К вопросу об аналитическом решении параболического уравнения для двухчастотной двухпозиционной функции когерентности поля в диффузионном марковском приближении Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 4 2007 Вып. 3

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 537.86:519.2

A.A. Битюков, H.H. Зернов

К ВОПРОСУ ОБ АНАЛИТИЧЕСКОМ РЕШЕНИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ДВУХЧАСТОТНОЙ ДВУХПОЗИЦИОННОЙ ФУНКЦИИ КОГЕРЕНТНОСТИ ПОЛЯ В ДИФФУЗИОННОМ МАРКОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Введение. Задача построения точного аналитического решения соответствующего уравнения для двухчастотной двухпозиционной функции когерентности поля в случайно-неоднородной среде относится, как известно, к числу проблем, не решенных до конца в рамках марковского диффузионного приближения. Она была исследована численно для ряда ситуаций: так, в работах [1, 2] построено решение задачи для случая падения плоской волны на область с флуктуациями электронной концентрации для гауссова спектра флуктуирующих неоднородностей в приближении квадратичной эффективной структурной функции; в работе [3] тоже рассматривалось распространение плоской волны и было получено решение для обратно степенного и гауссова спектра флуктуаций неоднородностей (при этом какие-либо аппроксимации эффективной структурной функции не использовались).

Известен ряд попыток построения аналитического решения данной задачи. В ранних работах, например [4, 5], посвященных этой проблеме, решение уравнения для искомой функции когерентности предлагалось строить по аналогии с методом Рытова, используя при этом ряд возмущений и пренебрегая малыми нелинейными членами. При таком подходе теряется главное преимущество метода марковского приближения—возможность его применения для режима сильных флуктуаций поля. В последней работе [5] указанный способ обобщается также на случай сильных флуктуаций поля при параболической аппроксимации эффективной корреляционной функции флуктуаций электронной концентрации. С другой стороны, в работе [6] представлено точное аналитическое решение задачи для случая падения плоской волны при квадратичной аппроксимации эффективной структурной функции флуктуирующих неоднородностей среды. Известно два обобщения этого решения: во-первых, в [7] построено точное аналитическое решение с помощью преобразования Фурье по суммарным переменным для случая падения волнового пучка; а во-вторых, в работе [8] на случай падения сферической волны. В обеих вышеупомянутых работах эффективная структурная функция флуктуаций среды по-прежнему оставалась параболической, что не дает возможности использовать эти решения для режима умеренных и слабых флуктуаций поля.

Авторы работ [9-12] для решения данной проблемы применили классический способ разделения переменных и построили решение уравнения с помощью разложения в ряд по собственным функциям соответствующего дифференциального оператора в частных производных. В этом случае эффективная структурная функция неоднородностей среды могла быть произвольной. Однако при этом возникают проблемы со сходимостью подобного представления при определенных условиях на граничной

© A.A. Битюков, H.H. Зернов, 2007

поверхности (например, в случае падения плоской волны), к тому же, в случае реалистических моделей эффективной структурной функции, спектр соответствующего поперечного дифференциального оператора имеет сложный вид. Следует упомянуть еще одну попытку решения данной проблемы при произвольной эффективной структурной функции: в работе [13] после значительных преобразований, связанных с увеличением числа координат задачи—выделением медленных и быстрых переменных,—использовался метод двухмасшатабного разложения, в результате чего исходное уравнение сводилось к уравнению первого порядка в частных производных, к решению которого затем применялся метод характеристик.

В работе [14] для решения данной проблемы с произвольной эффективной структурной функцией на примере случая падения плоской волны был сформулирован квазиклассический метод, формально аналогичный методу геометрической оптики (в дальнейшем МГО), с представлением решения в виде асимптотического ряда по обратным степеням естественного большого параметра задачи, не связанного с разностной частотой. При этом решение уравнения строилось вдоль комплексных траекторий. Применение этого метода для квадратичной структурной функции автоматически приводило к известному точному результату, полученному в работе [6]. В дальнейшем этот метод был усовершенствован и, в более сложном виде (с использованием двух функций, формально аналогичных функции эйконала в МГО), применен для построения двухпозици-онной двухчастотной функции когерентности поля в случайно-неоднородной среде при произвольных граничных условиях для нормального падения волны [15] и для наклонного падения к границе области с флуктуациями [16, 17]. В работе [18] предложен альтернативный по отношению к изложенному в [15] способ развития данного асимптотического метода для задачи построения функции когерентности поля сферической волны, падающей по нормали, в среде с флуктуациями. В настоящей работе способ, предложенный в [18], обобщается на случай произвольного условия на границе полупространства с флуктуациями (при нормальном падении волны). При этом автоматически получаются найденные ранее результаты для случаев падения плоской и сферических волн. По возможности в данной работе сохранены обозначения, принятые в [18].

