Численное моделирование формирования собственного микроволнового излучения в сглаживающем переходном слое Текст научной статьи по специальности «Физика»

НАУЧНЫЕ И ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ПОЛЕТОВ

УДК 821398.87

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМИРОВАНИЯ СОБСТВЕННОГО МИКРОВОЛНОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СГЛАЖИВАЮЩЕМ ПЕРЕХОДНОМ СЛОЕ

А.В. САМОХИН

На практике обычной является ситуация, при которой комплексная диэлектрическая проницаемость меняется плавно и даже гладко, без разрывов даже первой производной диэлектрической проницаемости по глубине (например, свежий снег, лежащий на увлажненном фирне, переходящем в лед). Стандартные математические модели не позволяют здесь оценить величину отраженного сигнала или локализацию по глубине того слоя, который вносит максимальный вклад в отраженный сигнал. Различение собственных излучений различных видов поверхностей позволяет определить, возможна ли посадка воздушного судна на зондируемой площадке.

Введение

В большинстве исследований, посвященных зондированию разнообразных земных покровов, предполагается электрическая однородность слоев (иными словами, комплексная диэлектрическая проницаемость предполагается постоянной и терпящей разрыв на границе сред). Такая модель оказывается приемлемой лишь в случае больших значений величины удельного затухания в непосредственной близости от границы раздела сред, таких как морская вода, засоленные почвы и тому подобное. Однако уже для различных льдов, фирна, сухого и мокрого снега, увлажненных песков и почв интерпретация результатов дистанционного зондирования в рамках такой модели будет приводить к большим погрешностям. Фактически, вполне обычной является ситуация, при которой комплексная диэлектрическая проницаемость меняется плавно и даже гладко, без разрывов даже первой производной диэлектрической проницаемости по глубине (например, свежий снег, лежащий на увлажненном фирне, переходящем в лед). Стандартные математические модели не позволяют здесь оценить величину отраженного сигнала или локализацию по глубине того слоя, который вносит максимальный вклад в отраженный сигнал. Различие в собственном излучении различных видов поверхностей позволяет определить, возможна ли посадка воздушного судна на зондируемой площадке. Важно, в первую очередь, получить модели излучения в обычных для навигации условиях, в особенности за Полярным кругом, где нередко посадка происходит на льду той или иной плотности, влажности и т.п.

1. Оценка свойств поверхности места предполагаемой посадки ЛА на основе модели формирования собственного излучения

Поскольку, как известно, излучение элемента среды прямо пропорционально мощности тепловых потерь вспомогательной плоской волны, распространяющейся в направлении, противоположном тому, в котором определяется излучение, то (с технической точки зрения) формирование микроволнового излучения внутри слоя можно изучать, исследуя отражение сигналов. Рассмотрим уравнение Г ельмгольца:

Аи + к 2e( z)u = 0; (1)

где к е R, оператор Лапласа А = Э2/ Эх2 +Э2/ Эz2 и e(z) = 1 при z < 0, e(z) = ek = const > 1 при

z > h, а в промежутке 0zh - это гладкая функция, с условиями непрерывности первой произ-

водной на границе разделяющего отрезка: e (z) |z=0 = e (z) |z=h = 0 .

Задача состоит в определении коротковолновой асимптотики (т.е. при к ® ¥ ) для решений типа плоской волны и = в'к(РхХ+р*2), причем р2х + р2 = е(г) .

Эта задача естественно возникает при изучении отражения плоской волны на тонком слое, разделяющем два полупространства. Волновое уравнение

д 2и д2 и д2и д 2и

Эt2 Эх2 Эу2 Эz2

iк ( pxX+pyy+ pzz +'Jst

(2)

в предположении, что и имеет вид плоской волны e ^ ^ , где e - показатель прелом-

ления приводит как раз к уравнению Г ельмгольца. Имеется в виду, что разделяющий слой расположен в области 0 < z < h; ось х ориентирована вдоль проекции вектора (px, py, pz) на плоскость z = 0.

Важнейшей характеристикой является коэффициент отражения R =| Eldd (в)/Е1М (в) | в этих

условиях (здесь E — напряженность электрического поля, в — угол падения).

На основе асимптотических методов была получена оценка коэффициента отражения. В статье обсуждается численная модель, позволяющая детально прослеживать движение электромагнитной волны внутри слоя и, как следствие, оценить качество оценок, полученных выше для снега, льда и воды.

Аналитическое решение уравнения Гельмгольца, описывающего движение электромагнитной волны внутри слоя как правило невозможно, поэтому предложены численные методы на основе пакета «Maple» и разобраны примеры применения этих алгоритмов. Приведены результаты численного решения уравнения Гельмгольца, описывающего распространение и отражение плоской волны в ситуации потенциала типа переходного слоя.

