Исследование двухсекторной экономической модели с функционалом интегрального типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977.5

Ю. Н. Киселёв, М. В. Орлов, С. М. Орлов3

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУХСЕКТОРНОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ С ФУНКЦИОНАЛОМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ТИПА

В статье исследована двумерная задача распределения ресурсов в двухсекторной экономической модели с производственной функцией Кобба-Дугласа и функционалом интегрального типа с дисконтированием. Получено конструктивное описание оптимального решения при "большом" горизонте планирования. Для получения результата используется принцип максимума Понтрягина. Обоснование оптимальности экстремального решения производится с привлечением теоремы о достаточных условиях оптимальности в терминах конструкций принципа максимума. Исследованная задача с другими производственными функциями допускает биологическую интерпретацию в модели сбалансированного роста растений на заданном конечном промежутке времени.

Ключевые слова: двухсекторная экономическая модель, функция Кобба-Дугласа, оптимальное управление, принцип максимума.

1. Введение. Постановка задачи. Рассмотрим нелинейную двумерную задачу оптимального управления

х\ = —F(x), xi(0) = жю > О,

ж2 = —F(x), ж2(0) = x2q > О,

£2 Т

J = e~ut(l — ui — U2)F(x) dt max,

J «(•)

о

x = ( 1 ) € Rl, и £ U = <u = ( 1 I : ui ^ 0, 11,2 ^ 0, u\ + 11,2 ^ 1 \Х2/ { \U2

0 < t < T.

(1)

Здесь х\ > 0, Х2 > 0 — фазовые переменные, иг, щ — переменные управления и = ( |, подчиненного

геометрическому ограничению и(1) € I/ С Д2, где область управления II является треугольником с опорной функцией [1, 2]

c(U,p) = тах(р,и) = max{o,pi,p2 } Vp = ( 1 ) G uEU I J \p2J

R2

1 Факультет BMK МГУ, доц., к.ф.-м.н., e-mail: kiselevQcs.msu.su

2 Факультет BMK МГУ, доц., к.ф.-м.н., e-mail: orlovQcs.msu.su

3 Факультет BMK МГУ, асп., e-mail: sergey.orlovQcs.msu.su

ж° = € — начальное состояние управляемого объекта, Т > 0 — заданная длительность

процесса управления, а

.о

¿^(ж) = ж^1 Жз2; в! > 0, е2 > 0, £1 + е2 = 1; Р(х) > 0 Уж

€ Да",

— производственная функция Кобба-Дугласа с известными коэффициентами эластичности е2. Коэффициент дисконтирования V € (0,1). Фазовые переменные характеризуют уровень развития двух секторов экономики, а функционал — интегральный объем потребления на отрезке времени [О, Т] с учетом дисконтирования.

Задача оптимального управления (1) с коэффициентом дисконтирования V = 0 рассмотрена в [1]. К задаче (1) путем введения новых переменных и при подходящем масштабировании времени сводится задача (2):

Здесь /х > 0 — коэффициент амортизации. При исследовании задачи оптимального управления (1) используются подходы, разработанные в [3, 4]. Задача (1) рассматривается при "достаточно большом" горизонте планирования Т > 0 и допускает особые режимы, характеризуемые соотношениями

XI = ж2, и = = в! € (0,1).

Далее находится оптимальное решение задачи (1).

Опишем кратко особенности поведения оптимального решения задачи (1):

• на финальном участке времени управления равны нулю: и\ = 0, = 0, фазовая переменная, находящаяся на особом луче Ьзпё, остается неподвижной;

• финальному участку времени предшествует особый участок времени (сбалансированный рост), на котором щ = «18Пё = £16 (0,1), и2 = и2зпё = е2 е (0,1), при этом фазовая точка ж движется по особому лучу Ь3Пё = {х\ = ж2 > 0}, удаляясь от начала координат;

• на начальном участке времени фазовая точка ж движется по направлению к особому лучу Ь8Пё, при этом щ = 0, ь,2 = 1, если начальная точка ж(0) находится "ниже" Ь8Пё или щ = 1, «2 = О, если ж(0) — "выше"

Интересно отметить, что положительный вклад в оптимизируемый функционал на оптимальном решении вносит только финальный участок времени, тогда как на предшествующих этапах, где 1 — — = 0; соответствующий вклад равен нулю.

Для построения оптимального решения задачи (1) используется принцип максимума Понтряги-на [5]. Обоснование оптимальности построенного экстремального решения требует дополнительных рассуждений (теорема о достаточных условиях оптимальности).

