Оценивание достоверности распределения статистических частот случайной величины с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.В. РОМАНЮК, канд техк наук, доц ХНУ (м. Хмельницький

ОЦІНЮВАННЯ ВІРОГІДНОСТІ РОЗПОДІЛУ СТАТИСТИЧНИХ ЧАСТОТ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ З НЕВІДОМИМ МАТЕМАТИЧНИМ СПОДІВАННЯМ І ДИСПЕРСІЄЮ

Побудованоядро антагоністичної- ри для задачі безумовноїоптимізації за розйязком якої пропонуєтьсяприйматирішенняпро достатність! роведенижимірюваньвипадкововеличині'Иля того, щоб її реалізовувати відповідній математичній моделіуф ормі розподілу відносних статистичнихна стот Представленспрограму підтримки прийняттяр ішенняп ров ірогідність досліджуваногсрозподілу Іл.: 4. Бібліогр: 8 назв

Ключові слова антагоністична гра, випадкова величина розподіл статистичних частот прийняттярішення

ПостановкапроблемиВимірюванняіараметріЕвипадковихвеличинє складовоюматематичногомоделюванняявищі п роцесід де фігурують ці величини Зазвичай випадкова величина О у математичній моделі реалізуються формінормованогсмастотногсрозподілу

р(о)=[/г(д1) /г(р2) ь ^„.і) гМ (1)

скінченногонабору

Ьі 42 І- Чл-1 Ч„] (2)

своїх значені? де ґ(цк) є відносноючастотоюспостереженняначення

при е ^(Ч/с) = 1 та ґ(цк)о(<У,1і) " к = \ п. Якщо векгорнабір (2) подається

к=1

відсортованиняа фостанняіуіа про характеррозподілу(1) нічого невідомрто слушним буде перевірка нульової гіпотези про достатність проведених вимірюваньнад полем значень(2) для того, щоб надаліпрацюватиз даними (1) у досліджуванійиатематичнійиоделі Протетакеоцінюваннявірогідності розподілуетатистичнихчастот(1) випадковоївеличини О не може опиратись на відомі методиперевіркигіпотезипротой чи інший вид розподілу аджетут існує декількап роблем По-перше нам невідоміматематичнесподівання дисперсія випадковоївеличини О, тому можливд проведенихвимірювань недостатньоПо-другз яке є юслідкомпершогр якщопроведенижимірювань недостатньр то це означає також і потенційну необхідність розширення відрізка спостережені; . Тому перевіркурозподілуетатистичнихчастот

(1) випадковоївеличини О на вірогідність слід проводитиу більш широкому розумінні

Анал ізостанніздосл ідженьпубл ікацій Питанняперевіркигіпотез про тип розподілу генеральноїсукупності за даними емпіричних розподілів глибоко висвітлюються всіх посібникахі підручникахз теорії імовірностей та математичностатистик^ зокрема в [1 - 5]. Алетамнеставитьсяіитання про достатністьпроведени)еимірюваньдлятого, щоб реалізуваттастотний розподіл у досліджуваній математичній моделі Крім того, якщо для спостережень узято недостатньо широкий інтервал значень випадкової величину що може бути обумовленообмеженняміло часувимірюваньабо контактомз об’єктом, то взагалікажучи, додатковоспотворюєприпущення про реальниірозподілгенеральносукупності.

Мета і постановказавданьстатті. Будемовідштовхуватисвід того, що нам невідоміматематичнесподівання m(q) і дисперсія d(q) випадкової величиниQ, алепісляпроведенждеякихспостережені^прямихчи непрямих вимірювані ми отрималискінченний відсортованийнабір (2) з нормованим частотним розподілом (1), де q*. < q^+1 " к='\,п 1. Оскільки м(Q) є невідомим то ми не можемостверджуватищо М(q) » argmax f(qk), адже

