Оптимальные режимы в многомерной модели экономического роста Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

Ю. Н. Киселёв, М. В. Орлов2, С. М. Орлов3

ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ В МНОГОМЕРНОЙ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА*

В статье исследована п-мерная задача оптимального экономического роста в многофакторной модели с производственной функцией Кобба-Дугласа и функционалом интегрального типа с дисконтированием. Модель исследуется в предположении, что все коэффициенты амортизации равны между собой. Получено конструктивное описание оптимального решения при достаточно "большом" горизонте планирования и достаточно "малом" коэффициенте дисконтирования. Для экстремального решения построено описание в аналитической форме. Исследованная задача с другими производственными функциями допускает биологическую интерпретацию в модели оптимального роста сельскохозяйственных растений на заданном конечном промежутке времени с п вегетативными органами.

Ключевые слова: многофакторная экономическая модель, функция Кобба-Дугласа, оптимальное управление, принцип максимума.

1. Введение. Постановка задачи. Рассмотрим нелинейную п-мерную задачу оптимального управления

У .

ii = —F(x), х%(0) = хм >0, 1 ^ г ^ n, n ^ 2,

T

J =-!<-■"

0

X — ^X X ; • • •

и = (til, ... 0 < t < T,

n

щ ) F(x) dt —> max,

жп)т G R'l = {x G Rn: Xi > 0, % = 1,..., n},

(1)

%)T G U = { и G Rn: щ ^ 0, % = 1,.

i= 1

где x — вектор положительных фазовых переменных, и — вектор переменных управления, которые являются кусочно-непрерывными на [0, Т] функциями времени со значениями из области управления U С Rn, где U является n-мерным симплексом, х° = (жю, Ж20, • • •, ж„о)т G i?" — начальное состояние управляемого объекта, Т > 0 — заданная длительность процесса управления. В дифференциальных уравнениях управляемого движения задачи (1) участвует производственная функция Кобба-Дугласа

F(x) ■i' 1' -'V • • • , х G R\, в которой коэффициенты эластичности £i, е2, ■ ■ ■, £п удовлетворяют условиям

5>г = 1,

г=1

£i > 0, г = 1,.... п.

(2)

Фазовые переменные характеризуют уровень развития соответствующих секторов экономики, а функционал — интегральный объем потребления на отрезке времени [0, Т] с учетом дисконтирования. Набор исходных данных задачи управления (1) состоит из положительных чисел г/, Т, Жго, г = 1,..., п, и параметров (2), V > 0 — коэффициент дисконтирования.

1 Факультет ВМК МГУ, доц., к.ф.-м.н., e-mail: kiselevQcs.msu.su

2 Факультет ВМК МГУ, доц., к.ф.-м.н., e-mail: orlovQcs.msu.su

3 Факультет ВМК МГУ, асс., к.ф.-м.н., e-mail: sergey.orlovQcs.msu.su

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 16-31-00177 мол_а.

К задаче (1) путем введения новых переменных и при подходящем масштабировании времени сводится следующая задача:

Уг = щщр(у) - цуи уг{0) = УгО > О, i = 1, . . . , 71, п ^ 2,

т\

о 1=1

у = (у1,...,у„)т €

и = («1,..., ип)т € II = € Яп : щ ^ 0, г = 1,..., щ ^^ щ ^ 1^, О < г < Ть г/1 > 0, /¿>0, аг > 0, г = 1,

(3)

,71.

В задаче (3) положительный параметр /х — единый для всех секторов экономики коэффициент амортизации. При исследовании задачи оптимального управления (1) используются подходы, разработанные в [1-4]. Задача (1) рассматривается при "достаточно большом" горизонте планирования Т > 0 и допускает различные особые режимы, описанные далее.

Для построения оптимального решения задачи (1) используется принцип максимума Понтряги-на [5]. Для обоснования оптимальности построенного решения применяется теорема о достаточных условиях оптимальности в форме конструкций принципа максимума [6]. Случай п = 2 изучен ранее в [2].

