Магнитное поле тонкого металлического слоя Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.23+539.216.1+537.311.31 DOI: 10.18384/2310-7251-2018-1-63-72

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОНКОГО МЕТАЛЛИЧЕСКОГО СЛОЯ

Завитаев ЭВ.1, Русаков ОВ.1, Чухлеб ЕЛ.2

1 Государственный гуманитарно-технологический университет

164010, Московская обл., г. Орехово-Зуево, ул. Зелёная, д. 22, Российская Федерация

2 Муниципальное учреждение дополнительного образования

Центр дополнительного образования «Малая академия наук Импульс» 142432, Московская обл., г. Черноголовка, Школьный бульвар, д. 1, Российская Федерация

Аннотация. В статье приведён расчёт магнитной индукции при произвольном отношении длины свободного пробега электронов к толщине слоя. В качестве граничных условий задачи приняты условия зеркально-диффузного отражения электронов. Рассмотрена макроскопическая асимптотика и проведён анализ полученных результатов.

Ключевые слова: тонкий слой, плотность тока, магнитная индукция.

MAGNETIC FIELD OF A THIN METAL LAYER

E. Zavitaev1,O. Rusakov1, E. Chukhleb2

1 State University of Humanities and Technologies

ul. Zelenaya 22,164010 Orekhovo-Zuyevo, Moscow Region, Russian Federation

2 Municipal Institution of Additional Education, The Center of Additional Education' Junior Academy of Sciences Impulse'

Shkol'nyi bulv. 1,142432 Chernogolovka, Moscow Region, Russian Federation

Abstract. The paper presents the calculation of the magnetic induction at an arbitrary ratio of the free path length of electrons to the thickness of the layer. As boundary conditions of the problem the conditions of mirror-diffuse reflection of electrons are accepted. The macroscopic asymptotics is considered and the analysis of the obtained results is carried out.

Key words: thin layer, current density, magnetic induction.

Введение

В современной микроэлектронике наиболее востребовано исследование электромагнитных свойств малых проводящих объектов [1]. Такие объекты широко применяются при создании интегральных микросхем, изготовлении защитных покрытий и экранов. В частности, это имеет прямое отношение к расчёту электромагнитных характеристик тонкого проводящего слоя [2-6].

© Завитаев Э.В., Русаков О.В., Чухлеб Е.П., 2018.

В работе [4] была построена модель локальной электрической проводимости плоского слоя из металла с учётом различных коэффициентов зеркальности его поверхностей и проанализирована зависимость действительной и мнимой части функции проводимости от частоты объёмных и поверхностных столкновений электронов.

Однако изучение электромагнитных свойств тонкого металлического слоя будет неполным, если не рассмотреть распределение в пространстве создаваемого им магнитного поля.

В данной работе на основе кинетического подхода выполнен расчет индукции магнитного поля внутри тонкого слоя из металла, как функции текущего расстояния, отсчитываемого от центральной плоскости слоя. Поскольку толщина такого слоя может быть сравнимой со средней длиной свободного пробега Л, то следует подробно изучить влияние поверхностного рассеяния электронов на распределение магнитного поля.

Заметим, что в публикуемой статье не учитывается проявление скин-эффекта и отклонение от закона Видемана-Франца (это является темой отдельного исследования).

Также не принимаются во внимание квантовые эффекты, которые существенны, если характерный линейный размер проводящего объекта будет одного порядка с длиной волны де Бройля для электронов. Электромагнитные свойства квантового слоя в диэлектрической среде изучались в работе [7].

Математическая модель и расчёт

Пусть имеется тонкий металлический слой толщиной а, к концам которого приложено переменное электрическое напряжение частоты а. Будем считать, что электрическое поле параллельно слою и направлено вдоль координатной оси X, координатная ось Z направлена вглубь слоя. Напряжённость электрического поля изменяется с течением времени по закону:

E = E0 exp (-iat).

