CC BY
7
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 22. Выпуск 3.
УДК 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-3-423-437
Отражение и преломление плоской звуковой волны упругой пластиной с неоднородным анизотропным покрытием 1
Л. А. Толоконников, С. Л. Толоконников
Толоконников Лев Алексеевич — доктор физико-математических наук, профессор, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: tolokonnikovla@mail.ru
Толоконников Сергей Львович — доктор физико-математических наук, профессор, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва). e-mail: tolsl@mail.ru
Аннотация
В статье рассматривается задача об отражении и преломлении плоской гармонической звуковой волны однородной изотропной упругой пластиной с непрерывно неоднородным анизотропным упругим покрытием.
Полагается, что пластина граничит с идеальными однородными жидкостями.
Распространение малых возмущений в идеальной жидкости в случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца. Распространение упругих волн в однородной изотропной упругой пластине описывается скалярным и векторным уравнениями Гельмгольца для продольных и поперечных волн. Колебания неоднородного анизотропного упругого покрытия описываются общими уравнениями движения сплошной среды.
Для нахождения поля смещений в неоднородном анизотропном покрытии построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Получено аналитическое описание отраженного и прошедшего через пластину акустических полей.
Рассмотрены частные случаи, когда материал неоднородного покрытия является трансверсально-изотропным и изотропным.
Представлены результаты численных расчетов зависимости коэффициента отражения однородной изотропной пластины с трансверсально-изотропным покрытием от угла падения плоской волны.
Ключевые слова: звуковые волны, отражение и преломление, упругая пластина, неоднородное анизотропное упругое покрытие.
Библиография: 23 названий. Для цитирования:
Л. А. Толоконников, С. Л. Толоконников. Отражение и преломление плоской звуковой волны упругой пластиной с неоднородным анизотропным покрытием // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 3, с. 423-437.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 18-11-00199, https: //rscf.ru/proj ect/18-11-00199/
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 22. No. 3.
UDC 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-3-423-437
Reflection and refraction of a plane sound wave in an elastic plate with an inhomogeneous anisotropic coating 2
L.A. Tolokonnikov, S.L. Tolokonnikov
Tolokonnikov Lev Alekseevich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tula State University (Tula). e-mail: tolokonnikovla@mail.ru
Tolokonnikov Sergey Lvovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Lomonosov Moscow State University (Moscow). e-mail: tolsl@mail.ru
Abstract
In paper the problem of the reflection and refraction of a plane harmonic sound wave by a homogeneous isotropic elastic plate with an continuously inhomogeneous anisotropic elastic coating is considered.
It is assumed that the plate is adjoin to ideal fluids.
The propagation of small perturbations in a ideal fluid in the case of steady state oscillations is described by Helmholtz's equation. The propagation of elastic waves in a uniform isotropic elastic plate is described by scalar and vector Helmholtz's equations for longitudinal and transverse waves. Oscillations of an inhomogeneous anisotropic elastic coating are described by general motion equations of the continuous medium.
The boundary-value problem for the system of ordinary second order differential equations is constructed for determination of the displacement field in inhomogeneous anisotropic coating.
An analytical description of the reflected and transmitted through the plate acoustic fields is obtained.
Particular cases when the material of an inhomogeneous coating is transversely isotropic and isotropic are considered.
The results of numerical calculations of dependence of reflection coefficient of a homogeneous isotropic plate with a transversely isotropic coating from the incidence angle of plane wave are presented.
Keywords: sound waves, reflection and refraction elastic plate, inhomogeneous anisotropic elastic coating.
Bibliography: 23 titles. For citation:
L.A. Tolokonnikov, S.L. Tolokonnikov, 2021, "Reflection and refraction of a plane sound wave in an elastic plate with an inhomogeneous anisotropic coating" , Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 3, pp. 423-437.
Acknowledgments: The research was supported by a grant from the Russian Science Foundation number 18-1100199, https://rscf.ru/project/18-11-00199/.
1. Введение
Задача об отражении и прохождении звука через плоский однородный изотропный упругий слой рассматривалась во многих работах, например, в [1, 2]. В работах [3, 4] изучено отражение звука однородными анизотропными упругими пластинами. В [5, 6] осуществлен учет термоупругости однородного изотропного плоского слоя при прохождении плоской звуковой волны. Прохождение звуковых волн через плоские неоднородные упругие слои исследовано в [7 - 9]. В [7] слой полагался изотропным, а в [8, 9] — трансверсально-изотропным. В [10, 11] решены задачи об отражении и преломлении плоской звуковой волны неоднородным упругим плоским слоем, материал которого обладает анизотропией общего вида. В [10] граничащие со слоем жидкости полагались идеальными, а в [11] — вязкими. Прохождение плоской звуковой волны через непрерывно-неоднородный и дискретно-неоднородный термоупругие плоские слои, граничащие с невязкими теплопроводными жидкостями, исследовано в [12, 13]. Обратные задачи об определении параметров неоднородности материала плоского упругого слоя по отражению и прохождению звука решены в [14, 15].
