj попарно образуют ограниченные линейчатые a-поверхности (а-плоскости) P¡ и Pj, для которых эти линии служат направляющими:
P, : rPl (t,, lt) = rai(t,) + lt (rea. (t,) - rai(t,)) , Pj : rpj (tj, Ij ) = rbj(tj ) + Ij (T4¡ (tj ) - jtj )).
На вершинах вогнутых углов внешнего контура и на вершинах выпуклых углов внутреннего контура строятся конические поверхности вращения c углами при вершинах, равными 90°:
Con, : xvl = Xvl + R, cos(t„ )lVI, yVI = YVI + R, sin(tw )lVI, zvl =-R,lVI;
Conj : xvj = Xvj + Rj COs(tvj )lvj , yj = Yvj + Rj sin(tvj )lv, , Zvj = -Rjlvj ,
где (Xvi,Yvi) - координаты вершин вогнутых углов внешнего контура, R - радиусы оснований конусов по внешнему контуру, (XVj,YVj) - координаты вершин выпуклых углов внутреннего контура, Rj - радиусы оснований конусов по внутреннему контуру, при этом вершины углов и вершины конусов совпадают, оси конусов перпендикулярны плоскости контуров. a-поверхности образуют линии пересечения, отрезки которых представляют собой сегменты MAT. Обозначим линии пересечения как ^ = P, П Pj ; s2 = Cont ПP; s3 = Con¡ П Pj;
s4 = Conj ПP¡; s5 = Conj ПPj ; s6 = Coni П Conj . Линия MAT формируется сегментарно в результате объединения отрезков линий s¿. a-проекциями линий s,(sb...,s6) являются линии a¡ и bj. Под a-проекцией каждой из линий sj,...,sg, принадлежащих a-поверхностям, понимается множество точек пересечения, образующих прямых a-поверхности с плоскостью (xy). При этом образующие наклонены к плоскости (xy) под углом 45° и проходят через линию s. Следовательно, линии a¡ и bj представляют собой ветви линии пересечения плоскости (xy) и огибающей однопараметрического множества a-конусов с вершинами на s¡ и осями, перпендикулярными плоскости (xy). Основание каждого конуса на плоскости (xy) это окружность радиуса R=z, касающаяся линий a¡ и bj. Таким образом, на плоскости (xy) образуется непрерывное множество троек чисел (x,y,R=z), которое, по приведенному выше алгебраическому определению, представляет собой линию MA T.
IV. Результаты эксперимента
1. Построение MAT, MA и OC для многоугольных контуров
Рассмотрим построение геометрических объектов MAT, MA и OC для области с замкнутым многоугольным контуром и многоугольным островом в ней. Исходными данными являются внешний контур - линия ABCDEA
и внутренний контур - линия КЬМК. Внешний контур задан точками .4(60, 20), 5(45, 75), С(110, 84), -0(95, 55), £(130, 43). Внутренний контур - точками К(70, 35), ¿(72, 62), М(85, 42) (рис. 1). Внешний и внутренний контуры описываются параметрическими уравнениями своих отрезков: г, = (х, ), у, ^^), )); 0 < < 1.
На основе циклографического отображения формируются а-плоскости и а-поверхности конусов (см. п. III). Плоскости проходят через стороны заданных многоугольников. Для внешнего контура плоскости имеют угол наклона 45° к (ху), для внутреннего - угол наклона -45°. У вершины вогнутого угла внешнего контура и у вершин выпуклых углов внутреннего контура формируются конусы с углами 90°при вершинах (рис. 2).
Рис. 1. Исходные контуры: ABCDEA - внешний, Рис. 2. Л-образы вершин и сторон внешнего
KLM - внутренний (островной) и внутреннего контуров
Затем определяются линии пересечения между плоскостями и линии пересечений поверхностей конусов и плоскостей. В результате получено 15 уравнений линий пересечения ILt (/"= 1,___,15) :
rILl = (XIU (tILi X УН, (tILi X ZIL, (tILi )) i 0 ^ tIL, ^ 1 ■
В дальнейшем рассчитываются точки пересечения 71,..., Tn полученных пространственных линий IL1v , IL15 (рис. 3). Затем определяются уравнения элементарных сегментов ES, : ES,= T{Ti+1, где T, - начальная точка сегмента, T,+i - конечная точка сегмента. В результате сформированы элементарные сегменты ES, и составлены их уравнения ES, :rEl = (xEl (t, ), yEl (t, ), zEl (t, )), 0 < t, < 1; ESX = TXT2, ES2=T2T3, ES3=T3T4, ES4=T4T5, ES5=T5T6,
ES6=T6T7, ES7=T7T8, ES8=T8T9, ES9=T9T10, ES10=T10Tn, ESn= TnTb Объединение элементарных сегментов ES,, i=1,___,11 и линий IL12, IL13, IL14, IL15 приводит к образованию линии MAT.