Замечание 1. Задача вида (1) при других типах производственной функции ж) допускает [6] биологическую интерпретацию в модели сбалансированного роста растений, в которой х,\ характеризует степень развития корневой системы, ж2 — побегов (кроны), а функционал — массу выросших плодов на заданном промежутке времени (сельскохозяйственный сезон). В [6] приведен следующий вид функции .Р(ж):

<

где !. <■ Ь1, Ь2, 7, ст — заданные константы.

2. Формулировка теоремы об оптимальном решении задачи (1). Введем обозначения

1 , 1 % = - In —

V 1 —

>0,

V

£2

Пп = —

1

X2Q Xio

По = — £2

1

XW X2Q

£2

Ниже рассматриваются следующие случаи для параметров задачи (1): случай с8Пё: ж(0) = х° € Ь8Пё = {х10 = ж20 > 0}, 0 < Т ^ Т„;

случай С;,,.,: х° € Ь8Пё, Т > '/'„; случай С'ог: ж° "ниже" Ь8Пё, т.е. т01 > О, Т > Т„ + г01; случай Сю: х° "выше" Ь8Пё, т.е. т10 > О, Т > Т„ + тю-

Теорема 1. I. В

случав с81^ оптимальное решение задачи (1) имеет вид'.

оптимальное управление оптимальная траектория

«i(í) = «2(í) = 0, 0<Í<T;

Ж1(г) = жю, ж2(^) = ж2о, о < г < т.

II. В случае С8Пё оптимальное решение задачи (1) имеет вид: оптимальное управление

О 5$ í 5$ в < t

u2(t) =

О,

О < t < в < t

х\(t) = x2{t) =

Ui{t) =

точка переключения оптимальная траектория

О < t < fcr(0), в

r(t) = г0е*, r(0) = r0ee, r0 = x1Q = x2q. III. В случае Cqi оптимальное решение задачи (1) имеет вид: оптимальное управление

С 0, 0 < t < Г, Г1, 0 < Í < г,

= S т < í < 0, u2(t) = < e2, t <t 0, [o, e<t^T, [o, e<t^T,

точки переключения t и в:

т = т01, 6 = Т-Т„€(т01,Т), 0 < г < в < Т;

оптимальная траектория

жю, 0 < t 5$ г, fnu(í), 0 5$ t 5$ г,

®i(í) = <( r(í), т < í sg 0, riß), 0 <t^T,

X2(t) = { r(í), r(0),

r < Í < 0,

0 < í < T,

где

roi =

20

£i/

i/e

r(i) = r0e

t-r

r(0) = r0e

e-r

r = Tqi > 0,

Г0=Жю>Ж20, Пп(0)=Ж20, Г01(т)=Жю.

(3)

(4)

IV. В случае Сю оптимальное решение задачи (1) имеет вид: оптимальное управление

il, о < t < Г, Го, 0 < t < Г,

Ul(t) = < £Ъ T U2(t) = < £2, T < t < в,

[о, 0<t<T, [о, 0<t<T,

точки переключения т и в:

т = тю, 6 = Т-Т„€(т10,Т), 0 < г < в < Т;

оптимальная траектория

(rw(t), 0 ^ i ^ г, Гж20, 0 < t г,

r(i), T <t^e, x2(t) = < r(t), т <t^e, r(0), [r(0),

где

1/S2

, r(t) = rQé~T, r(0) = rQee~T, T = T1Q> 0,

ri о =

i__± ,. ' " /

X10 + . 20

Г0=Ж20>Жю, Гю(0)=Жю, Гю(т)=Ж20-

Здесь параметры Т„, r0i, гю определяются формулами (3), (4).

Финальный участок времени является участком стабильности фазовых переменных, а предшествующий ему особый участок является участком сбалансированного роста фазовых переменных. Замечание 2. Легко проверить, что

1 1 lim Т„ = lim — In- = 1.

v—tO —5-0 V 1 — 1/

Таким образом, утверждение теоремы 1 полностью согласуется с утверждением соответствующей теоремы из [1].

Обоснование утверждений теоремы 1 приводится ниже.

3. Краевая задача принципа максимума. Запишем функцию Га миль гона Понтрягина для задачи (1), полагая фа = 1,

К(х, ф, и, t) = (1 — ui — u2)e~utF(x) + %l)i—F(x) + ip2—F(x) = F(x)g(^, и, t).

¿1 £2

Здесь

g{i!>,u,t) = e~vt e ) + e~Vt ) v'2'

Введем в рассмотрение функцию Эту функцию можно представить в виде

G(ip,t) = ma xg(ijj,u,t).

