Локальная проводимость cубмикронного металлического слоя с учётом поправки к закону Видемана-Франца Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.23+539.216.1+537.311.31 DOI: 10.18384/2310-7251-2019-2-74-82

ЛОКАЛЬНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ СУБМИКРОННОГО МЕТАЛЛИЧЕСКОГО СЛОЯ С УЧЁТОМ ПОПРАВКИ К ЗАКОНУ ВИДЕМАНА-ФРАНЦА

Завитаев Э. В.1, Русаков О. В.1, Чухлеб Е. П.2

1 Государственный гуманитарно-технологический университет

142611, Московская обл., г. Орехово-Зуево, ул. Зелёная, д. 22, Российская Федерация

2 Центр дополнительного образования «Малая академия наук Импульс» 142432, Московская обл., г. Черноголовка, Школьный бульвар, д. 1, Российская Федерация

Аннотация. В статье впервые рассчитана проводимость субмикронного металлического слоя. Учитывается поправка к закону Видемана-Франца при наличии зеркально-диффузного отражения электронов.

Ключевые слова: тонкий слой, закон Видемана-Франца, локальная проводимость.

LOCAL CONDUCTIVITY OF A SUBMICRON METAL LAYER WITH ALLOWANCE FOR A CORRECTION TO THE WIEDEMANN-FRANZ LAW

E. Zavitaev1,0. Rusakov1, E. Chukhleb2

1 State University of Humanities and Technologies

ul. Zelenaya 22,142611 Orekhovo-Zuyevo, Moscow Region, Russian Federation

2 The Center of Additional Education "Junior Academy of Sciences Impulse" Shkol'nyi bulv. 1,142432 Chernogolovka, Moscow Region, Russian Federation

Abstract. We have calculated for the first time the conductivity of a submicron metal layer. A correction to the Wiedemann-Franz law is taken into account in the presence of specular-diffuse reflection of electrons.

Keywords: thin layer, Wiedemann-Franz law, local conductivity.

Введение

Теоретические исследования электрических и магнитных свойств тонкого слоя из металла были начаты ещё в прошлом веке. По указанной тематике было опубликовано достаточно большое количество работ, ссылки на которые можно найти в современных электронных базах. Например, в работе [1] приведён расчёт проводимости металлического слоя в магнитном поле с учётом зеркально-диффузных граничных условий.

Однако несмотря на то, что с момента публикации указанной выше работы прошло более 60 лет, актуальность данной тематики не становится менее вос-

© ^ BY Завитаев Э. В., Русаков О. В., Чухлеб Е. П., 2019.

требованной. В первую очередь это связано с необходимостью подробного изучения влияния поверхностного рассеяния носителей заряда на электромагнитные свойства малых проводящих объектов.

Так, в современных работах [2-4] учитывалось влияние коэффициентов зеркальности поверхности на электропроводность и постоянную Холла субмикронного проводящего слоя, а в работе [5] изучалось магнитное поле такого объекта.

Как известно из научной литературы, поправка к закону Видемана-Франца становится наиболее существенной при низких температурах [6; 7]. Новизна и актуальность данной работы как раз и заключаются в учёте подобного эффекта для субмикронного металлического слоя.

Математическая модель и расчёт

Рассматривается субмикронный металлический слой толщиной Ь, к которому приложено переменное напряжение частоты ю. Электрическое поле параллельно слою и направлено вдоль координатной оси X, ось X перпендикулярна слою. Напряжённость поля Е подчиняется закону:

Е = Е0ехр(-гю t), (1)

где Е0 - вещественная амплитуда напряжённости электрического поля, I - мнимая единица, t - время протекания процесса.

Работа выполнена без учёта скин-эффекта, так как исследование этого явления нужно проводить отдельно (толщина слоя предполагается малой по сравнению с характерной глубиной скин-слоя).

Исходя из того, что возмущённая функция Ферми-Дирака /(х,у)=/0(е) + /]_(х^) для электронов удовлетворяет уравнению Больцмана [7], имеем:

V х / + е V гЕ / - 1ю /1 =- £, (2)

дх де Т

где е - заряд электронов, Vz , Vx - соответствующие проекции вектора их скорости на координатные оси, Т - электронное время релаксации.