Рис. 3. Образование составной линии (Tb..., T11) пересечения а-поверхностей
2. Объединение соседних элементарных сегментов ESi на одной поверхности в составной сегмент CSj построенной MAT (ESi - elementary segment, CSj - composite segment)
Линии и отрезки линий попарного пересечения всех построенных а-поверхностей являются элементарными сегментами ESi определяемой MAT. Для формирования единой а-оболочки необходимо объединить все ESi так, чтобы они были согласованы с соответствующими сегментами внешнего ABCDEA и внутреннего KLM контуров. А именно, для внешнего и внутреннего контуров объединение ESi происходит таким образом, чтобы составные сегменты CSj и ESi (не входящие в состав CSj), принадлежали одной а-поверхности. Относительно внутреннего контура in (internal contour) KLM можно получить следующие составные сегменты CSin и элементарные сегменты ESin:
CSM= CSini (Tn-T!-T2) = (ESnUESi) cCon(K); ESm2= ES^T-Ts) = ES2 c P(KL); CSin3= CSms (T3-T4-T5) = (ES3UES4) cCon(L); CSrnr CSm4 (T5-T6-T7-T8) = (ES5UES6UES7) c P(LM); CSm5= CSml (T8-T9-T10) = (ES8UES9) cCon(M); ESin6= ESm6(Tn-Tio) = ES10 c P(EA).
Для внешнего контура ext (external contour) ABCDEA формируются следующие составные сегменты CSext и элементарные сегменты ESext:
CSexa= CSexti (T1-T2-T3-T4) = (ES1UES2UES3) c P(AB);
CSexa= CSexa (T4-T5-T6) = (ES4UES5) c P(BC);
ESext3= ESext3(T6-T7) = ES6 c P(CD);
ESext4= ESext4(T7-T8) = ES7 c Con(D);
ESex6= ESexts(T8-T9) = ES8c P(DE);
CSext6= CSext6 (T9-T10-T11-T1) = (ES9UES10UES11) c P(EA).
Для того чтобы каждый составной сегмент можно было представить одним уравнением, в работе для этих целей применяется известный метод математического описания составных кривых [16].
Элементарные сегменты ESi, входящие в состав составных сегментов CSj, описываются уравнениями
Гы(t,) = (xEl(t,), Уе,(t,), zE,(t,)), t e [t0,t1].
Векторное уравнение R (г) составного сегмента может быть построено известным образом [16] и представлено в следующем виде:
____n ___
R(г) = R1 (t0) +zR(t0 + (tk -10)P(r,Tk_1 ,Tk гk-i)) -Rk(t0)), (1)
k=1
где n - количество элементарных сегментов ESi, R1(t10) - начальная точка составного сегмента, R,(t0) (i=2,..., n) - точки соединения элементарных сегментов (точки стыковки), Rn (tin) - конечная точка элементарного сегмента. Скалярная функция P(x,xk-1 ,rk -rk-1)соответствует известной функции P(r,a,w) [16]:
P(r,a,w) = — (w+ | г-a |-| г-a-w |), (w # 0). (2)
2w
Функция P(r,a,w) является непрерывной по параметру г При г< a функция P(r,a,w) = 0, при г< a+w функция P(r,a,w) = 1, внутри интервала a < г < a+w функция P(r,a,w) совпадает с линейной функцией — (г-a) для
w
случая w > 0.