В отсутствии внешнего электрического поля равновесное распределение электронов слоя по энергиям описывается с помощью функции Ферми-Дирака:

1

fo () = -

exp

V kT У

+1

где в - кинетическая энергия, ц - химический потенциал, к - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура.

Мы считаем зависимость кинетической энергии электронов от скорости V квадратичной:

2

ту £ = -

2

где m - эффективная масса электрона.

При любой температуре, когда металл является твёрдым телом, его электроны можно рассматривать как вырожденный ферми-газ (при этом формально 7^0). Поэтому для равновесной функции /о(е) далее используется ступенчатая аппроксимация:

г [1,0 <£<£, /0 = 0(-£) = | о, Ef <Е

где £F = mvF - энергия Ферми (vF - скорость Ферми). Причём длина среднего

свободного пробега электронов Л и электронное время релаксации т связаны соотношением: Л = vF т.

Также для функции/0(е) имеем:

/о = п( -£),

( ) = Jl,х > 0,

Ц(%)=[0,x < 0;

Э/0 Э/0 Э£ s/ ч V- = = -5(£f -£)mvx dvx d£ dvx

(здесь S - дельта-функция Дирака).

При наличии внешнего электрического поля функция распределения электронов по скоростям/(z,v) подчиняется кинетическому уравнению Больцмана [8]:

д/ + v д/ + eE Э/0 = / - /0

+v^ — +—-— =--, (1)

dt dz m dvx T

где e - заряд электрона, Vz и vx - соответственно, проекции скорости электронов проводимости на координатные оси Z и X.

Линеаризуем (1) по внешнему полю E. При этом функция / может быть записана в виде:

/ (z, V ) = /0 (£) + /1 (z, v),

где/1(z,v) - малое отклонение/(z,\) от/0(е).

Тогда уравнение Больцмана в приближении времени релаксации электронов имеет вид:

Э/1 eE Э/0 /1

vz = +—v--2Ю/1 = -—. (2)

dz m dvx T

Общее решение уравнения (2):

/1 (z, V ) = — ^[1 + 9(v )exp

m dvx I

/ (1 ^ \

z

-- --Zffl

^ vz /

Зададим следующие граничные условия с учётом того, что ql и q2 - коэффициенты зеркальности верхней и нижней поверхностей слоя:

/1 (,£ = а) = ql/1 (-уг,£ = а),у2 > 0 /1 (,£ = 0) = q2/1 (-у2,£ = 0)) < 0.

Функция fi(z,v) распадается на две функции:

( _ (

f+(z, v ) = m f |l + Ф*(т)

m dv 1

exp

2

1

— zffl

\\

v vz V l j j

f-(z, v ) = m f jl + »-(v)

m dvx [

exp

^fl -z^

V К 2

\\

1

--iffl

VT yy

>, Vz > 0,

>, Vz < 0.

Для удобства введём обозначения:

i 1 \

Q = -fl-

VF

1

— iffl

VT J

= A-i¥,

(3)

При

Тогда:

Л =

етЕ df0 m dvx

z = 0, f + = q2fi (-vz), z = fl, f- = qif+(-Vz).

[l + ф+ (vz ) = q2 (l + Ф (-Vz )exp(-Q)), 1 + ф- (vz) = qi (l + ф+ (-Vz) exp (Q)).

Из выражения (4) находим:

q2 (l + ql exp (-Q)) - (l + q2 exp (-Q))

Ф+ (vz ) = ■

Ф- (vz ) =

l - qlq2exp (-2Q) ql (l + q2 exp (-Q)) - (l + ql exp (-Q))

l - qq exp (-2Q) При этом выражение (3) примет следующий вид:

(4)

tf(z,v) = AIi + »(1 + qiexp<-Q))-.<1 + »expexp(-Q,v, >0,

exp

1 - q1q2 ехр (-20а) Г ql (1 + q2 ехр (-0))- (1 + ql ехР (-0))

/1 (, V ) = А 1 + —г

I 1 - qlq2exp (-20)

Для расчёта плотности тока будем использовать формулу: ) = вн{ V > = еп [I/0^3V]- |/1 vd3V,

1 - z' \

Q

v v aJ J

-, v, < 0.

