Отклонение от закона Видемана–Франца в субмикронной цилиндрической проволоке Текст научной статьи по специальности «Физика»

помощью переключателя «ПРМ/ПРД» производится выбор соответствующего канала. При нажатии на кнопку «Нач. измерение» измеряются СВч параметры при нулевых значениях фазы и амплитуды, а также КСВ входа и выхода и подсчет неравномерности коэффициента передачи. Нажатием на кнопку «Измерение» производится измерение СВч параметров при различных значениях фаз и аттенюаторов, а также автоматически обрабо-тываются результаты.

С помощью кнопки «Измерение ко-эфф_шума» производится измерение коэффициента шума. Некоторые параметра снабжены цветовыми индикаторами. Если измеренные значения не соответствуют техническому заданию, то индикаторы изменят свой цвет на красный. Полный отчет об измеренных параметрах отображается в поле «Результат».

С помощью кнопок «Сохранить», и «Печать» можно соответственно сохранить результаты измерений в формате .txt или распечатать отчет, который представлен на рис. 4.

Выводы

Создание производственно-технологического и испытательного комплекса позволило автоматизировать процесс измерения и статистической обработки измеренных значений параметров субмодулей АФАР. Разработанное программное обеспечение для измерительного стенда позволило производить измерения всех требуемых параметров и сократило время проверки одного модуля до 20-30 сек, что значительно повысило производительность, а также облегчило контроль качества производимой продукции и дало возможность осуществлять управление качеством, а также уменьшило стоимость продукции.

Библиографический список

1. Жерновенков, В.А. Алгоритмы и программное обеспечение стендов для измерения СВЧ параметров модулей АФАР / В.А. Жерновенков // Электронная техника. - М.: НПП Исток, 2011.

2. Евдокимов, Ю.К. LabView для радиоинженера: от виртуальной модели до реального прибора. Практическое руководство в программной среде LabView / Ю.К. Евдокимов, В.Р. Линдваль, Г.И. Щербаков. - М.: ДМК Пресс, 2007.

ОТКЛОНЕНИЕ ОТ ЗАКОНА ВИДЕМАНА-ФРАНЦА

в субмикронной цилиндрической проволоке

Э.В. ЗАВИТАЕВ, проф. каф. физикиМГУЛ, д-р физ.-мат. наук,

О.В. РУСАКОВ, ст. преподаватель каф. математики и физики МГОГИ,

A. А. ЮШКАНОВ, проф. каф. теоретической физикиМГОУ, д-р физ.-мат. наук,

B. Н. ХАРЧЕНКО, проф. каф. физики МГУЛ, д-р техн. наук

[email protected]

ход, основанный на решении кинетического уравнения Больцмана для электронов в металле при произвольном характере их отражения от внутренней поверхности проволоки.

В работах Видемана и Франца в 1853 г. экспериментально установлен закон, согласно которому отношение коэффициента теплопроводности X к коэффициенту удельной электрической проводимости о для всех металлов при одной и той же температуре одинаково и увеличивается пропорционально термодинамической температуре

Электрические свойства проводников, характерный линейный размер которых сравним с длиной свободного пробега электронов, существенно отличается от свойств «массивных» проводников [1, 2].

В работе [3] рассчитана высокочастотная электрическая проводимость тонкой цилиндрической проволоки (отношение ее радиуса к длине много меньше единицы). В работе [4] решена задача о влиянии на электрическую проводимость цилиндрической проволоки продольного магнитного поля. В упомянутых работах применяется под-

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2012

53

фйстД

1 / я = L„ T, (1)

где в законе Видемана-Франца L0 - число Лоренца, равное 3-1(п k)2e2, k - постоянная Больцмана, e - заряд электрона и T - абсолютная температура.

Исследование отклонения от закона Видемана-Франца до сих пор остается актуальной задачей, что подтверждается широким спектром научных публикаций, например [5-8].

