CC BY
66
ФИЗИКА
УДК 537.86+621.317
ОБНАРУЖЕНИЕ ОБЪЕКТОВ В МНОГОСЛОЙНОЙ СРЕДЕ МЕТОДОМ ВОЛНОВОДНОГО ЗОНДА
М.В. Давидович
Саратовский государственный университет, кафедра радиотехники и электродинамики E-mail: [email protected]
Сформулированы интегральные уравнения для волноводного зонда, открытого в многослойную плоскослоистую среду с неоднородностью, и рассмотрены постановки задач ее обнаружения. На основе вычисления изменения коэффициента отражения исследована возможность локации неоднородности методом поперечного сканирования. Среда и неоднородность в виде локального изменения диэлектрической проницаемости в слое моделируют биологическую ткань.
Ключевые слова: обратная задача рассеяния; интегральное уравнение; функция Грина; теория обнаружения; диэлектрическая проницаемость; гипертермия.
Disclosure of Objects in Multilayared Media by Waveguide Probe
M.V. Davidovich
The coupled (combined) volume-surface integral equations for waveguide probe terminated into multilayered medium with magnetodielectric or metallic body have been considered and derived. The inverse problem of body disclosure has been formulated and the possibility of cancer detection in the biological tissue has been theoretically investigated and validated using the scanning of probe.
Key words: inverse dispersion problem; integral equation; Green function; detection theory; permittivity; hyperthermia.
Введение
Излучение ВЧ и СВЧ диапазонов традиционно используется для определения (контроля) параметров биологических тканей и гипертермии злокачественных опухолей, причем применяются достаточно разнообразные ближнепольные аппликаторные антенны [1], включая полосковые, петлевые, щелевые, а также излучатели иных типов: рупорные [2], резонаторные, коаксиальные и другие. Наиболее простыми для анализа и применения являются излучатели (зонды) в виде открытого конца коаксиальной линии [3-10] и прямоугольного волновода с фланцем [8-17]. Коаксиальные зонды по сравнению с волноводными излучателями обладают невысокой излучательной способностью и используются в основном для неразрушающего контроля и измерения диэлектрических проницаемостей (ДП) тканей и небиологических диэлектрических материалов [3-10] и связанных с ними параметров. Строгие электродинамические модели для задачи излучения из открытого конца прямоугольного волновода с фланцем рассматривались в ряде работ [8-20], начиная с монографии [11]. Задача для многослойной среды анализировалась в работах [8-10, 12-20], причем последняя рассматривалась и в экранированной прямоугольной камере [8-10, 14-16, 18]. В работах [8, 9, 20] решалась обратная задача рассеяния об определении параметров слоев (толщин и проницаемостей) по известным (например, измеренным) значениям комплексного
© М.В. Давидович, 2008
коэффициента отражения или его модуля. Сужение номенклатуры определяемых параметров упрощает решение обратной задачи. Например, можно считать толщины слоев одинаковыми. Обобщение постановки обратной задачи тогда состоит в определении профилей проницаемостей еф, ц(7)продольно неоднородного образца при ступенчатой их аппроксимации.
В последнее время микроволновое излучение стало применяться и для медицинской диагностики [21-24], в частности, для ближне-польной диагностики злокачественных образований путем гармонического зондирования [22] или импульсной локации [24]. Наиболее хорошо такие образования детектируются в молочных железах из-за существенного различия их диэлектрических свойств по сравнению со здоровыми мышечными тканями и небольшой глубиной нахождения относительно кожного покрова [22]. Постановка задачи о детектировании объекта для медицинских целей определяется тем, что биологическая ткань хорошо моделируется плоской трехслойной средой, в которой первый тонкий слой (порядка одного мм) соответствует кожному покрову, второй (порядка нескольких мм) - подкожной жировой прослойке, а третий
- мышечной ткани (в силу больших потерь его можно считать бесконечным). ДП этих тканей на СВЧ даны в работах [2, 21, 25].
Проблему детектирования злокачественных образований следует рассматривать как задачу обнаружения: необходимо ответить на вопрос, имеется или нет в слое некое конечное образование с отличными от параметров слоя проницаемостями, определить его положение и свойства. В общей постановке задач обнаружения имеются типичные проблемы неоднозначности обратных задач [26]. Для медицинских целей надо рассматривать только диэлектрические объекты в диэлектрических слоях, параметры которых (толщины и проницаемости) приближенно известны, а слои приближенно можно считать плоскими. Это упрощает решение. Обнаружение предполагает определение положения объекта и его идентификацию (распознавание). Более простая задача локации подразумевает определение координат центра области с аномальным коэффициентом отражения.