и£ U

G(i/>,t) = e~ut + c(U,p) Так как 0 G U, то c(U,p) ^ 0 Vp G iî2, поэтому

= (Фг/гг-е "S * \ф2 !£•> —

ОД,t) ^ e~vt >0 0.

Сопряженное уравнение

ij> = -F'(x)G(il>,t), ф(Т) = 0,

в координатной форме имеет вид

фх = -Р^{х)0{ф,1),

ФЛТ) = 0

ф2 = -р'{х)0{ф,$, Ыт) = о

р(х)0(ф,г), Р(х)в(ф,$,

фг(Т) = О,

Мт) = о.

К сопряженным уравнениям присоединены условия трансверсальности. Функция максимума

М(х, ф, I) = тах К (ж, ф, и, I)

и&]

может быть записана в форме

м(х,ф,г) = р{х)в{ф,г),

где фазовые переменные и сопряженные переменные разделены. Сопряженное уравнение удобно записать в форме

Ф =-м'х{х,ф,г), Ф(т) = о,

где М'х(х, ф, I) = Р'(х)0(ф,1) — градиент функции максимума по фазовой переменной х. Краевая задача принципа максимума Понтрягина для задачи (1) имеет вид

Х\ = —г (ж), £1

Х2 = —г (ж), £2

£1

Ф1 = —

Ж1

ф2 = ^—Р(х)0(ф,1), х2

, к(х(г),ф(г),и(г),г) = м{х{г),ф{г),г),

Ж1(0) = жю > О,

ж2(0) = Ж20 > О,

фг(Т) = О,

Ф2(Т) = о, о < г < т.

(5)

Краевая задача (5) состоит из четырех дифференциальных уравнений, четырех краевых условий и условия максимума. Пусть функции

ж(г) =

Ж1(г) ж2(г)

«(¿) =

щ(1) и2(1)

о < г < т,

(6)

образуют решение краевой задачи (5) (экстремальная тройка). Пару функций ж(£), 0 ^ £ ^ Т, называют экстремальным процессом, который удовлетворяет необходимым условиям оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина с участием сопряженной переменной ф{Ь).

Далее на основании теоремы о достаточных условиях оптимальности будет установлена оптимальность экстремального решения и в каждом из случаев с8Пё, С8Пё, С01, Сю будет предъявлено экстремальное решение (6), что приведет к доказательству утверждений теоремы 1 об оптимальном решении задачи (1).

Замечание 3. Неравенства ж) > 0 Ух € 0{ф,1) > 0 Уф € В? и £ ^ 0, влекут неравенства ф\ < 0, ф2 < 0, следовательно, сопряженные переменные ф2^) являются убывающими функциями времени на отрезке [О, Т] и положительными на полуинтервале [О, Т); производные ф\, ф2 непрерывно зависят от времени.

4. Обоснование оптимальности экстремального решения. Для доказательства оптимальности экстремального процесса

(ж (Кг^т, (7)

воспользуемся схемой рассуждений из статьи [7]. Рассмотрим наряду с экстремальным процессом (7) любой допустимый процесс

(ж(г),й(г)), (кг^т, (8)

= л ? ) ж(0) = х°, «(¿) € и.

т \ и 1/е2/

Введем приращения

Дж(г) = х(Ь) - ж(г), AJ = «/[«,(•)] - </[«(•)]

для траектории и функционала. Оптимальность экстремального процесса (7) будет доказана, если установить неравенство

А3 < 0 (9)

для любого допустимого процесса (8). Приращение функционала Д./ допускает следующее интегральное представление:

г

^ = - «мм - (м;(*м,«(.м>, (ю)

о

Из (10) следует неравенство

г

д/ < ¡{щттл - МШ.ФШ) - аи

о

В силу свойств М(х, ф, = Р{х)0{ф,1), М'х(х,ф,Ь) = Р'{х)0{ф,1) функции максимума неравенство (11) можно переписать в виде

г

д«/^I{^(ж(г))-- д®(*))}ед(г),г)<й.

о

Последнее неравенство в силу вогнутости функции Кобба-Дугласа Р(х) и неравенства 0{ф,1) > О влечет справедливость оценки (9).

Интегральное представление (10) для приращения функционала является следствием очевидного равенства

0= {ф(1),Ах(Щ1~=Т^

из которого на основании формулы Ньютона-Лейбница можно записать равенство

г

0 = I{Д®(*)) + {Ш Дя(*))} <й,

о

откуда в силу сопряженного уравнения ф = —М'х(х, ф, I) и определения функций К и М получаем г

0 = /0 - 0 - МА,(<))} - + ,12)

о

Из (12) с учетом определения следует формула (10). Таким образом, оптимальность экстремального решения доказана.

