Исследование модифицированной модели Рамсея с переменной эластичностью производства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977.5

Ю. Н. Киселёв, С. М. Орлов2

ИССЛЕДОВАНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОЙ МОДЕЛИ РАМСЕЯ С ПЕРЕМЕННОЙ ЭЛАСТИЧНОСТЬЮ ПРОИЗВОДСТВА*

В статье рассматривается одномерная нелинейная задача оптимального управления на бесконечном горизонте планирования, являющаяся модификацией модели эндогенного экономического роста Рамсея с производственной функцией Кобба-Дугласа. Новизна модели заключается в рассмотрении переменной эластичности производства, которая является параметром функции Кобба-Дугласа. В качестве первого шага исследования задача изучается при кусочно-гладкой и кусочно-постоянной функции эластичности. Построены оптимальные решения на основе специального интегрального представления функционала, которые обладают свойством единственности для каждого из случаев функции эластичности. Оптимальные решения содержат особые режимы. Полученные результаты можно использовать для оценки влияния неопределенности в задаче Рамсея с постоянными параметрами.

Ключевые слова: оптимальное управление, модель экономического роста, функция Кобба-Дугласа.

1. Введение. Рассмотрим нелинейную задачу оптимального управления

где одномерная фазовая переменная х играет роль фондовооруженности, управление u(t) G [0,1] — доля капиталовложений от производственного выпуска, параметр /х > 0 — коэффициент амортизации производственных фондов (случай /х = 0 может быть рассмотрен по такой же схеме), параметр v > 0 — коэффициент дисконтирования, функция e(t) G (0,1) — коэффициент эластичности по производственным фондам. Функционал качества J[u] играет роль общего удельного потребления на бесконечном полуинтервале времени 0 ^ t < +оо. В задаче (1) функция Кобба-Дугласа / имеет вид / = х£^\ Задача (1) с постоянной функцией эластичности, e(t) = const, на конечном горизонте, 0 ^ t ^ Т, упомянута в книге [1] и в работах [2, 3].

Идея о рассмотрении функции Кобба-Дугласа с переменной эластичностью взята из материалов конференции [4], были приняты во внимание исследования переменной эластичности в зависимости от различных факторов производства в работе [5].

Сделан первый шаг в изучении задачи (1) в новой постановке, а именно задача (1) исследуется в случаях кусочно-гладкой и кусочно-постоянной функции e(t). Посвященный случаю постоянной эластичности п. 2 имеет методологический характер. В нем поиск экстремальных решений осуществляется при помощи специального интегрального представления функционала J[u], а также указывается подход к решению задачи при помощи принципа максимума Понтрягина [6]. Остальные случаи рассматриваются на основе разработанного методологического подхода в п. 2 без использования принципа максимума.

Полученные результаты интересны для приложений, так как позволяют определить оптимальные пропорции потребления и накопления в однопродуктовой модели экономического роста в условиях изменений в факторах или технологиях производства во времени, которые влекут изменения параметров производственной функции.

1 Факультет ВМК МГУ, доц., к.ф.-м.н., e-mail: kiselevQcs.msu.su

2 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: sergey.orlovQcs.msu.su

* Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ, проект № 14-11-00539.

X — их

(1)

о

2. Случай постоянной эластичности.

2.1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу оптимального управления

+ ОС

ж = их£ — /¿ж, 0 ^ £ < +оо, ж(0) = жо, = / — и)х£ (Й тах, (2)

У и(-)

О

где х > 0 — одномерная фазовая переменная, и — одномерное управление, подчиненное геометрическому ограничению и € [0,1], параметры хо > 0, ^ > 0, ь> > 0, е € (0,1) — известные числа. Для задачи (2) находится оптимальное решение и приводится классификация типов оптимальных решений при различных предположениях о параметрах задачи. Наиболее простым средством исследования является специальное интегральное представление функционала в виде суммы внеин-тегрального слагаемого жо и интеграла, в котором интегрант является произведением экспоненты и функции Ш(х), зависящей только от фазовой переменной х (результат исключения управления из функционала, что возможно в силу линейного вхождения управления в дифференциальное уравнение движения и в интегрант функционала). При этом анализе существенная роль принадлежит множеству достижимости Х(Т) в момент времени Т управляемого объекта задачи (2).

