Отображение евклидовых пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

DOI: 10.18454/IRJ.2016.47.050 Молдованова Е.А., Сарсикеев Е.Ж.1, Шолохова И.И., Мамашаев Б.К.

1 Кандидат технических наук Национальный исследовательский Томский политехнический университет ОТОБРАЖЕНИЕ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

Аннотация

Данная статья посвящена изучению полей двумерных площадок, инвариантно связанных с отображением двух евклидовых пространств одинаковой размерности. Приводится доказательство расщепления пространств на попарно ортогональные двумерные площадки. Полученные результаты могут быть использованы для изучения геометрических образов, связанных с отображением эвклидовых пространств различных размерностей, а так же для выявления частных классов отображений и построений классификаций отображений эвклидовых пространств. Ключевые слова: отображение, евклидово пространство, поле двумерных площадок.

Moldovanova E.A., Sarsikeev E.Zh.1, Sholokhova I.I., Mamashaev B.K

1PhD in Engineering, National Research Tomsk Polytechnic University MAPPING OF EUCLIDEAN SPACES

Abstract

In the paper a field of two-dimensional planes is examined. This field is invariant associated with a mapping of two-dimensional Euclidean spaces of the same dimensions. A splitting of the spaces on mutually orthogonal two-dimensional planes is proofed. The results are applicable with study of geometrical images associated with the mapping of Euclidean spaces of different dimensions as well as with identification of particular classes of mappings of Euclidean spaces and with mapping classification.

Keywords: mapping, Euclidean space, two-dimensional planes field.

Дифференциально-геометрические структуры на погруженных многообразиях играют существенную роль при исследовании внутренней геометрии этих многообразий. Метод Г.Ф. Лаптева позволил расширить набор объектов исследований по указанным структурам [1, 2]. В соответствии с этим методом к внутренней геометрии погруженного многообразия относятся все геометрические и аналитические конструкции, которые формулируются в терминах геометрических объектов, охваченных компонентами внутреннего фундаментального геометрического погруженного многообразия.

Не менее важной проблемой в теории дифференциально-геометрических структур является проблема изучения этих структур для дифференцируемых отображений. Достаточно полный обзор работ по теории дифференцируемых отображений пространств (проективных, аффинных, евклидовых) приведен в [3]. Публикации [4 -6] посвящены отображениям двумерных площадок в евклидовом пространстве.

Данная статья посвящена изучению полей двумерных площадок, инвариантно связанных с отображением

v ё -^-Е ё Е

m/i- т п евклидовых пространств т и п.

V я

В первом разделе приводится аналитический аппарат, связанный с отображением т'п. Пусть '-> - текущая

Ё л Е

точка ^ -мерного евклидова пространства т , а точка А _ текущая точка пространства п, являющаяся образом

точки В прИ отображении т~" . В зависимости от соотношений между числами и ^ возможны случаи:

1) ttl — n ^Q этом случае отображение ' > является биективным;

J7 . ^ _^ J?

2) этом случае отображение ' т " является инъективным;

у Ё -^-Е

3)Ш > п • отображение m>" т " является сюръективным.

Второй раздел посвящен изучению инвариантных двумерных площадок в соответствующих евклидовых

Ё Е

пространствах т и ". При этом случай ^ ~ ^ подвергается подробному анализу. В этом случае доказывается

Ёт Еи гЦа Е„

расщепление пространств т и " на попарно ортогональные двумерные площадки 2 ". - п, причем

_ n n -1

jp _yn^p _I r — r —

2 n 2 (P ~ 2 ; если ^ -четное и 2 ; если ^ - нечетное).

