CC BY
29
УДК 517.977.5
Ю. Н. Киселёв, М. В. Орлов2, С. М. Орлов3
ОСОБЫЕ РЕЖИМЫ В МОДЕЛИ ДВУХСЕКТОРНОЙ ЭКОНОМИКИ С ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ ПОЛЕЗНОСТИ*
В статье исследуется двухсекторная экономическая модель с производственной функцией Кобба-Дугласа на бесконечном горизонте планирования, при этом функция полезности является функционалом интегрального вида с дисконтированием и интегран-том типа логарифм. Получено одномерное уравнение, зависящее только от коэффициентов эластичности и амортизации и определяющее возможные особые режимы. Особые режимы описаны в аналитической форме.
Ключевые слова: двухсекторная экономическая модель, функция Кобба-Дугласа, оптимальное управление, принцип максимума, особый режим.
1. Введение. Постановка задачи. Рассмотрим нелинейную двумерную задачу оптимального управления
х1 = —Fix) — /i 1X1, xi(0) = xiq > 0, i2 = —F(x) - ¿¿2Ж2, ж2(0) = x2q > 0,
£2 +00
J = J e~ut ln[(l — щ — U2)F(x)\ dt max,
(1)
x = ( 1 J G Rl, и € U = \ и = ( 1 I : u\ ^ 0, 11,2 ^ 0, u\ + 11,2 < 1 \X2j { \U2 '
, 0 < t < +OO.
Здесь х\ > 0, Х2 > 0 — фазовые переменные, и\, «2 — координаты управления и. Класс допустимых управлений состоит из кусочно-непрерывных на произвольном сегменте [0, Т] функций со значениями из ограниченной области управления II: и(1) € II С Д2, для которых несобственный
интеграл задачи (1) сходится; ж° = ( Ж1° ] € — начальное состояние управляемого объекта, а
\X20j
<»<>"»»• п.»о
— производственная функция Кобба-Дугласа с известными коэффициентами эластичности е2. Коэффициент дисконтирования V и коэффициенты амортизации , /х2 считаются положительными. Фазовые переменные характеризуют уровень развития двух секторов экономики, а функционал — интегральный объем потребления на отрезке времени [0, +оо) с учетом дисконтирования.
1 Факультет ВМК МГУ, доц., к.ф.-м.н., e-mail: kiselevQcs.msu.su
2 Факультет ВМК МГУ, доц., к.ф.-м.н., e-mail: orlovQcs.msu.su
3 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: sergey.orlovQcs.msu.su * Работа поддержана грантом РНФ № 14-11-00539.
6 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1
К задаче (1) путем введения новых переменных и при подходящем масштабировании времени сводится задача
ЮСг
И
— = и\а\Р{Х) —
йХ2 йЬ
- = и2а2Р(Х) - ц2Х2,
Х2
г=о
= Х10 > О,
г=о
= ^20 > О,
~гоо
3'= [ е-"'*' 1п[(1 - «1 -и2)Р(Х)}<]£ ^ т&х,
У «(•)
(2)
X = ^^ € и € и = { и =
, 0 < < +оо,
: и\ ^ 0, и2 ^ 0, и\ + и2 < 1
где Хх, Х2 — положительные фазовые переменные, и — двумерное ограниченное управление, а г/', «1, а2, ^ и ц'2— известные положительные параметры. Переход от задачи (2) к задаче (1) достигается масштабированием фазовых переменных Хх, Х2 и времени 1' по формулам:
Хг = е%а%х%, ¿4 = (цА, г = 1, 2; и = г/А; £ = А/; = [7 + 1п А/и]/А.
Положительный параметр А имеет вид А = _Р(а)-Р(е) = а^а^е^е^2-
При исследовании задачи (1) используются подходы, разработанные в [1, 2]. Для построения экстремального решения задачи (1) используется принцип максимума Понтрягина [3]. Содержательный смысл задачи (1) подробнее описан в [4].