Отметим, что решение задачи оптимального управления (2) можно построить на основе принципа максимума Понтрягина [6] с привлечением теоремы о достаточных условиях оптимальности [7] в терминах конструкций принципа максимума, которая гарантирует оптимальность экстремального решения, полученного из краевой задачи принципа максимума. Речь идет о привлечении версии этой теоремы в условиях наличия особых режимов и бесконечного горизонта планирования.

2.2. Решение задачи. Начинаем анализ задачи (2) с построения двусторонних оценок для произвольной допустимой траектории х(1) изучаемого объекта и множества достижимости Х(Т) в момент времени Т.

Лемма 1. Для любой допустимой траектории х(1) в задаче (2) выполняется двойное неравенство

ж_(г) 5$ х(г) 5$ ж+(г), (3)

где нижняя граница ж_(£) вилки (3), получаемая при управлении и(1) = 0, определяется формулой

ж_(£) = ж0е~^,

а верхняя граница х+(1) вилки (3), получаемая при управлении и(1) = 1, определяется формулой

х+{1) = [- 1//х) е-^-е)* + 1/м] 1/(1~£) .

Множеством достижимости Х(Т) в момент времени Т ^ 0 является отрезок, концами которого служат границы вилки (3) в момент времени Т:

Х(Т) = [ж_(Т),ж+(Т)]. (4)

Доказательство. Формулы для ж_(£) и х+(1) получаются при решении задачи Коши х = их£ — /¿ж, ж(0) = жо из (2), в которой параметр и выбран соответственно, и = 0 и и = 1. Отсюда можно получить двойное неравенство (3).

Для проверки утверждения (4) установим вложения

Х(Т) С [ж_(Т),ж+(Т)], Х(Т) э [ж_(Т),ж+(Т)]. (5)

Первое вложение (5) следует из неравенства (3). Проверим второе вложение (5). Очевидно, что ж_(Т) € Х(Т), ж_|_(Т) € Х(Т). Остается проверить аналогичное включение для любой внутренней точки отрезка [ж_(Т), ж+(Т)]. При постоянном управлении = V € [0,1] соответствующая траектория ж(£, г>), I ^ 0, в момент времени £ = Т допускает представление

г , -, 1/(1—г)

ж(Т,у)= (х\-£ -у/ц) е"^1"^ + у/ц =Цу).

Функция непрерывно зависит от аргумента V € [0,1], причем /г.(0) = ж_(Т), /г,(1) = ж +(Т). Тогда для любого £ € [ж_(Т), ж+(Т)] существует такое V € [0,1], что ж(Т,у) = к(у) = следовательно, верно второе вложение (5). Вложения (5) влекут равенство (4).

Лемма 2 (основная лемма). Критерий J в задаче (2) допускает представление

+ ОС

J[x{-)] = xо+ J e~vtW(x(t)) dt, (6)

о

где функция W(x) определяется равенством

W(x) = хе - (/i + v)x, x Js 0. (7)

Доказательство. Из дифференциального уравнения задачи (2) управление и можно выразить через жиж:

ж + /лх , .

Подстановка (8) в функционал J задачи (2) дает

+ ОС

J[ж] = J с~и^\х£ — ж — /хж] dt,

о

и применение формулы интегрирования по частям приводит к доказательству утверждений (6), (7) леммы 2.

Обозначим а = (/х + Лемма 3 посвящена свойствам функции W(ж).