1. Постановка задачи. Пусть в правом полупространстве с границей х = О находится холодная изотропная бесстолкновительная однородная плазма с флуктуациями электронной концентрации. Тогда электронную концентрацию в этом полупространстве мы можем представить как Щг) = Ы0 +ДЛг(г), где Ы0—электронная концентрация фона, величина детерминированная, АтУ—случайная добавка, описывающая флуктуации, г = {х, у, г). Имея в виду задачу о распространении электромагнитных волн через плазму ионосферы, мы будем считать, что в левом полупространстве вакуум. Пусть слева на полупространство с флуктуациями вдоль оси 02 падает волна с волновой поверхностью, вообще говоря, произвольной формы. Для дальнейших построений нам будет удобно иметь дело с величиной относительной электронной концентрации £

N

Будем считать, что флуктуирующие неоднородности крупномасштабны: к1» 1, где к—волновое число в плазме фона в правом полупространстве, а I—минимальный характерный масштаб случайного поля £ в произвольном направлении. Дополнительно сделаем предположение, что £—статистически однородное гауссово случайное поле, дельта-коррелированное в направлении оси 02 [19].

Представим поле волны в полупространстве с флуктуациями в виде

Е{р^,/) = у(р,2)ехр[1(Ь - о/)],

где р= {х, у}. Тогда, с учетом сделанных предположений, двухчастотная двухпозиционная функция когерентности поля Г(р1 - р2^,кгк2) = в среде с флуктуа-

циями будет подчиняться уравнению параболического типа [8, 20]

?L+L

dz 2

1

к2

Р d к'~ 4

кМ+-кЛ2-2кУУ,

Г-

К

тгА{р)-

(1)

2 + -2 1 2

Km

г=о,

в котором кр = сор/с, сор—циклическая плазменная частота для плазмы фона, А(р)— коэффициент функции корреляции случайного поля & и кл—суммарное и разностное волновые числа для плазмы фона: ка = - к2 и & = (к] + &2)/2, и Vs—операторы градиента по поперечным разностным р = р, — р2, р = {дс^} и суммарным И. = (р] + р2)/2,

д д д д

К={ЛГ,У}, пространственным переменным, а У^У, =---1---. Уравнение (1)

дх дХ ду дУ

необходимо Дополнить граничным условием при г = 0

Г^ГДр.КЛ,*,), (2)

где функция Г0 будет двухчастотной двухпозиционной функцией когерентности падающего поля, принимая во внимание границу раздела вакуум плазма. В работе [18] в качестве граничного условия была рассмотрена функция когерентности поля сферической волны. Такой конкретный выбор граничного условия определил дальнейший ход решения задачи, предложенный в [18],—для того чтобы уйти в уравнении (1) от зависимости от центральных (суммарных) переменных И., там использовалась замена неизвестной функции, заимствованная из работы [8], и затем применялся асимптотический метод, разработанный в [14].

Здесь мы предложим другой способ построения решения уравнения (I) и зависимость от центральных переменных оставим. Для дальнейших действий сделаем традиционную подстановку, которая в той или иной форме встречается во всех работах, связанных с решением марковского параболического уравнения, и перейдем в уравнении (1) к новой функции Г:

\2

Г(р,К,z,w„w2) = Г(р, R,z,w„w2) ехр

4^(0 )zk\

1*1

1

2 J

(3)

Граничное условие для функции Г, очевидно, будет совпадать с граничным условием (2) для функции Г. Подставляя выражение (3) в уравнение (1), получим уравнение для функции Г

dz 2 к]

1

г4

8^-^/4

£>(Р)Г = 0,

(4)

где £>(р)—эффективная структурная функция флуктуаций относительной электронной концентрации: -D(p) = 2[Л(р) -Л(р)], в дальнейшем просто структурная функция флуктуаций среды.

2. Квазиклассическое асимптотическое приближение для уравнения (4). Для

решения уравнения (4) мы применим квазиклассический метод, предложенный в [14] и формально аналогичный МГО. Так же, как и в [18], мы представим решение уравнение (4) в виде асимптотического ряда по малому безразмерному параметру

_1_ кХ

лежащему в основе метода параболического уравнения.

Перейдем в уравнении (4) от исходных координат, в которых была поставлена задача, к новым безразмерным координатам г ={р,К^}

г, =цкгг.