Замечание 1. Задача вида (1) при других типах производственной функции F(x) (см. [7]) допускает биологическую интерпретацию в модели роста сельскохозяйственных растений, в которой Xi характеризует степень развития г-го вегетативного органа растения, а оптимизируемый функционал — массу выросших плодов на заданном промежутке времени (сельскохозяйственный сезон).

Задачи вида (1), (3) и их возможные приложения изучались в работах отечественных и зарубежных ученых, среди них: С.М. Асеев, A.B. Кряжимский, A.M. Тарасьев, Г. Хутченрайтер и многие другие, включая авторов данной статьи. Основной результат выполненной работы состоит в аналитическом описании оптимального решения в нелинейной задаче оптимального управления произвольной размерности.

2. Система обозначений, используемая при формулировке основных результатов.

Без ограничения общности предположим, что начальные условия задачи (1) подчиняются ограничениям

С0 : Ж1(0) = жю < ж2(0) = ж20 < ... < жп(0) = хп0-

Этого всегда можно добиться путем изменения нумерации фазовых переменных. Введем обозначения:

1 1 — е~иТ Т„ = — 1п -->0, в = т^ти, д(г) =-,

1/1 — 1/ V

1—£1 _ 1—£1 . 1 — (£1+62) _ 1 —(£1+62) _ _ Ж20 ~ Ж10 _ е1 + _ •%)_~ Ж20_

1 — ж20 ' ' ' Жга0 1 — + • • • Жпд

тп-1 =

£п-1

ьп0

X

(га —1)0

X,

гаО

^(га—1)0

.-1)

х

гаО

X

гаО

Г = Ti + . . . + Тп_2,

Г = Г + Гп_1,

Щ) =

/0\

о о

\0/

и\ =

/1\

О

о \0/

щ =

/£1/(£1 гч/Оп

V

/

2 < % < п - 2,

ип-1 =

( гп/Оп 4 е2/Ой 4

V

£п-1) \ £п-1)

+ £п-1)

/ £1/(1-е«) \

£2/(1 - £п)

£п-1/(1 —

О

, '¿¿тт. —

(еА

£2 ез

Vе«/

3. Формулировка теоремы об оптимальном решении задачи (1).

Теорема 1. В случае выполнения ограничений Со при V € (0,1), Т > Т„ + г, оптимальное управление и(1) и оптимальная траектория х(1) задачи (1) определяются следуют,им образом:

1) для £ € [0, тх]: и(1) = йх,

( \ — £\ х \

Жх — I Ж2о ' ' ' Жпд t + Ж-^д I , Жг = Ж^о, 2 ^ 2 ^ П', \ £1 /

2) для I € (тх, тх + т2]: = «2,

жх(г) = ж2(г) = ( -—^—— + х12~£1~£2 )

\ £1 + £2 /

= хм, 3 < 7, < п;

3) ы так далее;

4) Лиг £ € (тх + ... + тп_2, тх + ... + тп_х] = (г, г]: «(£) = йп_х,

/1_е1_ — е х 1 е £ 4 1/(1-61-...-еп-1)

Жг(^) = I —— —— жпо(£ — + ж(п-1)о

\ £1 +...+£п-1 у '

£ ^

1/(1-£1-е2)

\ Ч^п

{т^тп-г}) + ж5_1)о) ! 1<г<п-1, жп(г) = жп0;

5) для £ € (т, 0]: = ип, жД^) = ж„ое* т, 1 ^ г ^ п;

6) для £ € (0,Т]: = й0, Жг(^) = хпоев~Т = ж¿(0), 1 ^ г ^ п.

Параметры Т„, в, т, а также 1 ^ г ^ п — 1, 0 ^ г ^ п, определены в п. 2.

Из теоремы 1 следует, что оптимальное решение содержит не менее одного и не более п — 1 особых участков, где принцип максимума не позволяет однозначно определить вид экстремального управления. Финальный участок времени, на котором управление равно нулю, является участком стабильности фазовых переменных, а предшествующий ему особый участок является участком сбалансированного роста фазовых переменных. Замечание 2. Легко проверить, что

1 1 Нт Т„ = Нт — 1п-= 1,

V 1 — г/

Жх(тх) = Ж20, Жх(г1 + . . . + Гг) = . . . = Жг(гх + . . . + Гг) = Ж(г+1)0, 2 < I < П - 1.