Величины отклонения от этого закона при низких температурах могут принимать существенные значения [9]. В данной работе мы проведем учет подобного эффекта, к которому в последнее время наблюдается заметный интерес.

Заметим, что задачи о проводимости субмикронных металлических проволок становятся особенно актуальными в связи с бурным развитием микроэлектроники, где такие проволоки широко применяются.

В настоящей работе моментным методом рассчитана функция распределения, описывающая линейный отклик электронов в однородной цилиндрической проволоке на переменное электрическое поле, ориентированное вдоль оси симметрии проволоки. По найденной функции распределения удается рассчитать зависимость локальной и интегральной проводимостей проволоки от «коэффициента Видемана-Франца» (отношения коэффициента теплопроводности к произведению коэффициента удельной электрической проводимости на число Лоренца и на абсолютную температуру металла), от отношения радиуса проволоки к длине свободного пробега электронов и частоты, а также от коэффициента зеркальности металла.

Постановка задачи

Рассматривается цилиндрическая проволока из немагнитного металла радиуса R и длины L (считаем, что L >> R), к концам которой приложено переменное электрическое напряжение частоты ю. Принимается, что направление электрического поля совпадает с осью симметрии проволоки. Скин-эффект не учитывается, т. к. радиус проволоки R предполагается малым по сравнению с характерной глубиной скин-слоя 5.

Однородное периодическое по времени электрическое поле

E = E0exp(-rat) (2)

действует на электроны проводимости (они рассматриваются как вырожденный ферми-газ) внутри проволоки и вызывает отклонение f их функции распределения f от равновесной фермиевской f

Ar,v) = f0(s) + ./K^vX s = rnv2/2,

где r - радиус - вектор (начало системы координат выбирается на оси симметрии проволоки); v - скорость электрона; m - эффективная масса электрона в металле.

Это приводит к возникновению высокочастотного тока плотности

j = e

! v/

2d3 (mv) h3

2 e

r m к h

| ! vfd'v,

(3)

где h - постоянная Планка [10].

В формуле (3) используется стандартная нормировка функции распределения f, при которой плотность электронных состояний равна 2/h3. Для равновесной функции /0(s) далее используется ступенчатая аппроксимация [8]:

I 1, 0 < 8 < 8 р

fo (8) = 0 (8р -8) = \ F ,

l0, 8р < 8

где 8 = mvF2/2 - энергия Ферми (vF - скорость Ферми).

Предполагается, что ферми-поверх-ность имеет сферическую форму.

Задача сводится к отысканию отклонения f1 функции распределения электронов от равновесной f возникающего под действием высокочастотного поля (2). В линейном приближении по электрическому полю функция/! удовлетворяет кинетическому уравнению [11-13]

д/ / f

-ш f + v^1 + e(vE)^0- = -±, (4)

дг д8 т

где предполагается стационарная зависимость от времени (f ~ exp(-i ш t)), а интеграл столкновений взят в приближении времени релаксации электронов т.

54

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2012

Кинетическое уравнение в т-прибли-жении соответствует случаю, когда рассеяние электронов носит чисто изотропный характер. Данный характер рассеяния электронов реализуется при рассеянии на примесях. Для чистых металлов при низких температурах оказываются существенными электрон - электронные столкновения. При таких столкновениях, суммарный импульс электронной подсистемы сохраняется и соответствующее рассеяние электронов не носит изотропный характер. По этой причине одной теплопроводностью нельзя выразить всех кинетических характеристик металла, и необходимо изменить правую часть уравнения (4), моделирующую интеграл столкновений, чтобы описать ситуацию, при которой рассеяние электронов уже не является чисто изотропным. Интеграл столкновений, учитывающий электрон - электронные столкновения впервые был предложен в [14]. Кинетическое уравнение с учетом данного интеграла столкновений имеет вид

f f + ( E) f

dt dr ds

1

т

f

3 g 0 m

4n vp

dfo f d 3

v— Iv fdv ds J

(5)