V Ё —» E

Отображение m'n: m n

Ё E

Рассматриваются евклидовы пространства m и ». отнесённые к соответствующим ортонормальным реперам

^ и R с деривационными формулами и структурными уравнениями

Ея: R = {B,ÊXdB = Q%,dËa=Q%,

DQb = eb л Qab, DQba = Qca л Qbc, ebb = -ваь,

(a, b, c = 1, m

En . R = {A, e } dA = w% dëi = w\ë]

DW = Ш Л Wk D w

k

DW = wk лш\ DWk =W ЛШk

(1)

(2)

а, = -а'к, (1, 7, к = 1, п

Предполагается, что существует дифференцируемое отображение

V \Ё ->Е

т,п т п

в смысле Г.Ф. Лаптева [1], определяемое дифференциальными уравнениями

а' = а еа

(3)

(4)

Ai

где в силу (1) и (2) величины b удовлетворяют дифференциальным уравнениям

dA - Aieb + Ajw' = Aiheb, dA1, - A,eb - A ed + A\w\ = A, ec,

b b b b j bb ' bb cb b bc c bb k abc '

Abab] = 0 Abb]c = 0 (b, b, c = 1, M, i, j, k = ; n). ^

A a

Заметим с учетом (4) и (5), что величины b и bb образуют внутренний фундаментальный геометрический

г = {a } г = {a ' a }

объекты * b' и * b' bb' первого и второго порядков отображения (3) в смысле Г.Ф. Лаптева [1, 2]. Рассмотрим случай ^ — ^. Тогда дифференцируемое отображение (3) является биективным отображением

V \Ё —» Е

n,n n n, причём предполагается, что

det[ Ab ] * 0

т.е. отображение (3) является невырожденным.

Ё е

Расщепление евклидовых пространств "и "на двумерные площадки

^ .. ^ч В е Е Ва

С учетом (6) в точке п введем в рассмотрение величины 1 по формулам

ваАк=ьа, ваА=ь)

Ва

Из (5) с учетом (1) следует, что величины 1 удовлетворяют дифференциальным уравнениям

в+в^а - ваа=ваьеь, в;=- АсЬвав;.

(6)

(7)

(8)

ВеЕ Е е

Точке п в евклидовом пространстве п и в соответствующем ему пространстве п зададим двумерные

площадки 2 и 2 , определяемые уравнениями:

Г1 Li

и 2 , определяемые у

Г2«tbl = g^ L2«x (b = 1,2; îx = 3, n; i = 1,2; î = 3, n).

g5i h

a1 и i1 удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

dg,: + gb eb - gb eb; +ebi = g%eb,

dhl + h!1 wh - M wj + wj = h1,eb.

(9)

^ ■ \х/■ I \х/■ — ¡1- ¡.V

11 11 ]1 71 '1 '1 Чь Из (1) и (2) следует, что двумерным площадкам (9) соответствуют следующие линейные подпространства:

г1 = с^л г1 i г1 г1 i iт"1 = ^

6а/ > п-2 2' 1п-2и±2

Аг-2 ^ Х * = ^^ * ' Аг-2 -I- Аг-2 = 2« = - а5' И = -И'1

ё е

Теорема. Каждой точке " в евклидовых пространствах "и " в общем случае отвечает конечное

г',с£ Д <= е

число двумерных площадок 2 " и 2 ". удовлетворяющих условиям:

7/ р1 : Е Е

Площадка 2 является образом площадки 2 при отображении и>и ' и и ;

Линейные подпространства

е..

Г

п-2

Е.

Ь\

п-2

переходят друг в друга при отображении

К :Е

И,И И ,<

Доказательство. Из (3) и (4) с учётом (9) - (11) при т = п следует, что условия 1 и 2 имеют место тогда и только

И а5'

тогда, когда величины '' и «1 удовлетворяют алгебраическим уравнениям:

V« - К( 4+4 а.) - (4+ а« 4)=0 < -Щ(4 + а«144)-(4 + а«14") = о,

И'1 '1

И

-е«1

оа1 '

Система алгебраических уравнений (12) состоит из

И'1 =-И'1 = -

г '1 &«, о «1

неизвестных 1 , 1 1 .

Подсчитаем ранг якобиевой матрицы системы

(12)

п = 4(п - 2) „ П

1 неоднородных уравнений и содержит 1

J =

5ф'«1 дф'«1

дк А 1 д^

д^ д^Х

дк71 1 д8Ц

при следующих числовых значениях неизвестных системы

и'1 = -И'1 = о, а«1 = - а«1 = о.