Теперь, в отличие от работы [18], мы оставляем центральные поперечные переменные И и «растягиваем» их так же, как и разностные р: = /¿кК. В новых переменных уравнение (4) примет вид

к, дГ +1

Г +

1

к* Кр

8 ¿к]-к] ¡4

Я(Р1)Г = 0. (5)

// сЦ 2 к]-к]¡А Будем искать решение уравнения (5) в виде

Г = ^(г1)ехр[гФ(г1)], (6)

где функции IV(г^ и Ф(г1) зависят от кх и к^ Функцию Ф(г,) представим как

И

а функцию №(г ) разложим в ряд по степеням параметра

Г = ехр

Е

т=0

К(^).

(7)

(8)

Отметим, что в отличие от решения, предложенного в [18], здесь функция Ф (и, соответственно, функция Ф;) зависит и от разностных координат р, и от суммарных И: {рД^}. По аналогии с МГО мы будем условно называть функцию Ф эйконалом, а функции ¡Ут амплитудами.

Далее следует стандартный прием: подставим ряд (8) в уравнение (5) и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях /1, получим уравнения, которые будут аналогичны уравнениям эйконала и переноса соответственно в МГО. Вернемся к исходным физическим координатам ? ={р,К,г}. Тогда получившиеся уравнения, с учетом Ф = Ф] / ц, будут выглядеть так:

- а(У ,Ф)2 - ^(У,Ф)2 + Л У ,Ф - - 0,

(9)

г) Ш

дг

. . 2 , , о 4 . . ^ (10)

+ {У „Ф У,Ж0 + У ,Ф У А }+ сО¥0 = 0

+ й { У,Ф Ч,1ГЯ + У,Ф У }+<ИГЯ У,У,Ф = /

+iaV2ífVm_l-dV{iVsWm_i

где, а =-, ^ , ,—, Ъ =-, р , , и(/ = —, ^ , ,—; те^.

Чк]~к]/А)' 4(к] — к]/А) {к] — к]/А)

Уравнения (9) и (10) необходимо дополнить граничными условиями Ф|г=о и й^0|2=0 соответственно, которые на этот раз будут определяться из начального распределения Г | ^функции Г на границе полупространства с флуктуациями. Граничные условия для амплитуд высших приближений Ш, п> 0 поставим так же, как и раньше:

^,|г=0 = 0, «>0. (11)

Таким образом, используя асимптотическое представление (6) - (8) для функции Г, мы смогли получить набор уравнений для функций Ф и ¡¥т. При этом уравнение (9) для функции Ф первого порядка (уравнение типа Гамильтона—Якоби [21]), что позволяет и в этом случае применить предложенный в работах [14, 18] метод, т. е. строить решение задачи с помощью комплексных лучей-траекторий.

Каноническая система для уравнения (9) будет следующей

7Г = 1- (12)

ОТ

до

- = -2 «р^+Ац (13)

1 ^

— = --аЧ±+<1Р±> (14)

(15)

дт > (16)

дт , (17)

д ф 1

где

рх = дФ/дх, ру = дф/ду, дх = дФ/дХ, ду = дФ/д¥, ря = дФ/дг,

р± = чи =

Для анализа и решения задачи систему (12)—(18) удобно преобразовать

2 = Т, (19)

Р,=Ро„ (20)

Я± = Яо1' (21)

Г

Ф(т) = Ф0 - р0гт + 1Ъ/Я(р)</*, (22)

о

(23)

ат

Щт) = И0 + -±-Чо1т - (р (г) - р0); (24)

здесь р0 = р(О), К0 = 11(0), р0г и —начальные значения функций рг(х) и я±(т) соответственно (эти функции будут, как следует из уравнений (16) и (17), константами вдоль лучей). Начальное значение вектора р±(г) традиционно обозначим: р = р±(0).

Система уравнений (19)—(24) определяет комплексные траектории в четырёхмерном комплексном пространстве (рД) и функцию эйконала Ф(г) на этих траекториях. Параметр т вдоль этих траекторий можно считать чисто вещественным: г е Я. При этом мы будем считать, что началу луча соответствует значение параметра г = 0. Соответственно, величины р0 и К0 будут комплексными координатами точек выхода комплексных лучей-траекторий с начальной поверхности, определяемой условием Для дальнейшего анализа удобно рассматривать отдельно проекции этих четырехмерных траекторий на двумерное комплексное пространство (р), при этом мы получаем двумерные комплексные траектории р(г) (мы будем называть их главными траекториями) и также двумерные комплексные проекции Я(т) на комплексное пространство (Я) (их мы назовем дополнительными траекториями).

