Научная статья на тему 'Особые режимы в модели двухсекторной экономики с интегральной функцией полезности'

Особые режимы в модели двухсекторной экономики с интегральной функцией полезности Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
106
26
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ДВУХСЕКТОРНАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ / TWO-SECTOR MODEL / ФУНКЦИЯ КОББА-ДУГЛАСА / COBB-DOUGLAS PRODUCTION FUNCTION / ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ / OPTIMAL CONTROL / ПРИНЦИП МАКСИМУМА / PONTRYAGIN MAXIMUM PRINCIPLE / ОСОБЫЙ РЕЖИМ / SINGULAR ARC

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Киселёв Ю. Н., Орлов М. В., Орлов С. М.

В статье исследуется двухсекторная экономическая модель с производственной функцией Кобба-Дугласа на бесконечном горизонте планирования, при этом функция полезности является функционалом интегрального вида с дисконтированием и интегрантом типа логарифм. Получено одномерное уравнение, зависящее только от коэффициентов эластичности и амортизации и определяющее возможные особые режимы. Особые режимы описаны в аналитической форме.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Singular arcs in a two-sector model with integrated utility function

We investigate a two-sector model with the Cobb-Douglas production function on infinite horizon. Utility function has integrated type with discounting and integrand of a logarithm kind. We built special one dimensional equation depending on elastic and amortization coefficients only to define possible singular arcs. The singular arcs were described in analytical form.

Текст научной работы на тему «Особые режимы в модели двухсекторной экономики с интегральной функцией полезности»

УДК 517.977.5

Ю. Н. Киселёв, М. В. Орлов2, С. М. Орлов3

ОСОБЫЕ РЕЖИМЫ В МОДЕЛИ ДВУХСЕКТОРНОЙ ЭКОНОМИКИ С ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ ПОЛЕЗНОСТИ*

В статье исследуется двухсекторная экономическая модель с производственной функцией Кобба-Дугласа на бесконечном горизонте планирования, при этом функция полезности является функционалом интегрального вида с дисконтированием и интегран-том типа логарифм. Получено одномерное уравнение, зависящее только от коэффициентов эластичности и амортизации и определяющее возможные особые режимы. Особые режимы описаны в аналитической форме.

Ключевые слова: двухсекторная экономическая модель, функция Кобба-Дугласа, оптимальное управление, принцип максимума, особый режим.

1. Введение. Постановка задачи. Рассмотрим нелинейную двумерную задачу оптимального управления

х1 = —Fix) — /i 1X1, xi(0) = xiq > 0, i2 = —F(x) - ¿¿2Ж2, ж2(0) = x2q > 0,

£2 +00

J = J e~ut ln[(l — щ — U2)F(x)\ dt max,

(1)

x = ( 1 J G Rl, и € U = \ и = ( 1 I : u\ ^ 0, 11,2 ^ 0, u\ + 11,2 < 1 \X2j { \U2 '

, 0 < t < +OO.

Здесь х\ > 0, Х2 > 0 — фазовые переменные, и\, «2 — координаты управления и. Класс допустимых управлений состоит из кусочно-непрерывных на произвольном сегменте [0, Т] функций со значениями из ограниченной области управления II: и(1) € II С Д2, для которых несобственный

интеграл задачи (1) сходится; ж° = ( Ж1° ] € — начальное состояние управляемого объекта, а

\X20j

<»<>"»»• п.»о

— производственная функция Кобба-Дугласа с известными коэффициентами эластичности е2. Коэффициент дисконтирования V и коэффициенты амортизации , /х2 считаются положительными. Фазовые переменные характеризуют уровень развития двух секторов экономики, а функционал — интегральный объем потребления на отрезке времени [0, +оо) с учетом дисконтирования.

1 Факультет ВМК МГУ, доц., к.ф.-м.н., e-mail: kiselevQcs.msu.su

2 Факультет ВМК МГУ, доц., к.ф.-м.н., e-mail: orlovQcs.msu.su

3 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: sergey.orlovQcs.msu.su * Работа поддержана грантом РНФ № 14-11-00539.