>, г. ' о а

а' = о, а" = о.

Из (12) с учётом (13) получаем

Заметим, что матрица J содержит следующий минор порядка п

"(1) (2)

(13)

(14)

у =

(чл ('А

«1)1 «А

(3) (4)

(чл ('А

«1)1 «А

(1)

о = 415'1.

«1)1 «1 )1 -

(2)„ „ (3) „ (4)

('А =-4 5А =- 4 5 - - 5м' у) = А15 -. 5'

«А Ъ1 «1 «1)1 «1 )1'1 «1о1 «1 о1«1

причём значения пар индексов

С 7 Л

V «ь

указывают на первые 2(п 2) столбцов,

h

А

указывают на следующие 2(n 2) столбцов,

(

h

hJ указывают на первые 2(n 2)

г ь ^

V b j

указывают на первые v > строк,

указывают на следующие 2(n 2) строк.

В е Е

Легко видеть, что определитель (15) в общем случае не равен нулю в точке п. Это означает, что система (12) состоит из алгебраически независимых уравнений. Поэтому она имеет конечное число решений относительно

И'1 =

11

I ga1 = -ga1

II oa¡ oa¡

Замечание. Соотношения (14) с учетом неравенства ^ ^ в точке е ■

в точке п означают канонизацию

ортонормальных реперов Е в ^п и Е в ^ п Действительно, из (5) с учётом (14) получаются следующие дифференциальные уравнения:

га 11 а - А еа1 = еа,

Ai1 «i- a11 еа1 = A i1 Qa.

(16)

а1 j а1 а1 а1а

«i

h

-«1 еа1 = -<и qi * 0

Учитывая 1 , 1 1 и 1 , заключаем, что система (16) разрешима однозначным образом

« еа

относительно форм 1 , 1

«i1 = Ai1 еа, еа1 = ва еа.

г-1 íja ' aj aja (12)

Ai1 = -A¡a Ba1 = -Ba1

Величины 1 l1a и a1a a1a определяются системой линейных алгебраических уравнений

A1! A1! - Ai Ba1 = A'1

a1 11a a1 a1a a1a'

AiAÍ1 - A¿1 Ba1 = Ai

a1 1 j a a 1 a 1 a a 1 a

с основным определителем ^ ^ 0 и удовлетворяют дифференциальным уравнениям

dAAa-AAb еa + 4 é-Aja ®j1 = A^ ,

B - Ba1 еъ + Bb1 еal - Ba еъ = Ba\еъ.

a1 a a1 b a a1 a b b1 a a1 a1ab

В соответствии с леммой Н.М. Остиану [7, 8] и с учётом (17) заключаем, что вышеуказанная канонизация реперов

R и R существует для любого отображения п п , для которого ^ ^ . Геометрически канонизация

(14) означает (n ^ 2), что

г2 = (B, S1, s2), rn_2 = (B, г„),

L\ =(A e1, e2), L\-2 =(A ёп). (18)

V \E ->e L\=V Ti

Из Теоремы и (18) следует, что при отображении n,n n n в случае n ^ 2 имеем 2 n,n 2,

L 9 = к г1 9

n-2 n,n n-2

v ~ ВеЁ

Каждой точке n сопоставим двумерные площадки

г2 ^rl 2ta2 = gai ta1 = о, L2 с L , ^ x4 = ti2x12, x1 = 0.

2 n-1 и ?

C этими двумерными площадками при n ^ 4 ассоциируются следующие (n 4 )-плоскости:

41

<

Г I Г2 ^ Л = ^ Л /а1 = 0 = -р-

Х п-4 1Г2 ^ 1 ра,1 , 1 0, ра, р,

Е\ 1 4 ^ У2 = И'2 х'2, х'1 = 0, Л'2 = - К2 .