Из последнего равенства имеем жх(т) = ... = жп(т) = ж„о. Обоснование утверждений теоремы 1 приводится ниже.

4. Краевая задача принципа максимума. Полагая </•(, I. запишем функцию Гамильтона-Понтрягина для задачи (1):

(п \ п

,'-1 / ,'-1

г= 1 7 г= 1

Здесь

п

д(ф, и, t) = e~vt + J] {iJi/ei - e~vt) щ.

i= 1

Введем в рассмотрение функцию G(ip,t) = maxg(ijj,u,t). Эту функцию можно представить в виде

и еи

/>i/ei -e"vt\

G(ij,t) = e~ut+ c(U,p), р= :

\'Фп/£п - e~utJ

где c(U,p) — опорная функция (см. [8]) множества U. Так как 0 € U, то c(U,p) ^ 0 для всех р € i?n, поэтому

ОД, t) ^ e~ut >0 0.

Сопряженное уравнение

4p = -F'(x)G(4p,t), Ф(Т) = 0,

в координатной форме имеет вид

•¡¡>i = -F'Xi{x)G{$,t), 4>i(T) = 0 ipi = ——F(x)G(ip,t), фг{Т) = 0, 1 < i < п.

%i

К сопряженным уравнениям присоединены условия трансверсальности. Функция максимума

М(х, ф, t) = max К (ж, ф, и, t)

и еи

может быть записана в форме

М(х,ф,1) = F(x)G(4/>,t),

где фазовые и сопряженные переменные разделены. Сопряженное уравнение удобно записать в форме

Ф =-м'х{х,ф,г), Ф(т) = о,

где Mx(x,ip,t) = F'(x)G(ip,t) — градиент функции максимума по фазовой переменной х. Краевая задача принципа максимума Понтрягина для задачи (1) имеет вид

U'

' Xi = —F(x), Жг(0) = XiQ > 0,

< фг = -^F(x)G(ll>,t), Фг{Т) = 0, (4)

ж.

к(х(г),ф(г),и(г),г) = м(х(г),ф(г),г), о < г < т,

где 1 ^ % ^ п. Краевая задача (4) состоит из 2п дифференциальных уравнений, 2п краевых условий и условия максимума. Пусть функции

ж(г), ф(г), «(¿), о < г < т, (5)

образуют решение краевой задачи (4) (экстремальная тройка). Пару функций ж(£),«(£), 0 ^ £ ^ Т, называют экстремальным процессом, который удовлетворяет необходимым условиям оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина с участием сопряженной переменной ф{Ь).

Далее будет построена экстремальная тройка (5). Применение теоремы о достаточных условиях в форме конструкций принципа максимума [6] гарантирует оптимальность построенного экстремального процесса, что равносильно доказательству теоремы 1. При этом используется схема рассуждений, использованная в работах [1-4].

Замечание 3. Неравенства Р(х) > 0 Ух € Д™, 0(ф, > О У^ е й" и { ) 0, влекут неравенства < О, 1 ^ г ^ п, следовательно, сопряженные переменные 1 ^ г ^ п, являются

убывающими функциями времени на отрезке [О, Т] и положительными на полуинтервале [О, Т); производные фi(t), 1 ^ i ^ п, непрерывно зависят от времени.

5. Построение экстремального решения. Заметим, что при обосновании оптимальности экстремального процесса его явный вид не используется. В данном разделе дается описание экстремальной тройки (5) задачи (4). Формулы, определяющие траекторию х(1) и управление и(1), приведены в формулировке теоремы 1. Остается указать явные выражения для экстремальной сопряженной переменной.

