CC BY
105
Сер. 4. 2009. Вып. 4
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
УДК 537.86:519.2
В. Э. Герм, Н. Н. Зернов
ИССЛЕДОВАНИЯ ЭФФЕКТОВ ФЛУКТУАЦИЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ПЛОТНОСТИ ИОНОСФЕРЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ВЫСОКИХ ЧАСТОТ*
Введение. Классическая задача Фока о дифракции электромагнитного поля вокруг земной поверхности [1] получила своё развитие на кафедре радиофизики Петербургского (Ленинградского) университета. В монографии [2] были исследованы эффекты влияния сферически-неоднородной по глубине Земли на поле над земной поверхностью. Затем были учтены неоднородные свойства атмосферы и введено понятие эквивалентного радиуса Земли [3]. Естественным развитием этих исследований стал учёт влияния ионосферы на распространение радиоволн в околоземном пространстве. В связи с этим на кафедре получила своё дальнейшее развитие теория распространения радиоволн в волноводе, образованном поверхностью Земли и ионосферой [4].
К кругу задач о влиянии ионосферы на распространение радиоволн в околоземном пространстве относятся и задачи описания эффектов флуктуаций электронной плотности ионосферы на распространение радиоволн. Описанию проводимых на кафедре исследований подобного рода посвящена настоящая работа. Решение указанных задач опирается на общую теорию распространения волн в случайных средах. Исследования в области распространения волн в случайных средах были инициированы на кафедре радиофизики в 80-е годы прошлого века. Их появление, как уже отмечалось, было стимулировано необходимостью изучения эффектов флуктуаций на распространения радиоволн высоких частот в околоземном пространстве. На начальном этапе исследования касались обобщения теорий возмущений (из которых метод плавных возмущений, или метод С. М. Рытова представляется наиболее общей теорией возмущений) на случай неоднородной фоновой среды, что требовалось для исследования распространение радиоволн КВ-диапазона во флуктуирующей ионосфере [5-7]. С помощью этих обобщений были исследованы эффекты флуктуаций амплитуды и фазы КВ-полей на вертикальных и наклонных трассах [8, 9], а также их спектры и эффект френелевской фильтрации в спектре флуктуаций полей КВ-диапазона [10]. Была также исследована функция рассеяния КВ-поля при распространении в ионосфере с флуктуациями электронной плотности [11]. Этот же подход был использован в исследовании распространения импульсных сигналов [12-14] и для построения широкополосной функции рассеяния [15]. С целью описания наиболее общих ситуаций было проведено дальнейшее обобщение метода плавных возмущений (далее - метода комплексной фазы) на случай произвольной трёхмерно-неоднородной фоновой среды [16]. Ряд отмеченных выше работ послужил основой для построения симуляторов сигналов
* Исследования поддержаны Министерством образования и науки РФ в рамках тематического плана СПбГУ (тема 14.9.08) и аналитической ведомственной целевой программой «Развитие научного потенциала высшей школы» (проекты «Моделирование и мониторинг геосфер» и «Процессы излучения и распространения электромагнитных волн в естественных и искусственных средах при наличии неоднородности, дисперсии или случайной компоненты»).
© В. Э. Герм, Н. Н. Зернов, 2009
в КВ-радиоканале, а также для сигналов более высоких частот, распространяющихся в трансионосферном флуктуационном канале.
Физические условия распространения высокочастотных полей в ионосфере, однако, таковы, что, наряду с режимом слабых флуктуаций амплитуды поля, могут также реализовываться и сильные флуктуации амплитуды, причём, сильные флуктуации амплитуды могут возникать как при распространении ниже ионосферного слоя (практически в однородной среде), так и формироваться непосредственно в неоднородном слое ионосферной плазмы. Всё это обусловило необходимость дальнейшего развития теории сильных флуктуаций поля в случайно-неоднородной среде при наличии неоднородной фоновой среды. В связи с этим был предложен квазиклассический асимптотический метод решения параболических марковских уравнений для моментов случайного поля, который позволяет получать целый ряд аналитических результатов как в случае однородной, так и неоднородной фоновой среды [17-21]. Следует отметить, что для однородной фоновой среды метод воспроизводит все известные результаты, а также позволяет строить аналитические асимптотические решения для более широкого класса функций, реалистически моделирующих структурные функции флуктуаций электронной плотности.
Всё коротко описанное выше дало возможность создать модели ионосферного отражательного и трансионосферного флуктуационных каналов распространения. Эти модели позволяют как описывать статистические моменты полей, так и генерировать вре-менньге случайные реализации сигналов, распространяющихся в канале. По-существу, всё это представляет собой базирующуюся на физических принципах теорию, методику и реализацию симуляторов высокочастотных сигналов во флуктуационных радиоканалах. Речь об этом пойдёт в следующих разделах.
Физические основы моделирования. При распространении в условиях реальной ионосферы высокочастотный сигнал испытывает искажения за счёт целого ряда эффектов, таких как многолучовость, дисперсия, флуктуации электронной плотности ионосферы. Всё это существенно ограничивает производительность создаваемых и совершенствуемых в настоящее время цифровых систем связи и телекоммуникаций. Для проектирования и тестирования таких систем применяются «симуляторы», которые имитируют реальные условия распространения сигнала в соответствии с заложенной в них моделью канала распространения. Ни один из известных нам симуляторов ионосферного отражательного КВ-радиоканала [22, 23] или трансионосферного канала распространения более высоких частот [24, 25] не базируется на физической модели распространения, а использует те или иные эмпирические модели сигнала не обязательно связанные с реальными параметрами ионосферы и геометрией распространения. В настоящей работе излагается физический подход к моделированию ионосферного отражательного и трансионосферного широкополосных каналов распространения, основанный на решении задач распространения волн в реальной трёхмерной флуктуирующей анизотропной ионосфере. При этом стохастический ионосферный канал распространения характеризуется как в терминах статистических моментов поля, так и его случайными реализациями. Для имитации радиосигнала, распространяющегося в реальном ионосферном канале, генерируются соответствующие случайные функции, обладающие необходимыми статистическими характеристиками.
Если в классической постановке продуктом решения стохастических задач распространения волн являются статистические моменты случайного поля, то для решения прикладных задач создания симуляторов сигналов, распространяющихся в стохастической среде, наряду с моментами поля, необходимы также процедуры генерации
случайных временныо х реализаций сигнала на входе принимающего устройства. В основе разработки подобных процедур лежат найденные из решения стохастической задачи распространения статистические моменты поля.