Здесь /о(е) = -5(е-£р), где б - дельта-функция Дирака, ер - энергия Ферми,

2

ту

е = - кинетическая энергия электронов, у - модуль вектора скорости электронов V, т - эффективная масса электронов.

Плотность высокочастотного тока _/, вызванного приложенным напряжением, рассчитывается по формуле:

) = еп(у) = еп/ос13V^ |/1VС3V. (3)

В этой формуле п - концентрация электронов проводимости, определяемая с помощью распределения Ферми-Дирака:

n = 2

/Л3 f \3 ^ 3

'W^ Jfod3v = 2^

m

~h

4п v

F

где h - постоянная Планка, vf - скорость Ферми.

При записи кинетического уравнения Больцмана в виде (2) содержание закона Видемана-Франца соответствует приближению времени релаксации т, когда доминируют объёмные и поверхностные столкновения. Такой режим рассеяния электронов реализуется при наличии значительного количества примесей.

При низких температурах, в случае, когда степень чистоты металла достаточно высока, существенными оказываются электрон-электронные столкновения.

Для учёта электрон-электронных столкновений запишем кинетическое уравнение (2) в следующем виде [8]:

f о -\г \

. , , Э/i dfo 1 ( 3gom dfo г 3

-ifflfi + v+ev= — fi —vI vz fid3 dx o£ T 4nv3 Др J

3 ■z I ' z Jv

v 4nvF dp J j

(4)

где go - параметр (0 < go < 1), отвечающий за «проявление» закона Видемана-Франца [7]. Заметим, что при go = 0 данный закон выполняется точно. Подставим в уравнение (4) функцию

/ (х, V) = g(х, V) 8(е-е )ехр (-' ю t),

и получим новое уравнение

дg 3 g 0т г 3

Vg + Vх-^--еу?Ео =--— vz1 vzg8(е-ер)^V, (5)

дх 4п V р т -1

где V = 1/ т-'ю.

Решение уравнения (5) проведём с помощью моментного метода [7]:

g = $1 (х)v2 + $2 (х)vzSign(vх ). (6)

С учётом (6) уравнение (5) может быть записано в виде:

/ / \\ да1 . . . да2

v(alVz + а2V ^п^ х)) + v xV + v х ^^п^ х )—--е v гБо =

дх дх

3 g om 4п v F T

v z | v z (fl-v z + a2 v zsign(v x)) 5(p - pf ) d3 v. (7)

Для вычисления интеграла, стоящего в правой части уравнения (7), удобно перейти к цилиндрической системе координат (v^, ф, vz) в пространстве скоростей.

Учитывая свойства дельта-функции Дирака и связи

v х = v 1 cos ф, v 1 + v2 = vF,

имеем:

'v+ * Л T

• / \ da1 . . . da2 , .

a-vz +va2vzSign(vx) + vxv^ — + vxvzSign(vx)—--eEovz = 0. (8)

dx dx

Умножим выражение (8) на проекцию скорости электронов Vz и проинтегрируем по всему пространству скоростей:

V+-

g 0

LJ v2zd3 v +va2 J v2zsign(vx)d3 v + 'd" J VxVZd3 v

dx

+

+-

Эа2 Эх

Jvx v2 sign(vx)d3v-e£o Jv2 d3v = 0.

В результате приходим к уравнению:

v + -

vF da2 4

fli +--— = —eEo.

4 дх 5

(9)

Теперь умножим выражение (8) на v zsign (v х) и снова проинтегрируем по

пространству скоростей:

v+ -

da

ai J v2 sign(vx )d3 v + va2 J v2 sign2 (vx )d3 v + —-1 J VxV2 sign(vx )d

dx

v +

+-

da2 dx

J v x v2 sign2 (v x )d3 v - eEo J v2 sign (v x )d3 v = 0.

Таким образом, приходим ещё к одному уравнению:

4 , vf dai -va2 +--— = 0.