Целью данной работы является вывод интегральных уравнений для задачи о волноводном зонде, открытом в плоско слоистую среду с неоднородностью, и получение на их основе приближенных значений коэффициентов отражения при сканировании неоднородности, моделирующей злокачественное образование в биологической ткани.
1. Постановка прямой задачи
Волноводная зондовая структура (ВЗС) представляет собой возбуждаемый модой Н10 открытый конец прямоугольного волновода (ПВ) с конечным фланцем, соприкасающийся с многослойной плоскослоистой средой и излучающий в нее. Излучение определяется касательным электрическим полем на апертуре (поверхностным магнитным током) и сильно затухающим у краев фланца наведенным на нем поверхностным электрическим током. Это позволяет рассматривать более простую задачу о ВЗС с бесконечным фланцем [14-20].
Биологические ткани имеют большие значения реальной и мнимой частей ДП, обусловленные высоким процентным содержанием воды (до 60-70 %), наличием солей и других веществ. ДП дистиллированной воды вплоть до инфракрасного диапазона описывается формулой Дебая, а ее параметры приведены в [27]. Наличие солей приводит к ионной проводимости, которая сильно изменяет диэлектрические свойства на низких частотах, поскольку ей соответствует дополнительный вклад -/а(юе0)-1. Проводимость а можно считать постоянной, поскольку ионная плазменная частота обычно существенно выше рабочих частот. Очень малые частоты не пригодны для гипертермии и зондирования, как из-за плохой локальности, так и из-за низкой глубины проникновения излучения. Малая глубина получается и в высокочастотной части СВЧ диапазона. Непосредственный контакт полого излучателя с тканью приводит к высокому коэффициенту отражения, а наличие значительного воздушного зазора - к рассеянию излучения по всей площади объекта, т.е. к низкой локальности. Поэтому согласование ВЗС путем подбора соответствующего воздушного зазора неприемлемо. Узкополосное снижение модуля коэффициента отражения достигается использованием трансформаторов волновых сопротивлений в виде согласующих диэлектрических пластин либо вне, либо внутри ПВ. Более удобно заполнение ПВ водным раствором с ДП е = е'- уе", примерно равной
ДП ткани, что также в
/2 . n2
/2 раз
улучшает локальность. В качестве такового можно использовать водный раствор спирта (на низких частотах для этилового спирта е = 26.0).
Пусть бесконечный идеально проводящий фланец находится в плоскости г = 0, справа от которого расположена трехслойная плоскослоистая структура с толщинами слоев ti и комплексными проницаемостями еi, цi, i = 1,2,3. Предположим, что детектируемое тело находится справа
от указанной структуры в третьем бесконечном слое (полупространстве) с проницаемостями е, ц. Рассмотрим тензорные диагональные функции Грина (ФГ) бесконечной по х, у трехслойной плоскослоистой среды, расположенной в трехмерном пространстве с проницаемостями е, ц. Обозначим указанные функции 6|)(г, г'), где ц = е, т соответствует электрическим и магнитным величинам. При каждом значении ц эта ФГ является одним из двух фундаментальных решений (именно в виде расходящейся на бесконечности сферической волны) неоднородного уравнения Гельмгольца
(V2 + ^(г )ц(г )) ^(г,г') = -/8(г - г'),(1)
в котором е(г)= еi и ц(г)= ц., когда г принадлежит соответствующему слою с номером I
- единичный тензор (с компонентами ¿ ). Эта ФГ также удовлетворяет граничным условиям на границах раздела сред, соответствующим полю электрического (индекс е) или магнитного (индекс т) диполя и зависит от всех проницаемостей и волнового числа к0 к0, что отражено наличием нижнего индекса. Введем еще тензорные ФГ й (3)(Г, Г) рассмотренной трехслойной среды, обладающие тем свойством, что для описываемых с ее помощью полей выполняется условие электрической стенки в плоскости г = 0. Это отмечено вторым индексом е. Последние ФГ определены так:
(Г-Г)= % (гГ)т% (Г •-Г). Знак
V Мп V Мп V /пп
минус соответствует п = 1, 2 для ц = е и п = 3 для ц = т, а знак плюс - остальным случаям. Указанные компоненты суть решения уравнения Гельмгольца для диполей (дельта-источников), ориентированных соответственно вдоль осей х, у, г, а их нахождение соответствует задаче Зом-мерфельда для многослойной среды [28, 29] над проводящей плоскостью. Рассмотрим два типа детектируемых объектов. Первый - магнитодиэлектрическо е тело объема V с проницаемостями е(г ), ц(г ) (тензорными в общем случае). Второй - металлический объект с импедансной поверхностью 5 и плотно стью наведенного на ней электрического тока У (г). В первом случае вторичное поле обусловлено электрическим и магнитным токами поляризации с плотностями
Ат (г )= ую|д0 |6^) (г,г')[ц (, г')- ц]Н(г')йУ+ +21стт)(г,гі)го *Е.
