CC BY
25
УДК 519.832.3
В.В. РОМАНЮК, канд. техн. наук, доц. ХНУ (м. Хмельницький)
MATLAB-СЕСІЯ У ПРАКТИЧНІЙ РЕАЛІЗАЦІЇ РОЗВ’ЯЗКУ
ДИСКРЕТНОЇ БЕЗШУМНОЇ ДУЕЛІ З НЕЛІНІЙНИМИ
ФУНКЦІЯМИ ВЛУЧНОСТІ
Означено дискретну безшумну дуель з кососиметричним ядром на кінцевій узагальненій підмножині одиничного квадрату з нелінійним масштабом, де функції влучності гравців покладено узагальнено нелінійними. Представлено програми для MATLAB-сесії у практичній реалізації розв’язку означеної дуелі.
Ключові слова: безшумна дуель, MATLAB, практична реалізація розв’язку.
Постановка проблеми. Антагоністичні ігри у формі безшумних дуелей є математичними моделями прийняття оптимальних рішень у багатьох соціально-економічних та біо-екологічних системах [1]. Вони можуть бути використані навіть у технічних системах при практичній реалізації стохастичного параметра, що задається на інтервалі ненульової міри з невідомим імовірнісним розподілом. Зазвичай безшумну дуель задають її ядром
K(x, y) = h(x)-h (y) + h(x)h(y)sign[h(y)-h(x)] (1)
на одиничному квадраті
X x Y = [0;l]x[0;l] (2)
при x є X та y є Y, де h (x) та h2 (y) є монотонно неспадними функціями
влучності першого і другого гравців відповідно, для яких виконуються
h (о) = о, h (i)=i, h (o) = о, h (i)=i. (3)
Але такий спосіб опису дуелі є не завжди доцільним, адже він має місце лише
у граничному переході, коли гравець володіє безліччю варіантів своїх можливих дій. Тут не враховується також те, що важливість окремих альтернатив (чистих стратегій) з плином часу зростає. Крім того, континуальний опис дуелі ускладнює процес знаходження розв’язку.
Аналіз літератури. Питаннями дискретизації дуелей займались більше зарубіжні вчені [2, 3]. Деякі вузькі класи дуелей розв’язуються або, по крайній мірі, розглядаються у [4, 5]. Дуелі, де з часом щільність стратегій дуелянта збільшується, вивчені слабко [6]. Тим більше, що при їх дослідженні функції влучності гравців зазвичай покладаються лінійними, без узагальнення [7, 8].
Мета статті. Необхідно дискретизувати ядро (1) на квадраті (2) так, щоб важливість виділених чистих стратегій з плином часу зростала, причому функції влучності братимуться узагальнено монотонно неспадними з умовами
(3). Отримана дискретна дуель має бути розв’язана з вказівкою того, як практично реалізувати цей розв’язок, що має бути представлено у формі МЛТЬЛБ-сесії.
Дискретизація дуелі. Без втрати загальності, покладатимемо
К (х) = *Р, К (У) = УР, Р > 0 • (4)
Нехай імовірність ^ є відстанню між двома сусідніми стратегіями гравця, де
1 й {0,1} та у = 1, N - 2 при кількості N усіх його чистих стратегій. Тоді
[^і ^2 ••• з ^лг-г]є
є{о є RN-2| 1у є(0;і)У у = 1, N - 2, 1у > 1у+1 V у = 1, N - з}п
П |в є Я^2|1 - £ < (1N-21 (5)
є вектором відстаней у даній грі. Згідно з цим дискретизовані множини чистих стратегій першого
(Н Iа4
^=К£={°.і}ий (6)
I у=1 ) к=2
та другого
г к-1 1 ^
уо={л£={0.і}ир] (7)
І у=1 ) к=2
гравців визначать дискретну безшумну дуель з нелінійними функціями влучності (4), котри задаються на підмножині
XБ ={Хк £ X {у1 ^=1 = {{[хк у1 ]}= }^ =
!ол!и{Ё^}"}х{(ол!и{Ё^}"'} ®
одиничного квадрата (2).