5 4 dx

(10)

Объединяя в систему выражения (9) и (10), получим:

v + -

, vf 3a2 4 a1 +---= — eE0

a2 = -

4 dx 5 5vF da1 16v dx

Отсюда следует, что

32a1 162 v2

dx2 52 v F

1 + — V vT7

a1 = —■

162v2 eE0 52 v F v

или

32a1 , , eE0

-A/a1 = -A2

dx

vß2'

(11)

где

ß = J 1 + ^ =

v vt

1 • 1 ^vf t л .Q T

vt = 1 -гют = 1 -1Q-= 1 - z — = —

b A A

. A . 16vß

=j1 +Tg0' x=15vT'

Т = А - i Q - безразмерная комплексная частота рассеяния электронов.

Моментный коэффициент a1(x) найдём, решая неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка (11):

a1(x) = А0 + C1 exp(Xx) + C2 exp(-Xx), (12)

eEo

где А0 =-; C1, C2 - константы интегрирования.

vß2

Тогда из (10) следует, что

a2(x) = -—-—(А0 +C1 exp(Xx) + C2 exp(-Xx)) = 16v dx

= -—(XC1 exp(Xx)-XC2 exp(-Xx)) = ßC2 exp(-Xx)-ßC1 exp(Xx). (13)

Подставив (12) и (13) в (6), найдём общий вид решения уравнения (5): g = (А0 + C1 exp(Xx) + C2 exp(-Xx))vz +

+(—C2 exp(-Xx) -ßC1 exp(Xx))vzsign(vx). (14)

Применим граничные условия на верхней и нижней границах слоя для нахождения коэффициентов C1 и C2:

J g(vx,x) = q1 g(-Vx,x), Vx < 0

[g(Vx ,x) = q2g(-Vx,x), Vx > 0,

где qj и q2 - коэффициенты зеркальности его поверхностей.

С учётом (14), система граничных условий может быть представлена как:

А0 + C1 exp(Xb) + C2 exp(-Xb) + —C1 exp(Xb) -—C2 exp(-Xb) = = q1 [А0 + C1 exp(Xb) + C2 exp(-Xb) +—C2 exp(-Xb) -—C1 exp(Xb)] А0 + C1 + C2 +—C2 -—C1 = q2 [А0 + C1 + C2 + — C1 -—C2 ]

или

А0(1 -q1) + exp(Xb)(1 + — -q1 +—q1)Q = exp(-Xb)(ßq1 +q1 + — -1C = А0(1 - q2) + (1 -ß-q2-ßq2)C1

C2 = -.

q2 -ßq2 -ß-1

Откуда

(1 - q1)(q2-ßq2-ß-1) - exp(-Xb)(1 - qa)(—q1 + q1 + ß-1)

01=А0

C2. =А

exp(-Xb)(ßq1 + q1 + ß-1)(1 - ß- q2 - ßqa) - exp(Xb)(1 + ß- q1 + ßq1)(qi -ßq2 -ß-1)

_(1 -qj)(1 -ß-q2-ßq2)-exp(Xb)(1 -q2)(1 + ß-q1 + ßq1)_

exp(-Xb)(ßq1 + q1 + ß -1)(1 - ß - q2 - ßq2) - exp(Xb)(1 + ß- q1 +ßq1)(q2 -ßq2 -ß-1)

Введём новые обозначения:

Di = D2 = Cr-

Ao Ao

и запишем выражение (14) в следующем виде:

g = A0[(1 + D1 exp(Xx) + D2 exp(-Xx))vz +

+ (ßD2 exp(-Xx)-ßDi exp(Xx))vzsign(v*)]. (15)

Конкретизировав с помощью (15) вид функции f1(x,y), найдём проекцию плотности тока j внутри слоя на координатную ось Z. Применяя формулу (3), имеем:

ne

jz =— exp(-z'ffl t) fl1(x). m

Выражение для локальной электрической проводимости слоя о получим как следствие закона Ома в дифференциальной форме:

nea1 (x)

о = -

mE0

Учитывая выражение (15), имеем neA0

о = -

2

ne 2

(1 + D1 exp(Xx) + D2 exp(-Xx)) = mE0

(1 + D1 exp(Xx) + D2 exp(-Xx)) =

mvß2

- Л

-(1 + D1 exp(Xx) + D2 exp(-Xx))

ne2t A

или

где

mß2 ?