Ионосфера представляет собой многомасштабную неоднородную нестационарную среду. В ней присутствуют как крупномасштабные неоднородности распределения электронной концентрации по высоте, широте и долготе, варьирующиеся в зависимости от времени суток, сезона, солнечной активности и других факторов, так и мелкомасштабные неоднородности. Последние могут рассматриваться как флуктуации на фоне медленных крупномасштабных неоднородностей. Соответственно, первые рассматриваются в детерминированной постановке, а вторые требуют для своего описания статистического подхода. Статистические моменты поля могут быть получены как в результате усреднения приближённых решений динамических уравнений распространения, так и непосредственно при решении уравнений для статистических моментов поля.
Первым шагом является решение задачи распространения в плавно-неоднородной фоновой среде, которое строится методом геометрической оптики. Учёт эффектов, связанных с магнитным полем Земли и с наличием горизонтальных градиентов электронной концентрации ионосферы, приводит, в общем случае, к необходимости численного решения лучевых уравнений. Наличие детерминированных локальных крупномасштабных ионосферных неоднородностей может быть учтено в рамках теории возмущений для лучей. Таким образом, в частности, могут быть получены регулярные доплеров-ские сдвиги частоты, возникающие из-за крупномасштабных движений в ионосфере. Лучи, построенные для фоновой ионосферы, далее используются в качестве образующих лучей для введения локальных лучевых переменных.
Основные соотношения. Импульсный сигнал, распространяющийся во флуктуирующем радиоканале, может быть представлен в виде интеграла Фурье в частотной области:
где Р(ю) - спектр излучаемого сигнала, С(г, ю, Т) - передаточная функция канала распространения. Сигнал изменяется в быстром времени Ь, а медленное время Т описывает изменения за счёт флуктуаций, которые могут рассматриваться в квазистационарном приближении; г - координата приёмника. Передаточную функцию представим в виде суммы по лучам
где Ят (г, ю) - невозмущённая передаточная функция для луча т, построенная в приближении геометрической оптики, а Ф(г, ю,Т) - случайные факторы, учитывающие эффекты флуктуаций электронной плотности ионосферы; они равны единице при пренебрежении флуктуациями. Суммирование в (2) производится по всем лучам, соединяющим источник и приёмник. Отметим, что Нт(г, ю), и Ф(г, ю,Т) зависят от частоты, поскольку ионосфера является дисперсионной средой.
В случае наклонного распространения КВ каждый луч для каждой магнитоионной моды находится путём численного интегрирования системы лучевых уравнений в трёхмерно-неоднородной среде в сочетании с алгоритмом оптимизации для решения задачи прицеливания. В задачах трансионосферного распространения УКВ решение системы лучевых уравнений в трёхмерно-неоднородной ионосфере с магнитным полем в большинстве случаев может быть получено в квадратурах методами теории возмущений
(1)
(2)
т
для лучей. В результате решения лучевой задачи находятся траектории лучей, соединяющие источник и приёмник, а также соответствующие каждому лучу амплитуды Ат (г, ю) и фазы фт (г, ю) поля, что и позволяет построить невозмущённую передаточную функцию для луча т в виде
Кт(г, ю)= Ат (г, юУ^’^, (3)
где к = ю/с - волновое число. Кроме того, вдоль каждого луча вычисляются элементы матрицы, описывающей кривизну фазового фронта невозмущённого поля. Эта матрица используется далее при описании рассеяния поля на флуктуациях электронной концентрации.
Результатами моделирования стохастического канала распространения являются как случайные реализации, спектры и моменты фазы и амплитуды поля, так и реализации и моменты полного поля. Среди статистических моментов полного поля основной интерес представляют двухчастотная функция когерентности поля и связанная с ней функция рассеяния, которая даёт наиболее наглядное представление свойств радиоканала и может быть измерена в эксперименте. Рассмотрим двухвременную функцию когерентности импульсного зондирующего сигнала, представляющего собой периодическую последовательность радиоимпульсов, прошедшего через флуктуирующую ионосферу. Используя представление поля интегралом Фурье (1), с учётом (2) и (3) запишем функцию когерентности в виде двойного интеграла в частотной области:
Ги(г,Г,Т1,Т2) = {и(г,г,Т)и*(г,г,т2)) = J^^р(юх)Р*(ю2) х
х ^2Ат(ю1)Ат(ю2)Гт(ю1,ю2,Г,ТиТ2Ук1,тю1 )-<(“1 -ю2). (4)
т
Здесь функция
Гт(ю1, ю2, г,ТьТ2) = {Фт(ю1, г,Т1)Фт(ю2, Г,Т2)) (5)
есть двухчастотная двухвременнаоя функция когерентности случайных факторов Фт(ю, г,Т), или фазоров.
Широкополосная функция рассеяния (ФР) стохастического канала распространения характеризует искажения импульса за счёт флуктуаций среды распространения и является преобразованием Фурье двухвременноой функции когерентности сигнала (4) по «медленной» временной переменной - разностному времени Т- = Т1 — Т2. Она описывает распределение энергии импульса в переменных групповая задержка - доплеров-ский сдвиг. В случае многолучевого сигнала строится многолучевая ФР, учитывающая вклад различных мод распространения [15]. При этом принимается во внимание возможная статистическая зависимость сигналов, распространяющихся посредством разных лучей, которая может быть как значительной для близко расположенных лучей (когда френелевские объёмы разных лучей не пересекаются, а «корреляционные» объёмы могут пересекаться), так и пренебрежимо малой.
Для моделирования стохастических флуктуаций сигнала, прошедшего через флуктуирующую ионосферу, в соответствии с представлением (1) необходимо иметь реализации случайных функций Фт(ю, г, Т), для генерации которых требуется информация об их статистических свойствах. Эффекты рассеяния на ионосферной турбулентности
учитываются для каждого луча в отдельности. При этом необходимо различать режимы слабых и сильных флуктуаций поля, для описания которых требуется применение различных подходов.
Слабые и умеренные флуктуации поля. Метод комплексной фазы. Случай слабых и умеренных флуктуаций амплитуды поля может быть описан методами теории возмущений, среди которых метод комплексной фазы, представляющий собой обобщение классического метода плавных возмущений на случай неоднородной фоновой среды и точечного источника [5-7], является наиболее общим, поскольку он учитывает дифракцию на локальных неоднородностях и частично эффекты многократного рассеяния. В этом приближении случайные факторы Фт(ю, г,Т) записываются в виде
где ут(ю, г,Т) = 1Бт(ш, г,Т) + Хт(ю, г,Т) - комплексная фаза, а Бт(ш, г,Т) и %т(ы, г,Т) - собственно фаза и уровень (логарифм амплитуды), соответственно. Для комплексной фазы может быть построена теория возмущений при предположении о малости возмущения диэлектрической проницаемости среды. В результате решения уравнений первого порядка теории возмущений, комплексная фаза, описывающая возмущение поля за счёт рассеяния на локальных неоднородностях, а также необходимые статистические моменты комплексной фазы записываются в виде интегралов в локальных криволинейных лучевых координатах, введённых вдоль опорного луча для невозмущённого поля в фоновой ионосфере, связывающего корреспондирующие точки.