Задача об отражении и преломлении плоской звуковой волны однородной изотропной упругой пластиной с изотропным и неоднородным по толщине покрытием рассмотрена в [16 - 18]. Граничащие с пластиной жидкости полагались идеальными [16, 17] и вязкими [18]. Осуществлено моделирование неоднородного изотропного покрытия упругой [19] и термоупругой [20] пластин с оптимальными звукоотражающими свойствами. Задача определения толщины и вида зависимостей материальных параметров неоднородного изотропного покрытия конечной однородной упругой пластины со сферической полостью, обеспечивающих требуемые характеристики отражения звука, решена в [21].
В настоящей работе рассматривается задача об отражении и прохождении плоской звуковой волны через однородную изотропную упругую пластину с непрерывно-неоднородным анизотропным покрытием.
2. Постановка задачи
Рассмотрим однородную изотропную упругую пластину толщиной Н, материал которой характеризуется плотностью ро и упругими постоянными Ао и ^о. Пластина имеет покрытие в виде неоднородного анизотропного упругого слоя толщиной h. Введем декартову систему прямоугольных координат х\,х2,хз с осью х\, лежащей в плоскости, разделяющей однородную пластину и неоднородное покрытие и осью Хз, направленной вниз по нормали к поверхности пластины (рис.1). Полагаем, что модули упругости \ijki материала покрытия описываются дифференцируемыми функциями координаты хз, а е его плотность р — непрерывной функцией координаты х3: Xijki = Xijki(хз), р = р(х3).
Поверхности покрытия х3 = —h и однородной пластины х3 = Н граничат с идеальными однородными жидкостями, которые имеют плотности р\, р2 и скорости звука С\,С2 соответственно.
Пусть из полупространства хз < —h на пластину с покрытием падает под произвольным углом плоская гармоническая звуковая волна, волновой вектор ki которой лежит в плоскости х\,х3. Потенциал скорости падающей волны равен
фо = Ао ехр{г[кцх + к\з(хз + h) — wt]}, (2.1)
где Ао — амплитуда волны; кц = к\ sin во, к\з = к\ cos 9о — проекции волнового вектора k1 на оси координат х\ и хз соответственно; к\ = ш/с\ — волновое число в полупространстве Хз < —h; ш — круговая частота; во — угол падения плоской волны, составляемый нормалью к фронту волны с осью Хз; t — время. Временной множитель exp(—iwt) в дальнейшем опускаем.
Рис. 1: Геометрия задачи
Определим отраженную и прошедшую через пластину с покрытием звуковые волны, а также волновые поля в пластине и ее покрытии.
3. Математическая модель задачи
Так как волновой вектор падающей волны кх лежит в плоскости х\,хз и, следовательно, возбуждающее поле не зависит от координаты хт, а неоднородность материала покрытия проявляется лишь по оси хз, то от координаты Х2 не будут зависеть ни отраженное, ни прошедшее через пластину, ни возбужденные в однородной пластине и в неоднородном покрытии волновые поля.
Потенциалы скоростей отраженной от пластины с покрытием и прошедшей через нее волн ф\ и фт в случае установившегося режима колебаний являются решениями уравнений Гельм-гольца [1, 2]
Д^- + к^фз = 0, з = 1, 2, (3.1)
где кт = ш/ст — волновое число в полупространстве х3 > Н.
Вектор скорости частиц жидкости и акустическое давление в полупространствах хз < —Н и х3 > Н определяются по формулам
V
(1) =grad(^0 + фх), Рх = 1р\ш(фо + ф\)
V
(2)
= grad ф2, 'Р2 = грт^фт.
Распространение малых возмущений в однородной изотропной упругой пластине описывается двумя волновыми уравнениями для продольных и поперечных волн, которые в случае установившихся колебаний переходят в уравнения Гельмгольца [1]
ДФ + Лг2Ф = 0,
ДФ + к2тФ = 0,
(3.2)
(3.3)
где Ф и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения; кг = ш/с1 и кт = ш/сг — волновые числа продольных и поперечных упругих волн; с\ = л/(А0 + 2р.0)/р0 и ст = л/р.0/р0 — скорости продольных и поперечных волн соответственно. При этом вектор смещения частиц в упругой однородной пластине
и
(0)
= gradФ + гЫФ.