(3)
соответственно
1ер (г)= уюєо[є(г)-е]Е(г) и
У’т (г )- У®Цо [Ц(г )-ц]Н(г ). Поля ВЗС в области 2 > 0 представим с помощью электрического и магнитного вектор-потенциалов [3, 11, 29]:
А (г )- уюєо |д(з)(г,г')[е(,г’)- є]Е(г)йУ’, (2)
Здесь г0 - орт-вектор оси г; Е - ограниченная поверхность апертуры: |х| < а/2, |у| < Ь/2 ;
Е1(г')= Е±(х, 'у' )= -г0 х г0 х Е(х, 'у',0) - значение касательного электрического поля на апертуре; ' = dx' с1у', dV' = dx'dy^г' - элементы поверхности и объема. Во втором случае объемный интеграл в соотношении (3) отсутствует, а в соотношении (2) он заменяется поверхностным:
^ (г )=1 ¿(р, к)! йК. (4)
Индекс т означает принадлежность поверхности, которая может быть и двусторонней разомкнутой. В соотношении (3) во втором интеграле можно заменить 6(3) (г,г') на 2б(3)(г,г'). Поля определим через введенные потенциалы [29]:
Е(г)= ^-+ к°Д)^)ЛЛ-(г)--” (Г) ,(5)
уюе0е(г )
Н (г ) = го,л- (г )+ тЛ'М'’ + ^ ) Л"(?) .(6)
7ЮИоИ(г )
При г < 0 представим их в виде комбинации нормальных мод (Е и Н), коэффициенты в разложении по которым определяются касательным электрическим полем Е± на апертуре. Соотношения (5) в первом случае приводят к комбинированным объемно-поверхностным интегральным уравнения (ИУ), а во втором - к поверхностному ИУ в областях Е и 5. Указанные ИУ получаются после сшивания на апертуре касательного магнитного поля, а ФГ можно получить методом Зоммерфельда, сшивая поля на границах раздела. Вид введенных уравнений и скалярных ФГ дан в приложении.
2. Результаты обнаружения объекта методом предварительного сканирования
На рис. 1 приведены результаты моделирования проникновения мощности излучения в трехслойную среду [19] с толщинами двух первых слоев 1 и 5 мм для трех значений частоты - 433, 915 и 2450 МГц. Диэлектрические параметры слоев выбраны в соответствии с данными, приведенными в работах [2, 21, 25], и на частоте 915 МГц составили: для кожи е = 43.1 - ]18.7 ; для жирового слоя е = 8.9 - у‘5.0; для мышечной ткани е = 53.3 - ]26.1. ДП слоев интерполировались с использованием формулы Дебая и
г, см
Рис. 1. Нормализованное к значению на границе жировой слой - мышцы г2 = tl + 12 распределение тепловыделения б(г)/^(г2) по глубине для частот 433 МГц (1), 915 МГц (2) и 2450 МГц (3) при толщине кожного покрова 1 мм и жирового слоя 5 мм
коэффициента водосодержания К по данным для трех частот. Считаем, что в каждом слое при заданной температуре проницаемость описывается формулой (. = 1,2,3)
6,- (ю)= 1 + (1- к, )(к' - 7'к')+
(7)
1 + ю2т2
- jKi
к
ЮТ
1+ Ю2Т2
юе0
в которой восприимчивость к. = к' - ук' обезвоженных тканей не имеет дисперсии на рассматриваемых частотах. Для воды к = 80 (восприимчивость в постоянном поле), т = 910-13, с (время релаксации). В мышцах процентное содержание воды в модели соответствовало 65%, а в коже - 47% при проводимости а13=1.5 С/м. Использование модели Оделевского для диэлектрических смесей дает примерно такие же результаты, а модель Фрике-Маджета менее точна для аппроксимации. Распределение выделяемой мощности в единице объема по глубине Q(г)= 6 (г)|Е(г) /4 нормировалось на ее максимальное значение на границе мышечной ткани при г 2 = + И2.
На рис. 2 продемонс трированы результаты вычисления величины Е2 (х, у, г) на поверхности кожи (а) и в мышечной ткани на глубине г = 1 см при толщине кожного покрова t1 = 1 мм и подкожного жирового слоя 12 = 4 мм (б). Амплитуда падающей Н10- волны на апертуре равнялась единице. Приведенное распределение получено при заполнении излучателей водой (без учета тонкой изолирующей пластины), однако оно слабо зависит от указанного заполнения. Распределение поля имеет высокую локальность, которая немного ухудшается с ростом глубины, что позволяет использовать ВЗС для локации кожного покрова и подкожных слоев, а также моделировать определяемый объект соответствующим ему слоем.