Для описания статистических свойств широкополосного канала распространения необходимы двухчастотные моменты комплексной фазы, а именно первая и вторая двухчастотные двухвременньге функции корреляции комплексной фазы:
Эти функции характеризуют статистическую связь комплексных фаз, соответствующих гармоническим компонентам поля с частотами Юі и Ю2, для моментов времени Ті и Т2 в точке с координатами г. Для них в рамках метода комплексной фазы получены следующие представления [11]:
(6)
Вуї = (у(г, Ші,Ті)у*(г, Ю2,Т2)), Ву2 = (у(г, Ші,Ті)у(г, Ю2,Т2)).
(7)
0
х еІКп(Дп-^Т-)+ІКт(Дт-у^Т- ) еХр
)]} , (8)
0
х еіКп(Дп-упТ- )+ік,(Дх-ухТ-) еХр
і(кі + к2) 2к\к2
[к2пПи(а) + +
Для вывода этих формул была введена локальная лучевая система координат (в,п, т) с ортом в, направленным вдоль опорного луча, и ортами п и т, перпендикулярными лучу в каждой его точке; .1 (в) - якобиан перехода от декартовой к локальной лучевой системе координат. Интегрирование по продольной пространственной переменной в ведётся вдоль всего невозмущённого луча, а поперечное интегрирование выполняется в пространстве спектральных переменных (кп, кт), фурье-сопряжённых пространственным переменным п и т. к\ и к2 - волновые числа, соответствующие частотам Ю1 и Ю2, величины Дп и Дт - зависящие от продольной переменной в компоненты вектора расстояния между двумя лучами, соответствующими частотам Юх и Ю2. Для перехода от пространственной зависимости к временной используется гипотеза «вмороженного дрейфа» стохастического поля флуктуаций, при этом уп и ут - п- и т-компоненты вектора скорости дрейфа, зависящие от положения текущей точки на луче. Коэффициенты Вп, и Ппт являются элементами матрицы квадратичной формы, учитывающей кривизну поверхностей фазовых фронтов падающего и рассеянного поля. Эффекты рассеяния учитываются в приближении дифракции Френеля для рассеяния вперёд, Б8(в;0, кп, кт) - сечение трёхмерного пространственного спектра флуктуаций относительной электронной плотности при нулевом значении продольной компоненты волнового вектора кя.
В качестве модели спектра ионосферной турбулентности при вычислениях используется анизотропный степенной спектр с тремя различными масштабами вдоль и поперёк магнитного поля:
( к2 к2 к2 \ ~Р/2
Д?(«, к) = С%[1 - е0(5)]2а^г(в) М + -^2 +
где СN - нормировочный коэффициент, р - спектральный индекс, Кц = 2л/-1, К_ц,2 = = 2л/—1 2, где I-1 и I—1 2 - внешние масштабы турбулентности вдоль и поперёк направления магнитного поля, причём два поперечных масштаба могут быть различны. Функции £о(в) и а\[(в) - распределения диэлектрической проницаемости фоновой ионосферы и дисперсии относительных флуктуаций электронной плотности вдоль опорного луча.
Вычисление корреляционных функций (7), (8) для реалистических моделей ионосферы и спектра турбулентности выполняется численными методами при помощи специально разработанных программ. Моменты полного поля могут быть выражены через моменты комплексной фазы [11]. В частности, для функции когерентности в приближении метода комплексной фазы получено [13] представление
Гт(юЬ Ю2, Г,ТЬТ2)= Ут(г, Ю1,Т1)Ут (г, Ю2,Т2)е<^ . “1. ^ (г,“, Т2)), (11)
где
у(г, СО, Т) = е<'1'(г,т,71))2 + 5<Ч/2(г,т,Т)) ^2)
есть среднее поле монохроматической компоненты с частотой ю, для вычисления которого необходимо также второе приближение теории возмущений для комплексной фазы.
Связь корреляторов амплитуды и фазы с корреляционными функциями комплексной фазы даётся формулами
Вх(а>1, <х>2, Т-) = — [В¥1(а)1, <х>2, Т-) + 11е2(0)1, а>2, Т-)], (13)
Дэ(о)1, 032, Т-) — — [В¥1(о)1, 0)2, Т-) — ЕеВ¥2((*)1, 0)2, Г-)] ,
(0)1,0)2,Т_) = ^1шВч,2((«)ьО)2,Т-). х 2
(14)
(15)
Для моделирования сигнала на выходе флуктуационного радиоканала при заданном фиксированном г генерируются двумерные случайные реализации %т и £т в переменных частота-медленное время. Что касается функций распределения уровня %т и фазы Бт, то, поскольку эти величины представляются в виде суммы большого числа статистически независимых случайных вкладов (интеграла по большому числу случайных неоднородностей), в соответствии с центральной предельной теоремой эти величины имеют распределение, близкое к нормальному. Для генерации используются двухчастотные функции корреляции и кросс-корреляции амплитуды и фазы (13)—(15). Процедура генерации нормально-распределённого стационарного случайного процесса с заданной корреляционной функцией сводится к нахождению преобразования Фурье его автокорреляционной функции, которое является энергетическим спектром мощности процесса. В свою очередь, энергетический спектр случайного процесса представляет собой квадрат модуля спектра реализации. Поэтому комплексный спектр случайной реализации может быть получен путём умножения квадратного корня из энергетического спектра процесса на случайное комплексное число с единичным модулем и случайной фазой. Реализация же случайного процесса есть обратное преобразование Фурье спектра реализации. По этим реализациям строится передаточная функция канала (2), которая затем используется для преобразования (1) исходного сигнала, давая на выходе случайную функцию, имитирующую сигнал, прошедший через возмущённую ионосфе-
Учёт сильных флуктуаций. Гибридная модель. Если флуктуации поля нельзя считать слабыми, то методы возмущений становятся неприменимыми. Здесь, однако, тоже следует различать два случая. Геометрия ионосферного распространения такова, что после выхода из ионосферы поле распространяется до поверхности Земли в неионизированной среде, которая практически не влияет на распространяющееся поле, хотя флуктуации поля продолжают развиваться из-за дифракции в свободном пространстве. Таким образом, возможны ситуации, когда при распространении в ионосферном слое вплоть до выхода из него флуктуации поля являются слабыми, но могут усилиться при распространении в свободном пространстве. Это подтверждается нашими многочисленными расчётами распространения поля частот порядка 1 ГГц и выше сквозь ионосферу с флуктуациями электронной плотности даже в случае очень плотной фоновой ионосферы и больших значений относительных флуктуаций электронной плотности. Это также имеет место и для полей более низких частот, если фоновая ионосфера не является столь плотной и флуктуации относительной электронной плотности не столь значительны. Этот факт положен в основу гибридной модели [27], в соответствии с которой поле внутри ионосферы вплоть до её нижней границы описывается рамках метода комплексной фазы, а случайное распределение поля генерируется на любой удобно выбранной поверхности непосредственно на выходе из ионосферы. Другими словами, это позволяет разумно задать физический стохастический (не эффективный фазовый) экран, и рассматривать затем распространение поля до поверхности Земли, используя известную технику стохастического экрана. При этом режим сильных флуктуаций поля может сформироваться в процессе распространения к Земле.