(3.4)
и
Векторное уравнение (3.3) эквивалентно системе трех скалярных уравнений
АФ3 + к2Ф^ =0 (з = 1, 2, 3)
(3.5)
относительно трех составляющих Ф1, Ф2, Фз вектора Ф.
Составляющие вектора и(0) — и10), и^, и^. Они являются тремя искомыми функциями, а система уравнений (3.2) и (3.4) представляет собой систему четырех скалярных уравнений относительно четырех скалярных функций Ф, Ф^ (] = 1, 2, 3). Чтобы полностью определить эти четыре функции при подчинений решения системы (3.2), (3.5) граничным условиям, необходимо привлечь еще одно дополнительное условие. Этим условием может служить равенство [1]
ё1у Ф = 0. (3.6)
Компоненты тензора напряжений в однородной изотропной среде связаны с составля-
ющими и^ (] = 1, 2, 3) вектора смещения и(0) соотношениями [1]
= Ао 5г, ё1у и(0) +
1]
/аиТ + ,
I д%у дХг I '
(3.7)
где — символ Кронекера. Согласно (3.4) имеем
и
(о)
д Ф
д %1
д Ф2
д%з ''
и
(о) _ дф1 _ дФз
д%3 д%1'
и
(о)
дФ д Ф2 д%3 д%1'
(3.8)
Распространение упругих волн в неоднородном анизотропном упругом покрытии описывается общими уравнениями движения сплошной среды [22], которые при отсутствии массовых сил, с учетом временной зависимости ехр(—шЬ) и отсутствия зависимости волновых полей от координаты %2 имеют вид
да и , доз1
д %1 д(Г12 д %1 да1з д %1
+
+
+
д%з даз2 д%з дазз д%з
рш2и1,
2
рш2и2,
(3.9)
рш2из,
где ац — компоненты тензора напряжений в покрытии; и^ (] = 1, 2, 3) — проекции вектора смещения и на оси координат %^.
В общем случае анизотропии компоненты тензора напряжений связаны с компонентами тензора деформаций ек1 следующим образом (обобщенный закон Гука) [22]:
а = А р® = Аг]к1^ .
Учитывая симметрию тензора модулей упругости по индексам г,] и по индексам к,1 [22], имеем
агз = а%]11£11 + а^22£22 + А^зз£зз + 2А^2з£2з + 2А^1з£1з + 2Агjl2£l2, (3.10)
где
1 / дщ ди^
гз 2\д%з д%г
(3.11)
В дальнейшем воспользуемся двухиндексным обозначением модулей упругости Агк, где г, к = 1, 2,..., 6. При этом значениям индексов 1, 2, 3, 4, 5, 6 отвечают соответственно пары индексов 11, 22, 33, 23, 13, 12.
1
з
На поверхностях, соприкасающихся с жидкостями, граничные условия заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, отсутствии на этих поверхностях касательных напряжений, равенстве на них нормального напряжения и акустического давления
-ши3 = Vin, агз = 0, (J23 = 0, 033 = -pi при х3 = —h, (3.12)
—iwu^0 = v2n, = 0, а^З = 0, = —р2 при х3 = Н, (3.13)
где vin = д(фо + ф1)/дх3 и v2n = дф2/дх3 — нормальные компоненты скоростей частиц жидкостей в полупространствах Х3 < —h и Х3 > H соответственно.
На поверхности х3 = 0, разделяющей однородную пластину и неоднородное покрытие, должны быть непрерывны составляющие вектора смещения частиц, а также нормальные и тангенциальные напряжения
(о) ( 0) ( 0) (0) ( 0) (0) n Î4 1
Ui = и\ ', U2 = иу2 ', из = Щ ', G33 = аЗз , &13 = &13 , &23 = &23 при Хз = 0. (3.14)
Искомыми величинами являются ф1(х1,х3), ф2(х1,х3), ^(xi,x3), Ф^(xi,x3), Uj(xi,х3) (j = 1, 2, 3). Таким образом, в математической постановке задача состоит в нахождении решений уравнений (3.1), (3.2), (3.5), (3.6), (3.9), удовлетворяющих граничным условиям (3.12) -(3.14).
4. Аналитическое решение задачи
Решения уравнений (3.1), (3.2) и (3.4) будем искать в виде
фх = Ах вхр{1{кпх1 — кх3(х3 + Н)]}, (4 1)
фт = Ат ехр^Аыж + ктз(%з — Н)]}, (.)
Ф = Вх ехр[1(кцх1 + кгзхз] + Вт ехр[1(кцхх — ЬзХз], (4.2)
Ф^ = С13 ехр[1(кт 1X1 + ктзжз)] + Ст^ ехр[1(кт 1X1 — ктзжз)] (] = 1, 2, 3), (4.3)
где кт1,ктз — проекции волнового вектора кт волны, прошедшей через пластину, на оси хх и
Хз; ктз = л/Щ—Щ!; к1з = \/Щ, — ; ктз = л/кт — к2т1.