Лемма 3. Функция W(ж) обладает следуют,ими свойствами: W(0) = 0, W(a) = О, W(+ос) = ^оо; W(ж) > 0, ж G (0,<т); W(ж) < 0, ж G (<т,+оо); И"(ж) > 0, ж G (0,ж*); W'(ж,) = 0; И^'(ж) < 0, ж G (ж*,+оо), гдех* = {e/^+v))1^1-^ —единственный максимизатор функции W(-) :

х* = argmaxW(^) = arg max !¥(£). (9)

o^i<+oo o<i<o-

Сформулируем основной результат для задачи (2).

Теорема 1. Оптимальная траектория xopt(t) в задаче (2) имеет вид

%opt(t) = argmaxW(^), t > 0. (10)

tex(t)

Оптимальное

управление Wopt(^) в задаче (7) определяется равенством

Uopt(t) = (¿opt (t) + Mxopt(t))/%opt(t) С11)

в точках дифференцируемости траектории (10) и удовлетворяет в этих точках включению «opt (t) G [0,1].

Доказательство. Утверждения теоремы 1 вытекают из лемм 1-3. Действительно, возьмем любую допустимую траекторию ж(t) G X(t), t ^ 0, на основании представления (6) запишем следующее выражение для приращения функционала J:

+ ОС

AJ = J[x]-J[xopt]= J e-vt[W(x(t))^W(xopt(t)))dt. (12)

о

Из определения функции (10) имеем неравенство W(x(t)) — W(xopt(t)) ^ 0, справедливое для любого t ^ 0, следовательно, из (12) получаем оценку A J ^ 0, что доказывает оптимальность траектории (10). Таким образом, траектория (10) максимизирует функционал J в задаче (2). Соотношение (11) вытекает из дифференциального уравнения задачи (2). Докажем справедливость включения uopt(t) G [0,1] в точках дифференцируемости функции (10). Множество достижимости Х(Т) в каждый момент времени Т представляет собой отрезок (см. лемму 1). Тогда для оптимальной траектории xopt(t) с учетом (4), (9), (10) верно следующее представление:

{ж +(г), ж*>ж+(г), ж*, ж* g [ж_(г),ж+(г)],

ж_(i), Ж* < X-(t).

Следовательно, в точках дифференцируемости Жор^) по формуле (11) получаем

{1, ж* > ж+(£),

= -¡ц^ е (о, 1), ж* € [ж_(г),ж+(г)],

О, ж* < ж_(£).

Теорема 1 доказана.

Замечание 1. Имеет место свойство единственности оптимальной траектории задачи (2). Компактное выражение (10) для оптимальной траектории в дальнейшем раскрывается и на этой основе дается полная классификация типов оптимальных решений задачи (5). Будет показано, что оптимальная траектория может иметь не более одной точки излома.

Замечание 2. Составив функцию Гамильтона-Понтрягина К = — и)х£ + ф(их£ — /¿ж),

сопряженное уравнение ф = —К'х для задачи (2) и исследовав задачу (2) на особые режимы, можно показать, что в задаче (2) возможный особый режим характеризуется соотношениями ж(£) = ж8Пё = ж* = (е/(/х + ь>))1^1~£\ = = рьх\~£ = рье/{рь + ь>) € (0,1), г ^ £ < +оо. Обоснование оптимальности экстремального решения можно провести с помощью расширенной версии теоремы из [7] о достаточных условиях оптимальности в терминах конструкций принципа максимума.

2.3. Классификация типов оптимальных решений задачи. В зависимости от начального состояния ж(0) = жо > 0 мы рассмотрим три случая: "малые" начальные значения 0 < жо < ж*; особое начальное значение жо = ж*; "большие" начальные значения жо > ж*.