на відрізку спостережень^.,; qn] може трапитись декілька максимальних значеньвекгора F(Q) з однаковимизначеннямиКрім того, я кию скажімо* у HacF(Q)=[0.4 0.25 0.25 0.]1, то можнаприпускати що тут математичне сподівання m(q) у межах відрізка [q,; q4] зміщеноліворуч і навітьцілком вірогідна ситуація м(Q)<q1 (котра може бути викликану наприклад некоректною постановкою експериментальних:постережен>> Тому метою цієїстаттіє оцінка того, чи ми можемовважатиотриманиі/у п роцесідеяких спостережень розподіл (1) скінченного набору (2) значень випадкової величини Q адекватнимдля його подальшогозастосуванну відповідній математичніймоделі Для цього необхідноп обудуватимодельоцінювання вірогідності розподілустатистичнихчастот(1) випадковоївеличини Q для її значень(2), дематематичнеподіванняМ(о) і дисперсіяd(q) є невідомими Таку модельр еалізовуватимемр формі структурованоїзадачі прийняття рішеньз частковоневідомоюінформацієїртобтоу форміантагоністичноґри.

Побудова дра антагоністичноїгри. Сформулюємоа дачуприйняття рішень у якій ми зацікавлену такомувиборізначеньвипадковоївеличиниО

з підмножини {q*}”^ відрізка [q^ q„], який п ризведедо найменшихвтрат

котрі зумовлюютьсявідхиленнямприйнятогоу даний моментзначенняд ієї випадковоївеличинивід істинного її значення m(q). Значить у відповідній антагоністичнійгрі ми будемовиконуватирольдругого гравця намагаючись

мінімізувати свої втрати [6, 7]. Різні випадкові обставину що, власну і зумовлюють випадковий характер величини О, уособлюватимушіершого гравця[8].

Позначимо через х та у чисті стратегії першогоі другого гравців відповідно де множини {хк)^ та {ук)^ чистих стратегій гравців співпадаючу яких їх /с-й елементвідповідаєобираннюзначення цк. Тоді ядро К[х, у) антагоністичноїгри у точці (ху) буде пропорційним модулю різниці х- у. При цьому коефіцієнт ропорційностіє додатноюфункцією 8 від модулярізниці х- у, і ця функція 8(| х- ^ є монотоннонеспадноюна

підмножині відрізка [д.,; . Таким чином ядромантагоністичноґри,

яку ми використаємодля оцінювання вірогідності розподілу статистичних частот(1) випадковоївеличини О для її значень(2), будеквадратнаиатриця

п -го порядку К = ) з елементами

а, =|ч -ду |з(|ц, -ду |) при/=ЇТп та у =ЇТп. (3)

Головнадіагональцієї матриціє, очевиднр нульовою

ж 0 з ІЧі -Ч2|«(|Чі-Ч 2|) і-

3 л 0 |_

к = :з М м

^-Чп-і|5(^гР ■МІ) Ь 2-ч »її 41 24 і) і-

-І) ІІ2-4 „| 3# 2-4 „І) I-

1 Ь і-Ч л-іі ^ .Й 4 'А пі 41 'Я «І) Ч1

1 \\ 2-4 п- 1І 41 а4 .А с| тЯ п| 41 -я Я ч

0 м М ч-

1 0 4-„-А ИІ-П-Я і)ч

1 с| *-і4 Л 41 »'А і) о

Такожочевидна симетричністьматриці(4): К =КТ .

Зауважимрщоу матричній грі з матрицею К = (а4 обидвагравці

володіютьоднаковопотужнимимножинамисвоїх змішаних стратегій Одну з них, асаме-множинузмішанихстратегійдругогогравця позначимсяк О,, де

д = ЕЬ=[д, % І_ д,]ОГ': дко[0\ і]" к = \ п, е дк =1з- (5)

Звісно У (5) значення д*. є імовірністю обираннячистої стратегії ук, тобто імовірністю прийняттярішенняпро використанню досліджуваній(вихідній) математичніімоделізначенняд* випадкововеличиниО.

