Отражение поляризованной волны в случае сглаживающего переходного слоя Текст научной статьи по специальности «Математика»

2005

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУГА серия Математика и Физика

№ 91(9)

УДК 528.8.04

ОТРАЖЕНИЕ ПОЛЯРИЗОВАННОЙ ВОЛНЫ В СЛУЧАЕ СГЛАЖИВАЮЩЕГО ПЕРЕХОДНОГО СЛОЯ

А. В. САМОХИН

Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором

Козловым А. И.

Для льдов переменного по глубине состава, фирна, сухого и мокрого снега, увлажненных песков и почв интерпретация результатов дистанционного зондирования в рамках стандартных моделей будет приводить к большим погрешностям. Фактически, вполне обычной является ситуация, при которой комплексная диэлектрическая проницаемость меняется плавно и даже гладко, без разрывов даже первой производной диэлектрической проницаемости по глубине (например, свежий снег, лежащий на увлажненном фирне, переходящем в лед). Стандартные формулы не позволяют здесь оценить величину отраженного сигнала или локализацию по глубине того слоя, который вносит максимальный вклад в отраженный сигнал. Работа посвящена оценке коэффициентов отражения в этой ситуации для поляризованной волны.

1. Постановка задачи

Более ранние публикации [1-5, 7] имели отношение к случаю горизонтально поляризованной волны и, даже, по большей части, к случаю нормально падающей волны. В этой работе выводятся оценки для коэффициентов отражения электромагнитной волны, имеющей произвольную поляризацию.

Для плоской волны и = ^е**(р-*+р*»+р»*+л/а)> где ~Й — (Ех, Еу, Ег) вектор поляризации и где е — показатель преломления, волновое уравнение сводится к уравнению Гельмгольца

Имеется в виду, что разделяющий слой расположен в области 0 ^ ^ h\ V2 — это оператор

Лапласа по х, у и z. Ориентируя ось х вдоль проекции вектора (px,py,pz) на плоскость 2 = 0, получаем ру = 0, и падающая волна (в полупространстве -г < 0) может быть записана в виде

ипад — ёгк(~рхх+р*г\ При этом pl+p2z = 1. Компонента (0, Еу, 0) соответствует горизонтальной поляризации, а (Ех,0,Ег) — вертикальной.

Сам показатель преломления устроен, как и выше, следующим образом: e(z) = 1 при z < 0, e(z) — tk — const > 1 при z > h, а в промежутке 0 ^ z ^ h это гладкая функция, с условиями непрерывности первой производной на границе разделяющего слоя: c'(z)|z=0 =

В этих условиях оценим коэффициенты отражения Д = \Еогпр(9)/Епад(6)\ (здесь Е — напряженность электрического поля, в — угол падения.

Будем искать решение преобразованной волны в полупространстве г > 0 в виде и = е1крхХ(Е(г),и(г),Н(г)). Тогда на функции Е, и, С возникает условие

Второе и третье уравнение этой системы независимы, и их можно решать по отдельности.

е'(г)1*=А = 0.

(1)

2. Коэффициент отражения у - компоненты

Второе уравнение, на горизонтально поляризованную волну, было исследована автором ранее [4,7]. Коротко изложим основные результаты.

Для получения асимптотических оценок решений уравнения

^ + к2(е(г)-р1)и = 0 (2)

перейдем сначала к безразмерным переменным. Обозначим С, = г/Н тл. и = кк.

Тогда второе уравнение системы (1) перейдет в

ЩГ- + "2(е(0 - р1Ш) = о, (3)

где и(0 = и{И С) = и {г) и е(£) = е(Л£) = е(г). Рассмотрим асимптотику решений при

и —► оо.

Напомним, что метод ВКБ дает нулевое приближение для функции Ы следующего

вида:

С7Х ™ ! у/е(т)-р1 <1т -**'/ ж-

Ыо = —-------- _е 0 Н-----е 0 (4)

у^(С) - Рх 1/е(()-р2х

Для монохроматической волны, приходящей из того полупространства, где е = 1, наложим предельное условие

«о(С)|-оо = ехр(гг<р), р = рг|_оо = \Л -Р2;

тогда получим

л/р ™I у/е{т)-р1 <1т

и° = Тгттл- Ге ° 5

Vе«) -Рх

Уточненное решение представляется в виде

14 — Ыо -Ь 1А\; (6)

при подстановке возникает неоднородное уравнение на СД, которое решается при помощи приближенной функции Грина,

г

<

/ л/е{т)-р1 <1т

С{СУ) 2"Уе(С)-ЙУФ)-р?е ’ ' <7)