Введем безразмерный коэффициент W, который назовем коэффициентом Ви-демана-Франца, равный W = X / (T) = 1- g0. (g0 - числовой параметр, 0 < g0 < 1). При выполнении закона Видемана - Франца W = 1 и g0 = 0 (уравнение (5) переходит в (4)), это соответствует тому, что электроны при рассеянии полностью утрачивают свой первоначальный импульс, т.е. рассеяние происходит изотропно. При g0 = 1 электроны в результате рассеяния сохраняют свой импульс, то есть трение электронного газа о кристаллическую решетку отсутствует.

Заметим, что

ДфЭст

n - концентрация электронов проводимости в металле.

Функция распределения

Преобразуем кинетическое уравнение (5) используя функцию

fi(r,v) = g(r,v)5(s - sF)exP(-/® ^ (6)

в результате получим новое уравнение

dg g

-mg + v— - e vE0 = -—-dr т

3 gpm

4n v3F т

v I v g S(s-s р) d;

v.

Перейдя в последнем уравнении к цилиндрическим координатам [15], выбрав направление полярной оси Z так, чтобы она совпадала с осью симметрии проволоки, имеем

dg v9 dg dg

-mg + vr — + —— + v, — +

+

dr

v» dg vrv9 dg

r d vr

g 3 g0m

r d v„

r дф dz

- e v E =

|vz g S(s-sр) d3v. (7)

v v

л 3 z | z

т 4 n vF т

Решение уравнения (7) проведем с помощью моментного метода [15], согласно которому функция g в приближении двух моментов представляется в виде

g = ai(r)vz + a2 (r)vz vr . (8)

Найдем соответствующие частные производные от выражения (8) и подставим их в уравнение (7). В результате получим

V(ai(r )v z + a2 (r )v z vr ) + vr v z

da1 (r)

dr

+

2 da2 (r) \v

+vr v,

r z

ф z

dr

a2 (r )-ev zE0 =

3gpm 4nv3 т

X

r

W = g0/g,

где g0 = ne2x/m - объемная статическая удельная проводимость металла при отсутствии отклонения от закона Виде-мана-Франца;

XE I E (ai(r)vz + a2 (r) vz vr ) 8(s - sF )d3 v . (9)

Здесь мы учли, что v = 1/т - /ш. Вычислив интеграл, стоящий в правой части уравнения (9) (учитывая связи

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2012

55

фйстД

vr = v±cosj, уф = v±sinj, v±2 + v2 = vF2), имеем

V(ai(Г)Vz + a2 (Г)Vz Vr ) + Vr Vz

da1 (r) dr

+

2 da2 (r) vj v

+ vr v z

r z

dr

+ -JL-L a2(r) - e v zE0 =

= - S°vLa^(r).

(10)

Умножим выражение (10) на vz и проинтегрируем по пространству скоростей

f

v a

1(r) -eE0 + — ai(r) IJv2d3v +

+

v a2 (r) + IJ v2 vrd 3 v +

dr

+

da2 (r) Г r2„2,f3 dr

J v 2 v2 d 3v +

+^ J vj v2 d 3v = 0.

r

Далее вычислив значения всех четырех интегралов и подставив их в последнее равенство, приходим к уравнению

1 2 da2 (r)

v a1 (r) - eE0 +— vF—

7

dr

+

+IvF = - gL ax (r). (11)

7 r т

Еще одно уравнение для нахождения моментных коэффициентов a1(r) и a2(r), найдем, умножив (10) на vv и интегрируя по пространству скоростей

da1 (r )

dr

= -V a2 (r).