Для генерации пространственного распределения поля на двумерной поверхности требуются двухпозиционные функции автокорреляции и взаимной корреляции фазы
ру [26].
и уровня, пространственные спектры которых при наличии статистическои однородности поля флуктуации имеют вид [27]:
2 °U
_ пк2 Г ds
вх(к-^) = ^/7Ы^ЫВ-(*; о.’ь.’Ых
0
■ 1
Х C0s2 {2^ [Tln-D«(S) +Tlt-Dt(s) + ЛпЛт-Опт(в)] |
(16)
_ пк2 f ds
bs(k,„k,) = — J ж;шв,(;Лцп,ц,) x
2 S0 пк2 ds
BS,(K„,K,) = —j Tfe.Tb) X
0
x sin I^ [ri2-Dn(s) + ЛтА(«) + Лп'Пт-С)пт(«)] | • (18)
В этих формулах используются те же обозначения, что ив (8), (9), а переменные цп и пт
связаны со спектральными переменными кп и кт посредством линейных соотношений
dAn(s) | dAx(s) _ dAn(s) | дАx(s) _ /1АХ
Лпадп(80) T1t9A„(s0) — K"’ Л”5Дт(50) +r]tdAt(S0) _Kt’ (19)
где An(s) и AT(s) - зависящие от продольной переменной s компоненты вектора расстояния между двумя лучами, так что производные в формуле (19) характеризуют геометрическую расходимость лучей невозмущённого поля. В случае, когда падающее поле представляет собой плоскую волну, цп = кп и Лт = кт. Интегрирование по продольной переменной s производится вдоль всего луча от источника до поверхности.
Знание плотностей распределений и спектров корреляционных функций амплитуды и фазы позволяет сгенерировать их случайные двумерные пространственные реализации и таким образом задать распределение флуктуаций поля на экране. Спектр поля на расстоянии z от экрана E(z, к, t) вычисляется по известному спектру поля на экране E(0, к, t) посредством уравнения
E{z,K,t) = eikzE(0, к, t) exp | | • (20)
Окончательно, выполняя обратное преобразование Фурье, получаем пространственное распределение поля на Земле. Это распределение в предположении вмороженного переноса неоднородностей может быть трансформировано во временные зависимости поля, его амплитуды и фазы.
Моделирование статистически неоднородного канала. Описанная выше версия модели трансионосферного стохастического сигнала, как было отмечено, способна описывать, в том числе, эффекты сильных флуктуаций поля. Однако процедура генерации случайных реализаций поля в этой версии предполагает статистическую однородность (или квазиоднородность) генерируемого поля. Это вполне соответствует
ситуациям, когда фоновая ионосфера имеет весьма плавные горизонтальные градиенты. Для учёта эффектов, обусловленных присутствием в ионосфере среднемасштабных (с масштабами в сотни километров) неоднородностей, какими являются неоднородности в высокоширотнои и экваториальнои ионосфере, модель была далее модифицирована с целью возможности генерации полей, не обладающих свойством статистической однородности [28, 29].
Для среднемасштабных неоднородностей ионосферы были введены эффективные модели распределения электронной плотности. В качестве базовой функции для таких моделей использовалась функция вида
Здесь разность xi — Х2 представляет собой пространственный масштаб неоднородности в направлении оси x; ai и о,2 являются крутизной «стенок» локальной неоднородности. Трёхмерная локальная неоднородность ионосферы представляется произведением трёх функций вида (21) с различными значениями масштабов в трёх взаимноперпендикулярных направлениях:
Ф(г, Г1, vi, Г2, V2) = F(x,xi,ai,X2,a2)F(y,yi,ai,y2,a2)F(z, zi,ai,z2,a2). (22)
Двумерная модель получается из трёхмерной модели общего вида (22), если принять один из сомножителей в (22) равным единице. Такая двумерная модель использовалась для моделирования областей пониженной концентрации плазмы в экваториальной ионосфере - «пузырей» (“bubbles”). Известно, что подобные структуры сильно вытянуты в направлении магнитного поля Земли, которое в экваториальной области является практически горизонтальным и имеют в этом направлении масштаб порядка тысячи километров, в то время как масштабы в плоскости магнитного экватора измеряются сотнями километров. Среднемасштабные неоднородности высокоширотной ионосферы, такие как «патчи» (“patches”), моделировались полной трёхмерной структурой типа (22) с характеристическими размерами в сотни километров.
С помощью функции вида (22) «детерминированная компонента» ионосферы в виде фоновой ионосферы, модулированной функций (21), представляется следующим образом:
Ne(r,t) = Neo(r, t)[1 + АФ(г, r(t)i, di, r(t)2, d2)]. (23)
Здесь Ne0(r,t) является моделью фоновой ионосферы, которая модулируется функцией, стоящей в квадратных скобках. Коэффициент A - положительный, если речь идёт
о «погружении» в фоновую ионосферу области с повышенной электронной плотностью, и отрицательный в случае моделирования локальной области ионосферы с пониженной электронной плотностью.
Дополнительно предполагается также, что в соответствии с имеющимися представлениями среднемасштабные неоднородности ионосферы характеризуются повышенным уровнем флуктуаций электронной плотности, так что стандартное отклонение флуктуаций электронной плотности в области среднемасштабных локальных неоднородностей ионосферы представляется в виде
o(r,t) = Oo(r,t)[1 + ВФ(г, r(t)i, di, r(t)2, d2)], Oo(r,t) = on(r,t)Ne(r,t), (24)
где on(г, t) - фоновое распределение стандартного отклонения флуктуаций относительной электронной плотности, B - положительный коэффициент.
F(x, xi, ai, x2, a2) =
Очевидно, что предложенные модели среднемасштабных возмущений ионосферы не претендуют на описание сложных процессов, в действительности происходящих в возмущённых условиях в ионосферной плазме, а лишь служат для построения эффективной модели возмущения сигнала, распространяющегося в присутствии неоднородностей. При этом параметры, входящие в модельные функции (21)—(24), подбираются так, чтобы добиться наилучшего совпадения результатов моделирования с экспериментально полученными данными.
