CC BY
12
УДК 539.23+539.216.1+537.311.31 DOI: 10.18384/2310-7251-2019-2-74-82
ЛОКАЛЬНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ СУБМИКРОННОГО МЕТАЛЛИЧЕСКОГО СЛОЯ С УЧЁТОМ ПОПРАВКИ К ЗАКОНУ ВИДЕМАНА-ФРАНЦА
Завитаев Э. В.1, Русаков О. В.1, Чухлеб Е. П.2
1 Государственный гуманитарно-технологический университет
142611, Московская обл., г. Орехово-Зуево, ул. Зелёная, д. 22, Российская Федерация
2 Центр дополнительного образования «Малая академия наук Импульс» 142432, Московская обл., г. Черноголовка, Школьный бульвар, д. 1, Российская Федерация
Аннотация. В статье впервые рассчитана проводимость субмикронного металлического слоя. Учитывается поправка к закону Видемана-Франца при наличии зеркально-диффузного отражения электронов.
Ключевые слова: тонкий слой, закон Видемана-Франца, локальная проводимость.
LOCAL CONDUCTIVITY OF A SUBMICRON METAL LAYER WITH ALLOWANCE FOR A CORRECTION TO THE WIEDEMANN-FRANZ LAW
E. Zavitaev1,0. Rusakov1, E. Chukhleb2
1 State University of Humanities and Technologies
ul. Zelenaya 22,142611 Orekhovo-Zuyevo, Moscow Region, Russian Federation
2 The Center of Additional Education "Junior Academy of Sciences Impulse" Shkol'nyi bulv. 1,142432 Chernogolovka, Moscow Region, Russian Federation
Abstract. We have calculated for the first time the conductivity of a submicron metal layer. A correction to the Wiedemann-Franz law is taken into account in the presence of specular-diffuse reflection of electrons.
Keywords: thin layer, Wiedemann-Franz law, local conductivity.
Введение
Теоретические исследования электрических и магнитных свойств тонкого слоя из металла были начаты ещё в прошлом веке. По указанной тематике было опубликовано достаточно большое количество работ, ссылки на которые можно найти в современных электронных базах. Например, в работе [1] приведён расчёт проводимости металлического слоя в магнитном поле с учётом зеркально-диффузных граничных условий.
Однако несмотря на то, что с момента публикации указанной выше работы прошло более 60 лет, актуальность данной тематики не становится менее вос-
© ^ BY Завитаев Э. В., Русаков О. В., Чухлеб Е. П., 2019.
требованной. В первую очередь это связано с необходимостью подробного изучения влияния поверхностного рассеяния носителей заряда на электромагнитные свойства малых проводящих объектов.
Так, в современных работах [2-4] учитывалось влияние коэффициентов зеркальности поверхности на электропроводность и постоянную Холла субмикронного проводящего слоя, а в работе [5] изучалось магнитное поле такого объекта.
Как известно из научной литературы, поправка к закону Видемана-Франца становится наиболее существенной при низких температурах [6; 7]. Новизна и актуальность данной работы как раз и заключаются в учёте подобного эффекта для субмикронного металлического слоя.
Математическая модель и расчёт
Рассматривается субмикронный металлический слой толщиной Ь, к которому приложено переменное напряжение частоты ю. Электрическое поле параллельно слою и направлено вдоль координатной оси X, ось X перпендикулярна слою. Напряжённость поля Е подчиняется закону:
Е = Е0ехр(-гю t), (1)
где Е0 - вещественная амплитуда напряжённости электрического поля, I - мнимая единица, t - время протекания процесса.
Работа выполнена без учёта скин-эффекта, так как исследование этого явления нужно проводить отдельно (толщина слоя предполагается малой по сравнению с характерной глубиной скин-слоя).
Исходя из того, что возмущённая функция Ферми-Дирака /(х,у)=/0(е) + /]_(х^) для электронов удовлетворяет уравнению Больцмана [7], имеем:
V х / + е V гЕ / - 1ю /1 =- £, (2)
дх де Т
где е - заряд электронов, Vz , Vx - соответствующие проекции вектора их скорости на координатные оси, Т - электронное время релаксации.