2. Краевая задача принципа максимума. Полагая </•(, I. запишем для задачи (1) функцию Гамильтона-Понтрягина
К(х, 1р, и, г) = 1п[(1 - гц - и2)Р{х)] + 'фх (^-Р(х) - + ф2 -Р(ж) - /х2х2^ .
Введем новые сопряженные переменные
Iн'Фг ■ 1 о рг = е —, г = 1,2, р =
тогда функцию К можно переписать в виде К(х,ф,и,1) = и), где
к(х,р, и) = 1п[(1 - гц - и2)Р(х)] + (ргт + р2и2)Р(х) - ^гЕгРгХг - ц2е2р2х2. Сопряженная система
фг = -К' = -е-"* — - ( «1— + и2— ) — Р(х) + ¡Лхфх
х\
ф2 = -К'Х2 = -е""*^
X 2
в новых переменных принимает вид
Ф1 , Ф2\
/ XI
Ф\ . Ф2\ £2 ч . ,
их--Ь и2— —Ь (ж) + [г2ф2
£1 ^2 } Х2
1 Мж)
Р1 = + Ц\)Р1---(Р1Щ +р2и2) -,
х\ х\
1 -Р(ж)
р2 = + ц2)р2---(Р1Щ +р2и2)-■
Х2 х2
а краевая задача принципа максимума Понтрягина
¿1 = —F(x) — pLiXi, xi(0) = хю > О, £i
¿2 = —F(x) - /¿2^2, Ж2(0) = x2Q > 0,
£2
ф 1 = —e ф2 = ^e
X\
-vt^L X2
щ— + U2—) —F(x) + (¿lipi,
£1 £2 J Xi
ui— + u2 — \ —F(x) + Ц2Ф2, £1 £2 J x2
K(x(t)^(t),u(t),t) = maxK(x(t)^(t),v,t)
v£U
k(x(t),p(t),u(t)) = maxk(x(t),p(t),v), 0 ^ t < +00, v£U
(4)
записывается в следующем виде:
х1 = —F(x) — fi 1X1, xi(0) = жю > 0, £1
¿2 = —F(x) - Ц2X2, ж2(0) = X2Q > 0,
£2
1 Fix)
P 1 = О + fii)pi---(piui + P2U2)-,
X\ X\
1 Fix)
P2 = 0 + /^)Р2---(piUl +P2U2) -,
X2 X2
K(x(t)^(t),u(t),t) = maxK(x(t)^(t),v,t)
v£U
k(x(t),p(t),u(t)) = maxk(x(t),p(t),v), 0 ^ t < +00.
v£U
(5)
Отметим, что в задаче (5), как ив (4), пока нет граничных условий на сопряженную переменную.
3. Нахождение максимизатора функции Гамильтона^Понтрягина. Преобразуем функцию к = evtK:
к(х,р, и) = F(x)
F(x)
ln(l - Ui - u2) + P1U1 + P2U2
ln(F(x)) - fil£lPlXi - /X2£2P2X2■
Здесь F(x) > 0, pi,P2 € R. Задача поиска максимизатора и* = (и^и^)7 на множестве U функции к(х,р,и) при фиксированных жир равносильна задаче поиска максимизатора функции
1
к (и) = 1п(1 - щ - и2) + Pi'ui + р2и2
Г (X)
при тех же ограничениях. Стандартные рассуждения позволяют получить следующее выражение 7 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1
для максимизатора функции Гамильтона-Понтрягина:
и*(х,р) = <
/ max{0,1 — l/(PlF(x))}
\ о
о
тах{0,1 — l/{p2F{x))}
Pi < 0 и р2 < О, Pi > Р2 и pi > О, Pi < Р2 и р2 > О,
(6)
в! тах{0,1 - 1/[(в1 + £2гзпд)дР(х)}} \
), Р1 =Р2 = д > 0. е2 тах{0,1 - гзпд/[(£1 + е2г8пд)цР{х)}}/
Здесь — единственный положительный корень уравнения — — — [м2) = 0.
