CC BY
13
ОСОБЕННОСТИ ЗОНДИРОВАНИЯ СВЕТОВОДА СЛОЖНОГО
ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Андросик Андрей Борисович
канд. техн. наук, доцент МГОУ, г. Москва Мировицкая Светлана Дмитриевна
канд. техн. наук, доцент МГОУ, г. Москва E-mail: scotchwood@yandex. ru
FEATURES OF SOUNDING THE FIBERS OF COMPLEX CROSS CECTION
GEOMETRY
Audrey Androsik
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of MSOU, Moscow
Svetlana Mirovitskaya
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of MSOU, Moscow
АННОТАЦИЯ
В работе предложен модифицированный рефракционный метод исследования волоконных световодов сложного поперечного сечения на примере структуры в виде шестилепестковой розы. Даны результирующие формулы вычисления основных геометро-оптических характеристик световодов.
ABSTRACT
This work proposes a modified refraction method of investigation of optical fibers complex cross sections on the example of the structure in the form of six zone roses. The results of the formula of calculation of the main geometric and optical characteristics of optical fibers are given.
Ключевые слова: волоконный световод; рефракция; геометро-оптические характеристики.
Keywords: optical fiber; refraction; geometric and optical characteristics.
Изменения геометрических размеров сердцевины волоконного световода (ВС) по его длине существенно влияют на характеристики излучения, а небольшие отклонения диаметра оболочки (при достаточной ее толщине) не имеют большого значения для распространения излучения. Однако при
изготовлении волоконно-оптических элементов (ВОЭ) — согласующих устройств, оптических соединителей, блоков, жгутов, пластин — внешние геометрические параметры весьма важны. Несоосность сердцевины и оболочки, их эллиптичность сильно влияют на параметры соединителей, фоконов, фокусирующих стержней. Требования к стабильности геометрических параметров ВС еще более возрастают для одномодовых волокон.
За последние время было разработано большее число бесконтактных оптических методов, базирующихся на различных оптических явлениях. К ним относятся интерференция и дифракция падающей на однородный или не однородный диэлектрический цилиндр плоской волны, рефракция узкого зондирующего пучка, излучение при прохождении пучка через диэлектрический цилиндр, его отражение от торца цилиндра и многие др. Методы контроля реализуются различными способами, использующими как интегральные преобразования (Фурье, Радона, Абеля), так и решения дифференциальных уравнений теории дифракции на диэлектрическом цилиндре [1, с. 36, 2, с. 54].
Ниже проанализированы особенности расчета волоконной структуры, содержащей оболочку и сердцевину с различными показателями преломления. Рассматривается волоконная структура с круглой оболочкой и сердечником в виде шести лепестковой розы (рис. 1). Исследуются геометрические образы границ оболочки, которые являются окружностью. В рассматриваемой декартовой системе координат центр окружности совпадает с центром координат. Радиус окружности равен радиусу оболочки. Уравнение, описывающее окружность, имеет следующий вид .X2 + у2 = Я2. Г еометрический образ сердечника составлен из трех эллипсов с общим центром, с одинаковыми малыми и большими радиусами и развернутых относительно друг друга на 60 °.
Рисунокі. Волоконный световод с подвешенной профильной жилой
Уравнение эллипса:
2 2 х у
2 ^ 1.2 = 1 : а Ь
где a — радиус эллипса по оси OX, Ь — радиус эллипса по оси OY.
Уравнения преобразования координат (поворот осей координат на угол ф):
х = х 008 (р + у 8ІПр у = у 008 р — X 8ІП р .