построенной по нулевому приближению. Тогда для следующего члена асимптотики имеем

«1(0 =

21/

(У

IV ¡Рг{т)<1

'-1______

\/рГМ

5е'2(у) — 4е"(у)р2(у)] 1 11/^п(с-2/)/рг(г)сгг

у/р*(Оу/рЛу)

е у } (1у (8)

или

Mi (О

2v

\/рЖ)

5Е,2(у)-4е"(у)р2(у) 16р\{у)

dy, при С >у,

иначе

iy/P____1

(9)

2i/

{/рЛО

-ivjvz{T)d,T 1

б о /

О

be'\y)-ie"{y)pl{y)r2ivl^dT 16р\(у)

dy

Первая строка за фигурной скобкой в формуле (9) представляет собой проходящую, а вторая — отраженную волну. Таким образом, коэффициент отражения Яу для горизонтально поляризованной компоненты равен

Г5е'2(у) - 4е"(у)(е(у) - р£я»}у/е(т)-р10г ^

*> = 4/

16 [е{у)-р2х]1

dy

Для волны, падающей вертикально (т.е. для случая рх = 0) коэффициент отражения Яу равен

Ье'2(у) — 4е"(у)е(у) 2 'iv f т/Цт) dr

16е{у)

dy

(Н)

Отметим, что в этом случае Ег = 0 и уравнение на Ех такое же, как и на соответственно,

совпадают и коэффициенты отражения для этих компонент: Яу — Ях.

В правой части последнего равенства стоит быстроосциллирующий интеграл, значение которого было асимптотически оценено в по методу, близкому к методу стационарной фазы. Здесь понадобится продолжение этих выкладок, поэтому приведем краткое напоминание.

Рассмотрим интеграл

m = [ /(у,

J а

k)eittM dy,

(12)

при к -4 +оо. Предположим, что д — действительная функция, д{у)' ф 0 при у е (а, Ь) и /(у, к) ограничена при к -4 +оо. Считая / и д также дифференцируемыми, проинтегрируем один раз по частям:

Соответственно,

Тогда

и =

du

f(y,k)

д'(у)

7(у, к)' . 9'{у) .

dv = д\у)егкdy.

dy,

v —

ik

Jkg(y)

I(k)

f(y,k)eiksM 1 rb 70/, *0"

ikg'(y) a ikJa . 9'(y) .

Jkg(y)

dy

(13)

Повторные интегрирования по частям будут давать слагаемые порядка 0(к 2) вследствие требований, наложенных на функции /ид. Таким образом, справедлива оценка

гк д'(у)

а

В формуле (11) для коэффициента отражения можно взять

5£,2(у) — 4£П(у)е(у) -2V ¡щ^/е(т))(1т

(14)

/(у. 21/)

1бе(у)

иу(у) =

о

Поскольку неравенства на действительную и мнимую части коэффициента преломления

у

и ^(у/е(т)) ^ 0 очевидны из физических соображений (диэлектрическая проницаемость среды не может быть меньше единицы, а проводимость реальной среды не может быть отрицательной), то для больших и главный вклад в интеграл (11) вносит

г 1 2V 2гг/

5£,г(1) - 4г(1)е"(1) Ы*1,/Ф)<ь\ 5г'2(0) — 4е(0)е"(0)

16(е(1))5/ЩУЩ})

По условию е'(0) = е'( 1) = 0, е(0) = 1, так что

16г/2

г"(0) -

е"(1)

Ни / у/Цт) <1т

(15)

(16)

Для наклонно падающей волны (10)

16г/2

е"(1) ^2*</ / у/ф)

е"(0)

№ - £)ФЩу/е(1) - £)

16(1-Р2)3/2Й(ч/Г=^)

(17)

3. Коэффициент отражения г - компоненты

Перейдем теперь к третьему уравнению,

рр. и о о

— + А:2(е(г) -р2х)Н+ ^{Н— 1пф)) = 0,

т.е., в безразмерных переменных,

Я"сс + 1/2(е — р2)£/ + С/1— -(- О

ее" - е'2

0.

Чтобы избавиться от первой производной, сделаем замену

_ V

(18)

(19)

В результате получим

У" +

2єє" - Зе/: 4є2

+ »2(е~РІ)

У = О

Применение ВКБ - приближения У (С) = е%и8^ф{С) с приводит к уравнению

-и23'2ф + іи&'ф + 2 іиЗ'ф' + ф" +

2єє" - Зє'2 4є2

+ и2(е-рІ)

= 0,

а последующие разложение

Ф{О = Фо{() + V 1ФЛО + V 2ф2(С) +...