п-4 2 г2 ' ' г2 '2

4 = к г 2 ¿2 9 = к г 2 9

Как и при доказательстве Теоремы показывается, что 2 п'п 2, п 2 п'п п

тогда и только тогда,

когда величины

Ра2

оа^

И'2 = -И

удовлетворяют следующей системе алгебраических уравнений

фа2

И( АО; + ра; а22)-( а,2 + р; а?) = о,

И( А + ра АО2)-( А22 + ра АО = о,

И'2 = -И4 Ра2 = - Ра2

</ 4 ' 2 , ра2 ра2 .

Аналогично доказательству Теоремы с учетом (13) можно показать существование в общем случае при ^ ^ 4 в

ВеЕ

точке -2 I т-2

Г2 г2

" конечного числа линейных подпространств 2' " 2

Я.

¿2 ¿2

¿2, ¿п-2

Г2 I Г2 Т2 I Т2 I2 = к Г2 42

Г 2 1 Г п-4 ¿2 1 и-4 ¿2 = Кп,пГ 2 ¿п-2

к Г2 9

п,п п-2

Как и в Замечании показывается, что в общем случае существует канонизация ортонормальных реперов в

таких, что

п Е

и п в п, при которой

02 = ёе1

А2 = о, А2 = о,

"(1). (2)„

0'2]? £'2Ь2 а2]2 а2Ь2

(3) (4)

Gi2j2 С'2Ь2 22)2 аф2

ф 0.

0 о

Здесь определитель

\2

4(п- 4)2

2 имеет порядок 4 ' и определяется также как и в (15) и (16), где индексы

заменяются индексами

'2 , ]2, а2 , Ь2, '2, 72, а2 , Ь2

соответственно. Кроме того, в

рассматриваемом случае имеют место дифференциальные уравнения:

е2

еа. = ва2 еа, а

а а„а ' ',

-а -

А'а еа,

¿А4, - А^,еа + Ааа4 - А2аа?2 = АаЬеь

^ - вал еЬ+вК еа2 - в:\ еЬ2 = во\и еЬ

а2а Ь

Геометрически указанная канонизация реперов Ё в ^п и Е в характеризуется следующим образом:

Г2 = (в, ^ ^Х Гп-2 = (в, ё5,•••, ёп ),

¿2 = (А,ёз,64), ¿п-2 = (А,ё^,...,ё),п > 5.

Пусть г - натуральное число такое, что

п =

2г,

2г +1,

В этом случае будет использована следующая система индексов

p, д =1 г; 'р, ]р, ар, Ьр = 1,2р; гр, ], ар, " = 2р +1, п.

р^р' р' р

(19)

(20)

Е Е

Продолжая рассуждения, аналогичные изложенным выше, получаем, что евклидовы пространства "и и разбиваются на попарно ортогональных соответствующих двумерных площадок

г2 =<Д

¿р = (А,ё ,,ё )^е , ¿р = к гр,

2 V ' 2 р -1' 2 р/ п' 2 п,п 2'

таких, что

2

2

<

2

2

2 p=(в, s2 p+1,

p 2 ,

LP. 2 p = ( a, e

2 p +1

eJ-Lr

и/ 2' и-2р и,и п-2р

При этом по аналогии с (14) проводится такая канонизация реперов ^ в и ^ в

, при которой

Gp = det

Alp = 0, Äp = 0,

(p - фиксировано),

(1).

G'p{p = Aj 5'p,

apj p ap Jp

(2)

(3)

(1).

G'pj apJ p

(3)

G'pJp apJ p

(2)a

G'pbp apbp

(4)

G'pbp

(4)

* 0,

G'pbp = _a'/5bp G'pJp = — A'pb~~bJp'p apJp ap Jp'p '

bp ap

G'j = A'p5- „ 5

bpap

apbp

причем значения пар индексов

a

V p У

указывают на первые

2(p 2) столбцов,

a

V p У

(22)

(23)

указывают на следующие

2(p 2) столбцов,

О ^

p

V Jp У

2(p — 2)

указывают на первые строк,

bp > \ у

указывают на следующие строк.