Модельприйняття рішенняп ро вірогідністьрозподілу(1). Взагалі

мінімізація добутку Р'-К Є1т на множині (5), де Р є деякою змішаною стратегією першого гравця (з тієї ж, в принципі, множини). Але тут буде слушнимпокладаннітого, що у грі з матрицею(4) першийгравецьуже обрав свою змішану стратегіюу формі розподілустатистичнихчастот(І), яка до речі, є цілком змішаною Тоді другомугравцюзалишаєтьсрозйязатизадачу

Покажемо що ця задач^езумовно'Ьптимізаціїзавждимаєрозйязоку формі чистої стратегіїдругого гравця

Теоремаї. Задачабезумовноїоптимізації (6) завжди має хоча б один розйязоквиду

Доведенні! ід знакоммінімуму у задачі(б) маємсматричнийдобуток

Оскільки стратегія Р (О) є цілком змішаноюі матриця(4) єневЩємною

кажучи, в пґ л-грі з матрицею К = завданням ругого гравцяє

(6)

іо{аое:$<ь =1, /с о[ї77}} Магстіп ^(С^МОТ) я. (7)

Р(0)Ч< дт Н СЯ,

(8)

де

(9)

є числови№Єктороміри

п

Л;=Є " І= 1-п-

(Ю)

Тоді добуток(8) представимяк

(11)

то вектор (9) є додатним Томузадача(б) зводитьсядо мінімізації лінійної комбінації(11) п змінних {<7;}"^ з додатним коефіцієнтам^.

Нехай

/ї0тіп({/*}"=1)- (12)

П

Оскільки кожна змінна 0[0; 1] при 0 <7* =1, то

к=1

п І-1 п п

Є =е /} д + ^0© Р#6 Рія+,4я=

7=1 7=1 ¡1 +1 7=1

>N6

а " чЦ п

= е 9/ -1- ^7З1 -Є 9чЄ (£- Я* А (13)

7=1 3 7=1 Ч 7=1

7№ и 7 № Ш 7 / №

Згідноз (12) у виразі (13) кожен коефіцієнт (/7у - /7) переду єневЩємним томумінімізуватилінійну функцію (13) на множині (5) можнапри покладанні Я, =0 " 7= 1.л без у =/. Відповіднотоді <7, =1, і знайденізначення^}"^

утворюватимутшекгор ¿1 у (7), що і требабулодовести

Зауважимрщо при декількохмінімальнихелемента*екгора(9)

тіп({'’/};ч)={'іГч <14>

розйязкомзадачі(6)будевектор6 такий, що

^}м агстіп -(р(О)ЧС Є|Т) я. (15)

Але із усіх векторів виду (15) легко буде відібратиі ті , що відповідатимуть чистим стратегіямчругого гравця І якщо в одній з тих чистих стратегійбуде виконанаумова

цг =1 при )Отах{ (16)

то нам логічно можнабудевикористатизначенняд,г випадковоївеличиниО

у вихідній математичній моделі оскільки воно (експериментально спостерігалосімайбільшчасто і при його обираннінамиочікуютьсянайменші втрати

Власне умову (16) назвемонеобхідноюумовою вірогідності розподілу

статистичних частот (1) випадкової величини О для її значень (2), де математичнесподівання м(Оі) і дисперсія о(о) є невідомими а функція

8(| х- ^ для (3) заданаЯкщож ні п ри якомуз індексів {/} ^ не вдається

виконати умову (16), то розподіл (1) для заданої функції 8(| х- ^ слід

вважати неприйнятним (або ж неадекватний і вимагати додаткових вимірюваньвипадковоївеличини О. Це цілком природне? оскільки найменші втрати при обиранні значення випадкової величини не відповідатимуть найбільшімовірній (за сгатистичниміданимі) появі цієї величини

Програмапідтримкип рийняття рішенняп ро вірогідністьрозподілу (1). Перевірку виконання умови (16) зручно виконувати у середовищі МАТІ-АВ, у якому реалізуємо програмний модуль в!осїї ра гагтгїгеяагг підтримки прийняттярішенняпро вірогідність розподілустатистичнихчастот (1) випадкової величини (стохастичногопараметр)а О для її значень (2), задаючкпаралельнфункцію 8 (рис 1).