МЛТЬЛБ-сесія. Для отримання розв’язку означеної таким способом дискретної безшумної дуелі слід представити значення її ядра як елементи N х N -матриці
8іі = К (Х, У у) = И1 (Х ) - й2 (У у) + К (Х ) и2 (У у) 5ЩП [ *2 (У у) - *1 (Х )] =
= xf-У. + xiyj sign (yf - xf), і = 1, N, j = 1, N , (9)
де, очевидно, що “крайні” чисті стратегії обох гравців x = У = 0 та
XN = Jn = 1, а
і-1
x = ^ 2-k при і = 2, N -1, (10)
k=1
j-1 ______________________
y. =2 2-k при j = 2, N -1. (11)
k=1
У MATLAB легко побудувати модуль для представлення (5) - (11) й отримання розв’язку у формі вектора P є RN оптимальних імовірностей вибору чистих стратегій на (6) і (7).
Реалізувати розв’язок безшумної дуелі можна за допомогою спеціального модуля (рис. 1), котрий враховує кількість передбачуваних розіграшів дуелі G. Тоді MATLAB-сесія полягатиме в отриманні вектора P є RN і його підстановці у модуль "opr2_realtime_player1" з відомим числом G (рис. 2).
iteiamLMiiiimiiiiMM jmbi m File Edit Text Cell Tools Debug Desktop Window Help JD|x|
□ O^Q ^ % 6 « ™ | ^ | ft f. | H £1 | 4H ^ IP JUI J| | Stack:
1 function [Payoff 1] = opr2 realtime player1(PayoffMatrix, G, Soft Correction, g Display, g pau£ e, PureStrategy Display)±
2 - if nargin==3
3 - g Display=Q;
4 - g pause=0;
5 - PureStrategy Display=0;
6 - end
7 - if g Display==Q
В - g pause=0;
9 - end
10 - [Slopt, S2opt, Vlorl, Vupl, OMS] = sp(PayoffMatrix);
11 - Payoff l=zeros [1,G); deltal= zeros [1,G); First Player Pure Strategy WuiBber= zeros (1,G);
12 - Second Player Pure Strategy Humber“ zeros (1, G) ;
13 - if oms==o
14 - disp[1 This matrix game is solved in pure strategies.1)
15 - return
16 - end
17 18 19 Vopt=Slopt*PayoffMatrix*S2opt'; format long % g=l the first player behavior
20 - if g Display==l
21 - disp [ [1 Hou is the 1 num2str[l) 1 play1])
22 - if g pause==l
23 -
24 - end
25 - end
26 - betal=l/ [Vopt-Vloul) ; al=l;
27 - for g=l:G
25 - deltal [g) =1/ [g*betal*gA[1/ [al) ) ) ;
29 - end
30 - First Player Pure Strategy Number [ 1) =oprlpl (Slopt) ; % Initially selecting the pure strategy
31 - VI [ 1) =suiti [PayoffMatrix [First_Player_Pure_Strategy_Mumber (1), :) . *S2opt);
32 “ while VI [1) < Vopt-deltal [ 1) 1 .r1
| opr2_realtime_playert | Ln 42 Col 36 | OVR j
Рис. 1. Код програми "орг2_геаШте_р1ауеіТ' для отримання рекомендацій
щодо дій у дуелі
Л MATLAB -ІПІ x| .. . MATLAB JnJxj
File Edit Debug Desktop Window Help File Edit Debug Desktop Window Help
D G? 1 & % ß о ^ І Щ ЕҐ \ 'f I I E:lMATLAB7p0p1\W0rk Г 1 Ю D | £ % d r* | Ff ^ | E:lMATLAB7'p0pl tovork 3 J E
» [P, R]=dndnonli ear([0.4 0.2 0.2], 0.43); “3 >> [Payoff 1] = opr2 realtime playerl(R, 10, 1, 1, 1, 1);
Discrete Nois 0 less Duel Payoff matrix: -2/5 -3/5 -4/5
2/S 0 1/25 -2/25 -1/5 Wow is the 1 play
3/5 -1/25 0 7/25 1/5 How YOTJ have selected the pure strategy x5
4/5 2/25 -7/25 1/5 -1/5 0 -3/5 3/5 0 Enter your payoff in this play: 0 Now the second placer has selected the pure strategy y5 Non is the 2 play
Pure Strategі 0 s of the Player: 2/5 3/5 4/5 1 How YOTIR real payoff is 0 How the YOU have selected the pure strategy x2 Enter your payoff in this play: 0 Mow the second player has selected the pure strategy y2
The optimal probabilities vector: Hon is the 3 play
0 5/11 5/11 a і/u How YOUR real payoff is 0
l>> [Payoff 1] = opr2 realtime player1(R, 10, 1, 1, i, i); Mow the YOU have selected the pure strategy x2
hl 1 >1 Enter your payoff in this play: 0.2 d
Waiting far input ^StartJ Paused: Press any key A
Рис. 2. Приклад коректного уведення даних для MATLAB-сесії
Висновок. Запропонована MATLAB-сесія може виявитись корисним засобом для прийняття рішення в умовах конфліктних явищ, де мова може йти про вибір хвилини, години, дня тижня або місяця, номеру тижня у календарному році, а також інших ізольованих відліків часу, у, зокрема, задачах з одночасним виходом на ринок двох фірм-конкурентів [8].