Рассмотрим внутренний контур KLM. Для составного сегмента CSin1 (T11-T1-T2) = (ES11UES1) cCon(K) имеем: начальную точку T11=R1 (t°), точку T1=R2 (t°) соединения элементарных сегментов ES11 и ES1 и конечную точку элементарного сегмента T2=R3 (4). Согласно (2) заменим в уравнении ES11
rE11(t11) = (xE11(t11), yE11(t11), zE11(t11))
параметр t11 на P(г,0,1), а в уравнении ES1
rE1 (t1) = (хН1(к\Уе1(Ч1 ZE1 (t1))
параметр t1 на P(t,!,2). Тогда уравнение составного сегмента CSin1 будет иметь следующий вид:
хм(т) =x(T„) - (x(Ti) + x(T2)) + XE„(P(rAl))+ XEi(P(r,l,2))- (х(Тц)-x(Ti)), yni(7) =у(Тп) - (y(Ti) + y(T2)) + yEli (P(7,0,i))+ yEi(P(T,1,2))- (y(Tii)-y(Ti)), zw(z) =z(Tn) - (z(Ti) + z(T2)) + Zeii (P(7,0,i))+ ZEi(P(r,i,2))- (z(Tii)- z(Ti)), 0 < 7< 2.
Аналогичным образом составляются уравнения всех остальных составных сегментов.
3. Формирование составной а-оболочки из отсеков линейчатых а-поверхностей
а-отсеки формируются как части линейчатых а-поверхностей, направляющими которых являются линии внешнего контура ABCDEA и согласованные с ними сегменты MAT, а также линии внутреннего контура KLM и согласованные с ними сегменты MAT.
Для внешнего контура ABCDEA, в том случае, когда сегменты MAT принадлежат плоскости, линии CSexti и AB, CSext2 и BC, ESext3= ESext3 и CD, ESext5 и DE, CSext6 и EA попарно образуют отсеки линейчатых а-поверхностей, представляющих собой плоские области Qext(k>
где и - параметр, определяющий положение точки на образующей линии поверхности.
В случае, когда сегмент линии МАТ принадлежит поверхности конуса, он согласуется с вершиной угла соответствующего контура. Для внешнего контура АБСБЕА сегмент ЕБехг4 согласован с вершиной угла Б. Отсек Qext4 соответствующей линейчатой а-поверхности определяется следующим образом (рис. 4):
Аналогичным образом составляются уравнения отсеков линейчатых а-поверхностей, построенных по внутреннему контуру KLM. Для внутреннего контура KLM сегменты, принадлежащие плоскости, и линии внутреннего контура, а именно: ESin2 и KL, CSin4 и LM, ESin6 и МК попарно образуют отсеки линейчатых а-поверхностей, представляющие собой плоские области GMjy Gin2, Gin4, Gin6.
Сегменты МА Т, принадлежащие поверхностям конусов внутреннего контура KLM и согласованные с вершинами, а именно: CSinI и K, CSin3 и L, CSin5 и M образуют отсеки линейчатых а-поверхностей Ginj): Gin1, Gin3, Gin5 (рис. 5) согласно уравнениям (1-5).
Из полученных отсеков линейчатых а-поверхностей формируется а-оболочка. Последующее рассечение а-оболочки плоскостями Pi (Azi=ô=const) горизонтального пучка плоскостей приводит к образованию дискретного семейства линий уровня на а-оболочке (рис. 6) и дискретного семейства их ортогональных проекций OC на плоскости (xy) (рис. 7).
Qext : rQl(*1, li) = r<xti(Ji) + li(rAB 7i) " rexti(7i)) , 0 < 7i < 3, 0 < lx < i;
Qext 2 : rQ2(T2> l2) = rext 2 (72) + l2 (rBC (72) ~ rext 2 7 2 )) , 0 < 7 2 < 2, 0 < l2 < i; Qexts: rQ3(73> l3) = rext3(^3) + l3(J^D (73) ~ rext3(^3)) , 0 < 7з < 1, 0 < l3 < i; Qx 5: rQ5(^5^ l5) = rext 5(75) + l5(rDE (75) ~ rx 5(Js)) , 0 < 7 5 < 1, 0 < l5 < i; Qext6: rQ6(T6, l6) = rext6(76) + l6(rEA (76) ~ rext 6(ЧУ) , 0 < 7 6 < ^ 0 < l6 < ^
ext1(i1
xQ4( 74,l4) xexi4(74)+x(D)(i - l4), yQ4(74,l4) =4- yexi4(74)+y(D)(i - k), ZQ4(74,l4) =4 Zexi4(Tl), 0 < 74 < i, 0 < l4 < i.