Имеют место дифференциальные уравнения:

е«р = -е«р = в«р е« = - в«р е«, ®1р = - = 4р 0« = -4р 0

2(P 2)

t'n r\a

' r,a

dA

Äpfib + —Aa^r = ,

P P J V J P Lp P

dBa" — B\0b + Bbp Qy — Bt" 0bp = Bap 0b

apa b„

ab

bpa~ ap

' apab

Заметим, что

E_ =

/i_ =

r

IJ^, При Yl =2r,

p=1

Г

{Jl/2 и Ц = (Ä, ёп), при n = 2r +1,

P=i

IJrf, при n = 2r,

P=i

[J Tf U Г" = (A, s„), при n = 2r + \,

(24)

(25)

(26)

Vn,ix2 = l2 ( P = 2r ) Vn,iX2 = l2 Vn,iFl = L1 ( P = 2r + 1 )

Из (12) в силу (23) замечаем, что

det К ] = det К? ] • detK22 ]■...■ det[/fj ] * 0.

Литература

1. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Московского математического общества. - М, - 1953, - Т. 2. - С. 275 - 382.

2. Лаптев Г.Ф. К инвариантной теории дифференцируемых отображений // Тр. Геом. Семинара - М., - 1974. -16 - С. 37 - 42.

3. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Итоги науки. Геометрия. Москва, - 1965. - С. 65 - 107.

4. Ивлев Е.Т., Молдованова Е.А. Распределение двумерных площадок в евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета [Известия ТПУ] / Томский политехнический университет (ТПУ). — 2012. — Т. 320, № 2 : Математика и механика. Физика. — С. 5-11.

5. Ивлев Е.Т. Классификация Коши-Римана многомерных поверхностей в евклидовом пространстве / Е.Т. Ивлев, А.А. Лучинин, Е.А. Молдованова // Известия Томского политехнического университета [Известия ТПУ] / Томский политехнический университет (ТПУ). — 2012. — Т. 321, № 2 : Математика и механика. Физика. — С. 5-9.

43

6. Ивлев Е.Т. Отображения Коши-Римана двумерных площадок касательного и нормального расслоений поверхности в евклидовом пространстве / Е.Т. Ивлев, А.А. Лучинин, Е.А. Молдованова // Известия Томского политехнического университета [Известия ТПУ] / Томский политехнический университет (ТПУ). — 2012. — Т. 320, № 2 : Математика и механика. Физика. — С. 9-11.

7. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR). - 1962. - №2. - P. 231 - 240.

8. Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности II. // Труды геометрического семинара. - Т. 3, ВИНИТИ АНСССР, - 1971, С. 95 - 114.

References

1. Laptev G.F. Differencial'naja geometrija pogruzhennyh mnogoobrazij // Trudy Moskovskogo matematicheskogo obshhestva. - M, - 1953, - T. 2. - S. 275 - 382.

2. Laptev G.F. K invariantnoj teorii differenciruemyh otobrazhenij // Tr. Geom. Seminara - M., - 1974. - 16 - S. 37 - 42.

3. Ryzhkov V.V. Differencial'naja geometrija tochechnyh sootvetstvij mezhdu prostranstvami // Itogi nauki. Geometrija. Moskva, - 1965. - S. 65 - 107.

4. Ivlev E.T., Moldovanova E.A. Raspredelenie dvumernyh ploshhadok v evklidovom prostranstve // Izvestija Tomskogo politehnicheskogo universiteta [Izvestija TPU] / Tomskij politehnicheskij universitet (TPU). — 2012. — T. 320, № 2 : Matematika i mehanika. Fizika. — S. 5-11.

5. Ivlev E.T. Klassifikacija Koshi-Rimana mnogomernyh poverhnostej v evklidovom prostranstve / E.T. Ivlev, A.A. Luchinin, E.A. Moldovanova // Izvestija Tomskogo politehnicheskogo universiteta [Izvestija TPU] / Tomskij politehnicheskij universitet (TPU). — 2012. — T. 321, № 2 : Matematika i mehanika. Fizika. — S. 5-9.