1/2
В данном случае р=60°, откуда получаются соотношения x=(3y) и у=-
1/2
(3x) . Подставляя по очереди полученные соотношения в уравнение эллипса, можно записать:
г— 2 а 2Ь2 3а2Ь2
при X = у] 3у у = 2 X =
при у = —43х 'л
а2 + 3Ь2 а2 + 3Ь2
а2Ь2 3а2Ь2
х * =---;---7 У =--;---:
3а + Ь 3а + Ь"
Таким образом, получаются точки пересечения двух эллипсов:
_ аЬ I 3
х'=1а7Ь2 у' = ЛІ3^
аЬ
3
Х 43а2 + Ь У2 Л| 3а2 + Ь2
аЬл/3 _ аЬ
х3 = , _ = у3 =
л/а2 + 3Ь2 3 л/а2 + 3Ь2
j3 _ аЬ
—--Т у 4 =
а2 + 3Ь2 л/а2 + 3Ь2
Очевидно, что точки 3 и 4 лежат внутри третьего эллипса, который развернут относительно первого на угол 120° или -60°. Таким образом, важна только точка 1. Точка 2 получается из точки 1 при повороте точки 1 относительно центра на угол 180°. Все интересующие точки можно найти, поворачивая точку 1 на углы, кратные 60° (60°, 120°, 180°, 240°, 300°). Координаты точки 1:
аЬ
хі =
л/3а2 + Ь2
Уі = аЬу
3
3а2 + Ь2
Уравнение преобразования координат — поворот на угол ф и смещение по
осям:
X = X СОБ р + у БІП (р + Бх
у = у СОБ р- X БІП р + £
Подставляя в уравнения преобразования координаты точки 1, можно получить координаты точек пересечения эллипсов. Геометрическим образом границы сердцевины будут дуги эллипсов, ограниченных точками пересечения.
Геометрическим образом траектории движения луча являются отрезки прямых, концами которых являются точки пересечения прямых и границ оболочек и сердцевины (рис. 2).
Из рис.2 и 3 вытекают формулы:
V Г1 J
є2 = агсБіп
п
Рі = єі -єі
V Г2 П1 J
є2 = агсБіп
і J Л
п БІП £2
п
Р 2 =Рі + Є2 -Є
2 J
є, = агсБіп
є, = агсБіп
Рисунок2. Траектория движения основного зондирующего луча
Рассмотрим АВОС и параллельные прямые ВМ и ОО і с секущей ВО (рис. 2, 3):
< ОХОВ =<МВО = е'2+р2, а < ОХОС =< ООО - < ООС = 71 -~^
п
< ВОС =< О1ОС- < О1ОВ = ж - п -є'2 - р2
<ВСО = ж-<ВОС-< ОВС = ж-
Ж-~-Є2 -р2 1-є2 = ~ = р2
ж
є3 = — < ВСО =-----------р2
2
2 2
По закону Снелля:
є2 = агсБіп
^п2 біп є ^
V п4 J
Из геометрических соображений:
р3 р2 + Є3 Є3 .
Рисунок 4. Рефракция зондирующего луча
Из АВОС по теореме синусов (рис. 2, 4):
ОС
ОВ
біп ОВС біп ОСВ
Из АСОБ по теореме синусов (рис.2, 5):
ОС
ОБ
біп ОБС біп ОСБ ’
ОС = АХ =
Біп
ж
- є
(
Аі эш| Ж + є3
г
Из геометрических соображений:
р4 =р -( Є4 -Є4 )
2
є4 = агат
V
У
Рисунок 5. Зондирование сердцевины волоконной структуры
Из ADOE по теореме синусов (рис. 2, 6):
OD _ OE . sin OED sin OCD ’
Из закона Снелля:
є5 = arcsin
Г5 SÍn(^-£¡)^
V '2 У
є, = arcsin
^п2 sin є ^
V п1 У
Из геометрических соображений:
(РЪ =^4 -( Є5 -Є5 ) •
Рисунок 6. Распространение зондирующего луча на выходе из
структуры
Из AEOF по теореме синусов (рис.2, 6):
OE _ OF . sin OFE sin OEF ’
r5 sin(^ Є5 )
'1 У
є6 = arcsin
По закону Снелля:
Л, ^ Л
£6 = arcsin
V no J
Из геометрических соображений:
=9ъ -( S6-S6 )•
Из АЛОВ по теореме синусов (рис.2):
AB _ BO . sin AOB sin BAO ’
Из АВОС по теореме синусов:
BC
BO
sin BOC sin BCO ’
Из ACOD по теореме синусов:
CD
OD
sin COD sin OCD ’
Из ADOE по теореме синусов:
DE _ OE . sin DOE sin ODE ’
Из AEOF по теореме синусов (рис.2,7):
Ь1 = Г2
sin(s2 -Sl)
sin S
Ж
- S2 + S3
К =
sin
Ж
— S-
Ж
— s3 + s4
b3 =
sin
Ж
— S6
= r2sin(s4+s5 ) 4 sln(ж - s[ )
2
2
r5 sin
2
2
EF
OF
sin EOF sin OEF
_risin{s'5+s6)
b5 =
sin(^ - s'5)
Проекции луча на горизонтальную ось имеют вид (рис.2):
V2 2
r - x
а4 = b cos р3,
а2 = b cos (рх, а = b cos (рА,
а = b cos р2, а = b cos р,
а.