Построенные в рамках метода комплексной фазы автокорреляционные функции фазы и уровня, а также их взаимная корреляционная функция при отсутствии статистической однородности флуктуаций действительно являются функциями двух переменных, а не только функцией разности аргументов. Процедура генерации нестационарных случайных реализаций уровня и фазы поля на экране, соответствующим образом помещённом ниже ионосферы, заимствована из [30] и вкратце сводится к следующим шагам.
Для описания пространственного распределения поля на экране вводится дискретная координатная сетка с шагом, который определяется минимальным масштабом флуктуаций, принимаемых во внимание. Автокорреляционные функции фазы и уровня, а также их взаимная корреляционная функция вычисляются для всех пар точек координатной сетки, образуя три квадратные матрицы Бз(1, 2), Бх(1, 2) и Бз^(1, 2). Целью процедуры генерации является построение на сетке случайных реализаций Б и х, для которых должны выполняться условия
Бз(1, 2) = (Б(1)БТ(2)), (25)
Бх(1, 2) = (х(1)хТ(2)), (26)
Бзх (1,2) = (Б(1)хТ(2)). (27)
Здесь угловые скобки обозначают усреднение по ансамблю случайных реализаций Б
и х.
С этой целью в каждой точке сетки генерируются два независимых нормально распределённых случайных числа с нулевым средним и единичной дисперсией, образуя случайные векторы О1 и О2, обладающие следующими свойствами:
(С!) = 0, (ОСТ) = I, (С2) = 0, (С2СТ) = I, (оО) = (С2СТ) = о.
Так как матрицы автокорреляции являются положительно определёнными (из общих свойств корреляционных функций), то они могут быть факторизованы и представлены в виде произведения двух матриц, первая из которых является нижней треугольной матрицей, т. е. все её элементы выше главной диагонали являются нулями, а вторая матрица получается из первой путём транспонирования Бз = А3АТ, где Аз - нижнетреугольная матрица.
Тогда случайный вектор Б, построенный путём умножения матрицы Аз на случайный вектор О1: Б = Аз О1, будет обладать требуемой корреляционной функцией Бз:
(ББТ) = (Аз ООТАТ) = Аз АТ = Бз.
Далее необходимо построить случайный вектор х, который должен иметь автокорреляционную матрицу Бх и взаимную с вектором фазы Б кросс-корреляционную матрицу Бзх. Представим его в виде х = АхО1 + Ах2О2. Тогда для того, чтобы выполнялись
условия (25)-(27), необходимо Ах1 = Бз (Ат) 1, Ах1АТ = Ах2АТ2 = Бх, откуда находятся матрицы Ах1 и Ах2.
Легко проверить, что так построенные реализации случайной фазы и уровня удовлетворяют необходимым корреляционным свойствам (25)-(27). По этим реализациям далее строится случайное поле на поверхности, а трансляция случайного поля вниз на поверхность Земли осуществляется в рамках стандартной техники теории стохастического экрана (20).
Ниже приводятся некоторые примеры использования развитой теории и методики. Представлены как результаты моделирования поля в стохастическом трансионосферном канале, так и выводы о параметрах некоторых ионосферных неоднородностей. Результаты опубликованы и представлены в [7-9].
Сильные флуктуации внутри ионосферного слоя. Случай, когда режим сильных флуктуаций поля развивается уже внутри ионосферного слоя, является наиболее сложным для рассмотрения. Адекватное описание здесь может быть достигнуто с использованием техники марковских параболических уравнений для моментов поля, которая не ограничена малостью флуктуаций. Так, с использованием для двухчастотной двухпозиционной функции когерентности Г(г, р, И, Ю1, Ю2) подстановки
Здесь ка = &1 — к2, к8 = (&1 + к2)/2; &1 и к2 - волновые числа в вакууме для частот ю1 и ю2. Операторы и Vа представляют собой операторы градиентов по суммарной и разностной поперечным переменным И = (г1 + г2)/2 и р = г1 — г2; операторы V2 и V2 - соответствующие операторы Лапласа. Функция А(г, р) есть эффективная поперечная функция корреляции флуктуаций, дельта-коррелированных в направлении г. Наличие аргумента г у функции А означает, что флуктуации не обладают свойством статистической однородности вдоль оси г, при наличии статистической однородности зависимость от г исчезает. Уравнение (29) написано для случая, когда диэлектрическая проницаемость фоновой среды постоянна и равна единице, что является хорошим приближением при рассмотрении задач трансионосферного распространения УКВ.
Для решения уравнения (29) нами был предложен асимптотический квазикласси-ческий метод с комплексными траекториями [17-21]. Характерный пространственный масштаб флуктуаций диэлектрической проницаемости, в качестве которого используется радиус корреляции флуктуаций 18, является большим по сравнению с длиной волны поля для обеих частот Ю1 и Ш2, что позволяет ввести большой параметр задачи: К = к1 к2122. Это же условие является одним из условий применимости самого диффузионного марковского приближения, в рамках которого выведено уравнение (29). Формальное асимптотическое решение уравнения (29) при К представляется в виде
ряда по обратным степеням параметра К:
где введены эйконал у и амплитуды и. Стандартная асимптотическая процедура подстановки (30) в (29) с последующим обращением в нуль коэффициентов при различных степенях К приводит к уравнению эйконала для у и уравнениям переноса для амплитуд, которые здесь не приводятся в целях экономии места. Это система уравнений
(28)
марковское параболическое уравнение для Гі имеет вид [18]:
(30)
3=0
«комплексной геометрической оптики» для параболического уравнения (29), стандартный метод построения решения которой таков: для уравнения эйконала выписываются и решаются уравнения характеристик, затем интегрированием вдоль найденных характеристик находятся эйконал и амплитуды. Поскольку коэффициенты уравнений комплексны, комплексными также являются как сами характеристики, так и все искомые функции.
Описанная схема позволяет стоить функции когерентности для любой заданной функции корреляции флуктуаций среды, в том числе для случая неоднородного фона, и описывает как слабые, так и сильные флуктуации поля. При помощи этой методики, как уже отмечалось, могут быть воспроизведены все известные аналитические результаты для квадратичной зависимости структурной функции флуктуаций электронной плотности. В настоящий момент эта последняя методика описания флуктуационного радиоканала ещё не доведена до практических приложений, поэтому результаты расчётов будут иллюстрировать использование методик, изложенных выше.