Теорема 2. В случае выполнения ограничений Со при V € (0,1), Т > Т„ + г, сопряженные переменные фг{^ определяются из следующих соотношений:

1) для I € (в,Т]: ^г^ ^ = д(£), 1 ^ 1 ^ п, причем на интервале (0,Т) имеем

£г

_ _

-— ... —- < е ,

2) для í € (т, 9\. ^г^ ^ = д(0)ее_*, 1 ^ г ^ п, причем на интервале (т,в) имеем

£г

_ _

-— ... —- > е ,

3) Лит г € (т - тп_1, т] = (п + ... + гп_2, Т1 + ... + гп_1]:

^г(^) /дч 0-т ( хп0 \ П л ^ - ^ 1 ^п^) 0—т/1 ,

-= д(0)ерт1—-I , -= д(в)е° Т(1 + г -

причем на интервале (г — тп_1,т) имеем

Фп(¿) ^ Фп-1(Ь) _ _ -VI

- <. -— ... —- .> е ;

£п £-п—1

4) для г € (т - (тп_1 + тп_2), т - гп_1]:

^ = д(*)в'"т Г(^1)1) 1"еП"вП"1 , 1 < < < п - 2,

£г \Ж(„_1)о/ \ Жг(^)

= ((г+(-^2- ) (г - г^ -

еп-1 \®(п-1)0/ \ \ж(п-1)0

причем на интервале (т — {тп-\ + тп_2),т — тп_1) имеем

Фп(Ь) ^ Фп-1(Ь) ^ Фп—2 _ _ ^

- <. - <. -— ... — - .> е ;

^п —1 £п — 2

5) ы так далее;

6) для I € [0,ri] = [т - (т„ , + ... + г,), г - (т„ , + ... + г2)]:

/ 1.1\ / \ 1—£п \ 1 —(Sn+Sn-l) / \ £1+^2 / \ £l

V'lW (D\ в-т ( хп0 \ I ж(п-1)0 \ /Жзо\ / x2q 4

= <?W е

\ж(п-1)0/ \ж(п-2)0/ \ж20 /

30

^ = g(0) ( ... f £l+£2 (1 + (n - i)

^2 \Ж(„_1)0/ \ж20

20

^^ = я(0)ев~т (1_£П ( 1 + - тп_! - i)'

V X(n — 1)0 / \ X(n — 1)Q ,

=g(0)ee-T(l + r-i),

e

n

причем на полуинтервале [О, Т\) имеем - < ... < - > е

Параметры Т„, в, т, а также 1 ^ г ^ п — 1, ы функция ц определены в п. 2.

Доказательство. Справедливость утверждений теоремы 2 проверяется непосредственно. Замечание4. Теоремы 1 и 2 остаются справедливыми и при г/ = 0. В этом случае меняются только два соотношения, а именно: Т„ = 1, д(£) = Т — Ь.

Замечание 5. Если для некоторого индекса 1, выполняется равенство

= Ж(г_|_1)0, то Тг = 0. В частности, если х^ = Ж(г+1)о для всех г от 1 до п — 1, то все т^ = 0, а значит, г = т\ + ... + тп_ 1 = 0.

Замечание 6. При ь> ^ тах (х% ... х£Л/хм) ^ 1 оптимальное решение задачи (1) имеет

для 0 ^ £ ^ Т следующий вид:

= 0, Х^) = ЖгО, 1 < г < п.

Если жю = ... = х„х) = жо при V ^ 1, то экстремальная тройка (5) определяется для 0 ^ £ ^ Т тривиальным образом:

= 0, Хг{1) = Жо, = д(1;), 1 ^ г ^ П.

В этом случае

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Киселёв Ю.Н., Орлов М.В., Орлов С. М. Оптимальная программа распределения ресурсов в двухсекторной экономической модели с функционалом интегрального типа при различных коэффициентах амортизации // Дифференц. уравн. 2015. 51. № 5. С. 671-687. (Kiselev Yu.N., Orlov М.V., О rlo v S. М. Optimal resource allocation program in a two-sector economic with an integral type functional for various amortization factors // Differential Equations. 2015. 51. N 5. P. 683-700.)

2. Киселёв Ю.Н., Орлов M. В., Орлов С.М. Исследование двухсекторной экономической модели с функционалом интегрального типа // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2013. №4. С. 18-24. (Kiselev Yu.N., Orlov М. V., Orlov S.M. Investigating a two-sector model with an integrating type functional cost // Moscow Univ. Comput. Math. Cybern. 2013. 37. N 4. P. 172-179.)