где n - концентрация электронов проводимости, которая определяется стандартным образом, исходя из свойств распределения Ферми-Дирака,

„ m3 г r ,3 m3 4nvp

" =2 m' f°d v=2 tf-T •

где й - постоянная Планка.

Для нахождения плотности тока j(z) удобно перейти в сферическую систему координат (у,0,Ф), с учётом того, что Vz = v • cos(0) = vf • cos(0):

j(z) = 2e m E [dv [dqiv3 cos2 (Ф)-^ x и3 J J dv

h3

X

j sin3 (0)(l + (p+(v, )exp (-Qz/cos (0)))d0

+

+

j sin3 (0) 1 + 9-(v,)

exp

'1 - z4

Q

v V a j

/cos(0)

Л Л

d0

J J

(5)

Преобразовав (5), можно получить аналитическое выражение для плотности тока внутри слоя как функции безразмерного расстояния до его верхней поверхности ^ = z/a:

п

3ne2a „г , Л jx = --— EI sin3 б х

4wvp Q

о

2 +

q2 (i - exp (-Q / cos 0)+q1 exp (-Q/cos 0))-1

1 - q1q2 exp (-2Q / cos0)

q1 (1 - exp (-Q / cos0) + q2 exp (-Q / cos 0))-1 f + г X exp

1 -q1q2 exp(-2Q/cos0)

í r\V. \

Q^

X exp

V cos 0

-Q(1 4) '

cos 0

+

d0.

Вектор магнитной индукции B внутри тонкого металлического слоя рассчитаем с помощью теоремы о циркуляции. При её применении мы будем исходить из того, что распределение тока по сечению слоя является неоднородным:

ф Bydl = |o JjxdS

(цо - магнитная постоянная вакуума).

Применив теорему к замкнутому контуру в виде прямоугольника, который лежит в плоскости YZ, получим:

By =J jxdz,

2+zb

2

где новая координата zв, через которую задаются пределы интегрирования, отсчитывается от центральной плоскости XY слоя.

Для дальнейших вычислений и анализа результатов удобно ввести «безразмерную координату индукции» б = zв /а. Используя такое обозначение, мы получаем следующую формулу для расчёта магнитной индукции внутри слоя в рамках кинетического подхода:

1 S -+8

Bk =|0a J jxdt,.

2 1

(7)

В случае а >> Л (Д^^) из (7) можно получить макроскопическую асимптотику магнитной индукции. После проведения несложных вычислений имеем:

_ ^0пв2и2Е5

вт — ~ .

уРт11

Анализ результатов

Проведём численный расчёт магнитной индукции тонкого металлического слоя. Для этого удобно предварительно выполнить стандартную процедуру записи формулы (7) в безразмерном виде.

На рис. 1 представлена зависимость отношения Б модуля магнитной индукции тонкого слоя Бк к модулю магнитной индукции макроскопического слоя Бт от «безразмерной координаты индукции» б при различных значениях параметров Д, q1 и q2. Для всех кривых на рисунке ^ = 1, q1 = q2 = 0. Причём для кривой 1 - Д1 = 1, для кривой 2 - Д2 = 2, для кривой 3 - Дз = 3.

Рис. 1. Зависимость отношения Б модуля магнитной индукции тонкого слоя к модулю магнитной индукции макроскопического слоя от «безразмерной координаты индукции» 5.