Результаты моделирования эффектов флуктуаций. Распространение КВ на наклонной трассе. Рассмотрим пример распространения на односкачковой коротковолновой радиотрассе длиной 900 км, ориентированной на запад от Санкт-Петербурга. Ионосфера задавалась моделью 1Ш для следующих условий: июль, местное время 14 ч, параметр Д12 = 70. Несущая частота составляла 8,3 МГц.
Флуктуации электронной плотности ионосферы задавались анизотропным степенным пространственным спектром (10), характеризуемым спектральным индексом р = = 3,7, одинаковыми внешними масштабами поперёк магнитного поля, равными 5 км, и масштабом вдоль магнитного поля, равным 15 км. Дисперсия относительных флуктуаций электронной плотности ионосферы предполагалась однородной и равной 1 %. Скорость дрейфа неоднородностей имеет одинаковые широтные и долготные компоненты, равные 0,5 км/с. Синтезированная для заданной ионосферы наклонная ионограмма выявила возможность распространения посредством Е- и F-слоёв.
На рис. 1 в переменных «быстрого» и «медленного» времени представлен результат имитации принимаемого сигнала в случае, когда передаваемый сигнал представляет собой периодически повторяемый прямоугольный импульс длиной 0,1 мс. При этом ширина полосы канала распространения составляла 20 КГц. На рисунке для каждого излученного импульса чётко различаются три разделённых во времени принятых сигнала, соответствующих распространению посредством Е-слоя и F-слоя, причём для F-слоя виден как нижний, так и верхний луч.
На рис. 2 приведена функция рассеяния, полученная в результате обработки данных, изображённых на рис. 1. Способ обработки вполне аналогичен тому, который применяется при реальной обработке экспериментальных результатов. Функция рассеяния представлена в виде карты уровней мощности на плоскости переменных задержка - доплеровская частота и характеризует разброс энергии принятого сигнала. Значение функции рассеяния на двумерном графике выводится в тоновой кодировке. Выделяются три моды распространения с различными задержками: Е-мода с задержкой 3,2 мс и две F-моды, соответствующие нижнему (3,8 мс) и верхнему (4,2 мс) лучам. Строго говоря, изображение на рис. 2 не есть статистический момент, а лишь его оценка по реализации конечной длины, которая будет сходиться к строгому статистическому моменту при увеличении длины реализации.
Следующий рис. 3 соответствует тем же условиям распространения, но с более короткими зондирующими импульсами 0,05 мс и, соответственно, с большей шириной полосы канала 40 КГц. На рис. 3 можно увидеть, что пятно на графике, соответствующее
верхнему лучу, расщепилось на два фрагмента, соответствующих наличию двух магнитоионных мод.
Результаты моделирования сцинтилляций поля на низкоширотных трассах в присутствии экваториальных «пузырей». Для расчётов в следующих примерах в качестве модели фоновой ионосферы использовалась модель средне- и низкоширотной ионосферы NeQuick. Результаты моделирования стохастического сигнала сравнивались с экспериментальными данными сигналов геостационарного спутника РИЛ-131 (угол возвышения - 28°, азимут - 93°), полученными в Дуала, Камерун (4° с. ш., 9° в. д.) 9 июня 2004 г. (данные предоставлены доктором Б. Арбессером-Раст-бургом). На рис. 4 изображена фоновая ионосфера над Дуалой, генерируемая моделью NeQuick [31], которая была промодулирована с помощью описанной выше техники с определённым образом выбранными значениями параметров функций из формул (22), (23). Рис. 5 демонстрирует выбранное распределение среднеквадратичного отклонения флуктуаций электронной плотности в области пузыря. При моделировании была принята скорость вмороженного переноса ионосферных неоднородностей в 150 м/с в направлении с запада на восток.
На рис. 6 и 7 приведены случайные временныо е ряды амплитуды и фазы поля, сгенерированные в рамках развитой теории и методики для обсуждаемых условий [29]. Рис. 6 демонстрирует стохастическую амплитуду сигнала, где ясно видны, в том числе, фокусировки-дефокусировки поля на локальной неоднородности в ионосфере, представленной на рис. 4, а на рис. 7 показана стохастическая компонента фазы сигнала после исключения регулярного тренда. Наконец, рис. 8 и 9 [29] демонстрируют временной ход индекса мерцаний (сцинтилляций) сигнала Б4. На рис. 8 [29] представлена кривая, полученная в результате обработки экспериментальных данных, полученных на станции наблюдения Дуала 9 июня 2004 г. Кривая на рис. 9 [29] получена в результате аналогичной обработки результатов моделирования, представленных на рис. 6.
Весьма хорошее совпадение результатов, изображённых на рис. 8 и 9, было обеспечено надлежащим подбором параметров локальных неоднородностей ионосферы, включая как параметры пузыря (22), так и параметры флуктуаций электронной плотности ионосферной плазмы в области пузыря (23). Моделировались данные наблюдений для несущей частоты 1575 МГц. Были приняты следующие размеры пузыря: горизонтальный размер вдоль экватора 150 км; вертикальный размер 400 км (от 200 до 600 км по высоте над поверхностью Земли); горизонтальный размер вдоль магнитного поля Земли - бесконечно большой; обеднение электронной плотности в середине пузыря 90 % по сравнению с фоновой ионосферой. Для параметров флуктуаций были выбраны следующие значения: спектральный индекс в формуле (9) р = 3,7; максимальные относительные флуктуации электронной плотности внутри пузыря превышали их значение в фоновой ионосфере в 10 раз; наконец, внешний масштаб турбулентности составлял 40 км вдоль магнитного поля Земли и 4 км поперёк магнитного поля (случайные неоднородности считались цилиндрически-симметричными относительно магнитного поля Земли).