Програмний модуль віосіїрагапгїгедаггмає три вхідних параметри векгоррозподіл(І), вектор відсортованихза зростаннямзначень(2) і вектор неспаднихзначеньфункції 8. Можна вказуватигільки двапершихвектори і тоді заумовчанняі\/будепокладено8=1. Якщоумова(16) єсправедливоюго у середовищєМАТІ_АВ повертаєтьсжектор ¿1 як розйязок задачі (6) та матриця К = як (4). Також користувач бачить вектор (9). За

невиконанняумови (16) замість вектора ¿1 повертаєтьсяіовідомленняі ро неадекватниірозподіл(1).

Розглянемалриклад Нехайє нормованифозподіл

Р((3)=[0.1 0.1 0.1 0.1 0.4 0.15 0.]) (17)

статистичнихнастотвипадкововеличиниО зі значеннями

[4 5 6 7 8 9 1$. (18)

Як видноз рис 2, для розподілу(17) значень(18) при 8=1 умова (16) є справедливою

Але вже для розподілу

Р((3)=[0.2 0.2 0.1 0.1 0.3 0.05 0.]) (19)

значенні 8)будеприйняторішенняпро його неприйнятність(рис 3), оскільки за розйязком задачі (6) для досягненню айменших втрат треба обирати значенняд3 =6 та д4 =7, які статистичноє найбільш“непопулярнимй Ця алогічністьу д аному випадку (як і в інших випадкам і є приводом для прийняттярішенняпро неадекватністрозподілу(19).

158

I ^ E:\MATLAB7p0pl\work\AG Theory DoctoralDiss and Support\AGT FUNCTIONS\stochparamfreqarr.m ^ISjxjl

File Edit Text Cell Tools Debug Desktop Window Help

□ G? 1 m M 1 m €) 1 # «1 » il a 1 Stack: |e , jJ

1 function [AS, K] = stochparamfreqarr(FA, V, SJ ±.

2 % Finding the appropriate strategy AS for the given Frequencies Arrangement FA of the Stochastic Parameter with multiple values in the vector v. I

3 % This AS minimises the negative aftermath of realising the given Stochastic Parameter. The scaling coefficients are in the vector S.

4 % By default S = 1. Note, that if the greatest element in FA does not correspond to the greatest appropriate strategy in AS, then it is obvious

S % that the been -watch and fixed frequencies in FA are not complete, and the interval for watching the Stochastic Parameter should Joe expanded,

6 % adding some neta elements in V.

7 - V_sorted = sort(V); K = serosClength(V_sorted));

8 - if nargin == 2

9 - S = ones(l, length(V_sorted) ) ;

10 - else

11 - S_sorted = sort(S);

12 -

13 - for k=l:length(V_sorted)

14 - for 1=1:length(V_sorted)

15 - K(k, 1) = abs(V_sorted(k) - V_sorted(l)) * S(abs(k -1));

16 - end

17 -

18 - Vector_to_Hinimise = FA*K, dispC1 1 J , K, [line col] = f ind (Vector_to_Minimi2e == min(Vector_to_Minimi2e) ) ;

19 - if length(col) == 1

20 - if max(FA(col)) ~ = max(FA)

21 - AS = 0; disp([1 There is the inappropriate data in the given Frequencies Arrangement.1])

22 - else

23 - AS = [repmat(0, 1, col-1) 1 repmat(0, 1, length(Vector_to_Minimise) - col)]; disp([1 The appropriate strategy AS is [ 1 num2str(AS) 1 ] ' ] ) 1

24 - disp([1 It corresponds to the value alpha = ' num2str(V_sorted(col)) ' of the given Stochastic Parameter.1])

25 - end

26 -

27 - if max(FA(col)) ~ = max(FA)

28 - AS = 0; disp([1 There is the inappropriate data in the given Frequencies Arrangement.1])

29 - else

30 - lcol = length(co1); AS = 2eros (1, length (Vector_to_Minimi2e) ) ; ASstr = [repmatfO 1, length (Vector_to_Hinimi2e) - 1) 1 0'];

31 - ASrecommended = seros (1, length(Vector_to_Minimise) ) ;

32 - for k=l:length(Vector_to_Hinimi2e)

33 - if sum(k == col) -= 0

34 - ASstr(4*k-3:4*k-2) = ['q' num2str(k)]; ASrecommended(k) = FA(te);