Ниже будет показано, что в случае р\ = р2 = я > 0 (см. последнюю строку формулы (6)) при выполнении некоторых дополнительных предположений максимизатор функции Гамильтона Понтрягина определяется единственным образом. Отметим следующее свойство максимизатора (6):
Г 1 1
и1(х,р) + и2(х,р) = тах < 0, 1--, 1
PiF{x)' p2F{x) при этом
к* = тах&(ж,р, и) = min{ln(F(a;)), — lnpi, —In р2} +
+ max {0, p\F(x) - 1, p2F(x) - 1} - HiEipiXi - fi2e2p2x2,
или, в старых переменных,
к* = min{ln(F(a;)), - ln(e"ViAi), ~4evtfo/e2)} +
+ max {0, e"ViF{x)/el - 1, evt^2F{x)/e2 - 1} - eut^lXl - eut^2ф2х2.
4. Вычисление возможного особого режима задачи (1). Допустим, что выполняются соотношения
pi(t)=p2(t) = q(t) >0, t G (а,/3), а < /3, (а,/3) С [0, +оо). (7)
Дифференцирование тождества (7) по времени t дает: р\ = р2. Отсюда, из (3), (7) и условия
v,i + и2 = v* = max < 0, 1--——- 1 получаем
I gr \х) J
1 F(x) 1 F(x) ¡> + ni)pi---{piui + p2u2)-= О + /i2)p2---(pint + p2u2)-,
X\ Xi x2 x2
или
1 *F(x) . . 1 ,F(x) (y + Hi)Q---qv - = (u +/j,2)q---qv -.
X\ Xi x2 x2
Если v* = 0, то ru\ = u2 = 0 и имеет место равенство
1 1 (mi - М2)q =---•
Х\ х2
Дифференцируя его и привлекая дифференциальные уравнения задачи (1), получим
xi , х2 /ii /х2
/"/ =--з + ~2 =---' 1"ДО //• // 1 — /' „' -
Х^ Х2 Х\ Х2
Из первого уравнения системы (3) с учетом последних двух соотношений находим
Hq = npi = (is + ni)npi - — = (v + ni)nq - —,
X\ X\
или
^ № (> \ ( 1 L1 1 / \ 1 / , \ ---= (и + ц1)[-----, или —(I' - ц) = —{v + n).
Х\ х2 \Xi х2/ Xi Xi х2
Так как х2/х\ = const е11* иу>0, последнее равенство возможно только при /х = 0, что автоматически влечет равенство х\(t) = x2(t) Ш € (а, /3). Если же /х ф 0, то "тривиальный" особый режим v* = 0 не может быть реализован. Если же v* > 0, то
1 Л 1 F(x) , 1 Л 1 F(x)
откуда, раскрывая скобки, получаем
1 F(x) 1 1 F(x) 1 /xi q---q-+ — /'■_''/---q-+ — •
X\ Xi Xi x2 x2 x2
Приводя подобные члены и деля обе части равенства на —q < 0, находим
F(x) _F(x)
--Ml —--М2- (Oj
Xi x2
F(x) fx2 V2 F(x) (X2\~£l X2
Так как - = — , - = — , то, полагая z = —, из (8) получаем следующее
х\ \х\ J х2 \х\ J Xi
уравнение для неизвестной положительной величины z: z£2 — /хi = z~£l — /х2.
Последнее уравнение удобно записать в следующем виде:
g(z) = z£2 - z~£l = /х = /xi - /х2. (9)
Отметим, что уравнение (9) совпадает с точностью до обозначений с соответствующим уравнением из статьи [4]. Там же можно найти доказательство леммы 1.