Список літератури: 1. Петросян Л.А. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов / Л.А. Петросян, Н.А. Зенкевич, Е.А. Семина. - М.: Высшая школа, Книжный дом "Университет", 1998. - 304 с. 2. Teraoka Y. A single bullet duel with uncertain information available to the duelists / Y. Teraoka // Bull. Math. Statist. - 1979. - № 18. - P. 69 - 80. 3. Оуэн Г. Теория игр / Г. Оуэн. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 216 с. 4. Teraoka Y. A two-person game of timing with random arrival time of the object / Y. Teraoka // Math. Japonica. - 1979. - N° 24. - P. 427 - 438. 5. Воробьёв Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков / Н.Н. Воробьёв. - М.: Наука, Главная редакция физико-
математической литературы, 1985. - 272 с. 6. Baston V.J. A non-zero-sum war of attrition / V.J. Baston, A.Y. Garnaev // ZOR-Mathematical Methods and Models of Operation Research. - 1997. -№ 45. - P. 197 - 211. 7. Hamers H. A silent duel over a cake / H. Hamers // ZOR-Mathematical Methods and Models of Operation Research. - 1993. - № 37. - P. 119 - 127. 8. Романюк В.В. Моделирование выхода на рынок двух конкурирующих предприятий с помощью игровой бесшумной дуэли в MATLAB 7.0.1 / В.В. Романюк // Вісник Хмельницького національного університету. Економічні науки. - 2009. - № 3. - Т. 2. - С. 233 - 238.
Статья представлена д.т.н. проф. Катеринкук И.С.
УДК 519.832.3
MATLAB-сессия в практической реализации решения дискретной бесшумной дуэли с нелинейными функциями меткости / Романюк В. В. // Вестник НТУ ''ХПИ''. Тематический выпуск: Информатика и моделирование. - Харьков: НТУ "ХПИ". - 2009. - № 43. - С. 167 - 171.
Определено дискретную бесшумную дуэль с кососимметрическим ядром на конечном обобщённом подмножестве единичного квадрата с нелинейным масштабом, где функции меткости игроков положены обобщённо нелинейными. Представлены программы для MATLAB-сессии в практической реализации решения определённой дуэли. Ил.: 2. Библиогр.: 8 назв.
Ключевые слова: бесшумная дуэль, MATLAB, практическая реализация решения.
UDC 519.832.3
MATLAB-session in practical realization of the solution of the discrete noiseless duel with nonlinear accuracy functions / Romanuke V. V. // Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkov: NTU "KhPI". - 2009. - №. 43. - P. 167 -171.
Determined the discrete noiseless duel with the skewsymmetric kernel on the finite subset of the unit square with the nonlinear scale, where the accuracy functions had been laid generally nonlinear. Presented the programs for MATLAB-session in the practical realization of the determined duel solution. Figs.: 2. Refs.: 8 titles.
Key words: noiseless duel, MATLAB, practical realization of the solution.
Поступила в редакцию 19.11.2009