35 - end

36 - end

37 - ASrecommended = ASrecommended/sum(ASrecommended);

38 - disp([1 The appropriate strategy AS is [ 1 ASstr 1 ] by sum(q_j) = 1 and q_j >=0 for all natural j from {' num2str(col) —

39 - disp([1 though it is recommended to apply the strategy [ 1 num2str(ASrecommended) 1 ] 1 ])

40 - disp([1 It corresponds to selecting the values {' num2str(V_sorted(col) ) '> of the given Stochastic Parameter.1])

41 - end

42 - end

-i J iT

| stochparamfreqarr Ln 45 Col 1

6fl

MM

MO

& 1 B

b fr

63

ly

ft,

<)

El

Bo

UjtMATLAB ШШШ .=13! xj

File Edit Debug Desktop Window Help

De ЇЧі Ш 01 | ^ Ilf Current Directory: | E:WATLAB7p0p1\work

» [AS, K] = stochparamfreqarr([0.1 0.1 0.1 0. 1 0.4 0.15 0.05], [4:10]) ; -ÎL

Vector to Minimize =

13/4 49/20 37/20 29/20 5/4 37/20 11/4

K =

0 1 2 3 4 5 6

1 0 1 2 3 4 5

2 1 0 1 2 3 4

3 2 1 0 1 2 3

4 3 2 1 0 1 2

5 4 3 2 1 0 1

6 5 4 3 2 1 0

The appropriate strategy AS is [ 0 0 0 0 10 0] —

It corresponds to the value alpha = 8 of the given Stochastic Parameter

ф Start | A

Рис 2. ЗапускмодулявІосНрагатїгеяагдпяприйнягпрішенняпро арогіднісгь розподілу(17)значень(18)

U>MATLAB _=JS|x|

File Edit Debug Desktop Window Help

Dg U tB m c. 1 * ar 1 ' ty Current Directory: | E:WATLAB7p0p1 \work

» [AS, K] = stochparamfreqarr([0.2 0.2 0.1 0. 1 0.3 0.05 0.05] , [4:10]);

Vector to Minimise =

49/20 37/20 33/20 33/20 37/20 53/20 71/20

K =

0 1 2 3 4 5 6

1 0 1 2 3 4 5

2 1 0 1 2 3 4

3 2 1 0 1 2 3

4 3 2 1 0 1 2

5 4 3 2 1 0 1

6 5 4 3 2 1 0

Тііеге із ^е inappropriate data in the given Frequencies Arrangement.

1»

ф Start 1 //,

Рис 3. Прийняттярішенняпронеадекватністрозподілу(19)значенні8)

Висновок та перспектива подальшого дослідження Звичайно запропонованиййетодперевіркедостатностпроведенижимірюваньдлятого, щоб реалізуватфозподіл(І) у досліджуванійматематичнійиодегу є тільки необхідністютого; щоб для найменшихвтратобирапосв наченнши пад кової величини О з найбільшоквідносноючастотою Можливо у деяких випадках саме це значення можна використовувану вихідній математичніймоделі якщотільки для нього виконано (16). Але можливий випадок коли роз^язок

6 задач ¡(6) не будечистою стратегіє«? як для розподілу(рис 4)

Р(0)=[0.1 0.2 0.1 0.1 0.4 0.05 0.}) (20)

тих же значенні 8), де

6 = [0 0 0 д4 % 0 ^ при ^0[0;1], д50[0;і], с?4 + %=1. (21)

Не ЕЛ ОеЬод Реїкіор Ш&т Нф

Рис 4. Прийняттфішенняпро вірогідністьрозподіл^20)значень(18) з рекомендацієквцодовикористаннганач0ньд4 =7 та д5 =8 з відповідними імовірностями0.2 та 0.8

Щоправда тоді замість(21) рекомендованвикористовуватиггратегію

¿ = [0 0 0 0.2 0.8 0 р, (22)

співвідношенняненульовихелементівкотроївідповідаєспіввідношеннюміж /(сц) й ґ(ц5) у розподілі (20). Саме для таких розрахунків! створено