Результаты моделирования сцинтилляций поля на высокоширотных трассах для локальных областей ионосферы с повышенной электронной плотностью. В настоящее время мы не располагаем экспериментальными данными наблюдений сцинтилляций спутниковых сигналов на высокоширотных трассах. По этой причине в этом разделе приводятся результаты численного эксперимента в рамках описываемой методики, которая, однако, позволяет предсказывать возможный уровень сцинтилляций сигнала при разумном выборе значений параметров моделей, в общих чертах
Рис. 1. Результат имитации принимаемого сигнала, представленный в переменных «быстрого» и «медленного» времени:
передаваемый сигнал представляет собой периодически повторяемый прямоугольный радиоимпульс длиной 0,1 мс; ширина полосы канала распространения 20 КГц
частота, Гц
Рис. 2. Функция рассеяния, построенная по результатам моделирования на рис. 1
высота, км
частота, Гц
Рис. 3. Функция рассеяния для тех же условий распространения, что и на рис. 1 и 2: зондирующие импульсы 0,05 мс; ширина полосы канала 40 КГц
1000 900 800 700 і 600
500 400 300 200 100 0
расстояние, км
3 -1010 1 -1010/ 21010 / 4-1010
г /
■ 61010 2-1010 1 -1010 ■
50
100 150 200 250 300
Рис. 4. Распределение электронной плотности в экваториальной ионосфере при наличии модельного пузыря
Рис. 5. Распределение среднеквадратичного отклонения флуктуаций электронной плотности в области пузыря
Амплитуда сигнала
1.5
1.5
1,4 1,3 1,2 1,1
1
0,9 0,8 0,7 0,6
0 1000 3000 5000 7000
время, с
Рис. 6. Зависимость амплитуды сигнала геостационарного спутника от времени при распространении в возмущённой ионосфере, представленной на рис. 4
время, с
Рис. 7. Стохастическая компонента фазы сигнала геостационарного спутника после исключения регулярного тренда
время, мин
Рис. 8. Экспериментальная зависи- Рис. 9. Зависимость индекса мерцаний
мость индекса мерцаний (сцин- S4 от времени, полученная
тилляций) сигнала S4 от време- в результате обработки резуль-
ни татов моделирования, представ-
ленных на рис. 6
известных по литературным данным. В численном эксперименте использовалась теоретическая модель полярной ионосферы, разработанная в университете г. Фейрбенкса на Аляске (University of Alaska Fairbanks Eulerian Parallel Polar Ionosphere Model) [28]. Схема была промодулирована в соответствии с описанной выше методикой, чтобы поместить в окрестности некоторой точки, где трансионосферная трасса распространения пересекает ионосферу, локальную среднемасштабную неоднородность с повышенной электронной плотностью типа «патча». Патч моделировался в соответствии с формулами (22), (23) и предполагался цилиндрически симметричным в горизонтальной плоскости с горизонтальным радиусом в 300 км и вертикальной толщиной в 250 км. Центр патча располагался на высоте 275 км. Предполагалось, что максимальное значение электронной плотности внутри неоднородности в 2 раза превосходит значение плотности в той же точке фоновой ионосферы (A = 1 в формуле (23)). Скорость вмороженного переноса такой неоднородности принималась равной 1 км/с, что является типичным значением для рассматриваемых условий. Спутник считался неподвижным и угол его возвышения был принят равным 400.
На рис. 10 и 11 [28] представлены распределение электронной плотности ионосферы вдоль трассы распространения как функция времени (левый рисунок) и полное электронное содержание (TEC) вдоль трассы распространения как функция времени (правый рисунок). Максимальное стандартное отклонение флуктуаций относительной электронной плотности в патче превышало стандартное отклонение флуктуаций в фоновой ионосфере в 9 раз. Индекс пространственного спектра флуктуаций был p = 3,7. Случайные неоднородности считались полностью трёхмерно-неоднородными, как это имеет место в высокоширотной ионосфере, с наибольшим внешним масштабом турбулентности в 40 км вдоль магнитного поля Земли и двумя поперечными магнитному полю масштабами в 4 и 8 км.
Чтобы продемонстрировать дополнительные возможности разработанного метода и методики, здесь, в отличие от приведённых в предыдущем разделе результатов численного моделирования, мы приведём дополнительный набор результатов,
о
№
Я
S
к
я
ч
О
№
Е-
Рис. 10. Распределение электронной плотности в полярной ионосфере вдоль трассы распространения в зависимости от времени
время, мин
Рис. 11. Полное электронное содержание (TEC) вдоль трассы распространения как функция времени
2.5
2
1.5
1
0,5
0
- 0,5 - 1
- 1,5 - 2
2.5
- 2
- 1
0
фаза
Рис. 12. Значения, принимаемые случайной комплексной амплитудой сигнала (фазором): несущая частота сигнала 1200 МГц
относительная интенсивность
Рис. 13. Функция распределения плотности вероятности флуктуаций интенсивности поля: режим слабых флуктуаций;
1
2
характеризующих флуктуации поля в трансионосферном канале. Отметим только, что их получение также базируется на определённой статистической обработке сгенерированного стохастического сигнала подобного тому, какой был показан на рис. 6 и 7. Рис. 12 [28] демонстрирует значения, принимаемые случайной комплексной амплитудой сигнала (фазором), построенной для описанных выше условий и несущей частоты сигнала в 1200 МГц. Как видно из показанного на рис. 12, флуктуации поля в данном случае характеризуются незначительными вариациями амплитуды, хотя при этом случайные изменения фазы поля могут достигать в отдельных реализациях полного цикла. Факт малых амплитудных флуктуаций находит своё отражение и в форме кривой на рис. 13 [28], которая представляет собой функцию распределения плотности вероятности флуктуаций интенсивности поля. Относительно симметричный по ширине
2.5 2
1.5 1
0,5
0
- 0,5 - 1
- 1,5 - 2
2.5
2
- 1
1
0
фаза
Рис. 14. Значения, принимаемые случайной комплексной амплитудой сигнала (фазором):
зависимость приведена для описанных выше условий; несущая частота сигнала 400 МГц
К
5
с
к
Е-
к
с
6 и сс & с к
Ес
|=; С
20
- 15 - 10 - 5 0 5
относительная интенсивность
10
Рис. 15. Функция распределения плотности вероятности флуктуаций интенсивности поля:
режим сильных флуктуаций; кривая несимметрична по горизонтальной оси
2
вид этой кривой, а также значение индекса мерцаний «4 = 0,198 соответствуют режиму слабых флуктуаций поля.
При всех прочих равных условиях режим сильных флуктуаций может быть достигнут лишь за счёт уменьшения несущей частоты сигнала. Так, изменив лишь частоту с 1200 МГц на 400 МГц (на этой частоте работают многие устройства, зондирующие ионосферу со спутников) и оставив все остальные параметры без изменений, мы будем иметь ситуацию, представленную на рис. 14 и 15 [28]. Здесь имеет место режим сильных флуктуаций поля, о чём свидетельствует область значений, принимаемых фазором, изображённая на рис. 14, а также асимметричный вид функции распределения плотности вероятности флуктуаций интенсивности и значение индекса мерцаний «4 = 0,642 на рис. 15.
Заключение. В статье описаны общая теория и методика моделирования широкополосных ионосферных отражательных и трансионосферных каналов распространения, основанная на решении задачи распространения в реальной трёхмерной флуктуирующей анизотропной ионосфере. Эти модели позволяют как описывать статистические моменты полей, так и генерировать временные случайные реализации сигналов, распространяющихся в канале, в том числе и при наличии статистической неоднородности возмущённой ионосферы. Для моделирования сильных среднемасштабных ионосферных возмущений (экваториальные пузыри, полярные патчи) предложены простые эффективные модели таких неоднородностей с физически обоснованными параметрами. Компьютерные программы, созданные для имитации искажений радиосигнала, распространяющегося в реальном ионосферном канале, представляют собой, по-существу, программные симуляторы высокочастотных сигналов во флуктуационных радиоканалах.