° = pAA?(1 + D1 exp(Xx) + D2 exp(-Xx)), (16)

16уР_16 утр_16рч,

5vF 5vF т 5Ь

Введя безразмерную ширину слоя = x/b, запишем выражение (16) для локальной проводимости в безразмерной форме:

0=00 1+D1exP<^ +D2exP(-^ S

Обсуждение результатов

В таблице 1 представлены результаты численного расчёта относительной погрешности модуля безразмерной удельной электрической проводимости тонкого металлического слоя (17) в зависимости от числового параметра go, который характеризует степень отклонения от закона Видемана-Франца (£, = 0,5; Q = 1; q1 = q2 = 0,5). При этом безразмерная обратная длина свободного пробега электронов в слое А принимает различные значения (Д1 = 1; Д2 = 2; Д3 = 3).

Анализ содержания столбцов таблицы позволяет сделать вывод о том, что по мере роста А, то есть отношения толщины слоя b к средней длине свободного пробега электронов Л, наблюдается тенденция заметного увеличения относительной погрешности расчёта модуля проводимости, выполненного с применением закона Видемана-Франца, по отношению к аналогичному расчёту, выполненному кинетическим методом. Отмеченная закономерность объясняется всё более существенным вкладом в проводимость электрон-электронных столкновений, которые позволяет учесть кинетический метод расчёта, в связи с увеличением объёма металла.

Поскольку увеличение толщины слоя приводит к сильному отклонению от указанного закона и может достигать почти 100 %, возникает необходимость применения рассмотренной теории к непосредственному расчёту электрической проводимости тонких слоёв из достаточно чистых металлов при низких температурах в практических и технических приложениях, например, при промышленном изготовлении интегральных микросхем.

Таблица 1. Относительная погрешность модуля безразмерной удельной электрической проводимости тонкого металлического слоя с учётом отклонения

от закона Видемана-Франца

go Ai = 1 A2 = 2 A3 = 3

0 0 % 0 % 0 %

0,1 6,8 % 8,9 % 9,5 %

0,2 13,7 % 17,8 % 19 %

0,3 20,6 % 26,7 % 28,5 %

0,4 27,5 % 35,7 % 38 %

0,5 34,4 % 44,6 % 47,6 %

0,6 41,4 % 53,6 % 57,1 %

0,7 48,4 % 62,6 % 66,6 %

0,8 55,3 % 71,6 % 76,1 %

0,9 62,4 % 80,6 % 85,7 %

1,0 69,4 % 89,5 % 95,2 %

Статья поступила в редакцию 01.04.2019 г. ЛИТЕРАТУРА

1. Sondheimer E. H. The influence of a transverse magnetic field on the conductivity of thin metallic films // Physical Review. 1950. Vol. 80. Iss. 3. P. 401-406.

2. Савенко О. В. Расчет высокочастотной электропроводности и постоянной Холла для тонкой металлической пленки // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2016. № 4. С. 43-55.

3. Расчёт высокочастотной электропроводности тонкого полупроводникового слоя в случае различных коэффициентов зеркальности его поверхностей / Кузнецова И. А., Романов Д. Н., Савенко О. В., Юшканов А. А. // Микроэлектроника. 2017. Т. 46. № 4. С. 275-283.

4. Кузнецова И. А., Савенко О. В., Юшканов А. А. Влияние граничных условий на электрические и гальваномагнитные свойства тонкой металлической пленки // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2017. № 11. С. 52-60.

5. Завитаев Э. В., Русаков О. В., Чухлеб Е. П. Магнитное поле тонкого металлического слоя // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2018. № 1. С. 63-72.

6. Моисеев И. О., Юшканов А. А., Яламов Ю. И. Использование двухпараметрического кинетического уравнения для вычисления электромагнитного поглощения мелкой металлической частицей // Оптика и спектроскопия. 2006. Т. 101. № 5. С. 846-850.

7. Завитаев Э. В., Русаков О. В., Юшканов А. А. К вопросу об отклонении от закона Видемана-Франца в тонкой цилиндрической проволоке из металла // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2012. № 2. С. 122-131.

