CC BY
49
Секция физики
УДК 534.28
В.А. Третьяков, И.П. Фирсов
ОТРАЖЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УЛЬТРАЗВУКОВОГО ПУЧКА ПОПЕРЕЧНЫХ ВОЛН ОТ ГРАНИЦЫ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В ультразвуковой дефектоскопии при исследовании прохождения акустических сигналов через границу раздела двух сред обычно используют ограниченные звуковые пучки с неоднородным распределением амплитуды смещений по его сечению. Это обусловлено тем, что такие пучки формируются пъезопреобразователями конечных размеров, работа которых в режиме излучения существенно отличается от работы идеального поршневого излучателя [1]. Наличие подобного рода неоднородностей сказывается на характере отражения такого пучка от границы твердого тела, что является существенным при ультразвуковых измерениях и ультразвуковой диагностике качества изделий. В данной работе рассматривается задача об отражении неоднородного ультразвукового пучка поперечных волн от границы изотропного твердого тела.
Пусть на границу изотропного твердого тела нормально падает пучок поперечных волн, задаваемый функцией
и = 1/0 ехр(- 32г2 + /Агмг), ^ (1)
где Г, = —+ V")2, а - радиус излучателя; А'(, - волновое число поперечной волны; <50 - коэффициент, определяющий степень неоднород-
ности пучка; У0 — амплитуда смещения.
Для нахождения отраженных волн от границы Z = 0 воспользуемся уравнениями Гельмгольца для скалярного и векторного потенциалов, законом Гука и общим выражением для смещения
&<р + к?ф - 0, АЧ, + к;'¥ = О,
_ (2)
о,к = + 2/л/|(,, й = %тс\ф + го№,
где Ьц - коэффициенты Ляме.
Решение задачи проведем методом двойного интегрального преобразования Фурье по переменным х и у. Тогда из (1) и (2) имеем
и = тг / £р2 ехр(- а2к2 / 48(2 + 1’к,,2),
~ ~ (3)
д2фI а2 + (к2 -к2)ф = 0, /д12 + {к2 - к2 )Т = 0.
Решение системы уравнений (3) запишем в виде
Фотр = К еХР[" Фп 'к '2 » Яр = ехр[/^-^Г
■, Ф;р = г2 ехр
4>;тр = К2 ехр[- Цк1 -к-г ¥;тр = У3 ехр[- ф*-к2г
, ¥;р = г,ехР
Цк?г~к22 Цк;2 - к2 г],
(4)
где V, 2 з и Т, т з - коэффициенты, подлежащие определению.
Граничные условия требуют равенства механических напряжений и смещений, создаваемых падающим, отраженным и прошедшим пучками при
Ъ = 0 на границе двух изотропных сред с плотностями р; и рг-
,(2)
.0) _ ^(2)
(II (2) (1) (2)
к™ = и<2).
(5)
Теперь, на основании (1), (4) и (5) можно получить систему уравнений для нахождения коэффициентов V] 2 3 И Т| 2,з ■
Рг^п
Р\к,г
Рг^п
Р\к,г
Ргк,\
Р\ к 12 ш
- 1кх (Л* / к^ -2)и + (2к2 - А,2, Ж, + 2ку №-кЧ\ - 2кх4к«-к'-Уу ] = (2А-2 - А-,; )/’, - 2ку ^к;2-к2Т2 + 2кх ^к2-к21\ ],
1кпи-2кхУ1к11 -к2 У, + кхкуУ2 + (к2-к2 -/с;)К,] =
2 к , 4кп~к2Т{ + Аг, А, Тг+К-кг- к; )Т3 ],
- 2ку у] к и -/г К, -(к2-к1- к; )У2 + кх к, У3 ] =
(6)
2к,,]к;г - к2 Г, -к2 -к;. )Т2 -кхкгТ}
(и + кх1\ -у1к2-к2У3 = кх7\ + ^к\-кгТ,,
Аг. К, + 4к'п~кгУ2 = АГ.Г, - Vкгл-к2Т2,
^к2-к2У, - ку У2 + кхУ, = -у1^г-к2Т, - к,Тг +кхТ}.