6 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1

К задаче (1) путем введения новых переменных и при подходящем масштабировании времени сводится задача

ЮСг

И

— = и\а\Р{Х) —

йХ2 йЬ

- = и2а2Р(Х) - ц2Х2,

Х2

г=о

= Х10 > О,

г=о

= ^20 > О,

~гоо

3'= [ е-"'*' 1п[(1 - «1 -и2)Р(Х)}<]£ ^ т&х,

У «(•)

(2)

X = ^^ € и € и = { и =

, 0 < < +оо,

: и\ ^ 0, и2 ^ 0, и\ + и2 < 1

где Хх, Х2 — положительные фазовые переменные, и — двумерное ограниченное управление, а г/', «1, а2, ^ и ц'2— известные положительные параметры. Переход от задачи (2) к задаче (1) достигается масштабированием фазовых переменных Хх, Х2 и времени 1' по формулам:

Хг = е%а%х%, ¿4 = (цА, г = 1, 2; и = г/А; £ = А/; = [7 + 1п А/и]/А.

Положительный параметр А имеет вид А = _Р(а)-Р(е) = а^а^е^е^2-

При исследовании задачи (1) используются подходы, разработанные в [1, 2]. Для построения экстремального решения задачи (1) используется принцип максимума Понтрягина [3]. Содержательный смысл задачи (1) подробнее описан в [4].

2. Краевая задача принципа максимума. Полагая </•(, I. запишем для задачи (1) функцию Гамильтона-Понтрягина

К(х, 1р, и, г) = 1п[(1 - гц - и2)Р{х)] + 'фх (^-Р(х) - + ф2 -Р(ж) - /х2х2^ .

Введем новые сопряженные переменные

Iн'Фг ■ 1 о рг = е —, г = 1,2, р =

тогда функцию К можно переписать в виде К(х,ф,и,1) = и), где

к(х,р, и) = 1п[(1 - гц - и2)Р(х)] + (ргт + р2и2)Р(х) - ^гЕгРгХг - ц2е2р2х2. Сопряженная система

фг = -К' = -е-"* — - ( «1— + и2— ) — Р(х) + ¡Лхфх

х\

ф2 = -К'Х2 = -е""*^

X 2

в новых переменных принимает вид

Ф1 , Ф2\

/ XI

Ф\ . Ф2\ £2 ч . ,

их--Ь и2— —Ь (ж) + [г2ф2

£1 ^2 } Х2

1 Мж)

Р1 = + Ц\)Р1---(Р1Щ +р2и2) -,

х\ х\

1 -Р(ж)

р2 = + ц2)р2---(Р1Щ +р2и2)-■

Х2 х2

а краевая задача принципа максимума Понтрягина

¿1 = —F(x) — pLiXi, xi(0) = хю > О, £i

¿2 = —F(x) - /¿2^2, Ж2(0) = x2Q > 0,

£2

ф 1 = —e ф2 = ^e

X\

-vt^L X2

щ— + U2—) —F(x) + (¿lipi,

£1 £2 J Xi

ui— + u2 — \ —F(x) + Ц2Ф2, £1 £2 J x2

K(x(t)^(t),u(t),t) = maxK(x(t)^(t),v,t)

v£U

k(x(t),p(t),u(t)) = maxk(x(t),p(t),v), 0 ^ t < +00, v£U

(4)

записывается в следующем виде:

х1 = —F(x) — fi 1X1, xi(0) = жю > 0, £1

¿2 = —F(x) - Ц2X2, ж2(0) = X2Q > 0,

£2

1 Fix)

P 1 = О + fii)pi---(piui + P2U2)-,

X\ X\

1 Fix)

P2 = 0 + /^)Р2---(piUl +P2U2) -,

X2 X2

K(x(t)^(t),u(t),t) = maxK(x(t)^(t),v,t)

v£U

k(x(t),p(t),u(t)) = maxk(x(t),p(t),v), 0 ^ t < +00.

v£U

(5)

Отметим, что в задаче (5), как ив (4), пока нет граничных условий на сопряженную переменную.