Из рис. 1 видна тенденция уменьшения модуля магнитной индукции тонкого металлического слоя по отношению к индукции макроскопического слоя при переходе от его центральной плоскости к периферии. Данная тенденция имеет место при произвольных значениях параметра Д, который выражает собой степень различия толщины слоя а и средней длины свободного пробега электронов Л внутри него. Такое поведение кривых объясняется учётом рассеяния электронов на нижней и верхней поверхностях слоя.

Рис. 2. Зависимость отношения В модуля магнитной индукции тонкого слоя к модулю магнитной индукции макроскопического слоя от безразмерной обратной длины свободного пробега электронов Д.

На рис. 2 приведено отношение модуля магнитной индукции тонкого слоя Bk к модулю магнитной индукции макроскопического слоя Bm как функции параметра Д. Для всех кривых на рисунке ^ = 1, q1 = q2 = 0. Причём для кривой 1 - 61 = 0, для кривой 2 - 62 = 0,4, для кривой 3 - 63 = 0,49.

Из анализа хода кривых можно сделать вывод об их нетривиальном поведении в области значений параметра Д порядка единицы, то есть, когда толщина слоя сравнима со средней длиной свободного пробега электронов Л в нём. Такое поведение кривых, по-видимому, связано с резонансными эффектами, которые наблюдаются при отражении электронов проводимости от поверхностей слоя. Заметим, что картина значительно усложняется, если коэффициенты зеркальности различны. В этом случае распределение магнитного поля внутри слоя становится несимметричным.

Статья поступила в редакцию 19.02.2018 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Петров Ю.И. Физика малых частиц. М.: Наука, 1982. 360 с.

2. Уткин А.И., Юшканов А.А. Влияние коэффициентов зеркальности на взаимодействие Н-волны с тонкой металлической плёнкой // Оптика и спектроскопия. 2014. Т. 117. № 4. С. 650-653.

3. Уткин А.И., Юшканов А.А. Влияние коэффициентов зеркальности на проводимость тонкого металлического слоя в случае неоднородного, периодического по времени электрического поля // Микроэлектроника. 2016. Т. 45. № 5. С. 386-395.

4. Уткин А.И., Завитаев Э.В., Юшканов А.А. Расчёт электрической проводимости тонкого металлического слоя в случае различных коэффициентов зеркальности его поверхностей // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2016. № 9. С. 85-91.

5. Уткин А.И., Юшканов А.А. Распределение электрического тока в тонком металлическом слое при различных коэффициентах зеркальности на поверхностях // Журнал технической физики. 2016. Т. 86. № 10. С. 15-19.

6. Кузнецова И.А., Романов Д.Н., Савенко О.В., Юшканов А.А. Расчёт высокочастотной электропроводности тонкого полупроводникового слоя в случае различных коэффициентов зеркальности его поверхностей // Микроэлектроника. 2017. Т. 46. № 4. С. 275-283.

7. Бабич А.В., Погосов В.В. Квантовая металлическая плёнка в диэлектрическом окружении // Физика твёрдого тела. 2013. Т. 55. Вып. 1. С. 177-185.

8. Абрикосов А.А. Основы теории металлов. М.: Наука, 1987. 520 с.

REFERENCES

1. Petrov Yu.I. Fizika malykh chastits [Physics of small particles]. Moscow, Nauka Publ., 1982. 360 p.

2. Utkin A.I., Yushkanov A.A. Vliyanie koeffitsientov zerkal'nosti na vzaimodeystvie N-volny s tonkoi metallicheskoi plonkoi [Effect of reflection coefficients on the interaction of an N-wave with a thin metal film]. In: Optika ispektroskopiya [Optics and Spectroscopy], 2014, vol. 117, no. 4, pp. 650-653.

3. Utkin A.I., Yushkanov A.A. Vliyanie koeffitsientov zerkal'nosti na provodimost' tonkogo metallicheskogo sloya v sluchae neodnorodnogo, periodicheskogo po vremeni elektrich-eskogo polya [Effect of reflection coefficients on the conductivity of a thin metal layer in

the case of inhomogeneous, time-periodic electric field]. In: Mikroelektronika [Russian Microelectronics], 2016. vol. 45, no. 5, pp. 386-395.