Здесь /о(е) = -5(е-£р), где б - дельта-функция Дирака, ер - энергия Ферми,
2
ту
е = - кинетическая энергия электронов, у - модуль вектора скорости электронов V, т - эффективная масса электронов.
Плотность высокочастотного тока _/, вызванного приложенным напряжением, рассчитывается по формуле:
) = еп(у) = еп/ос13V^ |/1VС3V. (3)
В этой формуле п - концентрация электронов проводимости, определяемая с помощью распределения Ферми-Дирака:
n = 2
/Л3 f \3 ^ 3
'W^ Jfod3v = 2^
m
~h
4п v
F
где h - постоянная Планка, vf - скорость Ферми.
При записи кинетического уравнения Больцмана в виде (2) содержание закона Видемана-Франца соответствует приближению времени релаксации т, когда доминируют объёмные и поверхностные столкновения. Такой режим рассеяния электронов реализуется при наличии значительного количества примесей.
При низких температурах, в случае, когда степень чистоты металла достаточно высока, существенными оказываются электрон-электронные столкновения.
Для учёта электрон-электронных столкновений запишем кинетическое уравнение (2) в следующем виде [8]:
f о -\г \
. , , Э/i dfo 1 ( 3gom dfo г 3
-ifflfi + v+ev= — fi —vI vz fid3 dx o£ T 4nv3 Др J
3 ■z I ' z Jv
v 4nvF dp J j
(4)
где go - параметр (0 < go < 1), отвечающий за «проявление» закона Видемана-Франца [7]. Заметим, что при go = 0 данный закон выполняется точно. Подставим в уравнение (4) функцию
/ (х, V) = g(х, V) 8(е-е )ехр (-' ю t),
и получим новое уравнение
дg 3 g 0т г 3
Vg + Vх-^--еу?Ео =--— vz1 vzg8(е-ер)^V, (5)
дх 4п V р т -1
где V = 1/ т-'ю.
Решение уравнения (5) проведём с помощью моментного метода [7]:
g = $1 (х)v2 + $2 (х)vzSign(vх ). (6)
С учётом (6) уравнение (5) может быть записано в виде:
/ / \\ да1 . . . да2
v(alVz + а2V ^п^ х)) + v xV + v х ^^п^ х )—--е v гБо =
дх дх
3 g om 4п v F T
v z | v z (fl-v z + a2 v zsign(v x)) 5(p - pf ) d3 v. (7)
Для вычисления интеграла, стоящего в правой части уравнения (7), удобно перейти к цилиндрической системе координат (v^, ф, vz) в пространстве скоростей.
Учитывая свойства дельта-функции Дирака и связи
v х = v 1 cos ф, v 1 + v2 = vF,
имеем:
'v+ * Л T
• / \ da1 . . . da2 , .
a-vz +va2vzSign(vx) + vxv^ — + vxvzSign(vx)—--eEovz = 0. (8)
dx dx
Умножим выражение (8) на проекцию скорости электронов Vz и проинтегрируем по всему пространству скоростей:
V+-
g 0
LJ v2zd3 v +va2 J v2zsign(vx)d3 v + 'd" J VxVZd3 v
dx
+
+-
Эа2 Эх
Jvx v2 sign(vx)d3v-e£o Jv2 d3v = 0.
В результате приходим к уравнению:
v + -
vF da2 4
fli +--— = —eEo.
4 дх 5
(9)
Теперь умножим выражение (8) на v zsign (v х) и снова проинтегрируем по
пространству скоростей:
v+ -
da
ai J v2 sign(vx )d3 v + va2 J v2 sign2 (vx )d3 v + —-1 J VxV2 sign(vx )d
dx
v +
+-
da2 dx
J v x v2 sign2 (v x )d3 v - eEo J v2 sign (v x )d3 v = 0.
Таким образом, приходим ещё к одному уравнению:
4 , vf dai -va2 +--— = 0.
