Влияние скин-эффекта на распределение плотности тока внутри субмикронной цилиндрической проволоки Текст научной статьи по специальности «Физика»

Разработка новых типов датчиков и устройств для контроля и управления системами различного назначени

ВЛИЯНИЕ СКИН-ЭФФЕКТА НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТОКА ВНУТРИ СУБМИКРОННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПРОВОЛОКИ

Э.В. ЗАВИТАЕВ, проф. каф. физикиМГУЛ, д-р физ.-мат. наук,

О.В. РУСАКОВ, ст. преподаватель каф. математики и физики МГОГИ,

А.А. ЮШКАНОВ, проф. каф. теоретической физикиМГОУ, д-р физ.-мат. наук

eduardzavitaev@yandex.ru

Электрические свойства проводников, характерный линейный размер которых сравним с длиной свободного пробега электронов, существенно отличаются от свойств «массивных» проводников [1, 12].

В работе [2] рассчитана высокочастотная электрическая проводимость тонкой цилиндрической проволоки (отношение ее радиуса к длине много меньше единицы). В работе [3] решена задача о влиянии на электрическую проводимость цилиндрической проволоки продольного магнитного поля. В упомянутых работах применяется подход, основанный на решении кинетического уравнения Больцмана для электронов в металле при произвольном характере их отражения от внутренней поверхности проволоки.

Исследование проявления скин-эффекта в различных условиях до сих пор остается актуальной задачей, что подтверждается широким спектром научных публикаций, например, [4, 13, 14].

В том числе в научной литературе достаточно часто встречается решение классической задачи макроскопической электродинамики о скин-эффекте в цилиндрической проволоке, например [5-7]. Однако такое решение становится некорректным для проволок, характерный линейный размер которых сравним с длиной свободного пробега электронов в них, т.к. в этом случае необходимо учитывать рассеяние электронов не только в объеме металлического объекта, но и на его поверхности.

Заметим, что задачи проводимости тонких металлических проволок становятся особенно актуальными в связи с бурным развитием микроэлектроники, где такие проволоки широко применяются.

В настоящей работе моментным методом рассчитана функция распределения,

описывающая линейный отклик электронов в однородной цилиндрической проволоке на переменное электрическое поле, ориентированное вдоль оси симметрии проволоки. По найденной функции распределения удается рассчитать зависимость напряженности электрического поля внутри проволоки, плотности тока и полного тока через поперечное сечение проволоки от «скин-параметра» (отношения радиуса проволоки к глубине скин-слоя), от отношения радиуса проволоки к длине свободного пробега электронов и частоты, а также от коэффициента зеркальности металла.

Постановка задачи

Рассматривается цилиндрическая проволока из немагнитного металла радиуса R и длины L (считаем, что L >> R), к концам которой приложено переменное электрическое напряжение частоты ю. Принимается, что направление электрического поля совпадает с осью симметрии проволоки.

Однородное периодическое по времени электрическое поле

E = E0exp(-i ю t) (1)

действует на электроны проводимости (они рассматриваются как вырожденный ферми-газ) внутри проволоки и вызывает отклонение f их функции распределения f от равновесной фермиевской f0

Ха v) = /о(е) + Да v) е = mv2/2,

где r - радиус - вектор (начало системы координат выбирается на оси симметрии проволоки); v - скорость электрона; m - эффективная масса электрона в металле.

Это приводит к возникновению высокочастотного тока плотности

j = e\vf

2d3 (mv)

h

2 e

(2)

150

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 7/2012

Разработка новых типов датчиков и устройств для контроля и управления системами различного назначени

где e - заряд электрона; h - постоянная Планка.

В формуле (2) используется стандартная нормировка функции распределения / при которой плотность электронных состояний равна 2/h3. Для равновесной функции /0(г) далее используется ступенчатая аппроксимация [8]

/o(e) = 0(sF-s)=|o,j eF<eF,

где ер = mvp2/2 - энергия Ферми (vF - скорость

Ферми).

Предполагается, что ферми-поверх-ность имеет сферическую форму.

Задача сводится к отысканию отклонения / функции распределения электронов от равновеснойf возникающего под действием высокочастотного поля (1). В линейном приближении по электрическому полю, функция / удовлетворяет кинетическому уравнению [8-10]

—1ш f + v Ж + e (vE)f = —/, (3)

dr ог т

где предполагается стационарная зависимость от времени / ~ exp(-i ш t)), а интеграл столкновений взят в приближении времени релаксации электронов т.