В случае 0 < жо < ж* имеется один особый участок [т1, +оо), где т\ — точка излома оптимальной траектории,

|ж+(г), о < г < ть 11, о<г<т1,

(^ж*, Г1 < г < +оо, ^/хж£ % Г1 < г < +оо,

причем точка переключения т\ определяется из уравнения ж* = ж+(т1) равенством

1-е

п = —- 1п 11^—31— > о

М1-^) 1//Х

X а

В случае жо = ж* особый участок распространяется на весь интервал [0,+оо): хор%(1) = ж*,

В случае жо > ж* имеется один особый участок [т3, +оо), где т3 — точка излома оптимальной траектории,

/ж_(г), о^г<т3, /о, о^г<т3,

ЯорЦ*) = < , , ^ , иорь(1) = <

[ж*, т3 < г < +оо, ^/хх* % т3 < г < +оо,

причем точка переключения т3 определяется из уравнения ж* = ж_(т3) равенством

1 1 ж° п т3 = — III — >0.

х *

Таким образом, рассмотрены все случаи и дана классификация всех типов оптимальных решений задачи (2): выяснено, что оптимальное решение может иметь не более одной точки переключения (излома) и не более одного особого участка, причем особый участок может быть только бесконечным.

3. Случай переменной эластичности. Рассмотрим случай переменной эластичности производства, а именно рассмотрим задачу оптимального управления:

ж = их£^

-(-оо

¿¿ж, 0 < £ < +оо, ж(0) = Жо, Л[и] = / е~р*(1 - и)х£^ (Й тах, (13)

У «(•)

где е = e(t), 0 ^ t < +оо, — некоторая заданная функция, область значений которой принадлежит интервалу (0,1).

3.1. Переменная эластичность с ограниченной скоростью изменения. Рассмотрим случай кусочно-гладкой функции эластичности e(t).

Следуя схеме п. 2.2, перепишем леммы 1-3 для задачи (13) в следующем виде. Лемма 4. Для любой допустимой траектории x(t) в задаче (13) выполняется двойное неравенство

x-(t) < x(t) < x+(t), t^ 0, (14)

где нижняя граница X-(t) вилки (14) соответствует управлению u(t) = 0:

x-(t) = xQe~ßt,

а верхняя граница x+(t) вилки (14) соответствует управлению u(t) = 1 и является решением задачи Коши

х = х£^ — ßx, ж(0) = Xq.

Множеством достижимости Х(Т) в момент времени T ^ 0 является отрезок, концами которого являются границы вилки (14) в момент времени Т:

Х(Т) = [х.(Т),х+(Т)}.

Лемма 5 (основная лемма). Критерий J в задаче (13) допускает представление

+ ОС

J[x{-)] = xо+ J e~vtW{t,x{t))dt, о

где функция W(t,x) определяется равенством

W(t,x) =xe{t) - {ß + v)x, ж^О. (15)

Обозначим o(t) = (ß + î/)~1/(1~£(t)).

Лемма 6. Функция (15) для любого t ^ 0 обладает следуют,ими свойствами: W(t, 0) = 0, W(t, a(t)) = 0, W(t, +оо) = ^оо; W(t, ж) > 0, ж G (0, a(t)); W(t, x) < 0, ж G (a(t), +oo); W'Jt, x) > 0, ж G (0,ж*(г)); W'x{t,x*{i)) = 0; W'x(t, x) < 0, ж G (x*(t), +oo), где x*(i) = (e(t)/(n + ^VU-e«) — единственный максимизатор функции W(t, ж) по переменной ж:

ж *(i) = arg max.W(t,Ç) = arg max £). (16)

0^Î<+oo 0 <£<cr(t)

Доказательства лемм 4-6 повторяют в основном доказательства лемм 1-3 п. 2.2 и здесь не приводятся.

Обозначим г = min{i ^ 0| ж*(i) G X(t)}. Сформулируем основную теорему для задачи (13) с кусочно-гладкой функцией эластичности.

Теорема 2. Оптимальная траектория xopt(t) в задаче (13) имеет вид

argmat ^ 0, (17)

tex(t)

и оптимальное управление uopt(t) в задаче (15) определяется равенством

, .4 _ ¿opt(t) + ßXopt(t)

uopt[ ) ~ z(t)(f]

opt W

в точках дифференцируемости траектории (17) при условии, что для любого t ^ т выполнено включение uopt(t) G [0,1].

Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1 из п. 2.2, за исключением того, что в теореме 2 включение uopt (t) G [0,1] для любого t ^ г является предположением теоремы, а не ее утверждением, как это было в теореме 1.

Замечание 3. Исследуя задачу (13) на особый режим по аналогии с замечанием 2, можно получить следующие соотношения для возможного особого режима:

Ф)

¡л + ъ>

(*) =

ж*(£) + _

ц + и

+т

1п

+

т

еШ-еЮ)

(18)

При выполнении условия Е [0,1] \/£ ^ т можно построить экстремальное решение и обо-

сновать его оптимальность с помощью расширенной версии теоремы из работы [7]. В этом случае поведение оптимальной траектории аналогично случаю с постоянной эластичностью: движение по границе множества достижимости к особой траектории и движение по особой траектории до бесконечности. Имеет место единственность оптимального управления, и аналогично п. 2.3 можно провести классификацию решений в зависимости от начального положения

Замечание 4. Рассмотрим формулу (18) для гл8Пё(£). Предположением теоремы 2 является условие гл8Пё(£) Е [0,1] для любого £ ^ т. Для выполнения этого условия производная функции е(£) должна быть ограничена на луче [т, +оо), так как коэффициент при ¿(£) в формуле (18) может обращаться в нуль не более чем в одной точке. Следовательно, существует такое М > О, что |б(£)| ^ М для всех £ ^ т, и переменная эластичность е(£) имеет ограниченную скорость изменения на всем бесконечном полуинтервале времени т ^ £ < +оо. Например, если ¡л = 0.2, V — 0.1, то функция е(£) = 1/8 + 1/1б8т(£/4) удовлетворяет условию теоремы 2, а функция е(£) = 1/8 + 1/1б8т(£/2) не удовлетворяет, так как производная второй функции больше по модулю производной первой функции. Заметим при этом, что обе функции гладкие и при всех £ > 0 принадлежат отрезку [0,1].

В качестве иллюстрации полученных результатов рассмотрим пример, когда функция переменной эластичности

е{1) = 1/2 + 1/4е"^20,

а остальные параметры задачи (13) определяются следующими равенствами: ж0 = 10, = 0.2, V = 0.1. Функция (19) удовлетворяет условию теоремы 2. Графики оптимальной траектории и функции гл8Пё(£) представлены на рис. 1, 2. Интересно, что существует участок времени, когда 0^t<тIIusng(t) <£ [0,1].

0 т 10 20 30 40 50 60 70 80 г

Рис. 1. Оптимальная траектория ж0р1;(£)

-0.4

Рис. 2. Функция

3.1. Случай мгновенного изменения эластичности. Рассмотрим функцию е(£) следующего вида:

где вг £ (0,1), г — 1,2. Функция эластичности (20) может описывать ситуацию, в которой заранее известно, что в момент времени в произойдут некоторые изменения, например, в факторах производства или в технологиях производства, которые повлекут за собой изменения производственной функции.

Для функции (20) перепишем максимизатор (16) функции (см. (15)) в виде

X,

£2 ?

о < г < в < г.

Ниже предполагается, что параметры /х, е\ таковы, что существует допустимая траектория, которая сначала попадает на особый режим х — х£11 а после этого попадает на особый режим

х — х

£2

в момент времени в.

Рассмотрим "разбиение" задачи (13) по временному интервалу на две задачи оптимального управления со склейкой по условию х(0) — хо Е X(в):

х — их81 — цх, ж(0) = жо, х(9) — хв-> ЛМ = / е и (1 — и)х£1 (И —шах

и /

х = их£2 —

+оо

^ ^ < +00, х(в) = Хд, 32[и] = J 6

е~^(1-и)х£2 <И

тах.