Согласно закону Снеллиуса, заключающемуся в требовании равенства фазовых скоростей распространения волн вдоль границы раздела двух сред [2, 23], имеем
ктх = кц = кт 1 = кп. (4.4)
Так как зависимость всех компонент движения от координаты хх будет иметь вид ехр^кцхх), то и составляющие вектора и будем искать в виде
из = ^(хз) ехр(гк11х1), ] = 1,2,3. (4.5)
Из (3.5) получаем
афз вФ- (4.6)
дхз дх1 Подставим (4.3) в (4.6). С учетом (4.4) находим
Схз = — у11 Cll, Стз = т11 Стх. (4.7)
ктз ктз
Таким образом, коэффициентами, подлежащими определению из граничных условий, являются Aj, Bj, Су и С^ (] = 1, 2).
На основании (3.7) и (3.8) и учитывая, что
ё1у и(0) = ДФ = -к2Ф,
получаем
г(о) _ ^
а!0/ = -Аок2Ф + 2^о
д%1
- д2Ф2 \ д%1д%з)
а
(о) 12
д2 д %1
д2Ф1 д2Ф
д%з д%1
т) , а22 = -Аок2,Ф,
аИз = -Ао^Ф + 2/ло( Ц
+
д2Ф2 \ д%1д%з)
(4.8)
(о) (д2Ф2 - дЧ^ + 2 д2Ф
д%з д%1д%з
г(о) _ д2Фз
д%
2Фз N 1д%з/ .
= д%2 д%2 + 2 д%1д%з) , а2з = д%з
Теперь получим уравнения для искомых функций и^(%з) (] = 1, 2, 3). Подставим выражения (4.5) в соотношения (3.9). Затем полученные выражения для е^ подставим в (3.8). В результате компоненты тензора напряжений запишутся в виде:
ап = [в Апи1 + А1зиз + Аии'2 + + виз) + зАМ] егк11 ж
а22 = [5 А21и1 + А2зиз + А2^и'2 + А25(и[ + виз) + ^в^] е^11 ж
азз = [«Аз1и1 + Аззиз + Аз^ + Аз5(Щ + ^з) + зАзвЩ] егк11 ж, (4.9)
а2з = [«А41и1 + А^зи' + А44Щ + А45(и[ + ви3) + зА^Щ] егк11 х
а1з = [«А51Щ + Абзи' + Ами2 + А55 (и1 + зЩ) + зАМ] егк11 х
а 12 = [«А61и1 + Ав2из + А64и2 + Аб5(Щ + ^з) + вАвв^] егк11 х
где в = гк11, а штрихи здесь и ниже обозначают производные по координате %3.
Подставляя выражения (4.5) и (4.9) в уравнения движения (3.9), получим следующую систему линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций и1(%3), и2(%3), Щ(%з):
А и'' + в и' + С и = 0, (4.10)
где И = ( и1, и2, и3)т; А, В, С — матрицы третьего порядка с элементами
(А55 А54 А5з А45 А44 А43 А 5 А 4 А 3
/ А55 + 2в А51 А54 + ,з(А56 + А14) А5з + в(А55 + А1з)
В = I А45 + з(А41 + Аб5) А44 + 28 Аб4 А'4з + ¿(А45 + Авз)
\ А'35 + 8(Аз 1 + А55) А'34 + ,в(А3б + А54) А'3з + 28А35
8 А^ + 8 2Ац + рш2 8А'56 + .§2 А16 «А'55 + 52 А15
8 А'41 + 8 2Аб1 8А'46 + 82А66 + рш2 «А45 + 52 Аб5
8 А'з 1 + 8 2А51 $А3 6 + >§2 А56 вА'з 5 + >§2 А55 + рш2
Подставим выражения (4.1) и (4.5) в первое граничное условие (3.12). Получаем выражение для коэффициента отражения А1
ш
А1 =Ао + —и3 (-К)
(4.11)
Из первого граничного условия (3.13) находим коэффициент прохождения Ат, выраженный через коэффициенты В1, Вт, С1т и Стт
Ат = ^ (—Вхегк^н + Вте) — ^ (Сизя + СттезЯ) . (4.12) ктз ^ ^ ктз ^ )
Из последних трех граничных условий (3.12) получаем три краевых условия для нахождения частного решения системы дифференциальных уравнений (4.10)
(А и' + Е и)Хз=-и = Б, (4.13)
где
Е =
( А51 Абб А55
Х41 \Аб А45
I р ьГ
Азх Азб Аз5 +---—
V 8 кхз )
т
Б = (0; 0; —2грхША0)
Учитывая (4.11) и (4.12), из последних трех условий (3.13) и первых трех условий (3.14) получаем две системы линейных алгебраических уравнений
Ух = К, (4.14)
Wy = Ь, (4.15)
где х = (В1,Вт, Си, Стт)Т; У = (Сп,Стх)Т; К = (Их(0), Щ(0), 0,0)т; Ь = (^(0), 0)т; У = (урд)4х4, W = (шрд)тхт — матрицы с элементами
V- = уи = гкп, Ухз = — V14 = —г ктз,
Ут1 = — V тт = г кгз, ьтз = ^4 = г кц,
/
^ = (—— 2М?з + егк"Н, ьзт = (—\0к! — 2М?з — е-^,
Узз = (—2р0кпктз + е1кт, Уз4 = ^киКз + ,
У41 = —2 к-кгзегк1зН, ^т = 2кцкгзе-гк1зН, Ь4з = (—к2п + к2т3)е^зН, ^4 = (—к2п + к2т3)е-^зН, ^11 = -шп = г (ктз + ^ , штх = —(к^з + к2п)егк-зН, штт = — (4з + *п)^зЯ.