Функция распределения

Преобразуем кинетическое уравнение (3) используя функцию

/l(r, v) = g(r, v)5(s - г/) exp(-iш t), (4)

в результате получим новое уравнение

—mg + v — e (vE) = - g.

dr т

Перейдя в последнем уравнении к цилиндрическим координатам [11], выбрав направление полярной оси Z, так, чтобы она совпадала с осью симметрии проволоки, имеем

dg \ dg dg

—mg + vr — + —— + v^ — +

dr r бф dz (5)

+ i dg_ — v_v_dg_ — evE =— g. r dvr r бвф т

Решение уравнения (5) проведем с помощью моментного метода [11], согласно которому функция g в приближении двух моментов представляется в виде:

g = a[(r)vz + a2(r)vz vr (6)

Найдем соответствующие частные производные от выражения (6) и подставим их в уравнение (5). В результате получим

—т(аг (r )vz + a2(r )vzvr) + vrvz

(r)

+

+ vrvz

a2 (r) , v,v

+ -

-a2 (r) — evzE0 =

1

=-----(ai (r)vz + a2 (r)vzvr ).

(7)

Умножая выражение (7) на v, с учетом того, что комплексная частота рассеяния электронов v = 1/т - гш, имеем

v(ai (r)vz + a2 (r)vzvr )vz +

2 da1 (r) 2 2-a2V

+vrv2 —+ v2v2 —+

da2 (r)

+

22

vv

ф z

dr

dr

a2 (r) — evz2Ez = 0.

Проинтегрируем полученное равенство по пространству скоростей:

(va1 (r) — eEz )J vz2 d 3v +

+(va2 (r) + ^ (r)) [ v]vrd 3v + dr J

+

da2 (r)

J v2v2d >v + ^ J vфv;d sv = 0.

dr •* r

Далее вычислив значения всех четырех интегралов (учитывая связи vr = v±cos9, v^ = v±sin9, v 2 + v2 = vF2) и подставив их в последнее равенство, приходим к уравнению , ч „ 1 2 da2 (r) 1 2 a2 (r)

vai (r) — eEz +-vP^J- + -vP^J- = 0. (8)

7 dr 7 r

Еще одно уравнение для нахождения моментных коэффициентов a1(r) и a2(r) найдем, умножив (7) на vz vr и интегрируя по пространству скоростей da1 (r)

dr

= —v a2 (r).

(9)

Объединим уравнения (8) и (9) в систему, разрешив ее относительно a1(r) d2a1 (r) 1 da (r) 7v2 . . 7v eEz

dr r dr vF vF

Перейдем в полученном уравнении к новой безразмерной переменной £, = r/R, также учтем, что

R R f 1 ■ ) ■

z = —v = —I — l ш 1 = x — ly ,

V

v

т

тогда

d2 a + 1 da,

d^2 \ dc,

1 — 7 z2 a = —

7 zeER

v

(10)

r

r

т

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 7/2012

151

Разработка новых типов датчиков и устройств для контроля и управления системами различного назначени

Однозначное решение поставленной задачи возможно при выборе граничного условия для неизвестной функции f(r, v) на цилиндрической поверхности металлической проволоки. В качестве такого принимаем условия зеркально-диффузного отражения электронов от поверхности (r = R):

j vf (vr )d'v = q j vf (-vr )d4 (11)

vr <0 vr <0

где vr и vz - соответственно компоненты скорости электрона в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии проволоки и вдоль оси симметрии проволоки; q - коэффициент зеркальности (вероятность зеркального отражения):

0 < q < 1.

При q = 0 получаем условие диффузного отражения электронов проводимости от внутренней поверхности металлической проволоки, а при q =1 условие чисто зеркального отражения. При значениях q Ф 0 и q Ф 1 получаем различные варианты смешанного зеркально-диффузного отражения электронов.

Кроме того, для решения поставленной задачи необходимо использовать уравнение для напряженности электрического поля внутри проволоки. Такое уравнение получаем из системы уравнений Максвелла без учета тока смещения, который пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости

1 д дЕ(01

= -/Ш|ДоR2jz ,

(12)

где оператор Лапласа записан в цилиндрических координатах (индекс z у напряженности мы опустили).

Для уравнения (12) будем использовать следующее граничное условие

Е1?=1 = Ео. (13)

Функция (4) позволяет определить плотность тока (2) внутри проволоки. При вычислении интеграла (2) удобно перейти к цилиндрическим координатам, как в пространстве координат, так и в пространстве скоростей. Вектор Е параллелен оси Z, ось симметрии проволоки совпадает с осью Z.

Поле (1) в цилиндрических координатах имеет лишь z - компоненту, соответственно и плотность тока (2) обладает лишь z

- компонентой (линии тока являются прямыми параллельными оси Z).