Векторы р01 и я01 находятся следующим образом:

Рох = дФ о/дх0, р0у = дФ о/ду0, = дФ о/дХ0, = дФ 0/<9У0; (25)

и, следовательно, эти векторы зависят от распределения функции Ф0 на граничной поверхности 2 = 0, которое, в свою очередь, определяется условием Г . Иными словами, фун-

кция Ф0(р0Д0) у нас каждый раз теперь будет разная в зависимости от того, поле какой волны падает на полупространство с флукгуациями. При этом мы должны аналитически продолжить функцию Ф0(р0,К0) в комплексную область переменных р0 и Кд. Оставшийся параметр р можно найти, подставляя найденные векторы р01 и Яо1 в уравнение (9).

Главные траектории р(г) будут решениями уравнения (23), которое совпадает с уравнением лучей (15) работы [18]. Уравнение (23) необходимо дополнить начальными условиями (при т = 0). Одно из них, очевидно, будет р0 = р(0), второе—условие для производной (ф/с/г)г=0—можно получить из уравнения (13), подставляя в него векторы р и яог При этом в общем случае начальное условие для производной (бр / <1т)т=0 может зависеть и от Я0, и, таким образом, может входить в выражение для главных траекторий р(т).

Найдя главные траектории р(г), мы сразу же, как следует из соотношения (24), можем найти и дополнительные траектории Щг). Однако дополнительные траектории удобно также представить и в следующем виде:

ат

•т + 1у/Л/У^ р)^, (26)

здесь (¿Ж./¿/т)г=0—начальное условие при г=0 для производной от функции Щт), определяемое из уравнения (14) на начальной поверхности г-0.

Что касается эйконала Ф(т), то из соотношения (22) видно, что функция Ф(т) будет изменяться только вдоль главных траекторий р(т), но при этом в выражение для Ф(т) также может входить и величина 110.

Так же, как и в предыдущих работах, мы по-прежнему будем интересоваться только амплитудой нулевого приближения Поступая согласно предложенной схеме (по аналогии с МГО) для функции И/0 вдоль лучей получим уравнение

dWQ dr

w0 = o.

(27)

Решая уравнение (27) с начальным условием которое следует

из Г , получим W как функцию лучевых координат {р ,R ,т} [22]

где

D(0)

X

D (т) =

D(r)j

d(x,y,X,Y) d(x0,y0,X0,Y0)

Если главные траектории р(т) не зависят от R0—это происходит, как будет показано ниже, в случаях падения плоской и сферической волн—выражение для JVQ(r) упрощается [21]

D(0) Рд(0)]^

w0 = K

где якобиан

D (т) =

D(т) Бд(т)

(28)

(29)

совпадает с якобианом, определявшим амплитудную функцию 1/0 в работе [18], см. формулу (18) цитируемой работы, а Од(г)

D Л(т) =

д(Х,Г) д(Х0,Г0У

(30)

Мы получили Ф и Ж0 как функции лучевых координат {р0,110,т} (т. е. нашли эти функции вдоль лучей), для перехода к исходным физическим координатам ? = надо выразить р0 и И0 из соотношений для главных и дополнительных траекторий через р, И и т и заменить, согласно (19), т на ъ. Причем, как уже обсуждалось в работах [14, 15, 18], и главные, и дополнительные траектории при фиксированном значении т, равном г, должны приходить в вещественные точки наблюдения: р е Я2, й. с Я2.

3. Случай падения плоской волны. Пусть на границу полупространства с флук-туациями падает плоская волна. При этом граничное условие для функции Г возьмем следующее:

Г| =1. (31)

1г=0

Тогда распределение функции Ф на начальной поверхности г = 0 будет

Ф| = ф = 0.

По формулам (25) найдем начальные векторы р01 и Я и, подставив их в (9), получим р0г

Ро± = 0' Чо± = 0- Рог = -¿ЬЛ(Ро)- (32)

Таким образом, в случая падения плоской волны система уравнений (19)—(24) сведётся к следующей системе

г = т, (33)

т

Ф(т) = -~ЬП(рь)т + 1Ь / (34)

2 ¿т

^ = (35)

Щт) = К0-£-(р(т)-р0); (36)

где уравнение (35) дополняется начальными условиями

Р(0) = Р0

= 0. (37)

Якобиан как это видно из (36), будет здесь ^ = 0. Начальное значения амплитуды нулевого приближения УУ0 на луче-траекгории будет ¡¥0° = 1, это следует из (31). И тогда для 1У0 вдоль траекторий мы получим

IX

ж0=

0(0)

Ъ(т)

(38)

Мы видим, что в данном случае решение задачи не зависит от дополнительных траекторий, и, следовательно, не зависит от центральных переменных Я. Отметим, что соотношения (33)—(35), (37) и (38) мы уже получали в работе [18], когда, устремляя г, —> оо, рассматривали переход от случая падения сферической волны к случаю падения плоской волны. В случае квадратичной аппроксимации структурной функции предложенное решение приводит, как показывается, например, в [14], к известному точному результату работы [6].