(3)
(4)
(5)
MAT
Рис. 4. Отсек Qext4 поверхности а-конуса
Рис. 5. Образование составной а-оболочки
Рис. 6. Рассечение а-оболочки пучком плоскостей
Pi (Azi= const)
КО М 10» ILlF |Д1
Рис. 7. Итоговый результат - семейство ОС и медиальная ось МА(ху)
Плоскости, рассекающие составную а-оболочку, описываются уравнением zPl=hi, где h=i d; i=0,1,2,...,n; n-количество секущих плоскостей, назначаемое исходя из конструктивных и технологических условий;
S = Zmaxx(MAT), где zmax(MAT) — максимальное значение аппликаты линии MAT. Пересечение а-плоскостей Pi n -1
и отсеков Gin(j) линейчатых а-поверхностей происходит по отрезкам линий: Lin(ij)=Pi^Gin(j), образующим составные линии OCin(i)= Lin(i>1)ULin(I;2)U^ULin(ii;) во внутренней относительно MAT части а-оболочки и по отрезкам Lext(i,k)=Pi^Gex,(k), образующим составные линии OC«x(o=L«x(a)ULex(i,2)U...ULex(i,k) во внешней относительно MAT части а-оболочки. Образующиеся по параметру hi семейства отрезков линий уровня L,„(,) и Lext(iikk) представляются параметрическими уравнениями:
LHj: r,n(,,J ) = (X,n(, j) (h , г J )5 yHUj) (h ,г J ^ Zm( I,j) (h, , г J )) , Lext(i,k): rex(\,k) = (xex(,k)(hгXyext(t,k)(hh,гkXzext(t,k)(hh,гk)) ,
где i - номер секущей плоскости Pi, Tj и тк - параметры формы отрезков Lin(ij) и Lex(ik) соответственно, j - номер отрезка составной линии OCin(i), к - номер отрезка составной линии OC^,).
V. Обсуждение результатов
Результаты вычислительного эксперимента по генерации семейства OC для случая двухсвязной области с замкнутым контуром выявили особенности предложенной геометрической модели генерации и вызвали необходимость постановки новой задачи, направленной на оптимизацию и расширение возможности модели на случай области большей связности. Постановка задачи обусловлена следующим обстоятельством, а-оболочка а8 в рассмотренном примере формируется из объединения двух частей: as = as(,n) U as(e<xt). Каждая из этих частей, в свою очередь, формируется как объединение отсеков соответствующих а-плоскостей и линейчатых
а-поверхностей: as(,n) = G,n(1) U G,n(2) U •••U Gm(J) ; as(ext) = Gext(1) U Gext(2) U •••U Gext(k) . По этой причине каждаЯ
из линий уровня OCi на а-оболочке формируется как объединение пар составных линий OCi=OCin(i)UOCext(i), где OCin(i)=Lin(i,1)ULin(i,2)U.ULin(!j), OCext(i)=Lext(i,1)ULext(i,2)U.ULext(i,k). Очевиден принцип последовательного получения отдельных геометрических объектов с последующим их объединением в однородные множества, характерный для рассматриваемой геометрической модели генерации семейства OC.
Отмеченный принцип, несмотря на то, что он и позволяет получать аналитическое решение задачи генерации, все же требует значительных вычислительных и временных затрат. В этой связи актуальным является решение сопутствующей задачи, направленной на представление а-оболочки как целостного геометрического объекта с единым аналитическим описанием и с сохранением аналитического решения задачи генерации. Решение сопутствующей задачи позволит минимизировать указанные затраты и расширит возможности предложенной геометрической модели для задач генерации семейства OC в многосвязных областях.
VI. Выводы и заключение
Для определения семейства OC связных и многосвязных областей с замкнутыми контурами, положенных в основу моделирования карманных поверхностей, предложена геометрическая модель на основе циклографического
отображения пространства R3. Все этапы аналитического решения сопровождаются образным представлением геометрических объектов и их отношений в виртуальном электронном пространстве геометрической модели. Предложенный в работе алгоритм генерации семейства OC для случая двусвязной многоугольной области может быть положен в основу генерации семейства OC для многосвязных многоугольных областей. Наличие аналитического решения задачи генерации семейства OC значительно упрощает автоматизированный расчет траектории инструмента и подготовку управляющих программ для обработки карманных поверхностей на станках с ЧПУ.