- к таким же условиям на 5, ф , как и в случае второго уравнения системы (1). Соответственно, нулевое приближение для У будет иметь вид

Уп =

Сі

™ І у/є{т)-РЇ Лт -Є 0 +

Со

-IV } у/є(т)-рі <1т -Є 0

\А(С )-р\ \/^(С )-р2х

Для нахождения следующего приближения положим У — У0 + Ух, Т(У0 + ^1) = 0 или Т(У) = -Т(Уо), где

А2 г2ее" — Зе'2 2, 2.

+ и2{е-р2х)

Т =----------ь

с1(2

4е2

Вычисления показывают, что невязка —Т(У0) для нулевого приближения теперь равна

~/2 Л~2\г-Н к^'2'

-Т(Уо) = У0

Зеє" — 2є' 4 (є — рх)є" — 5є'

(21)

4е2 ' 16(е - р2)2

При распространении волны в направлении (рх,рг) компоненты вертикально поляризованного поля

— (Ех, Ег) имеют вид Ех = —Ерг, Ег — Ерх, Е — |1?|. Для -00 = Рх ехр (ІиСр), р = Рг 1-00 = Vі ~Р2х

Яо(С)1-

имеем

_ \fePxPz2 й'/\Л(т)-РЇ А-

У о — і ~ ^ 0

</Є(0~Р2х

и поправка У\ находится при помощи интегрального оператора

Уі (0 =

І-\/єрхРг

1/2

у/р*(0

IV ¡Р;(т)с1т 1

е о /

Іу/єрхрУ2

2і/

ч/рЖ)

—2ве"+3е'2 _|_ 4(е—р%)е" —5е'2 4є2(є-р2)2 16(£-рІ)2

-2ге"+3£/2 _|_ 4(е-р^)е"-5е-4г2(£-р2)2 16(е-р|)$

Лу

при

С > 1;

(22)

2іі/ / рг(т) гіг Є 0

сіу, С < О

Таким образом, коэффициент отражения для г-компоненты равен

IV і

—2єє" + Зє'2 4(є — р2)є" - 5є'2 4є2(є-р2)5 + 16(є-р2)5

2гг/ / рг (г) (¿г

Є 0 ¿у.

(23)

Быстроосциллирующий интеграл (23) оценивается тем же методом что и (10). В результате получим следующую приближенную формулу

|Д*

1 е"(0)(1 - 2рЦ(0)Яр,(0)) г"(1)(е(1) - 2й(1)Яр,(1)))

2р?(0)»г>,(0) 2е(1)р»(1)»р,(1))

(24)

где рг(0) = у/1 -р1 И р2( 1) - у/е(1) - р1-

4. Коэффициент отражения х - компоненты

После того, как найдено приближение для Н = У/у/е, можно переходить к определению х-компоненты F, которая есть решение неоднородного уравнения (см.(1))

В2Е е'

°— + к\^)-р1)Г = -гкрхНе-,

или в безразмерных переменных

т.е.

Т" + и2(е - р2х)Т = -гирх0—,

Т" + и2(е — р1)Т — —1ирхе'е 2 у. Решение этого последнего уравнения представим в виде

— Р (^1

(25)

где Р п — общее решение однородного уравнения и частное решение неоднородного соответственно. Поскольку однородное уравнение для (25) такое же, как уравнение на компоненту Еу, то выкладки, повторяющие таковые для (3), приводят к формулам Р = Р0 + и~1Ри где

и

Ргл/РГ **'/ у/£(т)~р1 Лт -.е 0

</е(С) -Й

РЛО = 1

2и

0

( у 1 11/ [ Рх(т) (1т ) е 0 5е'2(у)-4е"(у)р1(у) м'-яр1(С-у)/рх(т)<<т 1

у/рЛу) 16р\{у) \/Рг{Оу/р1(у) |

В частности, в полупространстве £ < У, где е = 1, имеем отраженную волну

Л(г)(0 =

Ье’2(у)-Ье"(у)р1{у)

----------г------—

16р? (у)

2гг/ / Рг(т) (¡т

в 0 (1у

(26)

и выражение в фигурных скобках дает коэффициент отражения собственно самой компоненты Ех, которое обозначим Кх^х. Как видно из (26), Ях-+х — Яу. Однако, частное решение неоднородного уравнения вносит дополнительную добавку за счет отражения компоненты

Ех.