Для одночастотного случая известен способ построения точного аналитического решения соответствующего уравнения для чисто пространственной функции когерентности, основанный на преобразовании Фурье исходного уравнения по суммарным координатам [19]. В указанной работе приводится также и точное решение для случая падения плоской волны на полупространство с флуктуациями. Покажем переход к одночастотной функции пространственной когерентности в представленном асимптотическом решении. Для этого перейдем к пределу ка —» 0 (а —» 0) в уравнении для главных траекторий (35). Решением получившегося уравнения с нулевой правой частью и начальными условиями (37) будет: р(т) = р0, т. е. в одночастотном случае главные траектории стягиваются в точку выхода, которая в этом случае должна быть вещественной. Что касается дополнительных траекторий, то они будут определяться формулой (26), при этом, согласно (32), (<Ж./й/г)т=0 = 0, а коэффициент перед интегралом в одночастотном случае (26) будет ¡к*/(8к3); здесь к—волновое число в фоновой

среде, соответствующее круговой частоте падающей волны. Принимая во внимание, что траектории выродились в точку и, выполнив интегрирование в формуле (34) с учетом т = г, для пространственной двухточечной функции когерентности получим

Г(р,2,£)=ехр

к4 кр

8 к2

(39)

Найденная одночастотная пространственная функция когерентности (39), полученная предлагаемым методом в приближении главного члена асимптотического разложения (8), совпадает с точным решением монографии [19], см. формулу (45.20) указанной работы (учитывая при этом связь между коэффициентами корреляционной функции относительной диэлектрической проницаемости Ае использованной в цитируемой работе, и корреляционной функции относительной электронной концентрации А: Ае = (к^к^А).

4. Случай падения сферической волны. Теперь посмотрим, как работает предлагаемый метод в случае падения сферической волны. При этом, во избежание трудностей, связанных с необходимостью учета,границы раздела вакуумов плазмы фона (напомним, мы считаем флуктуирующие неоднородности крупномасштабными и пользуемся приближением рассеяния вперед), мы будем считать диэлектрическую проницаемость плазмы фона в правом полупространстве приблизительно равной единице. Тогда волновое число в плазме фона к будет приблизительно равно волновому числу в вакууме к0: к~ к0 = со / с. Например, для частоты распространяющейся волны /=1 ГГц плазменной частоты /р =10 МГц относительная ошибка такой замены будет составлять 5,0 • 10~3%. Мы должны заменить к на к0 во всех математических выкладках, начиная с уравнения (1), однако, такая замена не приведет к каким-либо изменениям в предлагаемой асимптотической процедуре, и поэтому, не вводя новых обозначений, мы будем понимать здесь во всех величинах и функциях, куда входит волновое число, к] 2 ~ , г

Граничным условием в малоугловом приближении для функции Г теперь будет

тЧ 1

2 8

(40)

Разделение граничного условия Г | на амплитуду и фазовую функцию Ф, по-видимому, несколько условно: мы по-разному можем выбирать эти функции из условия (40). Пусть начальное распределение функции Ф на начальной поверхности 2 = 0 будет следующим

Фо(Ро>Ко) = —

(41)

Тогда начальные векторы рох и дох будут

Рох=-

, Чох=-КРО + М*О]-

Для функции эйконала Ф вдоль лучей, учитывая (41), получим

Ф (т) = -г,

1 + ^

*,КоРо+уРо+уКо

(42)

т

-|^(р0)г + /б/л(р)^. (43)

Главные траектории будут решениями уравнения

¿2Р

йт-

2 = -юЬУ,Д(р)

с начальными условиями

Р(0) = р0

с1т

1

= -Ро 2.

Подставляя (42) в (24), найдём дополнительные траектории

К(т) =

1 + ^ г.

1 + ^

Р0--*-Р(т).