3. Нахождение максимизатора функции Гамильтона^Понтрягина. Преобразуем функцию к = evtK:

к(х,р, и) = F(x)

F(x)

ln(l - Ui - u2) + P1U1 + P2U2

ln(F(x)) - fil£lPlXi - /X2£2P2X2■

Здесь F(x) > 0, pi,P2 € R. Задача поиска максимизатора и* = (и^и^)7 на множестве U функции к(х,р,и) при фиксированных жир равносильна задаче поиска максимизатора функции

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1

к (и) = 1п(1 - щ - и2) + Pi'ui + р2и2

Г (X)

при тех же ограничениях. Стандартные рассуждения позволяют получить следующее выражение 7 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1

для максимизатора функции Гамильтона-Понтрягина:

и*(х,р) = <

/ max{0,1 — l/(PlF(x))}

\ о

о

тах{0,1 — l/{p2F{x))}

Pi < 0 и р2 < О, Pi > Р2 и pi > О, Pi < Р2 и р2 > О,

(6)

в! тах{0,1 - 1/[(в1 + £2гзпд)дР(х)}} \

), Р1 =Р2 = д > 0. е2 тах{0,1 - гзпд/[(£1 + е2г8пд)цР{х)}}/

Здесь — единственный положительный корень уравнения — — — [м2) = 0.

Ниже будет показано, что в случае р\ = р2 = я > 0 (см. последнюю строку формулы (6)) при выполнении некоторых дополнительных предположений максимизатор функции Гамильтона Понтрягина определяется единственным образом. Отметим следующее свойство максимизатора (6):

Г 1 1

и1(х,р) + и2(х,р) = тах < 0, 1--, 1

PiF{x)' p2F{x) при этом

к* = тах&(ж,р, и) = min{ln(F(a;)), — lnpi, —In р2} +

+ max {0, p\F(x) - 1, p2F(x) - 1} - HiEipiXi - fi2e2p2x2,

или, в старых переменных,

к* = min{ln(F(a;)), - ln(e"ViAi), ~4evtfo/e2)} +

+ max {0, e"ViF{x)/el - 1, evt^2F{x)/e2 - 1} - eut^lXl - eut^2ф2х2.

4. Вычисление возможного особого режима задачи (1). Допустим, что выполняются соотношения

pi(t)=p2(t) = q(t) >0, t G (а,/3), а < /3, (а,/3) С [0, +оо). (7)

Дифференцирование тождества (7) по времени t дает: р\ = р2. Отсюда, из (3), (7) и условия

v,i + и2 = v* = max < 0, 1--——- 1 получаем

I gr \х) J

1 F(x) 1 F(x) ¡> + ni)pi---{piui + p2u2)-= О + /i2)p2---(pint + p2u2)-,

X\ Xi x2 x2

или

1 *F(x) . . 1 ,F(x) (y + Hi)Q---qv - = (u +/j,2)q---qv -.

X\ Xi x2 x2

Если v* = 0, то ru\ = u2 = 0 и имеет место равенство

1 1 (mi - М2)q =---•

Х\ х2

Дифференцируя его и привлекая дифференциальные уравнения задачи (1), получим

xi , х2 /ii /х2

/"/ =--з + ~2 =---' 1"ДО //• // 1 — /' „' -

Х^ Х2 Х\ Х2

Из первого уравнения системы (3) с учетом последних двух соотношений находим

Hq = npi = (is + ni)npi - — = (v + ni)nq - —,

X\ X\

или

^ № (> \ ( 1 L1 1 / \ 1 / , \ ---= (и + ц1)[-----, или —(I' - ц) = —{v + n).

Х\ х2 \Xi х2/ Xi Xi х2

Так как х2/х\ = const е11* иу>0, последнее равенство возможно только при /х = 0, что автоматически влечет равенство х\(t) = x2(t) Ш € (а, /3). Если же /х ф 0, то "тривиальный" особый режим v* = 0 не может быть реализован. Если же v* > 0, то

1 Л 1 F(x) , 1 Л 1 F(x)

откуда, раскрывая скобки, получаем

1 F(x) 1 1 F(x) 1 /xi q---q-+ — /'■_''/---q-+ — •

X\ Xi Xi x2 x2 x2

Приводя подобные члены и деля обе части равенства на —q < 0, находим

F(x) _F(x)

--Ml —--М2- (Oj

Xi x2

F(x) fx2 V2 F(x) (X2\~£l X2

Так как - = — , - = — , то, полагая z = —, из (8) получаем следующее

х\ \х\ J х2 \х\ J Xi

уравнение для неизвестной положительной величины z: z£2 — /хi = z~£l — /х2.