5. Построение экстремального решения. В данном разделе дается описание экстремальной тройки (6) задачи (1). Траектория х(-) и управление и(-) представлены в теореме 1. Остается выписать явные выражения для экстремальной сопряженной переменной. Теорема 2.

I. В случае с8Пё сопряженные переменные имеют вид

= ¿ = 1,2, о^г^т,

причем имеет место неравенство

'~vt < 0, г = 1,2, 0 <t<T.

II. В случае С8Пё сопряженные переменные имеют вид

i = 1,2.

q{9)ee~T[l + т — i],

1 g(i), 0 < i ^ Т,

III. В случае Cqi сопряженные переменные определяются равенствами

Mi) =

q(0)e0-7

£i

= < Ч(в)е

e-t

t <t^e, в < г sc т,

•Ш

£2

= <

д(0)ее"*,

Жю %2(t)

О < i < т,

г < г sg 0, 0 < i sC Т,

где

т = т01>0, в = Т^% б (г,Т), причем имеет место неравенство

Ш-е-« > Ш -е-« o^t<T.

£2

IV. В случае Сю сопряженные переменные определяются равенствами

М)

гп

= <

Ж20

О < t sC г,

г < i < 0,

0 < t < Т,

g(0)ee_T q(9)ee~t,

q(t),

g(0)ee_T[l + r — i], = J g(0)ee-t

q(t),

£2

r < i < 0,

0 < t < T,

гс>е

г = г10>0, в = Т^Ти б (г,Т), причем имеет место неравенство

Ф i(t)

„-vt \

-— е .> -— е ,

О < t < т.

£1 £2 Здесь Т„, т01, гю определяются формулами (3), (4), а функция

1

g(i) = -(e

-vt „—vT

Доказательство. Справедливость утверждений теоремы 2 проверяется непосредственно. Замечание 4. Отметим, что при г/ ^ 1 оптимальное решение задачи (1) имеет следующий вид:

' iii(i) = «2(i) = О

Ж1(г) = жю, X2(i) = Ж20,

= g(i),

0 sc t < т, о sc t sc т,

0 sC t sC T, 0 sC t sC T.

При этом

Ш-е-« = Ж-е-«< о, CKi^T.

£i £2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Киселёв Ю. Н., Орлов М. В. Исследование задачи распределения ресурсов в двухсекторной экономической модели с производственной функцией Кобба-Дугласа и функционалом интегрального типа // Проблемы динамического управления. Вып. 6. М.: МАКС Пресс, 2012. С. 102-111.

2. Киселёв Ю.Н., Аввакумов С. Н., Орлов М. В. Оптимальное управление. Линейная теория и приложения. М.: МАКС Пресс, 2007.

3. Киселёв Ю. Н., О р л о в М. В. Исследование одной двухсекторной модели экономического роста с производственной функцией Кобба-Дугласа // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2010. № 2. С. 56-63.

4. Киселёв Ю.Н., Орлов М. В. Оптимальная программа распределения ресурсов в двухсекторной экономической модели с производственной функцией Кобба-Дугласа // Дифференц. уравн. 2010. 46. № 12. С. 1749-1765.

5. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961.

6. Iwasa Y., Roughgarden J. Shoot/root balance of plants: optimal growth of a system with many vegitative organs // Theoretical Population Biology. 1984. 25. P. 78-105.

7. Киселёв Ю.Н. Достаточные условия оптимальности в терминах конструкций принципа максимума Пон-трягина // Математические модели в экономике и биологии. М.: МАКС Пресс, 2003. С. 57-67.

Поступила в редакцию 13.05.13

INVESTIGATION OF A TWO-SECTOR MODEL WITH INTEGRATING TYPE FUNCTIONAL COST

Kiselev Yu. N., Orlov M. V., Orlov S. M.

In this article a resource allocation problem in a two-sector model with the Cobb-Douglas production function and integrating type functional cost with discounting is considered. The planning horizon is finite, fixed, and sufficiently large. A constructive description of the optimal solution is suggested. The solution is based on the Pon-tryagin maximum principle. The optimality of an extreme solution developed on the basis of the sufficient optimality conditions.

Keywords: two-sector model of economic growth, Cobb-Douglas production function, optimal control, Pontrya-gin maximum principle.