5 4 dx
(10)
Объединяя в систему выражения (9) и (10), получим:
v + -
, vf 3a2 4 a1 +---= — eE0
a2 = -
4 dx 5 5vF da1 16v dx
Отсюда следует, что
32a1 162 v2
dx2 52 v F
1 + — V vT7
a1 = —■
162v2 eE0 52 v F v
или
32a1 , , eE0
-A/a1 = -A2
dx
vß2'
(11)
где
ß = J 1 + ^ =
v vt
1 • 1 ^vf t л .Q T
vt = 1 -гют = 1 -1Q-= 1 - z — = —
b A A
. A . 16vß
=j1 +Tg0' x=15vT'
Т = А - i Q - безразмерная комплексная частота рассеяния электронов.
Моментный коэффициент a1(x) найдём, решая неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка (11):
a1(x) = А0 + C1 exp(Xx) + C2 exp(-Xx), (12)
eEo
где А0 =-; C1, C2 - константы интегрирования.
vß2
Тогда из (10) следует, что
a2(x) = -—-—(А0 +C1 exp(Xx) + C2 exp(-Xx)) = 16v dx
= -—(XC1 exp(Xx)-XC2 exp(-Xx)) = ßC2 exp(-Xx)-ßC1 exp(Xx). (13)
Подставив (12) и (13) в (6), найдём общий вид решения уравнения (5): g = (А0 + C1 exp(Xx) + C2 exp(-Xx))vz +
+(—C2 exp(-Xx) -ßC1 exp(Xx))vzsign(vx). (14)
Применим граничные условия на верхней и нижней границах слоя для нахождения коэффициентов C1 и C2:
J g(vx,x) = q1 g(-Vx,x), Vx < 0
[g(Vx ,x) = q2g(-Vx,x), Vx > 0,
где qj и q2 - коэффициенты зеркальности его поверхностей.
С учётом (14), система граничных условий может быть представлена как:
А0 + C1 exp(Xb) + C2 exp(-Xb) + —C1 exp(Xb) -—C2 exp(-Xb) = = q1 [А0 + C1 exp(Xb) + C2 exp(-Xb) +—C2 exp(-Xb) -—C1 exp(Xb)] А0 + C1 + C2 +—C2 -—C1 = q2 [А0 + C1 + C2 + — C1 -—C2 ]
или
А0(1 -q1) + exp(Xb)(1 + — -q1 +—q1)Q = exp(-Xb)(ßq1 +q1 + — -1C = А0(1 - q2) + (1 -ß-q2-ßq2)C1
C2 = -.
q2 -ßq2 -ß-1
Откуда
(1 - q1)(q2-ßq2-ß-1) - exp(-Xb)(1 - qa)(—q1 + q1 + ß-1)
01=А0
C2. =А
exp(-Xb)(ßq1 + q1 + ß-1)(1 - ß- q2 - ßqa) - exp(Xb)(1 + ß- q1 + ßq1)(qi -ßq2 -ß-1)
_(1 -qj)(1 -ß-q2-ßq2)-exp(Xb)(1 -q2)(1 + ß-q1 + ßq1)_
exp(-Xb)(ßq1 + q1 + ß -1)(1 - ß - q2 - ßq2) - exp(Xb)(1 + ß- q1 +ßq1)(q2 -ßq2 -ß-1)
Введём новые обозначения:
Di = D2 = Cr-
Ao Ao
и запишем выражение (14) в следующем виде:
g = A0[(1 + D1 exp(Xx) + D2 exp(-Xx))vz +
+ (ßD2 exp(-Xx)-ßDi exp(Xx))vzsign(v*)]. (15)
Конкретизировав с помощью (15) вид функции f1(x,y), найдём проекцию плотности тока j внутри слоя на координатную ось Z. Применяя формулу (3), имеем:
ne
jz =— exp(-z'ffl t) fl1(x). m
Выражение для локальной электрической проводимости слоя о получим как следствие закона Ома в дифференциальной форме:
nea1 (x)
о = -
mE0
Учитывая выражение (15), имеем neA0
о = -
2
ne 2
(1 + D1 exp(Xx) + D2 exp(-Xx)) = mE0
(1 + D1 exp(Xx) + D2 exp(-Xx)) =
mvß2
- Л
-(1 + D1 exp(Xx) + D2 exp(-Xx))
ne2t A
или
где
mß2 ?