Рис. 1. Действительная и мнимая часть е

Удалось получить эффективную оценку величины отражения, формируемой переходным слоем в целом [1-3].

IR V

1 є ' (0)

16v2 (є(0))312

є '(1)

(

exp

\

I ________

2ivj у]є(т) dt

16v2

є '(0)-

(є(1))312 *(№>)

exp

і

2ivj^e(t) dt

(3)

Определяющим в формуле (3) оказывается скачок второй производной на границе воздух -—® слой и среднее значение показателя преломления. Однако для получения этих оценок дважды применялся асимптотический переход: при использовании квази-функции Грина и для вычисления быстроосциллирующего интеграла. Естественно, встает вопрос, в какой степени

0

1

0

можно доверять полученным таким образом оценкам. Ниже приводятся результаты численного моделирования, позволяющего проверить эти оценки на решениях уравнения Г ельмгольца.

Для численного решения уравнения Гельмгольца был использован алгоритм Рунге-Кутта-Фельберга порядка 4-5, реализованный при помощи пакета прикладных математических программ Maple-Vr5.

В рассматриваемой модели падающей из воздушной (е = 1, 2 < 0) среды, в этом же полупространстве присутствует отраженная волна, в то время как за переходным слоем ( г > 1), есть только прошедшая и экспоненциально убывающая волна. При п2 =| 31л/ек] И 0 в общем решении при г > 1 для однородной среды:

присутствуют как убывающая, так и растущая экспоненты. Поэтому начальные данные задавались при г > 1 в форме Бора-Зоммерфельда с тем, чтобы исключить рост прошедшей волны.

Фактически, комплексное уравнение Г ельмгольца было представлено в виде системы двух действительных уравнений второго порядка на действительную / и мнимую я части решения:

Приведенные графики иллюстрируют расчеты при следующих значениях параметров: п = 10, ek = 3 + 4/, т.е. ^ = П + П = 2 +/. Показатель преломления представляет собой одну полуволну косинуса:

(Начальная точка взята за переходным слоем, а данные Коши взяты с тем расчетом, чтобы

При Z > 1 имеем С2 = 0 и ^[єк

= п1 + іп2:

(4)

(5)

/ (о+&)=С1 х

/) + ІЕ ) = і^л[єккС1 exP(iV^/ЄГZo ) = ІУл[є~к (/(Z0 ) + І8 ^0 )) = п(-п2 + Щ)/(Z0 ) + І8 (Z0 X

откуда:

/ (г0) = Л > g(г0) = go > / X г0) = -П(П2І0 + п1 go), ё (г0) =П(ПіЛ - п2 go)•

В частности, можно взять:

/ (20) = Л > / X 20) = -п2УЇ0 > g(20) = 0 Я (20) = пУЇ0 •

его график для ек = 3 + 4/ представлен на рис. . 1.

Начальные данные следующие:

/ (1.509) = 0.000013, /'(1.509) = -0.00013, £ (1.509) = 0, £ (1.509) = 0.00026.

было у(0) = 1, у (0) = 0).

Рис. 2 и 3 иллюстрируют действительную и мнимую части решения

А V

рад о.з-

1 ■} ■ 1 ■ ■ 1 -1 \ г 7 —■ ■ 1 1 1

\ / х

\ т5~

V V 4.

Рис. 2. Действительная часть решения уравнения Гельмгольца

Л 1_

. . | . . . , 'О _ ^ Й

-1 1 и- 1 1 1 у 1 | 1 1 1 \ 1

V X

-И

л ■

Рис. 3. Мнимая часть решения уравнения Г ельмгольца На рис. 4 представлен график модуля решения, | и(^) |= ’'+ £2 .

■0.8

-016

■О 1ВД1

-о .а

1 ■ 1 1 ■ 1 1 -2 и1 1 2

X

Рис. 4. График модуля Е(х) . Видна интерференция прямой и отраженных волн

в полупространстве, где е = 1

Рис. 5. Часть графика модуля. Интерференция прямой и отраженной волн. Видна длина волны и амплитуда, равная коэффициенту отражения

На графике модуля (электрического поля) видна интерференция прямой и отраженной волны перед переходным слоем. За ним — экспоненциальное убывание вследствие выбора начальных условий по Бору-Зоммерфельду. Заметим, что интерференция отражается в модуле следующим образом. Если е1кх + Яе~гк (х+в'> — сумма прямой и отраженной волн в полупространстве, где е = 1, то | е1кх + Яе~1к(х+е) |=| 1 + Яе~'2к(х+ф) |. Поэтому вокруг 1 происходят колебания с частотой, удвоенной по отношению к частоте падающей волны. Амплитуда колебаний модуля совпадает с коэффициентом отражения. На рис. 6 интерференционная часть дана в увеличенном виде; удвоение частоты видно при сравнении с рис. 3, а амплитуда может быть оценена как равная 0.3. Асимптотическая оценка для этого е = 3 + 41 равна 0,27. Сравнение коэффициента отражения, полученного при помощи асимптотики и при помощи прямого численного моделирования в соответствии с изложенной схемой для различных переходных слоев, представлено в таблице.