(45)

(46)

(47)

Так же, как и в предыдущем случае, эйконал Ф(т) здесь не изменяется вдоль дополнительных траекторий Щт), а определяется только главными траекториями р(т), однако, в него входят начальные точки дополнительных траекторий Выразим К0 из (47) и подставим в выражение (43), тогда для функции Ф(т) получим

Ф(т) = -

1

т + г1

тк2+тР2

I 1 1 2 1 т + г. 2 1 +-—Р ----Г^Ро

г + г( 4 а 4 а г,

г

-±ЬП(р0)т + 1Ь/п(р)</* =

(48)

т + г1

— К2 + —р2 2 8

+ Ф(т)

где Т(т)—функция эйконала, введенная в работе [18], для которой там было получено выражение (14). Мы установили, что главные траектории р(т) совпадают с лучами-траекториями, вдоль которых мы строили решение задачи в [18], когда непосредственно рассматривали случай падения сферической волны и применяли преобразование уравнения (1), предложенное в [8]. И лучи-траектории работы [18], и главные траектории р(г), введенные здесь, являются решением одной и той же задачи Коши (44)-(46).

Для того чтобы найти амплитуду РУ0, необходимо, согласно (28), вычислить два якобиана и О. Первый из них, как уже говорилось выше, будет совпадать с якобианом, полученным в цитируемой работе [18]. Для второго, исходя из выражения для дополнительных лучей (47), найдем

0Л(т) = (1 + т/г,)2.

(49)

Начальное значение ¡У0° амплитуды на луче-траектории в данном случае, соглас-

но (40) и (41), у нас будет

г'о 2 ■ 2.

Тогда амплитуду И^ вдоль лучей-траекгорий можно представить в следующем виде

1

К(т) =

-и0(т),

где ио—амплитуда нулевого приближения задачи, введённая в [18] (см. (18) в упомянутой работе). При переходе к исходным физическим координатам для функции когерентности Г в приближении главного члена асимптотического разложения (8) мы получим

Г(Р,2Г) =

1

-ехр

г к.КР + Ъ 1

2 +г, 2 8

хехр

)2к\

1 1

(50)

£/0(р,2)ехр[гФ(р,г)]

что совпадает с решением в таком же приближении, предложенным в работе [18], причём первые два сомножителя в формуле (50) соответствуют точному решению Г0 уравнения (1) в среде без флуктуаций [8, 18]. В работе [18] было показано, как предлагаемый асимптотический метод в случае падения сферической волны при параболической аппроксимации структурной функции неоднородностей среды приводит к точному аналитическому решению задачи [8] уже в приближении главного члена асимптотического разложения, а поправки, определяемые последующими приближениями, тождественно равны нулю.

Рассмотрим и в этом случае переход к одночастотной пространственной функции когерентности. Для этого, как уже отмечалось выше, мы должны в нашем решении перейти к пределу а—>0. Главные траектории—решение уравнения (44) с начальными условиями (45), (46)—и в этом случае будут чисто вещественными

р = р0(1 + т/г<). (51)

Дополнительные траектории можно найти из уравнения (26) с учетом начального условия для производной (¿Ж./¿Ут) =1^/2 , которое можно получить из соотношений (42). Переходя к пределу & —н► 0 {а —► 0) в уравнении (48), вычисляя якобианы (29) для главных и (30) дополнительных траекторий в одночастотном случае и возвращаясь к исходным физическим координатам, для функции когерентности в случае распространения поля сферической волны в пространстве с флуктуациями получим

Г(р,11,г,*) =

1

ехр

г + г,

Ир

7 4 г 0

8 к

С + *,г

¿С

(52)

Формула (52), полученная в нулевом приближении асимптотического разложения (8), совпадает с точным аналитическим решением, найденным согласно способу, предложенному в [19].

5. Случай статистически изотропных неоднородностей. В случае, когда флуктуирующие неоднородности статистически изотропны, структурная функция неоднородностей будет зависеть только от радиальной компоненты в поперечной плоскости /)(р) = /)(р), где р2 = р2 = х2 + у2. Имея дело с такими неоднородностями, удобно перейти к цилиндрическим координатам

х — ро,о%ц>, у = рзт</?. (53)

Продолжим аналитически выражения (53) в комплексную область величин р и (р. Переходя в уравнении для главных траекторий (23) к новым функциям р(т) и <р{г),

в случае изотропных флуктуаций получим, что величина <р не изменяется: ср{т) = <рй (здесь <р(0) = <р0), а р(т) подчиняется уравнению

dr2 ¿р

(54)

Если главные траектории р(т) не зависят от Я0, то якобиан Б (т), определяемый выражением (29), при переходе к новым функциям р(т) и ф(т) изменится следующим образом [21, 23] (принимая во внимание, что ср остается постоянной вдоль луча):

D (т) =

д(х,у) _ д(х,у)/д(р,<р) д(р,<р)