На рис. 3 показаны результаты моделирования обнаружения изменения параметров четвертого (конечного) слоя в пятислойной плоскослоистой структуре в диапазоне около 900 МГц с помощью зонда, заполненного водным раствором этилового спирта различной концентрации. Концентрация раствора определялась коэффициентом спир-тосодержания 1-К. Для спирта взято значение е = 26 - у. Слои моделировали кожу, подкожный жировой слой, мышечную ткань, опухоль, мышечную ткань и имели следующие параметры: ^=1, ^=5, ^=5, ^=10 мм, ^=<х>; к1=10 - 0.5у, к2=8 - 0.4/, Л:3= к4= к5=16 - 0.8у; К1= 0.4, К1= 0.4, К2= 0.3, К3= К5= 0.6, К4= 0.8; а. = 1.2 С/м. Отсутствие опухоли моделировалось соответствующей трехслойной структурой, при этом К4= 0.6, что эквивалентно изменению ДП слоя на 20 - 25%. Тонкая изолирующая диэлектрическая перегородка не учитывалась. Видно, что задача диагностики требует обнаружения изменений |Я| по уровню 0.01-0.03, что при флуктуациях, связанных с движением зонда, является весьма сложной проблемой. Более приемлемым, по-видимому, является определение продольного профиля коэффициента водосодержания на основе компьютерной обработки данных в полосе частот с выявлением аномально больших участков при изменении положения зонда. При этом возможна индивидуальная подстройка модели под параметры здоровых тканей пациента. Аналогичные исследования в диапазоне 2.2-2.8 ГГц с использованием ПВ а = 1.1, Ь = 0.55 мм показывают, что при изме-
/, ГГц
Рис. 3. Модуль коэффициента отражения ВЗС в канале а = 28.5 мм, Ь = 10 мм для пятислойной структуры (штриховые кривые) и соответствующей трехслойной структуры (сплошные кривые) в зависимости от частоты при разных коэффициентах водосодержания в заполнении ПВ: 0.3 (1), 0.4 (2), 0.55 (3), 0.8 (4), 1.0 (5)
рениях необходимо определять изменения |Я| по уровню 0.001- 0.004. Для рассмотренных на рис. 2-5 задач использовалась модель из работ [15,18]. При этом рассматривались и ВЗС с диафрагмами, позволяющими улучшить локальность. Результаты моделирования показывают применимость рассмотренных ВЗС и для гипертермии раковых опухолей.
Рассмотрим локацию неоднородности методом предварительного сканирования. Этот метод позволяет выявить зоны аномального отражения и получить двумерную картину сканируемого объекта. Он достаточно прост и не требует для своей реализации каких-либо сложных численных алгоритмов. Результаты измерений могут быть обработаны и визуализированы в реальном времени. Для более надежного обнаружения целесообразно использовать наложение изображений от нескольких зондов, изолированных различными диэлектрическими пластинами, играющими роль первого слоя. Обнаружение будем моделировать численно, используя решения прямых задач для соответствующих структур. Рассмотрим кубический диэлектрический объект размера с и проницаемости е в полубесконечной однослойной диэлектрической среде с проницаемостью е . Пусть (6 -6)kоd <<1. В этом случае воспользуемся борновским приближением [30], взяв поле внутри тела в виде поля, излученного апертурой ВЗС. Тогда, используя формулу (П6) приложения, определим коэффициент отражения Я, который есть функционал от касательного электрического поля на апертуре. В него также входит объемный интеграл. Соотношение (П7) определяет «погрешность» рассеяния Рэлея-Дебая. В отсутствии диэлектрического тела компонента Ех на апертуре отсутствует, а Еу является четной по х и у. Приближение заданного поля Н10- волны обеспечивает точность не хуже 1-3 % [15]. В присутствии тела необходимо взять Е± в виде разложения по нескольким типам волн (или по нескольким функциям). Компонента Ех мала (по сравнению с Еу) и равна нулю в случае симметричного расположения тела относительно плоскости х = 0.
Рассмотрим именно этот случай, приводящий к скалярному поверхностному ИУ. Он интересен и тем, что сканирование вдоль оси у дает лучшее разрешение по сравнению с координатой х (из-за структуры поля и в силу того, что Ь < а). В приведенных расчетах использована одна и две функции в аппроксимации поля. Во втором случае поле на апертуре бралось в виде Еу (х,у)= со8(лх/а)[1 + А1 8ш(2яу /Ь)], а коэффициент А1 определялся из условия дУ / сЦ = 0 . Возникающие спектральные интегралы вычислялись численно по методу, изложенному в [15].