Как видно из таблицы, различие становится исчезающе малым при больших частотах, в то время как при V = 5 оно достаточно заметно. Это хорошо согласуется с характером асимптотики, взятым при V . Следует отметить, что в случае больших значениях | е | (случай воды в таблице) численный метод становится достаточно чувствительным по отношению к начальным условиям и не очень устойчивым. Тем не менее, при больших частотах и в этом случае наблюдается удовлетворительное согласование оценок.

С точки зрения обеспечения безопасной посадки важна не безразмерная глубина, на которой формируется сигнал, а абсолютная. (На эту величину нужно вносить поправку в показания высотомера.) Ее нетрудно определить, исходя из того, что г/к = £, кк = V и, значит V ■ Е, = (г / к) = кк. Сомножители в левой части этого равенства берутся из таблицы и абсолютная глубина, на которой формируется сигнал при выбранном к, дается формулой:

2 = (V -^)/ к = ^-^Л;

2р

где: Л - длина волны; ^ - безразмерная глубина.

Очевидно, что для выбора поправки бортовой радиолокатор должен быть оснащен компьютером, в который должен быть заложен соответствующий банк данных возможных наблюдаемых показателей типа таблицы с целью оперативного выбора величины поправки.

Численный метод начинает расходиться, когда вычисляемые значения функции становятся сопоставимы с заданной точностью (здесь 10-10), и появляется экспоненциально растущий добавок. На рис. 6 за счет выбора масштаба виден момент начала расходимости.

10'9

10

1ВД|

5

3.5 4.0

х

Рис. 6. Момент начала расходимости численного алгоритма наступает, когда значения функции

сопоставимы с заданной точностью, ( е = 3 + 41).

2. Локализация по глубине максимально излучающего слоя

Излучение элемента среды прямо пропорционально мощности тепловых потерь вспомогательной плоской волны, распространяющейся в направлении, противоположном тому, в котором определяется излучение. Вклад в общее излучение с единицы поверхности среды в единичный телесный угол на длине волны 1 в пересчете на единичный интервал длин волн с точностью до постоянного множителя может быть записан в виде:

I |2

^ = Р(г)ёг = <7(г)|Е(г)| / 2 ёг ;

где <г(г) - проводимость среды, а Е(г) - амплитуда вспомогательной волны. Величина Р(г) называется дифференциальной излучательной способностью.

Мощность излучения Q( г) объема среды, заключенного между г = 0 иг имеющего единичное сечение, может быть выражена следующей формулой:

г г

Q(г) = |Р(г)ёг =0.5|<г(г) |Е(г)|2 ёг;

0 0

Обыкновенно величину Q(г) нормируют следующим образом: д(г) = Q(г) / Q(¥); аналогично р(г) = Р(г)/Q(¥) . Тогда, в частности:

| р( г )ёг = 1.

0

Толщина излучающего слоя определяется тогда по остаточной мощности: если 1 - ^(г0) = а, то будем говорить, что слой 0 < г < г0 является слоем на уровне а.

Рассмотрим простую модель формирования излучения для случая, когда комплексная диэлектрическая проницаемость среды относительно медленно меняется в зависимости от г ; точнее, при 1\ёе/ёг\ << |е|. Для таких сред можно использовать ВКБ - приближение решения уравнения Г ельмгольца:

Е(г) » А [е(г)] 025 ехр (-гк^ ^е(/)ё().

Положим е(г) = е1(г)-ге2(г) = \е (г)|в~'3(г) и е2(г) = 4жо(£)/о = |п(г)|2 Бт £(г). Для нормированной дифференциальной излучательной способности получим:

( * г Х/*\\ \

р( г) = Си( г) ехр

-2к | и(^) Бее!

: )*

Здесь и( г) = |п( г )|вт£( г) и С = 0А|2/(8р) .

Таблица

Сравнение асимптотической оценки коэффициента отражения с оценкой, получаемой при численном решении при различных сочетаниях п и е

п 1 е ® Пресный лед, з+г Сухой снег, 2 + г10-3 Мокрый снег, 4 + 0.5/ Вода, 60 + 40/

