CC BY
52далее все решаем методом возведения в степень, после получим корни , , . Делаем проверку:
+
0 = 0
- 1
Данный корень подходит.
Квадратный корень должен быть больше нуля, следовательно, не подходит.
Оставшийся корень подходит, следовательно, он является решением. Ответ: 1; 3.
Итак, уравнения, имеющие переменную под знаком корня, называются иррациональными уравнениями. Иррациональные уравнения решаются в основном возведением обеих частей уравнения в степень или введением новой переменной. Кроме того, пользуются и искусственными приемами решения иррациональных уравнений.
Библиографический список:
1. Википедия. Русскоязычный ресурс. - URL : https://ru.wikipedia.org/wiki/ (29.05.2018).
2. Мордкович, А. Г. Алгебра. 8 класс. - В 2 ч. - Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. 12-е изд. [Текст] / А. Г. Мордкович - М. : Мнемозина, -2010 - С. 215.
3. Сканави, М. И. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. 6-е изд. [Текст] / М. И. Сканави - М. : Наука, - 2013 - С. 608.
УДК 512
ОТНОШЕНИЕ ДЕЛИМОСТИ В КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ DIVISIBILITY RELATION IN THE RING OF INTEGERS
Майманова А. М., студент Байгонакова Г. А., канд. физ.-мат. наук, доцент ФГБОУ ВО «Горно-Алтайский государственный университет» Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск [email protected], [email protected]
Аннотация. В статье рассматривается тема делимости чисел, которая интересовала математиков еще с древних лет. Сейчас эта тема играет не меньшее значение. Знания делимости необходимы каждому человеку для простейших математических операций, не говоря уже о сложных алгебраических выражениях и алгоритмах.
Ключевые слова: элементарная логика, выражения, геометрия, теорема, делимость, задача.
Abstract. The article deals with number divisibility, which has interested mathematicians since ancient years. Now this topic is no less important. Knowledge of divisibility is necessary for each person for the simplest mathematical operations, not to mention the complex algebraic expressions and algorithms.
Key words: elementary logic, expressions, geometry, theorem, divisibility, problem.
Делимость - фундаментальное понятие алгебры, арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.
Из всех действий арифметики самое сложное - это деление. Возьмем хотя бы обращение с нулем. Для всех других арифметических действий нуль - равноправное число, но разделить на нуль нельзя никакое число, никакое алгебраическое выражение.
Вопросы делимости натуральных чисел рассматривались пифагорейцами. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел, дружественных чисел, фигурных чисел, простых чисел и др. [1].
Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль. Юный Паскаль очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Вообще, его пример - это классический случай детской математической гениальности. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машинку, прообраз арифмометра. В ранний период своего творчества разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: Натуральное число а разделится на другое натуральное число Ь только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число Ь, делится на это число.
Выражаясь простым языком, знания делимости необходимы каждому человеку для простейших математических операций, не говоря уже о сложных алгебраических выражениях и алгоритмах.
Знания понятия «признак делимости чисел» упрощают решение многих задач и помогают легко определить является ли число кратным заданному, не совершая при этом указанную операцию. Напомним некоторые из них.
Признак делимости на 2: число а - 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной. Например, в числе 29654 последняя цифра 4- она четная, следовательно 29654 - 2.
Признак делимости на 3: число а - 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 3. Например, число 513: 5 +1 + 3 = 9, 9 - 3 ^ 513 - 3.
Признак делимости на 4: число а - 4 только тогда, когда две его последние цифры - нули или составляют число, которое делится на 4. Например, число 14676: 76 - 4 ^ 14676 - 4 .
Признак делимости на 6: число а - 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3). Например, число 840: 840 - четное число, 8 + 4 + 0 = 12, 12 - 3 ^ 840- 6.
Признак делимости на 7: число а - 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7. Например, число 154: 15х 3 + 4 = 49, 49 - 7 ^ 154 - 7 .
Признак делимости на 8: число а - 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Например, число 4648:
648- 8 ^ 4648-8 .
Признак делимости на 9: число а - 9тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Например, число 12345678: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36, 36 - 9 ^ 12345678- 9.
Признаки делимости на 11: число а -11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11. Например, число 9163627:
|(9 + 6 + 6 + 7)-(1 + 3 + 2) = 22, 22 -11 ^ 9163627-11.
Признак делимости на 13: число а -13тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13. Например, число 845: 84 + 5 х 4 = 104,
104-13 ^ 845-13.
Признак делимости на 17: число а -17 тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17. Например, число 221: |22 - 5 х1| = 17, 17 -17 ^ 221-17 .
Признак делимости на 19: число а -19тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например, число 646:64 + 2 х 6 = 76, 76 -19 ^ 646 -19. [2]
Рассмотрим конкретный пример использования понятия «признак делимости чисел».
Пример 1: Доказать, что число 217 + 718 + 919 делится на 10.
Решение:
Представим 217 = 24 • 24 • 24 • 24 • 2. Число 2 имеет последнюю цифру 6 (2 = 16 ) . Тогда число 24 • 24 • 24 • 24 также оканчивается цифрой 6. В итоге получаем, что число
2 оканчивается цифрой 2.
718
Аналогично, представим число 7 в виде канонического разложения 718 = 74.74.74.74.72 . Число 74 оканчивается цифрой 1 . И, умножив на 72 , получаем, что последняя цифра в числе будет 9.