Результаты обнаружения изменения коэффициента отражения при движении (сканировании) в плоскости х = 0 квадратного объекта с размером d = 5 мм приведены на рис. 4.
у, см
Рис. 4. Зависимость \Л| от смещения у, расположенного при х = 0 на глубине 12.5 мм и глубине 7.5 мм (жирные кривые) кубического объекта размера 5 мм для различных частот: 820 МГц (кривые 1), 860 МГц (кривая 2), 900 МГц (кривая 3). Штриховые линии соответствуют отсутствию объекта, штриховая кривая - уточнение по модели с двумя базисными функциями
Параметры среды задавались соотношениями к1 = 8-0.5] , К1 = 0.3, а; = 1.1 С/м. Объект отличался от среды только коэффициентом водо-содержания, равным 0.4. Расчет приведен для заполненного спиртовым раствором с К = 0.3 ПВ с размерами а = 28.5, Ь =12 мм. Использовалась модель заданного поля Н10-моды на апертуре. Для частоты 820 МГц приведено уточнение модели с использованием двух аппроксимирующих функций (кривая с мелким штрихом). В силу симметрии при нулевом смещении обе модели совпадают. Более точное моделирование требует учета следующей четной по у гармоники в разложении Е При этом уточнение не должно превысить 2%, что проверялось по модели [15, 18] путем замены объекта слоем при использовании одной и семи базисных функций.
Заключение
Теоретически показана возможность обнаружения (локации) диэлектрического объекта сканированием волноводного зонда относительно многослойной биологической среды, если его диэлектрические свойства (или водосодержание) существенно отличаются. Отличие на 20% вполне
экспериментально фиксируется на уровне шумов анализатора S-параметров. При этом характерный размер объекта может быть в несколько раз меньше размера широкой стенки ПВ при заполнении ВЗС водой или водным раствором. Для повышения разрешающей способности следует использовать прецизионные рефлектометры и согласованные ВЗС, в том числе с малым размером узкой стенки ПВ и с резонансными диафрагмами. Известны методы локация с активным и пассивным зондами [21], также улучшающие разрешающую способность.
Рассмотренный подход позволяет выявить зоны значений аномальных коэффициентов отражения. При этом в силу хорошей локальности объект размера d с проницаемостью £ может быть моделирован слоем с параметрами d, £ , т.е. путем использования более простого и быстрого алгоритма. Однако обнаружение подразумевает не только локацию (определение координат центра), но и распознавание формы объекта (или реконструкцию распределения его проницаемости), что требует решать более сложную обратную задачу теории рассеяния. Для этого необходима избыточность экспериментальных данных, в том числе многочастотное зондирование. Количество математических операций для решения такой задачи, оцененное на основе числа операций для прямых и итерационных методов решения прямых задач [31], является весьма большим даже для рассмотренного выше объекта малого электрического размера. Это делает пока проблематичным получение информации в реальном времени на основе решения обратной задачи.
Приложение
Рассмотрим сначала постановку задачи для стыка ВЗС с полупространством, в котором находится диэлектрический объект. Для простоты считаем ц = 1. Поля при г < 0 представим в виде разложения по отраженным (бегущим в сторону отрицательных значений г) электрическим и магнитным модам ПВ и падающей Н10-моды единичной амплитуды. Поля при г > 0 выразим по формулам (5), (6) через вектор-потенциалы:
Ае (г ) = у'ю£о |&(г,Г)[е(,Г)-е]Е(Г' +
да да (П1)
+г0 | | Ае (а,Р)ехР (-/ах - $У - №)dadв,
-да -да
А“ (г ) =
да да (П2)
'= го | | Ат (а,в)ехр(-/ах - $у - Уаdp,
-да -да
где Y = yj£0ец-к;ар И кар = ^/a2 + р2 - продольное и поперечное волновые числа, а ком-
-к 2 каР
Vа
r -
поненты ФГ имеют вид Gkn(r,r')=§kn {g(
-r')-(-l)[n/3]G(r + r)} .