8. De Gennaro S., Rettori A. The low-temperature electrical resistivity of potassium size effects and the role of normal electron-electron scattering // Journal of Physics F: Metal Physics.

1. Sondheimer E. H. The influence of a transverse magnetic field on the conductivity of thin metallic films. In: Physical Review, 1950, vol. 80, iss. 3, pp. 401-406.

2. Savenko O. V. [Calculation of high-frequency conductivity and Hall constant of a thin metal film]. In: Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo oblastnogo universiteta. Seriya: Fizika-Matematika [Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics], 2016, no. 4, pp. 43-55.

3. Kuznetsova I. A., Romanov D. N., Savenko O. V., Yushkanov A. A. [Calculating the high-frequency electrical conductivity of a thin semiconductor film for different specular reflection coefficients of its surface]. In: Mikroelektronika [Russian Microelectronics], 2017, vol. 46, no. 4, pp. 275-283.

4. Kuznetsova I. A., Savenko O. V., Yushkanov A. A. [Influence of boundary conditions on the electric and galvanomagnetic properties of a thin metal film]. In: Poverkhnost'. Rentgenovskie, sinkhrotronnye i neitronnye issledovaniya [Journal of Surface Investigation. X-ray, Synchrotron and Neutron Techniques], 2017, no. 11, pp. 52-60.

5. Zavitaev E. V, Rusakov O. V, Chukhleb E. P. [Magnetic field of a thin metal layer]. In: Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo oblastnogo universiteta. Seriya: Fizika-Matematika [Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics], 2018, no. 1, pp. 63-72.

6. Moiseev I. O., Yushkanov A. A., Yalamov Yu. I. [Calculation of the electromagnetic absorption by a small metal particle with a two-parameter kinetic equation]. In: Optika i spektroskopiya [Optics and Spectroscopy], 2006, vol. 101, no 5, pp. 846-850.

7. Zavitaev E. V., Rusakov O. V., Yushkanov A. A. [To the problem of deviation from the Wiedemann-Franz law in a thin cylindrical metal wire]. In: Vestnik Moskovskogo

1984. Vol. 14. No. 12. P. 237-242.

REFERENCES

gosudarstvennogo oblastnogo universiteta. Seriya: Fizika-Matematika [Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics], 2012, no. 2, pp. 122-131. 8. De Gennaro S., Rettori A. The low-temperature electrical resistivity of potassium size effects and the role of normal electron-electron scattering. In: Journal of Physics F: Metal Physics,1984, vol. 14, iss. 12, pp. 237-242.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Завитаев Эдуард Валерьевич - доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и физики Государственного гуманитарно-технологического университета;

e-mail: [email protected];

Русаков Олег Владимирович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и физики Государственного гуманитарно-технологического университета; e-mail: [email protected];

Чухлеб Екатерина Петровна - педагог дополнительного образования Центра дополнительного образования «Малая академия наук Импульс»; e-mail: [email protected].

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Eduard V Zavitaev - Doctor in physical and mathematical sciences, professor at the Department of Mathematics and Physics, State University of Humanities and Technologies; e-mail: [email protected];

Oleg V Rusakov - PhD in physical and mathematical sciences, associate professor at the Department of Mathematics and Physics, State University of Humanities and Technologies; e-mail: [email protected];

Ekaterina P. Chukhleb - teacher of the additional education at the Center of Additional Education "Junior Academy of Sciences Impulse"; e-mail: [email protected].

ПРАВИЛЬНАЯ ССЫЛКА НА СТАТЬЮ

Завитаев Э. В., Русаков О. В., Чухлеб Е. П. Локальная проводимость субмикронного металлического слоя с учётом поправки к закону Видемана-Франца // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. 2019. № 2. С. 74-82. DOI: 10.18384/2310-7251-2019-2-74-82

FOR CITATION

Zavitaev E. V, Rusakov O. V., Chukhleb E. P. Local conductivity of a submicron metal layer with allowance for a correction to the Wiedemann-Franz law. In: Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics. 2019. no. 2. pp. 74-82. DOI: 10.18384/2310-7251-2019-2-74-82