3.Киселёв Ю.Н., Орлов M. В. Исследование задачи распределения ресурсов в двухсекторной экономической модели с производственной функцией Кобба-Дугласа и функционалом интегрального типа // Проблемы динамического управления. Вып. 6. М.: МАКС Пресс, 2012. С. 102-111.

4. Киселёв Ю.Н., Орлов М. В. Оптимальная программа распределения ресурсов в двухсекторной экономической модели с производственной функцией Кобба-Дугласа // Дифференц. уравн. 2010. 46. № 12. С. 1749-1765. (Kiselev Yu.N., Orlov М. V. Optimal resource allocation program in a two-sector

economic model with a Cobb-Douglas production function // Differential Equations. 2010. 46. N 12. P. 17501766.)

5. Понтрягин JI. С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961. (Pontryagin L. S., Boltyanskii V. G., Gamkrelidze R. V., Mishchenko E. F. The Mathematical Theory of Optimal Processes. New York: Interscience, 1962.)

6. Киселёв Ю.Н. Достаточные условия оптимальности в терминах конструкций принципа максимума Понтрягина // Математические модели в экономике и биологии. М.: МАКС Пресс, 2003. С. 57-67.

7. Iwasa Y., Roughgarden J. Shoot/root balance of plants: optimal growth of a system with many vegitative organs // Theoretical Population Biology. 1984. 25. P. 78-105.

8. Киселёв Ю.Н., Аввакумов C.H., Орлов M.B. Оптимальное управление. Линейная теория и приложения. М.: МАКС Пресс, 2007.

Поступила в редакцию 02.11.16

УДК 519.22

0. В. Шестаков1

СТАБИЛИЗИРОВАННАЯ ЖЕСТКАЯ ПОРОГОВАЯ ОБРАБОТКА ПРИ НЕИЗВЕСТНОМ УРОВНЕ ШУМА*

В работе изучается влияние способов оценивания дисперсии шума на статистические характеристики стабилизированного метода жесткой пороговой обработки коэффициентов вейвлет-разложения функции сигнала. Проведен анализ несмещенной оценки среднеквадратичного риска и показано, что при выполнении определенных условий распределение оценки стремится к нормальному закону с дисперсией, зависящей от вида оценки дисперсии шума.

Ключевые слова: вейвлеты, пороговая обработка, несмещенная оценка риска, асимптотическая нормальность, оценка дисперсии.

1. Введение. Методы обработки сигналов и изображений, основанные на идеях вейвлет-анализа, остаются популярными уже несколько десятилетий. Объясняется это тем, что такие методы вычислительно эффективны и способны решать те задачи, в которых традиционный Фурье-анализ неприменим. Основные задачи, для решения которых используются вейвлеты, — это сжатие сигналов/изображений и удаление шума. При этом чаще всего применяются процедуры пороговой обработки вейвлет-коэффициентов. В работе [1] предложен стабилизированный вариант жесткой пороговой обработки, позволяющий устранить недостатки традиционных видов жесткой и мягкой пороговых обработок, а в работе [2] изучены статистические свойства этого метода и показано, что несмещенная оценка среднеквадратичного риска является сильно состоятельной и асимптотически нормальной. На практике дисперсия шума также неизвестна, и ее необходимо оценивать. Влияние различных видов оценки дисперсии при мягкой пороговой обработке на предельное распределение среднеквадратичного риска исследовано в работах [3-8]. В данной работе исследуется предельное распределение оценки риска при стабилизированной жесткой пороговой обработке и различных способах оценивания дисперсии шума.

2. Пороговая обработка вейвлет-коэффициентов. Для применения методов пороговой обработки функция / € L2(R), описывающая сигнал, сначала раскладывается по базису, в котором она имеет "экономное" представление. Часто таким базисом является вейвлет-базис, имеющий

1 Факультет ВМК МГУ, доц.; Институт проблем информатики Федерального исследовательского центра "Информатика и управление" Российской академии наук, ст. науч. сотр., д.ф.-м.н., e-mail: oshestakovQcs.msu.su

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 16-07-00736.