програмний модуль $ІосИрагат1гечагтпідтримкип рийняття рішення про вірогідність розпрділустатистичнихчастот(1) випадковоїзеличини О дляїї значень (2) при заданій функції 5, де перевіряетьсянеобхідна умова вірогідності (16). А з точки зору подальшогодослідженн*у ц ьому напрямку перспективною слід вважати задачу сполучення запропонованої моделі прийняття рішенняп ро вірогідність розподілу (1) із критеріями перевірки статистичних гіпотез про тип розподілу генеральноїсукупності та його параметри

Списокл ггераггуріа 1 .ГмурманВ.Е. Теория вероятностей математическаататистика учеб пособиедлявузов/ В.ЕГмурман- М.: Высшаяшколд 1999. ~47$Ь 2. ГмурманВ.Е.Руководство к р ешению зада чпо теорииве роятностей математическойстатистике учеб пособие для сгудентоввуэов/ В.Е. Гмурман - М.: Высшая школа 1998. - 400с. 3. Большаков А Методы обработммногомерньоданныхи врвменньирядов учебноепособиедля вузов/ А.А. Большаков Р.И. Каримов- М.: Горячаяіиния-Телекоч 2007. - 520х 4. БочароєП.П. Теориявероятностей Математическая тати етика учебное пособие {П.П. Бочаров А.В. Печинкиы - М.: Гардарикр 1998. - 328х 5. ВентцелЕ. С.Теория вероятностей её инкенерныетриложенияучеб пособие для втузов/ ЕС. ВентцещЛ.А. Овчаров- М.: Высшая школа 2000. - 480с. 6 .ПетросянПА. Теориям гр: учеб пособивдля ун-тов / Я А ПвтросярН.А. Звнквви,чЕ.А Семина- М.: Высшая школа Книжный дом "Университет, 1998. - 304а 7. ВасинА.А. Введение теориюигрс

приложениями« экономике учебноепособие/ АЛ. Васин В.В. Морозов - М.: Высшая школз 2003. - 278с. В. РоманюкВ.В. М одель визначенняоптималы-югор1шення проектувальникдг задач1пророзрахунокповздовжньоТст1йкост1 двохелемент1вбуд1вельноТконструкцм при дм на них нормованогостискаючогозусилля/ В.В.РоманюкН Проблемитрибологм - 2010. -Na 1. -С. 42 - 56.

Статтяпредставленё. т. н. проф НацюнальноТакадемн державно/ прикордоннослужби УкраУниÍMeHi Б. ХмельницькогМатеринчукоМ. С.

УДК 519.832.3

Оценивание достоверности распределения статистических частот случайной величиньс н еизвестнымлатематическиможиданием! дисперсией/ РоманюкВ. В. II

Вестник НТУ "ХПИ". ТематическиРв ыпуск Информатика! моделирование-Харьков НТУ "ХПИ".-2010.-№21.-С. 152-161.

Построенсядроантагонистическотгрыдлязадачибезусповноюптимизациипо решению которой предлагается риниматьр ешениео достаточностипроведённыхизмерений; лучайной величиньщля тег о, чтобы её реализовывать соответствующейлатематическомлоделю форме распределенияотносительных статистических частот Представленопрограмму поддержки принятиярешенияо надёжноспмсследуемопраспределениМл.: 4.Библиогр: 8назв

Ключевые слова антагонистическая игра, случайная величина распределение статистически хшстох принятиерешения

UDC 519.832.3

Evaluating validity of the statistic frequencies distribution of a varíate with undefined mathematical expectation and variance I Romanuke V. VJeffeld of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkiv: NTU "KhPI". - 2010. -№21.-P. 152-161.

There has been constructed the kernel of an antagonistic game for an unconstrained optimization problem, by the solution of which It is being proposed to make the decision on the sufficiency of the carried measurements of a varíate for realizing It within the corresponding mathematical model In the form of the distribution of relative statistical frequencies. It has been represented a decision making support program on the reliability of the being Investigated distribution. Figs: 4. Refs: 8 titles.

Key wordsantagonlstic game, random varíate, statistic frequencies distribution, decision making.

Поступипт редакцию18.03.2010