Тогда число 919 = 92. 92. 92. 92. 92. 92. 92. 92. 92. 92. 9. Так как 92 = 81, то последняя цифра числа будет равна 9. Теперь очевидно, что сумма цифр, одно из которых равно 2, а 2 других равны 9 делится на 10 (По признаку делимости на 10).
Знания по нахождению наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя играют важную роль в решении многих задач математики. С данными понятиями обучающиеся встречаются в шестом классе. При изучении темы «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями» дети учатся находить общий знаменатель двух или более чисел. С операциями сложения простых дробей обучающиеся обычно легко справляются, но когда нужно сложить дроби, где в знаменатели стоят большие цифры, есть вероятность допустить вычислительную ошибку. А вот найденное НОК чисел, что в этом случае равнозначно наименьшему общему знаменателю, облегчит вычисления и приведет к более быстрому решению примера.
Понятие «наибольший общий делитель чисел» используется при изучении темы «Сокращение дробей». Сокращение дроби можно выполнить гораздо проще, если мы найдем наибольший общий делитель чисел. Разделив числитель и знаменатель дроби на это число, получим несократимую дробь.
Наибольшим общим делителем(НОД) для двухцелых чисел a и b. Называется наибольший из ихобщих делителей.Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел a или b. Не равно нулю.
Например, для чисел 70 и 105 наибольший общий делитель равен 35.
Существуют различные обозначения наибольшего общего делителя для чисел a и b: 1) НОД (a; b), 2) (a; b), 3) Gcd (a; b) (От англ. Greatest common divisor), 4) Hcf(a; b) (Отбрит. Highest common factor).
Перечислим основные свойства наибольшего общего делителя чисел:
1. Наибольший общий делитель чисел a и b делится на любой общий делитель чисел a и b. Пример: для чисел 12 и 18 НОД = 6, он делится на все общие делители чисел a и b : 1, 2, 3, 6.
Следствие 1: множество общих делителей a и b совпадает с множеством делителей НОД (a; b).
12. Если a - b , то НОД (a; b) = b.
Наименьшим общим кратным двух целых чисел a и b есть наименьшее натуральное число, которое делится на a и b без остатка. Наименьшее общее кратное для нескольких чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел. Пример: для чисел 16 и 20 наименьшее общее кратное равно 80.
Возможные обозначения наименьшего общего кратного для чисел a и b: 1) НОК (a; b), 2) (a; b), 3) Icm (a; b) (От англ. Least Common Multiple).
Основные свойства наименьшего общего кратного чисел:
1. Коммутативность: НОК (а; Ь) = НОК (Ь; а).
2. Ассоциативность: НОК (а; НОК (Ь; с)) = НОК (НОК (а; Ь); с).
3. Связь с наибольшим общим делителем НОД (а; Ь):
а+ъ\
4. НОК =—!—^^
НОД (а; Ъ)
5. Наименьшее общее кратное двух целых чисел а и Ъ является делителем всех других общих кратных а и Ъ. Более того, множество общих кратных а, Ъ совпадает с множеством кратных для НОК(а, Ь) [3].
Понятия НОД и НОК часто используются при решении текстовых задач.
Пример 2: Ученики 5 «А» класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг. Сколько было пятиклассников, и сколько учебников купил каждый из них?
Решение:
Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем: 203 = 1 • 7•29.
Из практических соображенийследует, что учебников не может быть 29. также число учебников не может равняться 1, т.к. в этом случае учеников было бы 203. Значит, пятиклассников - 29 и каждый из них купил по 7 учебников.
Ответ: 29 пятиклассников; 7 учебников.
Пример 3: Тиран Поликрат однажды спросил у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор - половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины». Сколько учеников было у Пифагора?
Решение:
Мы знаем, что число учеников Пифагора делится нацело на 2, 4, 7. Какое наименьшее число делится на все эти числа? Если число делится на 4, оно же делится и на 2. Поэтому двойку пока что принимать в учет не надо — у нас и так есть четверка. Чтобы число делилось на 4 и на 7, оно должно делиться на 28. Стало быть, мы уже знаем, что число учеников Пифагора делится на 28.
Допустим, что оно равно 28, и посмотрим, что у нас при этом получится. Тогда математику изучает 14 человек, тайны природы исследует 7 человек, силу духа упражняет 4 человека. Всего получилось 14 + 7 + 4 = 25 человек.
Неучтенными оказались 28 - 25 = 3 человека. Но именно о 3 учениках говорит Пифагор — стало быть, у нас все сошлось, и мы уже нашли правильный ответ: у Пифагора было 28 учеников
Ответ: 28 учеников было у Пифагора.
Таким образом, знания об отношении делимости в кольце целых чисел расширяют представления о множестве чисел, позволяют глубже усвоить материал, связанный с операцией деления.
Библиографический список:
1. Байгонакова, Г. А. Решение задач повышенной сложности (стереометрия) : учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений [Текст] / Г. А. Байгонакова, А. А. Темербекова. - Горно-Алтайск : БИЦ ГАГУ, 2017. - 108 с.
2. Фаддеев, Д. К. Лекции по алгебре : Учебное пособие. 5-е изд., стер. [Текст] / Д. К. Фаддеев. - СПб. : Издательство «Лань», 2007. - 416 с.
3. Пуркина, В. Ф. Алгебра : учеб. пособие [Текст] / В. Ф. Пуркина, Е. В. Кайгородов. - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2013.
4. Нестеренко, Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений [Текст] / Ю. В. Нестеренко - М. : Издательский центр «Академия», 2008. - 272 с.