(12)

Объединим уравнения (11) и (12) в систему, разрешив ее относительно a1(r)

д 2a1 (r) 1 da1 (r)

dr2

+

7v2

f

v

F

go

1 +

V VTJ

r dr

a1(r) = -

7v eE„

v

F

r

т

Перейдем в полученном уравнении к новой безразмерной переменной 5 = r/R, также учтем, что

R

R

1

vFV v F

----i ю

VT J

= x - iy,

тогда

d 2a1

1 da1 +------1

5d5

7 z2 p2 a1

7zeE0 R

v F

, (13)

где

e

1+7g0

В результате для определения моментного коэффициента a1(£) мы получили неоднородное модифицированное уравнение Бесселя, частное решение которого

a1 Л

eE0 R ZvF Р2

(14)

Общее решение однородного модифицированного уравнения Бесселя

a1

Л10 (z pV7 5) + л2 K0 (z pV7 5), (15)

где

1П

I0 (z $475) = — J exp(5 z $47cos a) da, (16) ni

K0 (z $475)

J

cos(5 z $471)

4t2+1

dt . (17)

Учитывая то обстоятельство, что при £, = 0 плотность тока внутри проволоки не должна быть расходящейся функцией, константу А2 естественно положить равной нулю. В результате решение (13) примет вид

a (5)=Л0+Ai0 (z pV7 5), (18)

где Л = Л1.

Обезразмерим уравнение (12) и воспользуемся им для нахождения моментного коэффициента a2(5). В результате получим

a2 (5) = - ЛЛвЕ I1 (z pV7 5), (19)

v F

56

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2012

где

I (z Рл/7 5) =

1 "

= —I exp(5 z pV7 cos a)cos a d a. (20) П 0

Однозначное решение поставленной задачи возможно при выборе граничного условия для неизвестной функции f1(r, v) на цилиндрической поверхности металлической проволоки. В качестве такого принимаем условия зеркально-диффузного отражения электронов от поверхности (r = R):

| Vz.f1 (Vr)d3v = q | Vzfi(-Vr)d\ (21)

vr <0 vr <0

где v и v - соответственно, компоненты скорости электрона в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии проволоки и вдоль оси симметрии проволоки;

q - коэффициент зеркальности (вероятность зеркального отражения): 0 < q < 1.

При q = 0 получаем условие диффузного отражения электронов проводимости от внутренней поверхности металлической проволоки, а при q =1 условие чисто зеркального отражения. При значениях q Ф 0 и q Ф 1 получаем различные варианты смешанного зеркально-диффузного отражения электронов.

Граничное условие (21) позволяет получить выражение, связывающее значения моментных коэффициентов а1(5) и a2(5) на границе проволоки. После проведения соответствующих вычислений, имеем

- ai(1)(1 - q) = ^ a2(1)(1 + q). (22)

Учитывая (18) и (19), получим, при 5 = 1, для определения константы A выражение

A = V A0, (23)

где

V = -

q -1

1 (1 - q)Io (z Рл/7) + фф (1 + q)/i(z Рл/7)

3

ДфЭст

Соотношения (14), (18), (19) и (23) полностью определяют отклонение (6) функции распределения от равновесной в случае зеркально-диффузного отражения электронов от внутренней поверхности цилиндрической проволоки с учетом отклонения от закона Ви-демана-Франца.

Расчет проводимости

Функция (6) позволяет определить плотность тока (3) внутри проволоки. При вычислении интеграла (3) удобно перейти к цилиндрическим координатам, как в пространстве координат, так и в пространстве скоростей. Вектор E параллелен оси Z, ось симметрии проволоки совпадает с осью Z.

Поле (2) в цилиндрических координатах имеет лишь z - компоненту, соответственно, и плотность тока (3) обладает лишь z - компонентой (линии тока являются прямыми параллельными оси Z).

В силу симметрии задачи интегрирования по всему диапазону скоростей v заменяются интегрированием по положительному диапазону и результат удваивается, поэтому, подставляя пределы интегрирования и воспользовавшись свойствами 5-функции [3, 4], приходим к выражению

4em2 , . ч

Jz =exP(-i ) х

h

х

v_f 2 п+да v2

z

JJJ

0 0 0

8(v, v F - vi)

4

х

vF- vi

x[a1 (5) + a2 (5)v± cos ф]у± d v± d ф d v z

8nem2 v3

F

3 h3

a1 (5)exp(-i mt).