Последнее уравнение удобно записать в следующем виде:

g(z) = z£2 - z~£l = /х = /xi - /х2. (9)

Отметим, что уравнение (9) совпадает с точностью до обозначений с соответствующим уравнением из статьи [4]. Там же можно найти доказательство леммы 1.

Лемма 1. При любых /xi, /х2 уравнение (9) имеет единственный положительный корень > 0; Причем

zsng\tl=0 = 1, zsng > 1 при /х > 0, zsng € (0,1) при /X < О,

2

zsng |£l=£2 = 1/2

= f/x/2+^(/x/2)2 + l) , ( Zsng — 1)/М 1 nPu M 0-

Далее без ограничения общности предполагаем, что /х = /XI — /х2 ^ 0 г8пд ^ 1, иначе можно просто перенумеровать переменные. Для корня г8пд уравнения (9) имеет место равенство

%впд = 1 + (/XI — /X2= 1 "Ь №%8пд- (Ю)

Таким образом, вдоль возможного особого режима выполняется равенство

_ П1ч

Х\

т.е. особый участок траектории расположен на особом луче

Ь8пд = {х = (Х!,х2)Т € Д+ : х2/х! = г8пд) ,

что означает справедливость тождества ж2(£) = Х1{1)г8пд Ví € («,/?), х € Д+. Дифференцируя последнее тождество по времени получим ж2 = откуда в силу дифференциальных уравнений управляемого движения задачи (1) будем иметь

(и2/е2)Р(х) - /х2ж2 = [(и1/е1)Р(х) - /Х1Ж1] г8пд.

Учитывая условие и\ + и2 = V*, получаем

((V* - щ)/£2)Р(х) - /х2ж2 = [(и1/е1)Р(х) - /Х1Ж1] г8пд.

Разрешая это уравнение относительно и\, находим управление вдоль особого режима

_ У*Р(х)/е2 - /х2ж2 + ^1Х1г8пд 1 Р(х)(г8пд/е1 + 1/е2)

8 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1

Это выражение с учетом равенства х2 = х\г8пд допускает существенное упрощение

У*/е2 + (¿¿1 - р2)х2/Е(х)

их =

¿впд/е 1 + 1/£2

Так как в силу (11) имеем х2/Р(х) = (жг/ж^1 = то из последнего соотношения и (10)

следует, что для особого значения управления можно записать цепочку равенств

= У*/£2 + = у*/£2 + гапд - 1 = ^^ V* + £2гапд - £2

%впд/£ 1 £1 "I" £2%впд

Учитывая равенство V* = 1 — 1/(д.Р(ж)), окончательно получаем

1 - 1/(д-Р(ж)) + е2гвпд - е2 £\ + е2гвпд - 1/(д^(ж))

Щ — £1--- — £1---,

£1 + £2%зпд + £2%зпд

ИЛИ

«1= £1(1-7-1 (0,£1). (12)

Отметим, что из равенства «1 + «2 = V* вытекает дополнительное условие на «1, а именно, и\ < V*, т. е.

е1Г1-, . 1 . „,Л<1 1

< £2,

(в! + 7 <1Р(Х) ' После преобразований имеем

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 (л £1 \ _ £2^впд

V £1+£2^пз7 + £2г8Пд)дР(х)

откуда получаем неравенство

д(г)^(ж(г)) > —^— т е («,/?). (13)

£]. + £2 %впд

Заметим, что из (13) вытекает неравенство

д(г№(г)) > —^— = £1*та + > в1 + =1, I б (а, /3),

£1 + £2%зпд £1 + £2%зпд + е2 %зпд

что автоматически влечет неравенство V* > 0. Кроме того,

1 1 1 (л и2=у - 1Ц I--77" г - £1 + 7-;--77-— = £2--77-— 1

д^(ж) (£1 +£2г8пд)дР(х) д^(ж) \ £1 + £2гвпд

1 £2 %8пд _ (1 %впд

_ - __-¿,-апд _ I 1

— £2--7Т,-Г-;- : 1' I I

д^(ж) £1 + е2гвпд \ £1 + £2г8пд д^(ж),

^М'-^г.ш)^ (14)

Таким образом, доказана следующая лемма.