Из формулы (22) следует, что У = У0 + У±, где Ко имеет нулевой, а У\ — первый порядок малости (фактически даже второй, как это показывает оценка быстроосциллирующего интеграла). Применение функции Грина еще на одну ступень повышает порядок малости, поэтому для оценки отражения с точностью до и~2 в частное решение достаточно взять только

Го:

<5i(C) = - f G((, y)ivpxe'(y)e * (y)Y0(y) dy =

y í

Рхч/РГ j e'(y) i¡/fPz(r)dT iusign(C-y)¡pt(T)dT

(27)

2VpT(0 5 ‘ЫР-Ш

e 0

dy,

Qi

dy

где, как и выше, р2 = р = - р2х, рг(у) = у/е(у) - р\.

В частности, в полупространстве С < У, где е = 1, имеем отраженную волну

}(г) _ Р1\/Рг -*"/ \А(т)-р| <*т Г е'(у) 2й//р2(т)<*т

2\/Рг(С)е / ФЫуГ

с коэффициентом отражения |<5^/Я0|, который равен

1 У

£'(У)

(28)

•MVWs/)

2¿i/ f pz(r) dr

е 0 dy.

(29)

Поскольку е' = 0 на концах отрезка интегрирования, то оценка быстроосциллирую-щего интеграла, аналогичная формуле (16), приводит к нулевому вкладу первого порядка малости. Следовательно, необходимо уточнение при помощи формулы (13).

Еще одно интегрирование по частям здесь приводит к формуле

1(к) « АГ2 е1кд 9

а применительно к (29) — к коэффициенту отражения компоненты Ег в Ех \Rz—>х| =

вЬр*

_______*"(у)

£(у)Р*(у)ЩРг(у))

у п 1

2iu f рг(т) dr

е °

е"(1)

Рг(0)К(рг(0)) г(1)рг (!)»(?* (1))

О

1

2iv ¡pz{r)dT в °

(30)

Отметим, наконец, что суммарное отражение в х-компоненте складывается из коэффициентов формул (29) и (26); главная часть отраженного сигнала имеет в выбранных осях компоненты, рассчитываемые по формуле

Я-х—*х 0 Rz—tx \ ( Ех

0 Ry 0 1 -Еу

0 0 Rz I I Ez

(31)

Все слагаемые имеют второй порядок малости по и х, как это видно из формул (30), (16) и (24).

Если первая компонента преобразованного сигнала, ЯХ^ХЕХЛ- Яг^хЕг = 0, то, с точностью до и~2, отраженный сигнал для вертикально поляризованной волны содержит только компоненту вдоль оси г. Соответственно, сам отраженный сигнал распространяется вдоль оси х (т.е. — вдоль поверхности раздела), что соответствует эффекту Брюстера.

ЛИТЕРАТУРА

1. Самохин А. В. Отражение от сглаживающего переходного слоя // Электромагнитные волны и системы, 6, № 2-3, 2001.

2. Самохин А. В., Власов А. Ю. Оценка излучения на основе экспериментальных данных о диэлектрической проницаемости в переходном слое // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Физика и математика, № 42, 2001.

3. Самохин А. В. Формирование микроволнового излучения в сглаживающем переходном слое // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Радиофизика и радиотехника, № 24, 2002.

4. Самохин А. В. Оценка коэффициента отражения от сглаживающего переходного слоя // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Радиофизика и радиотехника, № 8, 1999.

5. Samokhin А. V. Symmetries of linear and linearizable systems of differential equations // Acta Applicandae Mathematicae, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 56 (1999), № 2&3.

6. Самохин А. В. Интегральные характеристики сглаживающего переходного слоя // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Математика, № 16, 1999.

7. Самохин А. В. Коротковолновая асимптотика для уравнения Гельмгольца с потенциалом сглаживающего типа // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Радиофизика и радиотехника, № 8, 1999.

REFLECTION OF A POLARIZED ELECTROMAGNETIC WAVE FROM A SMOOTHING

TRANSITIONAL LAYER

A. V. Samokhin

The interpretation of a distant radio probing using the standard assumption of a permittivity jump at the boundary between different layers results in significant errors in such a cases as an ice with its composition changing with depth or in the cases of dry and wet snow, wet sands and soil. In fact, the situation when the permittivity changes continuously and even smoothly up to a first derivative is common enough (e.g., new snow on the neve gradually transforming into friable ice). Standard formulas do not lead to a correct evaluation of a reflected signal; it was also impossible to localize the depth of a layer that produces the maximal contribution in the reflected signal. This paper deals with such evaluations in the case of a polarized probing wave.

Сведения об авторе

Самохин Алексей Васильевич, 1947 г.р. окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1971), действительный член Московского и Американского математических обществ, Со-росовский доцент, кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой высшей математики МГТУ ГА, декан ФПМВТ МГТУ ГА, автор 31 научной работы, область научных интересов — дифференциальные уравнения математической физики, симметрии, законы сохранения.