Решая систему уравнений (6) относительно коэффициентов Уь У2, Ух, а также используя обратное преобразование Фурье и соотношение (4), после многочисленных громоздких преобразований получим выражение для отраженного пучка продольных волн в виде
<Р„„Ф = «7°*? /4/г: { | Л, ехр[- 1л[к^кТ2 + Цкхх + куу)-а2к2 / 4<5;]й«г,Л,, (7)
где
и° = тг / 8^110 схр( //с,|2),
у о _ ^1^4 [~^(1 ~ ^<1 ^ к/2)р]к12 ^ Р2^1\^12 ~ ^<1 Р\к/2 ! Р-2^1\ )] к*\ -р{кл !Рьклкп[клк;г{к,хка + к,2кп ) + к*2кп\
а,° = [А:* I к^ - 2 +р] к;2 / р2к* (2 - *(2 / Аг,2)],
«4° =[а4 'М,3. -1]-
Для вычисления интеграла в (7) перейдем к полярным координатам, положив
кх = к cos в, kv = к sin#, dkxdkf = kilOdk, ,v = r cos v =. r sin $9.
Тогда из (7) с учетом соотношений (8) получим
(8)
со 2/г
Ротр = 1\к? схр^А-;- -k2z +
о О
(9)
+ ikr cos[0 - (р)- а к I 450 ]cosOilddk.
2я
Учитывая далее, что |схр[|/ггсо8(0-<р)]сочШ6> = -2лт7,(Аг)со8^,
о
(Л,(к!') - функция Бесселя 1-го порядка), и проведя усреднение по углу Ф, из (9) найдем
00
к»,р| = -£0^0/2л{ехр(-а2к2 /4ё02)Ык=-ипУ10$ I ла2 = -£//;.(10)
о
Если ось Z выбрать так, чтобы она совпала с направлением распространения продольной волны, то ее вектор смещения иг = ки^9отр,
и тогда для коэффициента трансформации у сдвиговой волны в продольную получим
3
у - |мг|/|м| = 4кпУ?80 /ал2. (11)
Аналогичным путем можно получить выражение для отраженного пучка поперечных волн
Т
от р
= аи0у[л / 250(v30 + 4<50v3l / ал2) (12)
и коэффициента отражения R
з
R = |й*|/|й| = к,х(v30 +4d'0vv /ал2), (13)
где
У30 = -а4° / А 0[(Аг* + «2° )(кп - «7°)]. ''л = а,0 / Л „[(2/:,, + а5° )(£,22 - а7°)],
С?2 — Р\^12кц //?2^(1^/2» °"2 ~ Р\^12 I (^*2^71 "^^<2^72 ~ ^^/1^/2 )»
а7 = —р]к,2 I р2к1}, Д0 = А:,, — Р[к12 / (^|^»2 + к,2кп) + к,2кп ].
Из соотношений (11) и (12) видно, что коэффициент трансформации у и коэффициент отражения И зависят от степени неоднородности пучка, т.е. от параметра 50. Причем с ростом степени неоднородности происходит уменьшение коэффициента отражения (заметим, что коэффициенты У30 и Уз1 имеют разные знаки) и увеличение коэффициента трансформации. Это обусловлено изменением степени трансформации пучка поперечных волн в продольные при его отражении.
Численные расчеты коэффициентов отражения и коэффициента трансформации показывают, что при фиксированном параметре 50 с ростом поперечных размеров пучка влияние степени неоднородности существенно уменьшается. При этом величина коэффициента трансформации имеет большее значение, чем в случае отражения однородного пучка поперечных волн от границы раздела [2]. Следует отметить также, что и прошедший через границу раздела двух сред пучок поперечных волн также зависит от параметра неоднородности 80.
Полученные результаты являются более общими и могут найти применение при решении вопросов оптимального ультразвукового контроля качества материалов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Меркулова В.М., Третъяков В.А. Влияние немоночастотности кварцевых преобразователей на прецизионные измерения скорости и затухания ультразвука // Акустический журнал, 1976. №3. С. 412 — 415.
2. Меркулова В.М. Трансформация упругих волн при нормальном падении цилиндрического пучка на границу раздела двух сред // Дефектоскопия, 1971. № 1. С. 5 - 12.
УДК 519.1
А.И. Матвеев
НЕЛИНЕЙНЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБОНЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ
Известно, что нелинейные эффекты при распознании электромагнитных волн в бесстолкновительной плазме могут быть учтены с помощью нелинейности квадратичной по полю. Здесь в задаче о распространении быстрой поперечной электромагнитной волны в бесстолкновительной слабонеоднородной плазме
/г/. » 1, (1)
где Ь — характерный размер неоднородности, учтена нелинейность, связанная с силами инерции и Миллера. На основе точных уравнений дви-