Лемма 1. При любых /xi, /х2 уравнение (9) имеет единственный положительный корень > 0; Причем
zsng\tl=0 = 1, zsng > 1 при /х > 0, zsng € (0,1) при /X < О,
2
zsng |£l=£2 = 1/2
= f/x/2+^(/x/2)2 + l) , ( Zsng — 1)/М 1 nPu M 0-
Далее без ограничения общности предполагаем, что /х = /XI — /х2 ^ 0 г8пд ^ 1, иначе можно просто перенумеровать переменные. Для корня г8пд уравнения (9) имеет место равенство
%впд = 1 + (/XI — /X2= 1 "Ь №%8пд- (Ю)
Таким образом, вдоль возможного особого режима выполняется равенство
_ П1ч
Х\
т.е. особый участок траектории расположен на особом луче
Ь8пд = {х = (Х!,х2)Т € Д+ : х2/х! = г8пд) ,
что означает справедливость тождества ж2(£) = Х1{1)г8пд Ví € («,/?), х € Д+. Дифференцируя последнее тождество по времени получим ж2 = откуда в силу дифференциальных уравнений управляемого движения задачи (1) будем иметь
(и2/е2)Р(х) - /х2ж2 = [(и1/е1)Р(х) - /Х1Ж1] г8пд.
Учитывая условие и\ + и2 = V*, получаем
((V* - щ)/£2)Р(х) - /х2ж2 = [(и1/е1)Р(х) - /Х1Ж1] г8пд.
Разрешая это уравнение относительно и\, находим управление вдоль особого режима
_ У*Р(х)/е2 - /х2ж2 + ^1Х1г8пд 1 Р(х)(г8пд/е1 + 1/е2)
8 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1
Это выражение с учетом равенства х2 = х\г8пд допускает существенное упрощение
У*/е2 + (¿¿1 - р2)х2/Е(х)
их =
¿впд/е 1 + 1/£2
Так как в силу (11) имеем х2/Р(х) = (жг/ж^1 = то из последнего соотношения и (10)
следует, что для особого значения управления можно записать цепочку равенств
= У*/£2 + = у*/£2 + гапд - 1 = ^^ V* + £2гапд - £2
%впд/£ 1 £1 "I" £2%впд
Учитывая равенство V* = 1 — 1/(д.Р(ж)), окончательно получаем
1 - 1/(д-Р(ж)) + е2гвпд - е2 £\ + е2гвпд - 1/(д^(ж))
Щ — £1--- — £1---,
£1 + £2%зпд + £2%зпд
ИЛИ
«1= £1(1-7-1 (0,£1). (12)
Отметим, что из равенства «1 + «2 = V* вытекает дополнительное условие на «1, а именно, и\ < V*, т. е.
е1Г1-, . 1 . „,Л<1 1
< £2,
(в! + 7 <1Р(Х) ' После преобразований имеем
1 (л £1 \ _ £2^впд
V £1+£2^пз7 + £2г8Пд)дР(х)
откуда получаем неравенство
д(г)^(ж(г)) > —^— т е («,/?). (13)
£]. + £2 %впд
Заметим, что из (13) вытекает неравенство
д(г№(г)) > —^— = £1*та + > в1 + =1, I б (а, /3),
£1 + £2%зпд £1 + £2%зпд + е2 %зпд
что автоматически влечет неравенство V* > 0. Кроме того,
1 1 1 (л и2=у - 1Ц I--77" г - £1 + 7-;--77-— = £2--77-— 1
д^(ж) (£1 +£2г8пд)дР(х) д^(ж) \ £1 + £2гвпд
1 £2 %8пд _ (1 %впд
_ - __-¿,-апд _ I 1
— £2--7Т,-Г-;- : 1' I I
д^(ж) £1 + е2гвпд \ £1 + £2г8пд д^(ж),
^М'-^г.ш)^ (14)
Таким образом, доказана следующая лемма.
Лемма 2. При р = — Д2 ^ 0 в предположениях (7), (13) вдоль возможного особого режима справедливы соотношения
ж2(г)
(^(¿л
= гвпд, и{г) = и8пд(Ц = I I, ¿е(а,/3),
где иг, и2 определяются по формулам (12) и (14) соответственно. При этом фазовая траектория ж(г) € Ь8пд.