6. Ivlev E.T. Otobrazhenija Koshi-Rimana dvumernyh ploshhadok kasatel'nogo i normal'nogo rassloenij poverhnosti v evklidovom prostranstve / E.T. Ivlev, A.A. Luchinin, E.A. Moldovanova // Izvestija Tomskogo politehnicheskogo universiteta [Izvestija TPU] / Tomskij politehnicheskij universitet (TPU). — 2012. — T. 320, № 2 : Matematika i mehanika. Fizika. — S. 9-11.

7. Ostianu N.M. O kanonizacii podvizhnogo repera pogruzhennogo mnogoobrazija // Rev. math. pures et appl. (RNR). -1962. - №2. - P. 231 - 240.

8. Ostianu N.M. Raspredelenija m-mernyh linejnyh jelementov v prostranstve proektivnoj svjaznosti II. // Trudy geometricheskogo seminara. - T. 3, VINITI ANSSSR, - 1971, S. 95 - 114.

DOI: 10.18454/IRJ.2016.47.154 Шебзухов А.А.1, Василиади Р.В.2, Уруджев А.К.3, Симонян Д.А.4, Гаджиев З.Х.5

1 Студент, Физико-технический факультет, 2студент, Физико-технический факультет, 3ORCID: 0000-0002-1758-2436? студент, Физико-технический факультет, 4ORCID: 0000-0001-9633-7043, студент, Географический факультет, 5ORCID: 0000-0003-2123-1097, студент, Географический факультет, Кубанский Государственный Университет ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ НИЗКОЙ ЧАСТОТЫ НА ПЛАЗМУ КРОВИ

ЛАБОРАТОРНЫХ КРЫС

Аннотация

В данной работе исследовалось влияние ЭМП НЧ (электромагнитное поле низкой частоты) частотой от 5 Гц до 50 Гц на плазму крови лабораторных крыс. Для этого на хемилюминометре LUM-5773 исследовалась хемилюминесценция облучённых соответствующей частотой образцов разбавленной в 10 раз физраствором (NaCl 0,9%) плазмы крови, и с последующей стимуляцией образцов, разбавленной в столько же раз, как и плазма, перекисью водорода H2O2 с концентрацией 3%, для наиболее выраженного и ускоренного наблюдения протекания реакции окисления.

Ключевые слова: хемилюминесценция, плазма крови, электромагнитное поле низкой частоты.

Shebzuhov A.A.1, Vasiliadi R.V.2, Urudzhev A.K.3, Simonjan D.A.4, Gadzhiev Z.H.5

1Student, Physics and Technology Faculty, 2student, Physics and Technology Faculty, 3ORCID: 0000-0002-1758-2436, student, Physics and Technology Faculty, 4ORCID: 0000-0001-9633-7043, student, Faculty of Geography,

5ORCID: 0000-0003-2123-1097, student, Faculty of Geography, Kuban State University EFFECT OF ELECTROMAGNETIC FIELD ON LOW FREQUENCY BLOOD PLASMA

OF LABORATORY RATS

Abstract

In this paper we investigated the effect of EMF LF (low frequency electromagnetic field) frequency of 5 Hz to 50 Hz in the blood plasma of laboratory rats. For this purpose chemiluminometer LUM-5773 was investigated chemiluminescence irradiated appropriate frequency samples diluted 10 times with physiological saline (NaCl 0,9%) in blood plasma and followed by stimulation with samples diluted in the same number of times as the plasma, the hydrogen peroxide with the concentration of H2O2 3 %, and most pronounced for the accelerated oxidation reaction flow observations.

Keywords: chemiluminescence, blood plasma, the electromagnetic field of low frequency.

Известны многочисленные работы, в которых показана возможность изменения физико -химических свойств биосистем различных типов при воздействии электромагнитного поля низкой частоты (ЭМП НЧ) [1 - 5].

ПОДГОТОВКА ОБРАЗЦОВ

Плазма отделялась от цельной крови путем центрифугирования, в течении 15 мин прогонялась со скоростью центрифуги равной 1500 об/мин. По окончанию центрифугирования была получена чистая плазма. Для увеличения

44