Из системы (4.14) видно, что ее решение зависит от величин ^1(0) и Ц~з(0). Поэтому представим коэффициенты Вх, Вт, С1т и Стт в виде
Вх = а1и1(0)+атиз(0), Вт = аз^ (0) + а.4 Чз(0), (416)
Си = №(0) + Ртиз(0), Стт = Рзих(0) + (0). ( . 6)
Подставим (4.16) в (4.14) и приравняем коэффициенты перед ^1(0) и Из(0), стоящие в левой и правой частях каждого уравнения. Приходим к двум системам линейных алгебраических уравнений
Уъ, = Ы3 (3 = 1, 2),
где Ъ1 = (ах,аз,Р1 ,Рз)Т; ът = (ат,а4,Рт,04)Т; Мх = (1,0,0, 0)т; Мт = (0,1,0,0)т, из которых определяем а^ и (] = 1, 2, 3, 4).
Из (4.15) находим
Си = г^(0), С21 = -^(0), (4.17)
—кт з
где
2( к"^1 + к^з)
Теперь из последних трех граничных условий (3.13) получим еще три три краевых условия для нахождения частного решения системы дифференциальных уравнений (4.10). Учитывая (4.16) и (4.17), будем иметь
(А И' + ЕИ)Жз=о = 0, (4.18)
где
(/и 8 А56 /1 з в А41 в А46 8 А45 /з1 8 Азв /зз
¡11 = 5 А51 - №о [2кцкгз(-а1 + аз) + (-к^ + к^)^ + Рз)] ,
Лз = « А55 - №о [2кцкгз(-а2 + 04) + (-к^ + ^з)^ + Р4)] ,
1з1 = « Аз1 + ( Аок2 + 21лок1з)(а1 + аз) + 2№окцктз(Р1 - Рз),
¡зз = « Аз5 + ( Аок2 + 2№оЛг2з)(а2 + 0*4) + 2№окпктз(Р2 - Р4).
Таким образом, для определения волновых полей в пластине и вне ее сначала необходимо решить краевую задачу (4.10), (4.13), (4.18) каким-либо методом (например, [8, 10, 12, 16]), а затем найти коэффициенты, стоящие в выражениях (4.1) - (4.3).
5. Частные случаи
Рассмотрим случай, когда упругое неоднородное покрытие является трансверсально-изотропным. Для трансверсально-изотропной среды число независимых модулей упругости равно пяти [22]. Это Ап, А12, А1з, Азз, А44. При этом
А22 = А1Ъ А2з = А55 = А66 = (А11 -А12)/2. (5.1)
Для такой анизотропии тензор модулей упругости при условии, что ось %з прямоугольной декартовой системы координат направлена по оси упругой симметрии, имеет вид
А11 А12 А1з 0 0 0
А12 А11 А1з 0 0 0
А1з А1з Азз 0 0 0
0 0 0 А44 0 0
0 0 0 0 А44 0
0 0 0 0 0 ( А11 - А12)/2
Поэтому уравнения обобщенного закона Гука (3.10) существенно упрощаются.
При слоистой неоднородности покрытия, когда механические характеристики материала изменяются только в направлении оси упругой симметрии, плоскости, нормальные к оси упругой симметрии, являясь однородными поверхностями, одновременно являются плоскостями изотропии.
В этом случае и2 = 0. Так как и2(%з) = 0, то С11 = С21 = С1з = С2з = 0, что следует из (4.17) и (4.7). Поэтому Ф = (0, Ф2, 0).