Приведены конкретные примеры моделирования как для распространения коротких волн в спокойных среднеширотных условиях, так и ультракоротких волн на возмущённых трансионосферных трассах, причём в ряде случаев, там, где это
возможно, проведено сравнение результатов моделирования с доступными экспериментальными данными, показавшее близость расчётных и измеренных характеристик.
Литература
1. Фок В. А. Проблемы диффракции и распространения электромагнитных волн. М., 1970. 520 с.
2. Макаров Г. И., Новиков В. В., Рыбачек С. Т. Распространение электромагнитных волн над земной поверхностью. М., 1991. 196 с.
3. Макаров Г. И., Тихомиров Н. П. О тропосферной рефракции радиоволн // Пробл. дифр. и распростр. волн. 1970. Вып. 10. C. 117-130.
4. Макаров Г. И., Новиков В. В., Рыбачек С. Т. Распространение радиоволн в волноводном канале Земля-ионосфера и в ионосфере. М., 1994. 240 с.
5. Зернов Н. Н. Рассеяние волн КВ-диапазона при наклонном распространении в ионосфере // Изв. вузов. Сер.: Радиофизика. 1980. T. 23. C. 151-158.
6. Он же. Обобщение метода плавных возмущений на случай поля сосредоточенного излучателя в неоднородной среде // Радиотехника и электроника. 1990. T. 35. C. 1590-1595.
7. Он же. Метод комплексной фазы для поля точечного источника в неоднородной ионосфере с флуктуациями диэлектрической проницаемости // Там же. 1994. T. 39. C. 241-252.
8. Герм В. Э., Заалов Н. Ю., Зернов Н. Н., Никитин А. В. Статистические характеристики КВ поля при вертикальном зондировании ионосферы // Там же. 1990. T. 35. C. 2495-2501.
9. Zernov N. N., Gherm V. E., Zaalov N. Yu., Nikitin A. V. The generalization of Rytov’s method to the case of inhomogeneous media and HF propagation and scattering in the ionosphere // Radio Sci. 1992. Vol. 27. P. 235-244.
10. Gherm V. E., Zernov N. N. Fresnel filtering in HF ionospheric reflection channel // Ibid. 1995. Vol. 30. P. 127-134.
11. Iidem. Scattering function of the fluctuating ionosphere in the HF band // Ibid. 1998. Vol. 33. P. 1019-1033.
12. Zernov N. N., Lundborg B. The influence of the ionospheric electron density fluctuations on HF pulse propagation // J. Atmospheric and Terr. Phys. 1995. Vol. 57. P. 65-73.
13. Gherm V. E., Zernov N. N., Lundborg B., Vastberg A. The two-frequency coherence function for the fluctuating ionosphere; narrowband pulse propagation // J. Atmospheric and Sol.-Terr. Phys. 1997. Vol. 59. P. 1831-1841.
14. Gherm V. E., Zernov N. N., Lundborg B. The two-frequency, two-time coherence function for the fluctuating ionosphere; wideband pulse propagation // Ibid. 1997. Vol. 59. P. 1843-1854.
15. Gherm V., Zernov N., Lundborg B. et al. Wideband scаttering functions for HF ionospheric propagation channels // Ibid. 2001. Vol. 63. P. 1489-1497.
16. Герм В. Э., Гогин Ю. А., Зернов Н. Н. Дифракция волнового поля на слабых неоднородностях диэлектрической проницаемости в трехмерной плавно-неоднородной среде // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4.: Физика, химия. 2001. Вып. 2. C. 32-38.
17. Bitjukov A. A., Gherm V. E., Zernov N. N. On the solution of Markov’s parabolic equation for the second order spaced frequency and position coherence function // Radio Sci. 2002. Vol. 37. doi: 10.1029/2001RS002491.
18. Iidem. Quasi-classic approximation in Markov’s parabolic equation for spaced position and frequency coherency // Ibid. 2003. Vol. 38. doi: 10.1029/2002RS002714.
19. Битюков А. А., Герм В. Э., Зернов Н. Н. Двухчастотная двухпозиционная функция когерентности случайного поля. Разделение переменных в параболическом уравнении // Радиотехника и электроника. 2005. T. 50. C. 821-827.
20. Они же. Двухчастотная двухпозиционная функция когерентности случайного поля. Модельные задачи // Там же. C. 828-833.
21. Битюков А. А., Зернов Н. Н. К вопросу об аналитическом решении параболического уравнения для двухчастотной двухпозиционной функции когерентности поля в диффузионном
марковском приближении // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4.: Физика, химия. 2007. Вып. 2.
C. 17-30.
22. Watterson C., Juroshek J., Bensema W. Experimental confirmation of an HF channel
model // IEEE Trans. Comm. 1970. Vol. 18. P. 792-803.
23. Mastrangelo J., Lemmon J, Vogler L. et al. A new wideband high frequency channel simulation system // Ibid. 1977. Vol. 45. P. 26-34.
24. Rino C. L. A power law phase screen model for ionospheric scintillation 1. Weak scatter // Radio Sci. 1979. Vol. 14. P. 1135-1145.
25. Beniguel Y. GISM: a propagation model for scintillations of transmitted signals // Ibid. 2002. Vol. 37. doi: 10.1029/2002RS002393.
26. Gherm V. E., Zernov N. N., Strangeways H. J. HF propagation in a wideband ionospheric fluctuating reflection channel: physically based software simulator of the channel // Ibid. 2005. Vol. 40. doi: 10.1029/2004RS003093.
27. Iidem. Propagation model for transionospheric fluctuational paths of propagation: simulator of the transionospheric channel // Ibid. 2005. Vol. 40. doi: 10.1029/2004RS003097.
28. Maurits S. A., Gherm V. E., Zernov N. N., Strangeways H. J. Modeling of scintillation effects on high-latitude transionospheric paths using ionospheric model (UAF EPPIM) for background electron density specifications // Ibid. 2008. Vol. 43. RS4001, doi:10.1029/2006RS003539.
29. Zernov N. N., Gherm V. E., Strangeways H. J. On the effects of scintillation on the tran-sionospheric paths of propagation // Proc. IES-2008. Alexandria, Virginia (USA), 2008. 8 pp.
30. Devroye L. Non-Uniform random variate generation. New-York: Springer, 1986.
31. http://www.itu.int/ITU-R/study-groups/software/rsg3-p531-electron-density.zip
Принято к публикации 1 июня 2009 г.