д(х0,у0) д(х0,у0)/д(р0,<р0) д(р0,<р0)

Р др Ро др0

Пусть падающая на полупространство с флуктуациями волна сферическая. Тогда начальные условия к уравнению (54), как следует из (45) (46), будут

Р(О)=Р0,

[dp]

dr

1

-Ро-

(55)

В работе [18] предлагаемый асимптотический метод был применен для двух моделей эффективной корреляционной функции неоднородностей среды—экспоненциальной и обратно степенной (рациональной),—пригодных как для описания сильных, так и умеренных, и слабых флуктуаций поля. Важной особенностью таких моделей является стремление соответствующей структурной функции к конечной положительной константе при стремлении пространственной разностной переменной р —> оо. В работе [13] в качестве примера реалистической эффективной функции корреляции флуктуаций среды рассматривается профиль Пешля-Теллера (Poschl-Teller profile):

А(р) =

а21

ch2(р//у

(56)

Применим разрабатываемую здесь схему решения к случаю флуктуаций, описываемых такой эффективной корреляционной функцией (56). Решая задачу Коши (54), (55), для главных траекторий р(т) можно получить (более подробно см. [18])

5Ь(р//) = 8Ь(р0//)сЬ г//)+-^сЬ(р0//)8Ь (VI т/1), (57)

, д = 2аЬ, д = Переходя в выражении (57) к пределу при

2 2 ida2l

здесь a = q -

сг

z,

сЬ2(р0/0

оо, найдем траектории для случая падения плоской волны

sh(p/o4

sh

I ch (p0//) I

+ sh

Ро • V т I ch (p0//)/;

(58)

где Г) = 2сгу1аЫе 4. Выбирая только такие траектории, конечные точки которых вещественны, выражение для траекторий (57) в одночастотном случае при а —> О переходит, как и следовало ожидать, в известное соотношение (51). Мы уже отмечали, что при падении плоской волны траектории стягиваются в точку (вещественную), это же следует и из выражения (58).

Для профиля Пешля-Теллера удается вычислить квадратуру в выражении (48) для функции эйконала ¥ (в формуле (26) работы [18])

\2

Ф(т,р0) =

1 р2(т) T + Z,

4 a T + Z,

4 а

+ iba2l

1 +

1

ch2(p0//)J

т--^-1г1]пв(р0,т);

где

ЧРо>т) =

(р(Ро)-щ) V2(p0)e2^/'- ту —х'л/й) j

(р(р0) + щ) 77-ич/й) j

(59)

р(р0) = ch(p0//)(J&ch(pjl) + qsh(p0/l)), t(p0) = qcb(p0/l) + Jdsb(p0/l).

Амплитуда WQ вдоль лучей-траекторий будет определяться уравнением (28), с учетом соотношения для дополнительных траекторий (49).

Выражения для главных траекторий р(т) (57) и (58) представляют собой трансцендентные уравнения относительно координат точек выхода траекторий р0, которые не разрешимы аналитически. Поэтому в данном случае аналитически вывести выражение для функций Ф, WQ и, соответственно, для функции Г в исходных координатах {p,R^} не удается.

В упоминавшейся работе [13] для решения рассматриваемой задачи после значительных преобразований исходного уравнения тоже применялся метод характеристик, и строилось решение в лучевых координатах, в том числе и для реалистической эффективной функции корреляции флуктуаций среды (56). Однако перехода к известному точному решению в одночастотном случае [19] в указанной работе продемонстрировано не было. В рамках предлагаемого метода такой переход осуществить возможно. В этом, по мнению авторов, заключается некоторое преимущество разрабатываемого метода перед методом решения данной проблемы, представленным в [13]. Выполнив в выражениях (57) и (59) предельный переход при а —* 0, получим одно-частотную функцию когерентности для флуктуаций электронной концентрации, описываемых профилем Пешля-Теллера (56),

r(p,R,z,u>) =

-ехр

Z + Zt

К 2

Rp--^а21

F 4k

z + zt

sh

>/' oh f \ р ch ( \ Р

ы J 2 + 21<

(60)

Полученная предложенным нами асимптотическим методом одночастотная функция когерентности Г (60) совпадает с точным решением задачи [19]. В случае падения плоской волны выражение (60) для функции когерентности значительно упрощается:

r(p,R,z,w)=exp

(6i)

6. Заключение. Изложенная в [18] квазиклассическая асимптотическая процедура для построения двухчастотной двухпозиционной функции когерентности поля в случайно-неоднородной среде в диффузионном марковском приближении получила в представленной работе дальнейшее развитие. Предложенный метод базировался на представлении о комплексных траекториях. Если в указанной работе [18] этим методом было