Здесь G(r )= (4n|r|) exp(-jk0 |r|) - скалярная ФГ свободного пространства, а скобки [] означают целую часть числа. Выражая неизвестные амплитуды A (е щ} и аналогичные амплитуды полей внутри ПВ через касательное электрическое поле на апертуре и сшивая на ней поперечное магнитное поле, получим комбинированное (смешанное) объемно-поверхностное ИУ:
iK (r_L, r[ )E± r )dS' - j®e0z0 xVx s
x JG (r,r )[E (r')- e] E(r')dv' = yfo4 (rL ) ,
V r є S, (П3)
E(r) = -Vx JG(r,rL)(^oxE(rL))dS' + s
+ (2e + VV )jG(r,r)[E(,r)/e-I]E(r)dV'. (П4)
V
Поверхностное уравнение (П3) задано на плоской поверхности апертуры и получено векторным умножением результата сшивания на орт-вектор z0 слева. После выполнения диффе-
ренцирования в (П3) радиус-вектор г следует поместить на апертуру. Объемное уравнение (П4) определено везде при г > 0, однако решать его следует в объеме диэлектрика V. Оператор УУ - = V 0 V означает градиент от дивергенции, т.е. последовательное применение операторов V -и V . Ядро К в этих уравнениях имеет вид
K (rL, rL)= I Урк (Ю0 ef(rL ) +
q=e,m jk=1
да да I
+ j iyq(a,p)raR(rL)eaR*(rL)j-
(П5)
Здесь 0 - символ тензорного (диадного) произведения, суммирование по д соответствует учету электрических и магнитных мод, к = (п, I)
- мультииндекс, каждый индекс которого изменяется от нуля до бесконечности, причем в сумме обнуляются член с п = I = 0 и соответствующие электрическим модам члены с п = 0 или I = 0. Ядро (П5) соответствует интегральному оператору адмитанса на апертуре. Умножив уравнение (П3) на сопряженное значение касательного электрического поля Е*, разделив затем на 1+^ и проинтегрировав по нештрихованным координатам, получим функционал для нормированной входной проводимости ВЗС:
Y =
J J E_l* (r_i)K' (r_, r,L_)EL(r,L_)dSdS' - jroEo J J El*(?l)zo x V x G (r, r' )[E(,r' )-e] E (F )dSdV'
1 - R = SS SV
1 + R
m
y10
J eio (ri)E (rL)dS
(П6)
Штрих у ядра здесь означает, что соответствующий падающей волне член (с индексами д = т, п = I,
I = 0) из суммы (П5) удален. Умножив уравнение
(П5) на Е* и проинтегрировав по объему, получим дополнительное условие, при котором следует искать стационарное значение функционала (П6):
JE*(r )j E (r )+ rot JG(r,rL )(r x E (rj_ ))dS '- (grad • div + h^E)\^G(r, r' )[E(,r)/e- I]E(r')dV ' J dV = 0. (П7)
= ©Eoe/^h^E - (nn/a)2 - (lп/b)2,
V I X
Можно использовать метод множителей Лагранжа, или одновременно накладывать условия экстремума на (П6) и (П7).
Ук = '
т-, -(e,m)
Во всех соотношениях en f- ортонорми-
рованные мембранные функции электрических и магнитных мод ПВ, кар,
е0ф (rJ-) = r0 х (rl)/кав>Vap Ю = (2n)-1x
x exp(-jax - ipy) - нормированные на дельтафункцию векторные и скалярные поперечные функции полупространства [15], у вые адмитансы:
rz---------2--------2 (П8)
Ук = \k)e-(nn/a) -(in/b) /®^o,
ya p=®EoE/^/k
/k()E-K2
aP ■
У'ав -\[к0є - каР / юИо •
Нетрудно обобщить полученные результаты на плоскослоистую структуру с произвольным числом слоев и объектом в последнем слое. Вид уравнений не изменится, но изменится вид ядер. Именно, следует использовать скалярную ФГ симметричной относительно плоскости г = 0
m 1/2^ ,„2
• =л ko E-Ka
(П9)
(e,m) (k ,aP)
волно-
2
многослойной структуры, а вместо (П9) взять волновые адмитансы последнего полубесконеч-ного слоя, трансформированные к плоскости
2 = 0. Для получения вида электрической ФГ б(П) п-слойной структуры необходимо решить три задачи об электрическом диполе, ориентированном
вдоль каждой из осей координат. Пусть диполь с моментом р расположен в точке г' справа от много слойной структуры (т.е. задана плотность тока рЪ (г - г')). Тогда г ' > г0 = гх +... + гп, и первичное поле в указанной области определяется вектор-потенциалом [25]
"¡е _ Amc r _ JP Г Г
lnc = (m+l)P = 8п2 L L
expJa(x — x ')- jß(y - y')— j^
2
aß
I
k<2e-Kiiß
dadß. (П10)
Указанный интеграл в цилиндрической системе координат представляется с помощью
~Ah = f=j 1 1 Adf (“’в)
—L —L
Поля в оставшихся п слоях представим аналогично (П11), учтя волны с амплитудами Аек± в обоих направлениях оси г. Соответствующие интегралы обозначим б(к), к = 1,2,...,п. Сшивая поля, найдем амплитуды в соотношениях типа (П11) и решение задачи в виде тензорных ФГ Ги , д, q' = е, т, связывающих интегрально поля и токи. Более компактно результат сшивания выражается с помощью матриц передачи слоев, которые известны и для краткости не приводятся . Полагая дипольный момент равным х0,
функции Г анкеля второго рода. Поле дифракции имеет вид
ехр[ -уа(х - х ')- у'Р(у - у ')- у^ко£-кОр (2 - 20))
--------------^ а^Р. (П11)
Уо,
определим компоненты Г®. , индексы
которых к ,к' = 1,2,3 соответствуют координатам х, y, z. Эти ФГ связаны с определенными выше известными соотношениями. Наприм ер, Гее (r,Г)= (ушеое(г ))- V®V + klz(r )/]Ge(n)(r,r') . Здесь использован введенный выше тензор с компонентами (V ® v)CK' = (5 / 5к )(Э / дк').