Список литературы
1. Park S.C. and Chung Y. C. Offset Tool-Path Linking for Pocket Machining // Computer-Aided Design. 2002 Vol. 34. № 4. P. 299-308.
2. Байков В. Д. Решение траекторных задач в микропроцессорных системах ЧПУ / Под ред. В.Б. Смолова. Л.: Изд-во «Машиностроение». Ленингр. отдел, 1986. 106 с.
3. Persson H. NC machining of arbitrary shaped pockets // Computer-Aided Design, 1978. 10(3). P. 169-174
4. Held M. On the Computational Geometry of Pocket Machining. Lecture Notes in Computer Science, Springer Verlag. Berlin. 1991. Vol. 500. Р.184.
5. Pottmann H., Wallner J. Computational Line Geometry. Berlin. Heidelberg: Springer Verlag, 2001. 565 p.
6. Lee D. Medial axis transformation of a planar shape // IEEE. Trans. 1982. Pat. Anal. Mach. Int. PAMI-4(4). P. 363-369.
7. Choi H. I., Han C. Y., Moon H. P., Roh K. H., Wee N. S.: Medial axis transform and offset curves by Minkowski Pythagorean hodograph curves // Computer-Aided Design. 1999. Vol. 31 (5). P. 9-72.
8. Choi H. I., Choi S. W. and Moon H. P. Mathematical theory of medial axis transform // Pacific J. Math. 1997. 181(1). P. 56-88.
9. Pottmann H. Peternell M. Applications of Laguerre Geometry in CAGD // Comp. Aided Geometric Design. 1998. Vol. 15. P. 165-186.
10. Xu-Zheng Liu, Jun-Hai Yong, Guo-Qin Zheng, Jia-Guang Sun. An offset algorithm for polyline curves // Computers in Industry. 2007. Vol. 58. P. 240-254.
11. Li X. J., Ye J. S. Offset of planar curves based on polylines // Journal of Institute of Command and Technology. Chinese. 2001. Vol. 12. P. 5-8.
12. Pham B. Offset curves and surfaces: a brief survey // Computer-Aided Design. 1992 Vol. 24. P. 223-239.
13. Maekawa T. An overview of offset curves and surfaces // Computer-Aided Design. 1999. Vol. 31. P. 165-173.
14. Fiedler W. Cyklographie oder Construction der Aufgabenüber Kreise und Kugeln und elementare Geometrie der Kreis- und Kugelsysteme. Leipzig, Druckund Verlag von B.G. Teubner, 1882. 284 p.
15. Панчук К. Л., Кайгородцева Н. В. Циклографическая начертательная геометрия: моногр. Минобрнауки России, ОмГТУ. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2017. 232 с.
16. Доля П. Г. Моделирование кусочно-гладких непрерывных функций и кривых // Вестник Харьк. нац. унта. Сер. Математическое моделирование. Информационные технологии. Автоматизированные системы управления. 2005. № 661. Вып. 4. С. 97-103.
УДК 004.925.83
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕМЕЙСТВА ЛИНИЙ КОНТУРНО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ КАРМАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ИЗДЕЛИЯХ МАШИНОСТРОЕНИЯ
GEOMETRICAL MODELING OF FAMILY OF LINES OF CONTOUR-PARALLEL PROCESSING OF POCKET SURFACES IN MACHINE-BUILDING PRODUCTS
Т. М. Мясоедова, К. Л. Панчук
Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия
T. M. Myasoedova, K. L. Panchuk
Omsk State Technical University, Omsk, Russia
Аннотация. В работе рассмотрены аналитические решения предложенных геометрических моделей формообразования эквидистантных кривых, т.е. контурно-параллельных линий для плоских контуров и ограниченных ими областей в случае применения кривых второго порядка в качестве таковых. Геометрические модели являются пространственными и основаны на циклографическом отображении. Они отличаются от известных алгебраических моделей и их решений для рассматриваемой задачи формооб-