получено решение для частного случая падения поля сферической волны на полупространство с флуктуациями, то здесь этот метод обобщен на случай произвольного граничного условия при условии нормального падения поля волны на полупространство с флуктуациями. В случаях падения плоской и сферической волн предложенное обобщение приводит к уже известным решениям. Главная особенность предлагаемого метода заключается в возможности его применения в случае описания флуктуаций среды с помощью реалистических моделей эффективной корреляционной функции. В качестве примера продемонстрировано применение данного метода в случае падения сферической волны при использовании одной из таких моделей—профиля Пешля-Теллера.

Summary

BitjukovA.A., Zernov N. N. On the analytic solution to the parabolic equation for the two-frequency two-position coherence function of random field in the diffusive Markov's approximation.

The asymptotic method to solve Markov's parabolic equation to the second order spaced position and frequency mutual coherence function developed in the previous paper [BitjukovA.A., ZernovN.N, Two-frequency two-position coherence function of the field of a spherical wave in the diffusive Markov's approximation] has been further extended. The solution is constructed in terms of complex trajectories, which are formally similar to ones used in complex geometrical-optics method. In the work mentioned the method was applied to deal with spherical wave propagation in a random medium having homogeneous background. The updated version of the asymptotic technique enables consideration of more general boundary conditions determined by the incident fields of more complicated shapes. The previously known solutions to the cases of plane and spherical waves are produced by the extended technique in automatic fashion. To demonstrate how the extended method works the solution to the parabolic equation with Poschl—Teller electron density correlation function was presented.

Литература

1. LeeL.C., Jokipii J.R./I The Astrophysical J. 1975. Vol. 201. N 2. Pt. 1. P. 532-543. 2. lee L. С. II The Astrophysical J. 1976. Vol. 206. N 3. Pt. 1. P. 744-752. 3. Liu С. H„ Yeh К. С. II Radio Science. 1975. Vol. 10. N 12. P. 1055-1061. 4. Liu C.H, WernikA. W., YehK.C. //IEEE Trans. Antennas Propagat. 1974. Vol. AP-22. N 4. P. 624-627. 5. LiuC.H., Yeh К. C.H Radio Science. 1977. Vol. 12. N 5. P. 671-680. 6. Sreenivasiah I., IshimaruA., Hong S. Т. II Radio Science. 1976. Vol. 11. N 10. P. 775-778. 7. Sreenivasiah I., IshimaruA. //Applied Optics. 1979. Vol. 18. N 10. P. 1613-1618. 8. KneppD.L.II Radio Science. 1983. Vol. 18. N 4. P. 535-549. 9. OzJ., Heyman E. II Radio Science. 1996. Vol. 31. N 6. P. 1907-1917. 10. OzJ., HeymanE.il Waves in Random Media. 1997. Vol. 7. N 1. P. 79-93. 11. OzJ., Heyman E. 11?. 95-106. 12. Oz J. //P. 107-117. 13. Bronshtein A., MazarR. //Waves in Random Media. 2002. Vol. 12. N 3. P. 267-277. 14. BitjukovA.A., Gherm V.E., Zernov N. N. II On the solution of the Markov's parabolic eqution for the second order mutual coherence function. Radio science. 2002. Vol. 37. N 4. art N.-1066 (doi: 1029/2001RS002491). 15. BitjukovA.A., Gherm V.E., Zernov NN. II Radio science. 2003. Vol. 38. N 2. art N.-1021 (doi: 1029/2002RS002714). 16. Битюков А. А., ГермВ.Э., Зернов H. H. II Радиотехника и электроника. 2005. Т. 50. N 7. С. 821-827. 17. Битюков А. А., ГермВ.Э., Зернов Н.Н. Радиотехника и электроника. 2005. Т. 50. N 7. С. 828-833. 18. Битюков А. А., Зернов Н. Н. И Веста. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4. 2004. Вып. 1. С. 23-32. 19. Рытое С. М., Кравцов Ю. А., Татарский В. И. Введение в статистическую радиофизику: В 2 ч. Ч. П: Случайные поля. М„ 1978. С. 463. 20. LiuC.H., Yeh К. С. II Proc. IEEE. 1982. Vol. 70. N 4. P. 324-360. 21. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., 1978. 22. Смирнов В. И. Курс высшей математики: В 5 т. Т. V: В 2 ч. Ч. 2. М., 1981. 23. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: В 3 т. Т. 3. М., 1989.

Статья принята к печати 3 октября 2006 г.