Библиографический список
1. Guy F.W. // IEEE Trans. Microwave Theory Techn. 1984. Vol. 32. № 9. P. 1182-1200.
2. GuptaR.C., Singh S.P. // IEEE Trans. Microwave Theory Techn. 2005. Vol. 53, № 9. P. 2665-2671.
3. MisraD.A. // IEEE Trans. Microwave Theory Techn. 1987. Vol. 35, № 10. P. 925-928.
4. Misra D., Chabbra M., Epstein B.R., Mirotznik M., Foster K.R. // IEEE Trans. Microwave Theory Techn. 1990. Vol. 38, № 1. P. 8-14.
5. Bao J.Z., Lu S.T, Hurt W.D. // IEEE Trans. Microwave Theory Techn. 1997. Vol. 45, № 10. P. 1730-1741.
6. Tuck D., Coad S. // IEEE Microwave and Guided Wave Lett. 1995. Vol. 5, № 4. P. 105-107.
7. Zuecher J., Hoppie L., Lade R., Srinivasan S., Misra D. // J. Microwave Power and Electromagn. Energy. 1990. Vol. 25, № 3. P. 161-167.
8. Давидович М.В. // Машинное проектирование в прикладной электродинамике и электронике: Тр. третьего рабочего семинара IEEE Saratov-Penza Chapter, Саратов, 1999. C. 15-22.
9. Давидович М.В., Мещанов В.П., Попова Н.Ф., Борисов В.С. // Радиолокация, навигация и связь: VII Междунар. науч.-техн. конф. Воронеж, 2001. Т. 3. С. 598-608.
10. Давидович М.В. // Излучение и распространение
2 2 kß є — к
aß
электромагнитных волн. Материалы Всерос. конф. ИРЭВ-2001, Таганрог: Изд-во Таганрог, радио-техн. ун-та, 2001. С. 231-233.
11. Левин Л. Современная теория волноводов. М.: Изд-во иностр. лит., 1954. 216 с.
12. GuyF.W. // IEEE Trans. Microwave Theory Techn. 1968. Vol. 19, № 2. P. 214-223.
13. Nikita K.S., Uzunoglu N.K. // IEEE Trans. Microwave Theory Techn. 1989. Vol. 37, № 7. P. 1794-1800.
14. Davidovich M.V., Meschanov V.P., Popova N.F. // Proc. of 9-th Intern. Crimean Microwave Conf. CriMiKo’99. Sevastopol, Crimea, Ukraine, 1999. P. 362-263.
15. Давидович М.В., Алексеев О.Ю. // РЭ. 2004. Т. 49, № 6. С. 665-670.
16. Давидович М.В., Алексеев О.Ю., Борисов В.С., Попова Н.Ф. // Машинное проектирование в прикладной электродинамике и электронике: Сб. науч. тр. 6-го рабочего семинара IEEE Saratov-Penza Chapter. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2002. С. 54-66.
17. Малец Е.Б., Фесенко В.И., Шульга С.Н. // РЭ. 2000. Т. 45, № 5. С. 523-530.
18. Давидович М.В., Явчуновский В.В. // РЭ. 2005. Т. 50, № 10. С. 1252-1258.
19. Давидович М.В. // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. 2007. № 1. С. 51-55.
20. Алексеев О.Ю., Борисов В.С., Давидович М.В., Попова Н.Ф. // РЭ. 2006. Т. 51, № 11. С. 1316-1323.
21. Fear E.C., Hagness S.C., Meaney P.M. et al. // IEEE Microwave Mag. 2002. Vol. 3, № 1. P. 48.
22. Резник А.Н., ЮрасоваН.В. // Изв. вузов. Радиофизика. 2005. Т. 48, № 10-11. С. 990-995.
23. Резник А.Н., Юрасова Н.В. // ЖТФ. 2006. Т. 76, вып. 1. С. 90-104.