Так как
Аз4 = Аз5 = Аз6 = А41 = А4з = А45 = А46 = 0,
А51 = А5з = А54 = Х56 = \б4 = ^65 = 0,
то система (4.10) переходит в систему, состоящую из двух дифференциальных уравнений. Краевые условия (4.13) и (4.18) также существенно упрощаются. С учетом (5.1) матрицы А, В, С, ЕЕ, Е и Б принимают вид
(л04а!); Ч
A44 S(Ai3 + Л44)
S( Ai3 + Л44) Лз 3
44 я ( Ai3 + A44) \ C = / S2Aii + рШ2 SA44 \
Л'„ ) ; с V sAl3 s2A44 + рш2 ) ;
0
A44
13 = (0; —2iР1ША0)1 ; E = s \ гр1ш2
Ai3
s k
i3
( f}i ¿13 \
V ¡31 f33 J '
где
Ai = —P0 [2kiiki3(—ai + «3) + (—khi + ^(fa + &)] ,
A3 = s A44 — №0 [2kiiki3(—«2 + «4) + (—k2i + ^3)^2 + ^4)] Ai = « Ai 3 + ( A0k2 + 2p0k23)(a\ + «3) + 2p0ki ikT3(Pi — fa), f33 = ( A0 kl + 2p0 k23)( a2 + «4) + 2p0ku k- 3(^2 — fa). Отметим, что в случае изотропного упругого покрытия [22]
Aijkl = A àijàkl + Р( ôikôji + ôuôjk),
где Л и р — упругие коэффициенты Ламе. Отсюда получаем
Ли = Л + 2р при i ^ 3; Ли = р при г > 3; A^ = A при i = j, i ^ 3 и j ^ 3;
Ai,- = 0
при = , > 3 или > 3.
Таким образом, из решения рассмотренной задачи для случая трансверсально-изотропного покрытия легко получить решение для покрытия из изотропного материала. Достаточно положить А1 х = А + 2р, ^т = А, А1 з = А, Азз = А + 2р, Х44 = р, где А и р — коэффициенты Ламе изотропного материала.
6. Численные исследования
Были проведены расчеты коэффициента отражения I Ах/однородной изотропной пластины с трансверсально-изотропным покрытием. Исследовались угловые зависимости.
Полагалось, что пластина находится в воде ( рх = рт = 10з кг/мз, сх = ст = 1485 м/с), амплитуда падающей волны равна единице. Однородная пластина толщиной Н = 1 м имеет следующие характеристики: р0 = 7, 7 ■ 10з кг/мз, А0 = 5, 3 ■ 1010 Н/мт, р0 = 2, 6 ■ 1010 Н/мт (сталь).
Расчеты проводились как для однородного покрытия с плотностью ~р = 7,1 ■ 10з кг/мз и модулями упругости А11_= 16,1 ■ 1010 Н/мт, Азз = 6,1 ■ 1010 Н/мт, Х44 = 3, 83 ■ 1010 Н/мт, А1з = 5, 01 ■ 1010 Н/мт, Х1т = 3, 42 ■ 1010 Н/мт (цинк), так и для неоднородных покрытий, механические характеристики которых менялись по толщине слоя по закону
р = р/(хз) = ¡(хз).
Был проанализирован закон неоднородности вида
f(x3) = а
i Х3 + h \
V h )
+1
где множитель а выбран так, чтобы среднее значение функции / (жэ) по толщине слоя было равно единице (а = 0, 75). При этом в неоднородном слое максимум функции /(жэ) достигается при хэ = 0 и минимум — при хэ = —Н.
Краевая задача (4.10), (4.13), (4.18) решена методом сведения ее к задачам с начальными условиями (например, [10]).
На рис. 2 представлены зависимости коэффициента отражения от угла падения плоской волны во при фиксированном волновом размере пластины к\Н = 10, когда отношение толщины покрытия Н к толщине однородного слоя Н равно 0, 2. Сплошная линия соответствует случаю неоднородного покрытия, пунктирная — однородному покрытию.
(1 П // Л, ( , 1 \ '/ 1 \ 1
1 1 1 1
!
О 20 40 60 80
Рис. 2: Зависимости коэффициента отражения от угла падения плоской волны для неоднородного и однородного покрытий
Анализируя угловые характеристики коэффициента отражения для неоднородного и однородного покрытий пластины замечаем, что неоднородность материала трансверсально-изотропного покрытия приводит к заметному изменению картины отражения. Наблюдаем смещение резонансов и изменение их уровней.
'Г / \г;
■■ (1 ■ I ■ 1 ■!