Окончательно получим

ne , .

Jz = — exp(-i ю t) ax (5). (24)

m

Здесь мы учли, что концентрация электронов n в проволоке определяется по стандартной формуле, согласно которой

,m3f, ,з m3 4п v3

2^J f0d v = 2

n

' F

h 3

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2012

57

фйстД

Воспользовавшись законом Ома в дифференциальной форме, найдем удельную электрическую проводимость субмикронной проволоки

а =

enai (5) mEn

(25)

Учитывая выражения (14), (18) и (23), получим

а = ао~Х2(1 + VIо(z5)А (26) z Р

где а0 = nelxlm - объемная статическая удельная проводимость металла при отсутствии отклонения от закона Видемана-Франца, а интеграл I0 (z р77 5) определен равенством (16).

Воспользовавшись (23), получим выражение для расчета безразмерной удельной электрической проводимости субмикронной проволоки

а (X X 5 ^, go )

x

(

X

1 +

z в2

(q -1) Iо (z pV7 5)

X

V

3 (1 - q) I о (z Рл/7) +

+ A7 (1 + q) Ii (z рУ7)

. (27)

Jy

Проинтегрировав выражение (24), определяем полный ток через поперечное сечение цилиндрической проволоки

f л л \

I = 2^-R 2

m

А, Л

V

2 zpV7

Ii (zpV7)

.(28)

У

Формально воспользовавшись законом Ома в виде I = G U, где U - напряжение на концах проволоки, получаем формулу для расчета интегральной проводимости субмикронной проволоки G (электрическое поле внутри проволоки однородное, поэтому U = E L)

G

2пneR2

mLEn

Л +_ л

2 z

\

Р^

Ii (z Рл/7)

3

Преобразуем полученное выражение, используя равенство (23)

G=

2

пneR Л)

mLE

1+

V

2V

z рУ7

Ii (z Рл/7)

Учитывая (14), получим

G

G0 X

f

z Р2

1+

2V

-Ii (z Рл/7)

V

(29)

z РУ7 ,

где G0 = kR2gJL, а интеграл Ii(zРУТ) определен равенством (20) при 5 = 1.

Снова воспользовавшись (23), получим выражение для расчета безразмерной интегральной электрической проводимости субмикронной проволоки

G (x ^, q, go)

x

X

(

i+■

2

z Р2

(q -1)Ii(z Р-Ц)

:Рл/7

i (1 - q) Iо (z ^/7) + A7 (1 + q) 11 (z ^/7)

. (30)

X

3

Заметим, что при проведении численных расчетов результаты, полученные после применения формул (27) и (30), в случае отсутствия поправки к закону Видемана-Франца, когда g0 = 0 (при этом коэффициент Видемана-Франца W = 1), совпадают с результатами работы [3], в которой использовался другой математический подход к проблеме.

Библиографический список

1. Петров, Ю.И. Физика малых частиц / Ю.И. Петров. - М.: Наука, 1984. - 360 с.

2. Завитаев, Э. В. Высокочастотная проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла / Э.В. Завитаев, А. А. Юшканов // Микроэлектроника. - 2008. - Т 37, № 6 - С. 429-438.

3. Завитаев, Э. В. Зависимость электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки в продольном магнитном поле от характера отражения электронов / Э. В. Завитаев, А. А. Юшканов // ЖЭТФ. - 2006. - Т 130, № 5 (11) - С. 887-894.

4. Interaction corrections to the thermal transport coefficients in disordered metals: quantum kinetic equation approach / G. Catelani, I. L. Aleiner // Препринт. A ar Xiv: cond-mat/0405333. - 2004. - P. 35.

58

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2012