Лемма 2. При р = — Д2 ^ 0 в предположениях (7), (13) вдоль возможного особого режима справедливы соотношения

ж2(г)

(^(¿л

= гвпд, и{г) = и8пд(Ц = I I, ¿е(а,/3),

где иг, и2 определяются по формулам (12) и (14) соответственно. При этом фазовая траектория ж(г) € Ь8пд.

Замечание 1. Отметим, что результат леммы 2 остается справедливым и в случае конечного горизонта планирования.

Полученный результат обосновывает формулу (6), что позволяет перейти к построению решения задачи (5).

5. Решение задачи (5) в случае, когда начальная точка лежит на особом луче. Предположим, что в момент времени г ^ 0 выполняется включение х{т) € Р8пд, т.е. Х2(т) = х\{т)х8пд > 0. Покажем, что при ь> < ^ 1 существует решение задачи (5), позво-

ляющее двигаться вдоль особого луча. При движении по особому лучу выполняются соотношения Р1(1) = р2(1) = > 0 и ж2(£) = для всех I > т. При этом Р(х(1)) = и 1 — 1/[д(£).Р(ж(£))] > 0 (т. е. особое управление отлично от нуля) при £ > т. Это позволяет вместо

задачи (5) рассмотреть следующую двумерную задачу Коши = ут = х\(т)):

^ = + ^ = (15)

Я = - - я{т) = Чт> О,

решение которой имеет вид

= е(«й.-*)<*-> (ут__I_1 +

(16)

Заметим, что решение задачи (15) зависит от параметра д(т) = дт > 0. Вычислим значение функционала задачи (1) в условиях существования особого режима. Учитывая соотношения + и2 = V* = 1 — 1/(д.Р(ж)), будем иметь

+ ОС +ОС

3= I е-"*1п[(1 -и1-и2)Р(х)]<И= ! 1п ^ (Й.

т т

Используя второе уравнение системы (16), получаем

+ ОС

Л г, А л. С _ „. _ _ ^Л л - е Л г, — л. ^

впд

3 = ! — + - /Л -!/)(* - т) ^ <Й = —— ^

т

Отсюда следует, что функционал растет, если дт уменьшается. Из (16) следует, что должно выпол-

1

пяться неравенство ут ^ ----, иначе функция принимает отрицательные значения

ЦТЬ>{£ 1 + £2г3пд)

при достаточно больших что невозможно. Но тогда наилучшее дт с точки зрения функционала

1

задачи (1) легко находится, а именно, дт = ----. Таким образом, из всех возможных

Ут»{е 1 + е2гзпд)

решений задачи (15) функционал задачи (1) максимизирует следующее решение:

у(*) = уте(г«Яв-Д1-")(*-г) ф) = ——I-(17)

Ут»{е 1 + е2гзпд)

Непосредственно проверяется, что система функций

х\(г) = у(г), х2(г) = у(г)гзпд, рх(^) = д(^), =

где у(1) и д(£) определены в (17), является решением задачи (5) при I ^ т. При этом

ПЖ - ,<*>«.,<*> - > > 1.

если V < т.е. условие (13) выполнено. Кроме того, имеем

т(*) _ 1 _ _б2 п _ 1 _ £1 „ __1_

в! " > и' в2 - ^ > и' ^ Т' 9т - ут1/(£1 + е^8пд)'

= Гь — + = ^ (Ь^ + е*та)) + ^„-/М-Л ,

^ \ дт г/ / V \ 4 7 I/ /

9 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1

ИЛИ

' = ц»«.) + ^ (ь + ,

и V \ ¿впд и /

ИЛИ

Т Л / е2 ч еин+е2^2\ , е~ит ( в! + е2гапд гЦд - е2ц -

3 = — ----) + — (Ь ^ + + —^-) ■

Из последней формулы следует, что особый режим дает большее значение функционала, чем режим управления и(1) = 0, £ ^ г, при котором значение функционала равно

1 / £2 ч _ £Щ1+е2Ц2\

III{Ут^впд} I ■

V у J

Действительно, покажем, что при v G (0, zsrfg ) выражение

El + £2Zsng , Z% - - /' In--- + In v H----

Zsng V

положительно. Так как £\zs£^ + £2Z%g > 1, то первый логарифм положителен

111 в1 + 6£ГЗПд = Н£^впд + £Лд) >

Zsng

Функция /(г) = £\г~£2 + £2Z£l монотонно возрастает на полуинтервале [1, +оо):

/(1) = ел + е2 = 1, = - \/г) > О V* > 1.