Замечание 1. Отметим, что результат леммы 2 остается справедливым и в случае конечного горизонта планирования.
Полученный результат обосновывает формулу (6), что позволяет перейти к построению решения задачи (5).
5. Решение задачи (5) в случае, когда начальная точка лежит на особом луче. Предположим, что в момент времени г ^ 0 выполняется включение х{т) € Р8пд, т.е. Х2(т) = х\{т)х8пд > 0. Покажем, что при ь> < ^ 1 существует решение задачи (5), позво-
ляющее двигаться вдоль особого луча. При движении по особому лучу выполняются соотношения Р1(1) = р2(1) = > 0 и ж2(£) = для всех I > т. При этом Р(х(1)) = и 1 — 1/[д(£).Р(ж(£))] > 0 (т. е. особое управление отлично от нуля) при £ > т. Это позволяет вместо
задачи (5) рассмотреть следующую двумерную задачу Коши = ут = х\(т)):
^ = + ^ = (15)
Я = - - я{т) = Чт> О,
решение которой имеет вид
= е(«й.-*)<*-> (ут__I_1 +
(16)
Заметим, что решение задачи (15) зависит от параметра д(т) = дт > 0. Вычислим значение функционала задачи (1) в условиях существования особого режима. Учитывая соотношения + и2 = V* = 1 — 1/(д.Р(ж)), будем иметь
+ ОС +ОС
3= I е-"*1п[(1 -и1-и2)Р(х)]<И= ! 1п ^ (Й.
т т
Используя второе уравнение системы (16), получаем
+ ОС
Л г, А л. С _ „. _ _ ^Л л - е Л г, — л. ^
впд
3 = ! — + - /Л -!/)(* - т) ^ <Й = —— ^
т
Отсюда следует, что функционал растет, если дт уменьшается. Из (16) следует, что должно выпол-
1
пяться неравенство ут ^ ----, иначе функция принимает отрицательные значения
ЦТЬ>{£ 1 + £2г3пд)
при достаточно больших что невозможно. Но тогда наилучшее дт с точки зрения функционала
1
задачи (1) легко находится, а именно, дт = ----. Таким образом, из всех возможных
Ут»{е 1 + е2гзпд)
решений задачи (15) функционал задачи (1) максимизирует следующее решение:
у(*) = уте(г«Яв-Д1-")(*-г) ф) = ——I-(17)
Ут»{е 1 + е2гзпд)
Непосредственно проверяется, что система функций
х\(г) = у(г), х2(г) = у(г)гзпд, рх(^) = д(^), =
где у(1) и д(£) определены в (17), является решением задачи (5) при I ^ т. При этом
ПЖ - ,<*>«.,<*> - > > 1.
если V < т.е. условие (13) выполнено. Кроме того, имеем
т(*) _ 1 _ _б2 п _ 1 _ £1 „ __1_
в! " > и' в2 - ^ > и' ^ Т' 9т - ут1/(£1 + е^8пд)'
= Гь — + = ^ (Ь^ + е*та)) + ^„-/М-Л ,
^ \ дт г/ / V \ 4 7 I/ /
9 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1
ИЛИ
' = ц»«.) + ^ (ь + ,
и V \ ¿впд и /
ИЛИ
Т Л / е2 ч еин+е2^2\ , е~ит ( в! + е2гапд гЦд - е2ц -
3 = — ----) + — (Ь ^ + + —^-) ■
Из последней формулы следует, что особый режим дает большее значение функционала, чем режим управления и(1) = 0, £ ^ г, при котором значение функционала равно
1 / £2 ч _ £Щ1+е2Ц2\
III{Ут^впд} I ■
V у J
Действительно, покажем, что при v G (0, zsrfg ) выражение
El + £2Zsng , Z% - - /' In--- + In v H----
Zsng V
положительно. Так как £\zs£^ + £2Z%g > 1, то первый логарифм положителен
111 в1 + 6£ГЗПд = Н£^впд + £Лд) >
Zsng
Функция /(г) = £\г~£2 + £2Z£l монотонно возрастает на полуинтервале [1, +оо):
/(1) = ел + е2 = 1, = - \/г) > О V* > 1.