а.
Проекции луча на ось xi записываются следующим образом:
^ = b sin р; l2 = b sin р2; l3 = b3 sin р3;
l4 = ¿4 sin р4 ; l5 = bi sin P5 ; li = а7&Рб •
Окончательно получаем координату отклонения луча:
6
xi =x -Z h
i=1
Проекция луча на горизонтальную ось внутри световода:
а = b cos(s -s5)+b cos(s -s5 +s2 -s5) + b cos(s -s5 + s2 -s5 + s3 -s5)+ + b cos(s - Sj + s2 - s2 +s3 - S5 - (s4 - s4)) +
+ b cos(sj - Sj + s2 - S5 + S3 - S5 - (s - S5)- (s5 - S5)).
Интенсивность луча равна:
I =
(-1)0 P P2 P9 P5P7.Pr ^7 (x 1 - xi(l))exp
і2ж
~Y
bxnx + ЬгНг + brfln + + bn +
+ nr
а +
V v
2r + ¿ - а - а
cos рб
У
где х(1) = х - і - (2г + £ - ^ - а)gpб, ^ — коэффициент поглощения материала.
Математическое обеспечение программы для расчета прохождения луча в многослойных фигурах, состоящих из окружностей, дуг и радиальных прямых. Для решения задачи используется декартова система координат, точка — А с координатами — Х0 и Уо, вектор — а с углом наклона к оси — X и модулем - m.
Так как внешняя фигура является окружностью, то вторая точка вычисляется по формуле Хс = R0 - Y0, Ус = У0. Все последующие точки вычисляются по формулам:
i=1
2
1. вектор и окружность —
(y2 = R2 - x2 y = kx + b b = y0 - kx
a — угол наклона вектора, k - tga
k2 x2 + 2kxb + b2 = R2 - x2
2(k2 +1)+ 2kxb + b2 - R2 = 0
2 ¿2
x
D = 4k2b2 - 4(k2 + l)(b2 - R2) D = 4(r 2 (k2 +1)-b2)
модуль выбора
a = k2 +1
xi,2
a
mi, 2 = ■
xi - xo
cosa
*
2. вектор и прямая —
х = х0 + m cos a < y = y0 + m sin a
J = xtgP
a — угол наклона вектора, в — угол нормали. y0 + m sin a = tgp{x0 + m cosa)
Уо - x¿gP .
m =------------------
sin a - tgP cos a
3. для расчета угла падения —
ab
cos у = —рт, cos у =
la I b
а — вектор луча, b — вектор нормали.
xi x2 + Уі у 2
V2 2 І 2 2 xiyi V x2 У2
4. для расчета угла преломления —
sin (/2) = nLsinf n¿
Y — угол падения, y2 — угол преломления, n¡, n2 — коэффициенты.
5. для перерасчета угла наклона вектора к оси X используются четыре дополнительных вектора. Два вектора направлены перпендикулярно к линии фигуры и два вектора направлены по касательной к линии фигуры —
П,п2 - векторы нормали (углы), ^,£2 - векторы касательной (углы).
n > К, /є[°;2^],
7є[кі; ni ] 7з = ni — 7¿
/e[ni; ] 7з = ni +7¿
7є[к ¿; n¿] 7з = n2 —7¿
7 > n2 или / < К 7з = n¿ +7¿
К > n 7 є [°;2^]
7 e[ni; К] 7 = ni +7¿
/efo; n¿] 7 = n¿ —7¿
а — угол наклона вектора, в — угол нормали.