■я ':! : 1 ■д
1
п ;|1
Рис. 3: Зависимости коэффициента отражения от угла падения плоской волны для неоднородных покрытий разной толщины
На фиг. 3 приведены угловые зависимости, рассчитанные для случая пластины с неоднородным покрытием при разных значениях толщины покрытия. Сплошная, штриховая и пунктирные линии соответствуют значениям h/H = 0, 2, h/H = 0,15 и h/H = 0,1 соответственно.
При изменении толщины неоднородного трансверсально-изотропного покрытия существенно изменяется форма угловой характеристики.
7. Заключение
Полученное аналитическое решение задачи позволяет исследовать отражение и прохождение звука через однородную изотропную упругую пластину с покрытием из материала с разными видами неоднородности и типами анизотропии. Создание покрытий с соответствующими параметрами неоднородности и анизотропии дает возможность достигать требуемые звукоотражающие свойства пластин.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шендеров Е.А. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.
2. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344 с.
3. Лонкевич М.П. Прохождение звука через слой трансверсально-изотропного материала конечной толщины // Акустический журн. 1971. Т. 17. Вып. 1. С. 85 - 92.
4. Шендеров Е. Л. Прохождение звука через трансверсально-изотропную пластину // Акустический журн. 1984. Т. 30. Вып. 1. С. 122 - 129.
5. Ларин Н.В. Прохождение звука через однородный термоупругий плоский слой // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 145 - 153.
6. Ларин Н.В. Анализ резонансного рассеяния звука термоупругой пластиной // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2017. Вып. 4. С. 109 - 123.
7. Приходько В. Ю., Тютекин В. В. Расчет коэффициента отражения звуковых волн от твердых слоисто-неоднородных сред // Акустический журн. 1986. Т. 32. Вып. 2. С. 212 - 218.
8. Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Прохождение звуковых волн через трансверсально-изотропный неоднородный плоский слой // Акустический журн. 1990. Т. 36. Вып. 4. С. 740 - 744.
9. Ринкевич А. Б., Смирнов А.Н. Распространение упругих волн в неоднородной трансверсально-изотропной пластине // Дефектоскопия. 2000. № 8. С. 78 - 83.
10. Толоконников Л. А Отражение и преломление плоской звуковой волны анизотропным неоднородным слоем // Прикладная механика и техническая физика, 1999. Т. 40. № 5. С. 179 - 184.
11. Толоконников Л. А. Прохождение звука через неоднородный анизотропный слой, граничащий с вязкими жидкостями // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 6. С. 1029 - 1035.
12. Ларин Н.В., Толоконников Л. А. Прохождение плоской звуковой волны через неоднородный термоупругий слой // Прикладная математика и механика. 2006. Т. 70. Вып. 4. С. 650 - 659.
13. Толоконников Л. А., Ларин Н.В. Прохождение звука через термоупругий дискретно-неоднородный плоский слой, граничащий с теплопроводными жидкостями // Прикладная механика и техническая физика. 2017. Т. 58. № 1. С. 108 - 116.
14. Ларин Н.В., Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Определение законов неоднородности плоского упругого слоя с заданными звукоотражающими свойствами // Акустический журн. 2015. Т. 61. № 5. С. 552 - 558.
15. Скобельцын С. А. Определение параметров неоднородности анизотропного упругого слоя по прохождению звука // Известия Тулького гос. ун-та. Технические науки. 2016. Вып. 7. Ч. 2. C. 246 - 257.
16. Толоконников Л. А., Юдачев В. В. Отражение и преломление плоской звуковой волны упругим плоским слоем с неоднородным покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 219 - 226.
17. Толоконников Л. А., Нгуен Т. Ш. О влиянии неоднородного покрытия упругой пластины на отражение и прохождение звука // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2018. Вып. 6. С. 362 - 372.
18. Толоконников Л. А., Нгуен Т. Ш. Прохождение звука через упругую пластину с неоднородным покрытием, граничащую с вязкими жидкостями // Чебышевский сборник. 2019. Т. 20. Вып. 2. С. 311 - 324.
19. Ларин Н. В., Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Моделирование неоднородного покрытия упругой пластины с оптимальными звукоотражающими свойствами // Прикладная математика и механика. 2016. Т. 80. Вып. 4. С. 480 - 488.
20. Ларин Н.В. Определение законов неоднородности покрытия термоупругой пластины, обеспечивающих наименьшее звукоотражение // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2016. Вып. 11. Ч. 2. С. 216 - 234.
21. Скобельцын С. А. Оценка свойств покрытия конечной упругой пластины с полостью, обеспечивающих заданные параметры отражения звука // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2017. Вып. 7. C. 83 - 92.
22. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
23. Исакович М. А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.