В силу симметрии задачи интегрирование по всему диапазону скоростей v z заменяется интегрированием по положительному диапазону и результат удваивается, поэтому, подставляя пределы интегрирования и воспользовавшись свойствами 5-функции [2, 3], приходим к выражению

. 4em2 ( . )vF 2f+f vz25(vz -\Jvf - vi)

jz =—rr~ exP (-i ш t )j j j---^---------

0 0 0 Jv

h

lv2 - vl

x[Oj (£) + a2 (^)v± cos q>]v1dv1 dф dvz =

i

8 n em2v3p

3 h3

a1 (^)exp(-i ш t).

Окончательно получим

jz = — exp(-i Ш t) a (£). (14)

m

Здесь мы учли, что концентрация электронов n в проволоке определяется по стандартной формуле, согласно которой m3

h3

n = 2 m j f„ d3 v = 2

m3 4n vF з

Поэтому уравнение (12) для амплитуды напряженности электрического поля внутри проволоки можно записать в виде

1 д_(~дЕ<& д\

ne

= -i ш p0 R — a1 (£) m

или

где

д2 E 1 дЕ

2- +------= Aa1 (£),

д^2 £, д£,

(15)

ne

2 R2

A = -iш p0 R — = -i —— = -i

.2 \2

m

52 e т

e т

Здесь учтено, что глубина скин-слоя 5 связана с объемной статической проводимостью металла о0 = ne2x/m соотношением 1/52 = 1/2(о0юр0), а «скин-параметр» ф = R/5.

Объединим в систему уравнения (10)

и (15)

д 2a 1 да,

1 - 7 z2 a = -

7 zeR

д^2 £, д£,

д2Е 1 дЕ — + -—= Аах (Q.

E ($)

д^2 £, д£,

Обозначив константы C = 7z2 и B = -7zeR/vF, получим

v

F

152

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 7/2012

Разработка новых типов датчиков и устройств для контроля и управления системами различного назначени

д2 a 1 да ^

—2- +------L-Ca1 = BE (£)

д£2 £ д£ 1

д2Е 1 дЕ

+ -—= Aai (£).

(16)

д£2 £ д£

Будем искать решение системы (16) в

виде

E = kap(17)

где k - некоторая комплексная величина не зависящая от £.

Тогда система (16) примет следующий

вид

д2Е 1 дЕ

— + т^г-(Bk + C) E = 0 £ д£

' 1дЕ =

к

д£2 £ д£ д2Е 1 дЕ A — + Т^Е = - Е (£).

д£2 £ д£

Откуда

A/k*E(£) - (Bk + C)E(£) = 0 ^ A/к = Bk + C, (18) или

Bk2 + Ck - A = 0.

Тогда

к1,2 = -

-C + 7 C2 + 4 BA 2 B

(19)

Подставляя (19) в первое уравнение системы (16), получим

д 2Е 1 дЕ

—т +-----

д£2 £ д£

— + LV C2 + 4 BA 2 2

Е = 0.

или

где

д2 Е + 1 дЕ 2 г, п — + “—-ХиЕ = 0 =

д£2 £ д£

Х?,2 = C ^ C2 + 4BA =^~

(20)

22

к

в силу (18).

Решение полученного модифицированного уравнения Бесселя (20) можно представить как

Е(£) = C/o(x1 £) + C2/o(x2 £) +

+ C3J0(X1 £) + C4J0(X2 £)

где I0(X1 £), I0(X2 £) и J0(X1 £), J0(X2 £) соответственно, модифицированные функции Бесселя

1-го и 2-го рода.

Учитывая то обстоятельство, что при £ = 0 напряженность электрического поля внутри проволоки Е(£) не должна быть расходящейся функцией, константы С3 и С4 естест-

венно положить равными нулю. В результате решение (20) примет вид

Е(£) = ад £) + C2I(X2 £),

где

(21)

(22)

1

I0 (Х1 £) = -1 exP(£ Х1 cos a)da,

0

1 n

I0 (Х2 £) =-j eXP(£ Х2 C0S a)d a . (23)

П 0

Применим граничные условия (11) и (13) для нахождения С1 и С2.

Из (13) и (21) следует, что

C1I0(X1) + C2I0(X2) = Е„ (24)

где I0(x1), I0(x2) соответственно могут быть найдены из (22) и (23) при £ = 1.

