Особые седловые точки в проблеме коэффициентов однолистных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.54

А. М. Захаров, Д. В. Прохоров

ОСОБЫЕ СЕДЛОВЫЕ ТОЧКИ В ПРОБЛЕМЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ'

Обозначим через 5 класс голоморфных однолистных в единичном круге Ь' функций

п~2

Множество У„ - {{а2,...,ап): /е5} значений коэффициентов функций класса 5 обладает свойствами (см., напр., [1,2]):

1)К„ гомеоморфно (2и - 2) -мерному шару, а его граница дУ„ гомео-

морфна (2п - 3) -мерной сфере;

2) каждой точке А е дУп соответствует единственная функция / е5;

3) за исключением множества малой размерности, в точках 8Уп существует вектор нормали, удовлетворяющий условию Липшица.

Авторы [3] показали, что функция К2(г) =——у доставляет седло-

1 - г

вую точку (0,0,1)е У3 и исследовали гладкостные свойства дУ3 в окрестности этой точки.

В настоящей статье даётся доказательство того, что функции

К „(г) =--- = 7 + п> 2,

(1 -г" У" п

доставляют седловые точки всем гиперповерхностям дУт, т>п + 1, причём на дУ2п+\ в этих седловых точках нарушается гладкость. Описано семейство локально опорных гиперплоскостей в сечениях дУ2п+\.

2

ТЕОРЕМА 1. Функция Кп доставляет точку Ап = (0,...,0,—) на ги-

п

перповерхности п> 1.

Доказательство. Для /7 = 1 утверждение хорошо известно (см., напр., [1, 2]). При п > 2 все граничные точки множества Уп+1 и только они

выражаются как решение а = (1 ,а2,...,ап+] )7 задачи Коши в точке / = 1 для системы дифференциальных уравнений [4]

' Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00083), гранта Министерства образования и науки РФ (проект МО Е02-1.0-178) и гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1).

///7 Р П

^ = -О"1 А*а, а(0) = (1,0,...,0)7, (1)

где матрица А зависит от а известным образом, а управляющие функции ик, к = \,...,р, 1 <р<п, непрерывны и удовлетворяют принципу максимума с р точками максимума функции Гамильтона, числа рнеотри-

р

цательны, ^ Хк =1. Выберем

р — VI, \| — ... — "Кп — —

и в сопряжённой системе диффе-

п

ренциальных уравнений

П п _ _

ш

положим Ч'(О) = (0,...,0,1)7. Тогда функции ик(1) = —71 + ^ к=\,...,п,

п

удовлетворяют принципу максимума и а(?) = (1,0,...,0, ^/(1 - (1 - 1)"))т, Таким образом, д(1) = (1,0,...,0,^/)г, следовательно, Ап = (0,...,0, е дУп+],

что заканчивает доказательство теоремы 1.

СЛЕДСТВИЕ 2. Функция Кп доставляет точки Ат на гиперповерхностях дУт, т> п + 1.

ТЕОРЕМА 3. Точка Ап = (0,...,0,^/) является седловой точкой гиперповерхности <ЗКя+), п> 2.

Доказательство. Покажем, что точка Ап не является локально опорной для линейного непрерывного функционала ¿„+, = йг„+, на 5. Действительно, справедливо неравенство Ке£п+|(АГ„) > КеЬп+1(К„(гг)/г), 0 < г < 1. С другой стороны, для функций

2

К„,(г) =-, «-чётное, 0 < / < 1,

п п

справедливо неравенство Ке1п+\(Кп) < КеЬп+](Кп ). Подобная конструкция для нечётных п завершает доказательство теоремы 3.

ТЕОРЕМА 4. Функция Кп генерирует семейство решений систем (1), (2), удовлетворяющих условию трансверсальности Ч/(1) = (0,...,с,...,1), с > 3 - п.

Доказательство. Рассмотрим линейный непрерывный функционал Ц,+\(/) = сап+1 +а2„+1 на Условия трансверсальности в экстремальной задаче Яе Ьсп+Х (/) —> тах примут вид

— 7i + 2izk

Это условие с uk(t) =----—, к = \,...,п, =... = кп = \/п в (1), (2) при-

п

ведёт к вычислению Ч'(О). Решаем задачу Коши для систем (1), (2), находим a(t), XF(/) и функцию Гамильтона Н{1,а,Ш,и), которая запишется в виде #(f,a, Ч^и) =-(1 - ' cos2ra< - (1 - (с + и + l)cosm.v. Элементарные вычисления показывают, что функция Н достигает максимума в точках ик. Это доказывает, что ик удовлетворяют принципу максимума,

Коль скоро функция Кп генерирует семейство решений систем (1), (2), удовлетворяющих условию трансверсальности с векторами (0,...,1,...,0) и (0,...,с,...,1), то в силу линейности функции Гамильтона и системы (2) относительно У, то же самое справедливо для выпуклой комбинации a(0,...,l,...,0) + (1 - а)(0,...,с,...,1), 0 < а < 1, что завершает доказательство теоремы 4.

СЛЕДСТВИЕ 5. Сечение гиперповерхности дУ2п+1 гиперплоскостью а2 =...-ап =... = а2„ = 0, 1ша2я+1=0, проходящей через точку А2п+{, имеет семейство опорных прямых с нормалями (с,1).

Следствие 5 показывает, что в точке А2п+Х гиперповерхность SV2nl] не имеет нормали.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Schaeffer А. С., Spencer D. С. Coefficient regions for schlicht functions // Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. 1950. Vol. 35.

2. Duren P. Univalent functions. N.Y., Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1983.

382 p.

3. Захаров A. M., Прохоров Д. В. Седловые точки множества значений коэффициентов однолистных функций // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 33 - 36.

4. Прохоров Д. В. Множества значений систем функционалов в классах однолистных функций//Мат. сб. 1990. Т. 181, № 12. С. 1659- 1677.

УДК 514.764

И. П. Иванченко

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ НЕТЕР НА СЛУЧАЙ НЕГОЛОНОМНОГО МНОГООБРАЗИЯ

Известно, что задание симплектической структуры на многообразии при помощи кососимметрической невырожденной замкнутой 2-формы позволяет установить взаимно однозначное соответствие между векторными полями и дифференциальными 1-формами. Однако представляет интерес и