Основные типы характеристических лучей, вносящих максимальный вклад в картину рассеяния, сведены в табл. 1.
Таблица 1.
Формулы вычисления основных типов характеристических лучей
I =
где
(-1)°PPP9P5PPЖ - x1(l))exp
Ї2ж
(bn + b2n2 + + bn +^
a +
V V V
008
6 JJ
Д1) - v_/W
l(l) — (¿r + L — a — a(l))tgJ6.
I =
(і i)0 Pi p2 p7 p8'p2'p;^(xi і xi(2))
exp
г ъ— +
Г і2л^ г
VtJ + n0
V V
г b— + b— + ъ3—4 + + bn +
2r + L і a і a
cos J
где
Л2) -V-Á2
xі — x — i —
i^2) і (2r і L і a і a^2) )gJ6.
I —
где
(іl)0PiP2P3P8'P2'PiV(xi іx¡9>)
)exp
i 2л
Т
Г b—{ + bn + Ъъ—ъ + bn + Ъ5—
2r + L і a і a^
+— a +---------------------------
v V V cos J6 JJ
x(9) — x і i^ і (2r + L і a і ai'9^)tgJ6.
I =
(і l)0PpP5P/4P7ppp^xi і xi(l0))exp
bn + bn + bn + bn + Ъ— +
+Ьщ + bn +
+n
+ L і a і
a +
V v v
cos J.
8 JJ
где
xf1 0) — x і i(l 0) і (2r + L і a і a(10))tgJ8.
I =
где
(і i)0 P1P2P5P4P7PPPft^x і xf %
і n
V v v
cos J
10 JJ J
xf11) — x і i(11) і(2г + L і a і a(ll))gJio.
I —
(і i)0 Pi P2 p, ад pp ppp;^ і x|12))exp
Г і2л
ъn і bn і ъзП+bn+ъn і і bn+bn+ъn+ъn +
2r і L і a і a
a і
V v v
cos J
9 JJ J
где
xf1 2 — x 11(l 2) і (2r + L і a і a(12))gJ9
a +
2
2
Л
(-1)°ррР}рр- х^ехр
Иж
Т
Ь\Щ + Ьгпг + Ьщ + ЬАпг + Ь5п4 +
+ Ь6п2 + Ьщ
а +
V V V
008 Jí¡
уу у
где
х|13) = х -1(13) - (2г +1 - а - а (13))?Л.
(-1)° Р1Р2 р р8'р9 р5'р;р/^ - х(16))ехр
/2ж
т
Ьщ + Ь2п2 + Ьщ + ЬАп2 + ЬьпА +
+Ь6щ + Ьп +
+пг
V V V
008 J,
8 уУ у
где
Х((1б) = х -1(1б) - (2г + £ - а - а (1б))§/8.
I =
где
(-1)° рр р5 р6 р6'ррр;л(х1 - х118))ехр
/2ж
т
Ьп + + ЬАпг + Ь^щ +
+Ь6щ + Ьп +
008 J,
8 УУ
х(18) = х -1 (18)-(2г + £ - а - а (18))&/:
Рассмотренный выше метод зондирования волоконных структур различных типов позволяет вычислить геометрические и оптические параметры световодов широкого диапазона применения.
I
2
8
Список литературы:
1. Андросик А.Б., Мировицкая С.Д. Моделирование градиентных оптических волокон рефракционным методом. В кн.: Информационные технологии: Приоритетные направления развития. Книга 8. — Новосибирск: ООО «Сибпринт». — 2012. — 227 с.
2. Лазарев Л.П., Мировицкая С.Д. Контроль геометрических и оптических параметров волокон. — М.: Радио и связь, 1988. — 280 с.