° = pAA?(1 + D1 exp(Xx) + D2 exp(-Xx)), (16)
16уР_16 утр_16рч,
5vF 5vF т 5Ь
Введя безразмерную ширину слоя = x/b, запишем выражение (16) для локальной проводимости в безразмерной форме:
0=00 1+D1exP<^ +D2exP(-^ S
Обсуждение результатов
В таблице 1 представлены результаты численного расчёта относительной погрешности модуля безразмерной удельной электрической проводимости тонкого металлического слоя (17) в зависимости от числового параметра go, который характеризует степень отклонения от закона Видемана-Франца (£, = 0,5; Q = 1; q1 = q2 = 0,5). При этом безразмерная обратная длина свободного пробега электронов в слое А принимает различные значения (Д1 = 1; Д2 = 2; Д3 = 3).
Анализ содержания столбцов таблицы позволяет сделать вывод о том, что по мере роста А, то есть отношения толщины слоя b к средней длине свободного пробега электронов Л, наблюдается тенденция заметного увеличения относительной погрешности расчёта модуля проводимости, выполненного с применением закона Видемана-Франца, по отношению к аналогичному расчёту, выполненному кинетическим методом. Отмеченная закономерность объясняется всё более существенным вкладом в проводимость электрон-электронных столкновений, которые позволяет учесть кинетический метод расчёта, в связи с увеличением объёма металла.
Поскольку увеличение толщины слоя приводит к сильному отклонению от указанного закона и может достигать почти 100 %, возникает необходимость применения рассмотренной теории к непосредственному расчёту электрической проводимости тонких слоёв из достаточно чистых металлов при низких температурах в практических и технических приложениях, например, при промышленном изготовлении интегральных микросхем.
Таблица 1. Относительная погрешность модуля безразмерной удельной электрической проводимости тонкого металлического слоя с учётом отклонения
от закона Видемана-Франца
go Ai = 1 A2 = 2 A3 = 3
0 0 % 0 % 0 %
0,1 6,8 % 8,9 % 9,5 %
0,2 13,7 % 17,8 % 19 %
0,3 20,6 % 26,7 % 28,5 %
0,4 27,5 % 35,7 % 38 %
0,5 34,4 % 44,6 % 47,6 %
0,6 41,4 % 53,6 % 57,1 %
0,7 48,4 % 62,6 % 66,6 %
0,8 55,3 % 71,6 % 76,1 %
0,9 62,4 % 80,6 % 85,7 %
1,0 69,4 % 89,5 % 95,2 %
Статья поступила в редакцию 01.04.2019 г. ЛИТЕРАТУРА
1. Sondheimer E. H. The influence of a transverse magnetic field on the conductivity of thin metallic films // Physical Review. 1950. Vol. 80. Iss. 3. P. 401-406.
2. Савенко О. В. Расчет высокочастотной электропроводности и постоянной Холла для тонкой металлической пленки // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2016. № 4. С. 43-55.
3. Расчёт высокочастотной электропроводности тонкого полупроводникового слоя в случае различных коэффициентов зеркальности его поверхностей / Кузнецова И. А., Романов Д. Н., Савенко О. В., Юшканов А. А. // Микроэлектроника. 2017. Т. 46. № 4. С. 275-283.
4. Кузнецова И. А., Савенко О. В., Юшканов А. А. Влияние граничных условий на электрические и гальваномагнитные свойства тонкой металлической пленки // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2017. № 11. С. 52-60.
5. Завитаев Э. В., Русаков О. В., Чухлеб Е. П. Магнитное поле тонкого металлического слоя // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2018. № 1. С. 63-72.
6. Моисеев И. О., Юшканов А. А., Яламов Ю. И. Использование двухпараметрического кинетического уравнения для вычисления электромагнитного поглощения мелкой металлической частицей // Оптика и спектроскопия. 2006. Т. 101. № 5. С. 846-850.
7. Завитаев Э. В., Русаков О. В., Юшканов А. А. К вопросу об отклонении от закона Видемана-Франца в тонкой цилиндрической проволоке из металла // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2012. № 2. С. 122-131.