И так как гапд > 1, то f{zsng) = + £2Z£s¡lg > /(1) = 1.
Функция
д{у) = Ыи
4rig ~ "-'/* ~ ''
1 Z%g - е2Ц _ Z%g - : -2¡i - I'
объединяет следующие два слагаемых. При этом
=
v v v"
Используя лемму 1, получим
9 (Zsng ) = ~(%апд — £2[i — Zsng )/zsng 1 = — (/X — £2¡j)/Zsng 1 = Zsng 1 < 0,
что влечет неравенство g'(v) < 0, v G (0, Следовательно, функция g {y) монотонно убывает
на интервале v G (0, z~£^). Используя равенство (10), получим
, ., >, _ -i zsng — r•_'/'• — zsng ___
9\Z,sng ) — ZSng T — ^Zsng т £\¡XZsng — 6]Д ШZsng т Zsng IJ.
Zsng
Так как + для всех z > 1, то g{z~£^) > 0. В силу монотонного убывания функции
д(и) получаем, что д(и) > 0 при v G (0,
Результатом проведенного исследования задачи (1) является следующая теорема. Теорема. При /xi ^ ц2, v G (0, z~£^), х2(0) = xi(0)zsng, где zsng ^ 1 определяется уравнением (9), особое решение задачи (1) при всех t ^ 0 имеет вид
ui(t) = £l(l - ) , u2(t) = £2(1 - VZ?sng),
\ Zsng /
Xi (t) = x2(t) = Xi (t)zsng-
Замечание 2. Можно обосновать оптимальность особого решения, приведенного в теореме.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Киселёв Ю.Н., Орлов М. В. Исследование одной двухсекторной модели экономического роста с производственной функцией Кобба-Дугласа // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2010. № 2. С. 56-63. (Kiselev Yu. N., Orlov M. V. Investigating a two-sector model of economic growth with
the Cobb-Douglas production function // Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics. 2010. 34. N 2. P. 66-73.)
2. Киселёв Ю.Н., Орлов M. В. Оптимальная программа распределения ресурсов в двухсекторной экономической модели с производственной функцией Кобба-Дугласа // Дифференц. уравн. 2010. 46. № 12. С. 1749-1765. (Kiselev Yu. N., Orlov M. V. Optimal resource allocation program in a two-sector economic model with a Cobb-Douglas production function // Differential Equations. 2010. 46. N 12. P. 17501766.)
3. Понтрягин Jl. С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961. (Pontryagin L. S., Boltyanskii V. G., Gamkre-lidze R. V., Mishchenko E. F. The Mathematical Theory of Optimal Processes. N.Y.: Interscience, 1962.)
4. Киселёв Ю.Н., Орлов M. В. Оптимальная программа распределения ресурсов в двухсекторной экономической модели с производственной функцией Кобба-Дугласа при различных коэффициентах амортизации // Дифференц. уравн. 2012. 48. № 12. С. 1642-1657. (Kiselev Yu.N., Orlov M. V. Optimal resource distribution program in a two-sector economic model with a Cobb-Douglas production function with distinct amortization factors // Differential Equations. 2012. 48. N 12. P. 1607-1622.)
Поступила в редакцию 26.01.15
SINGULAR ARCS IN A TWO-SECTOR MODEL WITH INTEGRATED UTILITY FUNCTION
Kiselev Yu. N., Orlov M. V., Orlov S. M.
We investigate a two-sector model with the Cobb-Douglas production function on infinite horizon. Utility function has integrated type with discounting and integrand of a logarithm kind. We built special one dimensional equation depending on elastic and amortization coefficients only to define possible singular arcs. The singular arcs were described in analytical form.
Keywords: two-sector model, Cobb-Douglas production function, optimal control, Pontryagin maximum principle, singular arc.