И так как гапд > 1, то f{zsng) = + £2Z£s¡lg > /(1) = 1.

Функция

д{у) = Ыи

4rig ~ "-'/* ~ ''

1 Z%g - е2Ц _ Z%g - : -2¡i - I'

объединяет следующие два слагаемых. При этом

=

v v v"

Используя лемму 1, получим

9 (Zsng ) = ~(%апд — £2[i — Zsng )/zsng 1 = — (/X — £2¡j)/Zsng 1 = Zsng 1 < 0,

что влечет неравенство g'(v) < 0, v G (0, Следовательно, функция g {y) монотонно убывает

на интервале v G (0, z~£^). Используя равенство (10), получим

, ., >, _ -i zsng — r•_'/'• — zsng ___

9\Z,sng ) — ZSng T — ^Zsng т £\¡XZsng — 6]Д ШZsng т Zsng IJ.

Zsng

Так как + для всех z > 1, то g{z~£^) > 0. В силу монотонного убывания функции

д(и) получаем, что д(и) > 0 при v G (0,

Результатом проведенного исследования задачи (1) является следующая теорема. Теорема. При /xi ^ ц2, v G (0, z~£^), х2(0) = xi(0)zsng, где zsng ^ 1 определяется уравнением (9), особое решение задачи (1) при всех t ^ 0 имеет вид

ui(t) = £l(l - ) , u2(t) = £2(1 - VZ?sng),

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

\ Zsng /

Xi (t) = x2(t) = Xi (t)zsng-

Замечание 2. Можно обосновать оптимальность особого решения, приведенного в теореме.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Киселёв Ю.Н., Орлов М. В. Исследование одной двухсекторной модели экономического роста с производственной функцией Кобба-Дугласа // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2010. № 2. С. 56-63. (Kiselev Yu. N., Orlov M. V. Investigating a two-sector model of economic growth with

the Cobb-Douglas production function // Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics. 2010. 34. N 2. P. 66-73.)

2. Киселёв Ю.Н., Орлов M. В. Оптимальная программа распределения ресурсов в двухсекторной экономической модели с производственной функцией Кобба-Дугласа // Дифференц. уравн. 2010. 46. № 12. С. 1749-1765. (Kiselev Yu. N., Orlov M. V. Optimal resource allocation program in a two-sector economic model with a Cobb-Douglas production function // Differential Equations. 2010. 46. N 12. P. 17501766.)

3. Понтрягин Jl. С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961. (Pontryagin L. S., Boltyanskii V. G., Gamkre-lidze R. V., Mishchenko E. F. The Mathematical Theory of Optimal Processes. N.Y.: Interscience, 1962.)

4. Киселёв Ю.Н., Орлов M. В. Оптимальная программа распределения ресурсов в двухсекторной экономической модели с производственной функцией Кобба-Дугласа при различных коэффициентах амортизации // Дифференц. уравн. 2012. 48. № 12. С. 1642-1657. (Kiselev Yu.N., Orlov M. V. Optimal resource distribution program in a two-sector economic model with a Cobb-Douglas production function with distinct amortization factors // Differential Equations. 2012. 48. N 12. P. 1607-1622.)

Поступила в редакцию 26.01.15

SINGULAR ARCS IN A TWO-SECTOR MODEL WITH INTEGRATED UTILITY FUNCTION

Kiselev Yu. N., Orlov M. V., Orlov S. M.

We investigate a two-sector model with the Cobb-Douglas production function on infinite horizon. Utility function has integrated type with discounting and integrand of a logarithm kind. We built special one dimensional equation depending on elastic and amortization coefficients only to define possible singular arcs. The singular arcs were described in analytical form.

Keywords: two-sector model, Cobb-Douglas production function, optimal control, Pontryagin maximum principle, singular arc.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.