24. Chen Y., Gunawan E., Low K.S., Wang S. et al. // IEEE Trans. Antennas and Propagat. 2007. Vol. 55, № 1. P. 194204.
25. Kim J.V., Oh D., Yoon J., Cho S. et al. // IEEE Trans. Microwave Theory Techn. 2005. Vol. 53, № 11. P. 214-223.
26. Миллер М.А. // Изв. вузов. Радиофизика. 1986. Т. 29, № 9. С. 991-1007.
27. Бензарь В.К. Техника СВЧ-влагометрии. М.: Высш. шк., 1974. 352 с.
28. Okmatovski V., CangellarisA.C. // IEEE Trans. Antennas Propagat. 2002. Vol. 50, № 7. P. 1005-1016.
29. Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М.: Радио и связь, 1983. 296 с.
30. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах: В 2 т. М.: Мир, 1981. Т. 1.
280 с.
УДК 535.4; 535.317
ЦИФРОВАЯ ОПТИЧЕСКАЯ ГОЛОГРАФИЯ С ВИРТУАЛЬНОЙ ОПОРНОЙ ВОЛНОЙ
В.П. Рябухо, Б.Б. Горбатенко*, Л.А. Максимова**
Саратовский государственный университет *Институт проблем точной механики и управления РАН, Саратов **Саратовский государственный технический университет E-mail: [email protected]
Рассматривается возможность восстановления изображения рассеивающего объекта по цифровой записи фурье-спеклограммы
- распределения интенсивности рассеянного поля в дальней области дифракции, без использования когерентной опорной волны. Действие опорной волны - формирование голограммной структуры с системой несущих интерференционных полос, реализуется апостериорно - на этапе численной обработки цифровой спеклограммы с использованием представления о бинарном распределении фазы объектного поля в различных его спеклах. Обсуждаются схемы записи цифровых спеклограмм, информационные особенности голограммной структуры, возможность ее синтеза и процедуры численного восстановления изображения по цифровой спеклограмме дифракционного поля и восстановленной системе несущих полос.
Ключевые слова: спекл-модулированное поле, спекл-структу-ра, запись интенсивности, восстановление изображения, дифракционное поле рассеивающего объекта, дифракционное гало.
Digital Optical Holography with Virtual Reference Wave V.P. Ryabukho, B.B. Gorbatenko, L.A. Maksimova
Possibility of scattering object image reconstruction bis digital Fourier
- specklegram (intensity distribution of scattered field in far area of diffraction, without use of coherent referent wave) is considered. Action of referent wave ~ formation of hologram structure with system of carrying interference fringes, is realized a posteriori at the stage of numerical processing of digital specklegram with using of representation about binary distribution of objective field phase in various speckles. Setups for digital specklegram recording, information features of hologram structure, possibility of its synthesis and procedure of numerical image reconstruction bis digital specklegram of diffraction field and reconstruction system of carrying fringes are discussed.
Key words: speckle-modulated field, speckle-structure, recording of intesity, image reconstruction, diffraction field of scattering object, diffraction galo.
Введение
В методе оптической голографии [1-3] реализуется возможность восстановления объектного волнового поля и, следовательно, объемного изображения объекта по записи картины интерференции этого поля с когерентной опорной волной. В классической (аналоговой) голографии
31. Самохин А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. М.: Радио и связь, 1998. 160 с.
для записи используются высокоразрешающие фоточувствительные среды - фотопластинки (га-логенидосеребряные среды), фототермопластики (фотополимеры), фоторефрактивные среды и др. [4]. Восстановление объектного поля и голографического изображения в классической голографии происходит в результате аналогового процесса
- дифракции опорной волны на голограмме -записанной и проявленной структуре картины интерференции объектной и опорной волн.
В последнее время в связи с развитием техники цифровой фотографии и возможностей компьютеров активно развиваются методы цифровой оптической голографии [5-7], в которой картина интерференции объектного дифракционного поля и опорной волны записывается и оцифровывается с помощью матричных фотоэлектрических систем
- ПЗС-матриц. Восстановление и визуализация голографического изображения (или какого-либо иного сечения объектного поля) реализуется с помощью численной (компьютерной) обработки цифровой голограммы с использованием дифракционных интегральных преобразований. Цифровая голография существенно повышает производительность и практичность методов голографии, в частности методов голографической и спекл-интерферометрии, голографической микроскопии и др. [5, 8-10].
Основная проблема реализации методов голографии связана с необходимостью использования когерентной опорной волны и записью интерференционной системы несущих полос, что существенно усложняет голографическую систему, снижает ее устойчивость к внешним возмущениям и определяет высокие требования к разрешающей способности фоторегистрирующей среды. Последнее обстоятельство наиболее критично для цифровой голографии, поскольку матричные фотоприемники имеют разрешающую способность в 20-25 раз ниже разрешающей способности голографических фотопластинок.
© В.П. Рябухо, Б.Б. Горбатенко, Л.А Максимова, 2008