REFERENCES
1. Shenderov, E.L. 1972, "Wave problems of underwater acoustics", Sudostroenie, Leningrad, 352 p., [in Russian].
2. Brekhovskikh, L. M. 1973, "Waves in Layered Media", Nauka, Moscow, 344 p., [in Russian].
3. Lonkevitch, M.P. 1971, "Transmission of sound through a finite-thickness layer of a transversal-isotropic materia", Akust. Zhurnal, vol. 17, no 1, pp. 85 - 92, [in Russian].
4. Shenderov, E.L. 1984, "Sound propagation through transversally-isotropic plate", Akust. Zhurnal, vol. 30, no 1, pp. 122 - 129, [in Russian].
5. Larin, N.V. 2015, "The transmission of sound through a uniform thermoelastic plane layer", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no 3, pp. 145 - 153, [in Russian].
6. Larin, N.V. 2017, "Analysis of the resonance sound scattering by a thermoelastic plate", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no 4, pp. 109 - 123, [in Russian].
7. Prikhod'ko, V. Yu. & Tyutekin, V. V. 1986, "Calculation of reflection coefficient of sound waves from solid layered media", Akust. Zhurnal, vol. 32, no 2, pp. 212 - 218, [in Russian].
8. Skobel'tsyn, S.A. & Tolokonnikov, L.A. 1990, "Transmission of sound waves through a transversely isotropic inhomogeneous plane layer", Akust. Zhurnal, vol. 36, no 4, pp. 740 - 744, [in Russian].
9. Rinkevich, A.B. & Smirnov, A.N. 2000, "Propagation of elastic waves in a non-uniform transversely isotropic plate", Defektoskopiya, no 8, pp. 78 - 83, [in Russian].
10. Tolokonnikov, L. A. 1999, "Reflection and refraction of a planar acoustic waves in an anisotropic inhomogeneous layer", J. Appl. Mech. and Techn. Physics, vol. 40, no 5, pp. 936 - 941.
11. Tolokonnikov, L.A. 1998, "The transmission of sound through an inhomogeneous anisotropic layer adjoining viscous liquids", J. Appl. Math. Mech., vol. 62, no 6, pp. 953 - 958.
12. Larin, N.V. & Tolokonnikov, L.A. 2006, "The transmission of a plane acoustic wave through a non-uniform thermoelastic layer", J. Appl. Math. Mech., vol. 70, no 4, pp. 590 - 598.
13. Tolokonnikov, L.A. & Larin, N.V. 2017, "Sound propagation through a discretely inhomogeneous thermoelastic plane layer adjacent to heat-conducting liquids", J. Appl. Mech. and Techn. Physics, vol. 58, no 1, pp. 95 - 102.
14. Larin, N.V., Skobel'tsyn, S.A. & Tolokonnikov, L.A. 2015, "Determination of the Inhomogeneity Laws for an Elastic Layer with Preset Sound-Reflecting Properties", Acoustical Physics, vol. 61, no 5, pp. 504 - 510.
15. Skobel'tsyn, S.A. 2016, "Determining the parameters of anisotropic elastic layer on the sound transmission", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no 7-2, pp. 246 - 257, [in Russian].
16. Tolokonnikov, L.A. & Yudachev, V.V. 2015, "Reflection and refraction of a planar acoustic waves in an elastic planar layer with a non-uniform covering", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no 3, pp. 219 - 226, [in Russian].
17. Tolokonnikov, L.A. & Nguyen, T.S. 2018, "About the influence of an non-uniform covering of the elastic plate on sound reflection and transmission", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no 6, pp. 362 - 372, [in Russian].
18. Tolokonnikov, L.A. & Nguyen, T. S. 2019, "The transmission of sound through an elastic plate with an inhomogeneous coating adjoining viscous liquids, Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no 2, pp. 311 - 324, [in Russian].
19. Larin, N.V., Skobel'tsyn, S.A. & Tolokonnikov, L. A. 2016, Modelling the inhomogeneous coating of an elastic plate with optimum sound-reflecting properties", J. Appl. Math. Mech., vol. 80, no 4, pp. 339 - 344.
20. Larin, N. V. 2016, "Determination of the inhomogeneity laws for coating of the thermoelastic plate to obtain minimum sound reflection", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no 11-2, pp. 216 - 234, [in Russian].
21. Skobel'tsyn, S.A. 2017, "Tstimation of the coating properties of a finite plate with a cavity providing the given parameters of the sound reflection", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no 7, pp. 83 - 92, [in Russian].
22. Nowacki, W. 1975, "Teoria sprezystosci", Mir, Moscow, 872 p., [in Russian].
23. M.A. Isakovich, M.A. 1973 "General acoustics", Nauka, Moscow, 496 p., [in Russian].
Получено 07.06.21 г. Принято в печать 20.09.2021 г.