Численная модель 0.038 0.015 0.0476 0.88

5 Асимптотика 0.03 0.018 0.0365 0.341

Г лубина максимального излучения 0.56 1 0.55 0.18

Численная модель 0.0089 0.0042 0.012 0.20

10 Асимптотика 0.007 0.0037 0.0095 0.22

0

V

Продолжение таблицы

Г лубина максимального излучения 0.44 1 0.44 0.15

Численная модель 0.0018 7.9 -10"4 0.00234 0.49

20 Асимптотика 0.0017 8.110-4 0.00253 0.55

Г лубина максимального излучения 0.36 1 0.35 0.11

Численная модель 4.2-10"4 1.42 -10"4 5.8 -10"4 0.18

40 Асимптотика 4.3 -10"4 1.42 -10"4 5.86 10-4 0.14

Г лубина максимального излучения 0.28 1 0.32 0.08

Численная модель 1.06 10-4 6 10-5 1.38 10-4 0.00397

80 Асимптотика 1.08 10-4 6 10-5 1.46 10-4 0.0034

Г лубина максимального излучения 0.2 1 0.28 0.06

Рис. 7. Г лубина максимальной интенсивности собственного излучения для различных покровов, ( е = 3 + 4/)

Даже в этом, сравнительно простом случае расчет дифференциальной излучательной способности (тем более функции тепловых потерь ^(г) = [ р(г)ёг ) для произвольного закона изменения е( г) аналитическими методами произвести невозможно. Однако это вполне возможно сделать численно для конкретного е( г). Результаты расчетов, выполненных в пакете Мар1е содержатся в таблице и проиллюстрированы (рис. 6).

Заключение

При ошибках в определении высоты переходного слоя или составе подстилающей поверхности посадка вполне может привести к чрезвычайной ситуации. Поэтому полученные результаты имеют чрезвычайно важное значение в обеспечении безопасной навигации, в частности, посадки в труднодоступных регионах.

Как известно, формирование микроволнового излучения внутри слоя можно изучать, исследуя отражение сигналов. Однако для получения оценок коэффициента отражения дважды применялся асимптотический переход: при использовании квази-функции Грина и для вычисления быстроосциллирующего интеграла.

Изучен вопрос, в какой степени можно доверять полученным таким образом оценкам. Результаты численного моделирования позволили проверить эти оценки на решениях уравнения Гельмгольца: различие становится исчезающе малым при больших частотах, в то время как при v = 5 оно достаточно заметно. Это хорошо согласуется с характером асимптотики, взятым при v ® ¥ . Следует отметить, что в случае больших значениях | e | (например, для воды), численный метод становится достаточно чувствительным по отношению к начальным условиям и не очень устойчивым. Тем не менее, при больших частотах и в этом случае наблюдается удовлетворительное согласование оценок.

С точки зрения обеспечения безопасной навигации и посадки, при радиолокации в условиях, когда отсутствует четкий раздел подстилающих покровов, важны оба элемента оценки отраженной волны - коэффициента отражения и той глубины, с которой виден отраженный сигнал (то есть, глубины, на которой достигается максимум дифференциальной излучательной способности). Первая из этих характеристик позволят проводить надежную дифференциацию покровов по составу; вторая позволяет решать вопрос о реальной глубине, на которой формируется принимаемый сигнал.

Данные радиометрии (в том числе и учитывающие полную пространственно - временную структуру электромагнитного сигнала: поляризации и др.) дают истинную высоту поверхности и позволяют сделать вывод о безопасности данной поверхности для посадки летательного аппарата.

ЛИТЕРАТУРА

1. Самохин А.В. Отражение от сглаживающего переходного слоя// Электромагнитные волны и системы, 6 (2001) № 2-3.

2. Самохин А.В. Формирование микроволнового излучения в сглаживающем переходном слое // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Радиофизика и радиотехника, № 24, 2002.

3. Самохин А.В. Оценка коэффициента отражения от сглаживающего переходного слоя // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Радиофизика и радиотехника, № 8, 1999.

NUMERIC MODELLING OF A FORMATION OF THE OWN MICROWAVE RADIATION

IN A SMOOTHING TRANSITIONAL LAYER

Samokhin A.V.

The interpretation of a distant radio probing using the standard assumption of a permittivity jump at the boundary between different layers results in significant errors in such a cases as an ice with its composition changing with depth or in the cases of dry and wet snow, wet sands and soil. In fact, the situation when the permittivity changes continuously and even smoothly up to a first derivative is common enough (e.g., new snow on the neve gradually transforming into friable ice). Standard formulas do not lead to a correct evaluation of a reflected signal; it was also impossible to localize the depth of a layer that produces the maximal contribution in the reflected signal. The obtained in this paper method for differentiation of the surfaces’ own microwave radiation makes its possible to decide whether it is safe to land on the chosen surface.

Сведения об авторе

Самохин Алексей Васильевич, 1947 г.р. окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1971), действительный член Московского и Американского математических обществ, Соросовский доцент, доктор технических наук, заведующий кафедрой высшей математики, декан факультета прикладной математики и

вычислительной техники МГТУ ГА, автор 31 научных работ, область научных интересов — дифференциальные уравнения математической физики, симметрии, законы сохранения.