8. De Gennaro S., Rettori A. The low-temperature electrical resistivity of potassium size effects and the role of normal electron-electron scattering // Journal of Physics F: Metal Physics.
1. Sondheimer E. H. The influence of a transverse magnetic field on the conductivity of thin metallic films. In: Physical Review, 1950, vol. 80, iss. 3, pp. 401-406.
2. Savenko O. V. [Calculation of high-frequency conductivity and Hall constant of a thin metal film]. In: Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo oblastnogo universiteta. Seriya: Fizika-Matematika [Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics], 2016, no. 4, pp. 43-55.
3. Kuznetsova I. A., Romanov D. N., Savenko O. V., Yushkanov A. A. [Calculating the high-frequency electrical conductivity of a thin semiconductor film for different specular reflection coefficients of its surface]. In: Mikroelektronika [Russian Microelectronics], 2017, vol. 46, no. 4, pp. 275-283.
4. Kuznetsova I. A., Savenko O. V., Yushkanov A. A. [Influence of boundary conditions on the electric and galvanomagnetic properties of a thin metal film]. In: Poverkhnost'. Rentgenovskie, sinkhrotronnye i neitronnye issledovaniya [Journal of Surface Investigation. X-ray, Synchrotron and Neutron Techniques], 2017, no. 11, pp. 52-60.
5. Zavitaev E. V, Rusakov O. V, Chukhleb E. P. [Magnetic field of a thin metal layer]. In: Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo oblastnogo universiteta. Seriya: Fizika-Matematika [Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics], 2018, no. 1, pp. 63-72.
6. Moiseev I. O., Yushkanov A. A., Yalamov Yu. I. [Calculation of the electromagnetic absorption by a small metal particle with a two-parameter kinetic equation]. In: Optika i spektroskopiya [Optics and Spectroscopy], 2006, vol. 101, no 5, pp. 846-850.
7. Zavitaev E. V., Rusakov O. V., Yushkanov A. A. [To the problem of deviation from the Wiedemann-Franz law in a thin cylindrical metal wire]. In: Vestnik Moskovskogo
1984. Vol. 14. No. 12. P. 237-242.
REFERENCES
gosudarstvennogo oblastnogo universiteta. Seriya: Fizika-Matematika [Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics], 2012, no. 2, pp. 122-131. 8. De Gennaro S., Rettori A. The low-temperature electrical resistivity of potassium size effects and the role of normal electron-electron scattering. In: Journal of Physics F: Metal Physics,1984, vol. 14, iss. 12, pp. 237-242.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Завитаев Эдуард Валерьевич - доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и физики Государственного гуманитарно-технологического университета;
e-mail: eduardzavitaev@yandex.ru;
Русаков Олег Владимирович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и физики Государственного гуманитарно-технологического университета; e-mail: olegrusmail@mail.ru;
Чухлеб Екатерина Петровна - педагог дополнительного образования Центра дополнительного образования «Малая академия наук Импульс»; e-mail: e.chuhleb@mail.ru.
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Eduard V Zavitaev - Doctor in physical and mathematical sciences, professor at the Department of Mathematics and Physics, State University of Humanities and Technologies; e-mail: eduardzavitaev@yandex.ru;
Oleg V Rusakov - PhD in physical and mathematical sciences, associate professor at the Department of Mathematics and Physics, State University of Humanities and Technologies; e-mail: olegrusmail@mail.ru;
Ekaterina P. Chukhleb - teacher of the additional education at the Center of Additional Education "Junior Academy of Sciences Impulse"; e-mail: e.chuhleb@mail.ru.
ПРАВИЛЬНАЯ ССЫЛКА НА СТАТЬЮ
Завитаев Э. В., Русаков О. В., Чухлеб Е. П. Локальная проводимость субмикронного металлического слоя с учётом поправки к закону Видемана-Франца // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. 2019. № 2. С. 74-82. DOI: 10.18384/2310-7251-2019-2-74-82
FOR CITATION
Zavitaev E. V, Rusakov O. V., Chukhleb E. P. Local conductivity of a submicron metal layer with allowance for a correction to the Wiedemann-Franz law. In: Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics. 2019. no. 2. pp. 74-82. DOI: 10.18384/2310-7251-2019-2-74-82