4. Utkin A.I., Zavitaev E.V., Yushkanov A. A. Raschet elektricheskoi provodimosti tonkogo metallicheskogo sloya v sluchae razlichnykh koeffitsientov zerkal'nosti ego poverkhnostei [Calculation of the electrical conductivity of a thin metal layer in the case of different coefficients of reflectivity of its surfaces]. In: Poverkhnost'. Rentgenovskie, sinkhrotronnye i neitronnye issledovaniya [The Journal of Surface Investigation. X-ray, Synchrotron and Neutron Techniques], 2016, no. 9, pp. 85-91.

5. Utkin A.I., Yushkanov A.A. Raspredelenie elektricheskogo toka v tonkom metallicheskom sloe pri razlichnykh koeffitsientakh zerkal'nosti na poverkhnostyakh [Distribution of the electric current in thin metal layers with different coefficients of reflectivity on the surfaces]. In: Zhurnal tekhnicheskoifiziki [Technical Physics. The Russian Journal of Applied Physics], 2016, vol. 86, no. 10, pp. 15-19.

6. Kuznetsova I.A., Romanov D.N., Savenko O.V., Yushkanov A.A. Raschet vysokochastotnoi elektroprovodnosti tonkogo poluprovodnikovogo sloya v sluchae razlichnykh koeffitsientov zerkal'nosti ego poverkhnostei [Calculation of high-frequency conductivity of a thin semiconductor layer in the case of different coefficients of reflectivity of its surfaces]. In: Mikroelektronika [Russian Microelectronics], 2017, vol. 46, no. 4, pp. 275-283.

7. Babich A.V., Pogosov V.V. Kvantovaya metallicheskaya plenka v dielektricheskom okruzhenii [A quantum metal film in a dielectric environment]. In: Fizika tverdogo tela [Physics of the Solid State], 2013, vol. 55, no. 1, pp. 177-185.

8. Abrikosov A.A. Osnovy teorii metallov [Fundamentals of the theory of metals]. Moscow, Nauka Publ., 1987. 520 p.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Завитаев Эдуард Валерьевич - доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и физики Государственного гуманитарно-технологического университета; e-mail: eduardzavitaev@yandex.ru;

Русаков Олег Владимирович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и физики Государственного гуманитарно-технологического университета; e-mail: olegrusmail@mail.ru;

Чухлеб Екатерина Петровна - педагог дополнительного образования Муниципального учреждения дополнительного образования Центр дополнительного образования «Малая академия наук Импульс»; e-mail: e.chuhleb@mail.ru

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Eduard V Zavitaev - Doctor in Physical and Mathematical sciences, professor at the Department of Mathematics and Physics, State University of Humanities and Technologies; e-mail: eduardzavitaev@yandex.ru;

Oleg V. Rusakov - PhD in Physical and Mathematical sciences, associate professor at the Department of Mathematics and Physics, State University of Humanities and Technologies; e-mail: olegrusmail@mail.ru;

Ekaterina P. Chukhleb - teacher of additional education, Municipal Institution of Additional Education, The Center of Additional Education 'Junior Academy of Sciences Impulse'; e-mail: e.chuhleb@mail.ru

ПРАВИЛЬНАЯ ССЫЛКА НА СТАТЬЮ

Завитаев Э.В., Русаков О.В., Чухлеб Е.П. Магнитное поле тонкого металлического слоя // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. 2018. № 1. С. 63-72. БОЕ 10.18384/2310-7251-2018-1-63-72.

FOR CITATION

Zavitaev E.V, Rusakov O.V., Chukhleb E.P. Magnetic field of a thin metal layer. In: Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics. 2018. no. 1. pp. 63-72. DOI: 10.18384/2310-7251-2018-1-63-72.