(21)

(22)

Обозначим через (х0-рц(^ хв)-> г¿optl(í; хв)) оптимальный процесс задачи (21), а через х$), х$)) оптимальный процесс задачи (22). Можно показать, что оптимальные ре-

шения этих задач существуют и единственны. Заметим, что задача (22) сводится заменой времени £ — Ь — в к задаче (2). Обозначим через любой максимизатор функции 3(хв) — Л[^ора(* + + ]хв)\ на множестве хо £ Хо. Обозначим

°Р 0 < * < +ос,

°р [г¿opt2(í;^), о < * < +ос.

Сформулируем теорему об оптимальном решении задачи (13) для функции (20).

*(0

ю е 20 зо г

Рис. 3. Оптимальная траектория

зо г

Рис. 4. Оптимальная траектория

Теорема 3. Пара оптимальна в задаче (13) для функции (20).

Доказательство теоремы 3 можно провести прямым сравнением функционалов на управлении г^ор^) и на любом другом допустимом управлении й(£).

Замечание 5. Можно показать, что £ (тт(ж£1, х£2), тах(ж£1, х£2)) существует, единственно и является решением некоторого нелинейного уравнения. Таким образом, пара (яор^^^ор^)) существует и единственна.

В качестве иллюстрации полученных результатов рассмотрим функцию e(t) вида (20), где

ei = 3/5, £2 = 2/5, 0 = 15,

а остальные параметры задачи (13) выбраны следующими: ж0 = 3, /х = 0.2, v = 0.1. Для этого случая с помощью вычислений в среде Maple была получена оптимальная траектория, представленная

на рис. 3. На рис. 4 показана траектория для случая, когда в функции переменной эластичности (20)

£i = 2/5, £2 = 3/5, в = 15, а остальные параметры те же самые.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ашманов С. А. Математические модели и методы в экономике. М.: Изд-во МГУ, 1980.

2. Киселёв Ю.Н., Орлов М. В. Исследование одномерных оптимизационных моделей в случае бесконечного горизонта // Дифференц. уравн. 2004. 40. № 12. С. 1615-1628.

3. К i s е 1 е v Yu. N., О г 1 о v М. V. Investigation of one-dimensional resource allocation problems on an infinite time interval // Сотр. Math. Mod. 2014. 25. N 2. P. 231-238.

4. Кряжимский А.В., Тарасьев A.M. Краткосрочная адаптация и долгосрочная инвестиционная политика в моделях экономического роста // Тихоновские чтения: Научная конференция. Тезисы докладов. М.: МАКС Пресс, 2013. С. 31-32.

5. Ulveling Е.F., Fletcher L.В. A Cobb-Douglas production function with variable returns to scale // Am. J. Agr. Econ. 1970. N 52. P. 322-326.

6. Понтрягин JI. С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961.

7. Киселёв Ю.Н. Достаточные условия оптимальности в терминах конструкций принципа максимума Понтрягина // Математические модели в экономике и биологии. М.: МАКС Пресс, 2003. С. 57-67.

Поступила в редакцию 14.01.15

52

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2015. № 3

INVESTIGATION OF MODIFIED RAMSEY MODEL WITH VARIABLE OUTPUT ELASTICITY

Kiselev Yu. N., Orlov S. M.

We consider a one-dimensional nonlinear optimal control problem on infinite horizon which is a modification of Ramsey endogenous growth model with Cobb-Douglas production function. The novelty of the model consists in consideration of variable output elasticity, which is a parameter of Cobb-Douglas function. As a first research step, the problem is studied where the elasticity function is piecewise smooth and piecewise constant. The optimal solutions are constructed in terms of special integral representation of the cost functional and are unique in considered cases. The optimal solutions include singular arcs. Obtained results can be used for estimation of uncertainty influence in a Ramsey problem with constant parameters.

Keywords: optimal control, economic growth model, Cobb-Douglas function.