Граничное условие (11) позволяет получить выражение, связывающее значения моментных коэффициентов а1(£) и а2(£) на границе проволоки. После проведения соответствующих вычислений имеем

2/3a1(1)(1 - q) = V4 a2(1)(1 + q). (25)

Выражение для a1(£) следует из (17) и

(21)

a1(£) = Cl/k{I0(x1 £) + C2/k2I(x2 £). (26)

Тогда при £ = 1

a1(1) = CJk-IM + CJk-I^)- (27)

Выражение для a2(£) можно получить, используя уравнение (9)

a2 (£) = --

1

zv,

C1 Х

C2 Х 2

f L k1

1Л111 (Х1 £) +^ I1 (Х2 £)

k

где

1 n

I1 (Х1 £) = - J exp(£ Х1 cos a) cos a da, (28)

n 0

1 n

I (Х2 £) =-J exP(£ Х2 cos a) cos a da . (29)

Тогда, при £ = 1,

a2(1) = -

1

zv

Ca1

111 (Х1) + ^ I1 (Х, )

f L 1 k2

. (30)

k1 1 1 k2

Таким образом (25) принимает следующий вид

2

C

C

zvf

k2

г и, \ I C2Х2

k

Л

) I

/

, . И .г

T110 (Х1)+r I0 (Х2) (1 - q)= -f x

У k1 k 4

(Х1 ) + -J-211 (Х2 )

k

(1+q). (31)

Уравнения (24) и (31) образуют систему, решая которую можно определить С1 и С2

3

1

х

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 7/2012

153

Разработка новых типов датчиков и устройств для контроля и управления системами различного назначени

С =-

Ер I0 (Х2 )

( Лл,2

^ (1 - q)l 0 (Х2) +Х2 (1 + q) 1 (Х2)

3 4 z

\

2Х^ (1 - q) 10 (Xi) + 7^ (1 + q) h (Xi) -

3 4z

^ (1 - q) 1р (X2) + X2 (1 + q) 1i (X2) ^

10 (X2 ) l 3 4Z

(32)

C =

Ер

10 (X2 )

C o„,2

2X^ (1 - q) I0 (Xi)+f (1+q) Ii (Xi)

3 4 z

Л

J

^ (1 - q) 10 (Xi) + X2 (1 + q) 1i (Xi) - ХтЧ f Ч2 <> - q) I0 (X2) + X2 (1 + q) 1i (X2)'

3 4Z I0 (X2) 3 4Z

(33)

l

J

Здесь мы учли, что

согласно (18).

к = — ки = X?

2

Расчет напряженности и тока

Амплитуду напряженности электрического поля внутри тонкой цилиндрической проволоки, на основании формул (21), (32) и (33) можно представить в виде

Е© = E0[C-10(xi Q + СД^ Q], (34)

где CJ,2*= ClJE(p а интегралы ^ ф и X0(X2 Ф определены равенствами (22) и (23).

Когда радиус тонкой проволоки R значительно превосходит длину свободного пробега Л = xvp электронов в ней (х >> 1, где х = R/ Л), предельным случаем формулы (34) является результат, совпадающий с результатом работы [7] (классический скин-эффект).

Плотность тока внутри проволоки определяется соотношением (14). Тогда, используя (26), выражение для амплитуды плотности тока в тонкой цилиндрической проволоке можно записать следующим образом

Л =

en

m

CC

С110 (Xi £) + С210 (X 2 £)

кл к ^

(35)

V1 ,v2

Используя связь между константами к12 = A/ Xj 22, преобразуем выражение (35) как

Л =

en

[Cix2 i0 (Xi £)+C2X2i0 (X2 £)], (36)

mA

С учетом того, что

.2\f 2 -2

A = -i

e т ie т

выражение (36) принимает следующий вид

Jz =

пе2т i m 2\

-С x2 I0 (Xi £)+C2 x2 I0 (X2 £)]

или

Jz ^0 ~ 2

2\ 2

[Ci x2 I0 (Xi £)+C2 x2 10 (X2 £)]

i

где

°0

ne2 т m

- объемная статическая проводимость металла, а интегралы 10(х1 £) и 10(х £) определены соответственно равенствами (22) и (23). Учитывая, что

C1,2*= C1,2/E0 и J0z = ^

окончательно получим

Jz J0 z гк 2

2\ 2

[c;x:2 10 (Xi£)+C*x2 10 (X2^)]. (37)

В случае отсутствия скин-эффекта (у = 0) из (37) с помощью предельного перехода имеем

i

f1+_ (q -1)10 (W7 £) Л

J z J0

3 (1 -q)I0(W?) +

+T7 (1+q)ii (W?) 8

. (38)

J J

х

3

Проинтегрировав выражение (37), определяем полный ток через поперечное сечение тонкой цилиндрической проволоки

i

I = 2п R2 j j; £ d£ =

0

= nR2 J0z -2-[Ci*XiIi (Xi) + C*X210 (X2)], (39) -

где 11(x1) и 11(х2) определены равенствами (28) и (29) при £, = 1.

В случае отсутствия скин-эффекта (у = 0) из (39) с помощью предельного перехода имеем

154

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 7/2012