CC BY
9
Особенности возбуждения пролетных автоколебаний в двухкомпонентной активной среде быстропроточного газового лазера
Л. С. Кузьминский1, А. И. Одинцов1", Н.Э. Саркаров2, А. И. Федосеев112
1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра оптики и спектроскопии. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. E-mail: "[email protected].
2 Федеральное Государственное унитарное предприятие «ГНЦ РФ ТРИНИТИ». Россия, 142190,
Московская обл., г. Троицк
Исследован механизм пролетных автоколебаний в двухкомпонентной активной среде проточного лазера с неустойчивым резонатором. Показано, что этот механизм связан с возбуждением краевых автоколебательных синфазных возмущений компонент среды. Такие возмущения в потоке обладают малым затуханием, достигают оптической оси резонатора, вследствие чего возникает неустойчивость.
PACS: 42.60.-v, 42.60.Mi.
Ключевые слова: быстропроточный лазер, неустойчивый резонатор, активная среда, автоколебания.
Статья поступила 11.04.2008, подписана в печать 04.11.2008.
Введение
Пролетные автоколебания в проточных лазерах [1-7] по своему механизму и характеристикам существенным образом отличаются от релаксационных колебаний [6, 8]. Так, если в случае последних обратная связь, создаваемая потоком среды, является нерезонансной, то пролетные колебания (ПК) возбуждаются на резонансных частотах, определяемых временем пролета т/ активной среды через резонатор. Отличительной чертой ПК является пространственная модуляция возмущений среды, возникающая на краю зеркал на входе потока в резонатор («краевая модуляция»). Наряду с такими «краевыми» ПК существуют также «внутренние» ПК, возникающие на градиентах поля внутри резонатора [6].
Подробный анализ механизма ПК в неустойчивом резонаторе (НР) и их взаимодействия с другими видами автоколебаний выполнен в [6] для случая од-нокомпонентной активной среды. В настоящей работе исследуются качественные особенности механизма ПК в двухкомпонентных средах, таких как смесь СОг-^.
Расчетная модель
Расчеты проводились на основе той же теоретической модели и тех же уравнений, которые использовались в первой части работы [8], посвященной релаксационным колебаниям. Опуская описание модели, приведем лишь уравнения для комплексных амплитуд мод малых возмущений, численные и аналитические решения которых исследовались в настоящей работе:
dg2 dx
dm
dx
= _ (Г + 72 + H7S + 723)g2 + 732g3 - PsW, (1)
= _ (Г + 73 + 732)g3 + 723 g2,
dw
(1 -x)—=g2-TTcW.
(2) (3)
Здесь Й2 и ¿з — нормированные на величину потерь резонатора возмущения коэффициента усиления лазер-но-активной компоненты и населенности уровня энергонесущей компоненты, умноженной на сечение оптического перехода, ш — возмущение поля в резонаторе, нормированное на стационарную интенсивность поля Щ, Р$ =С251К; — генерируемая мощность, 62« — стационар-
ный коэффициент усиления, 72, 73, 723. 732 — нормированные на константы релаксации и обмена, тс —
время затухания поля в НР, Г = Г + ¿П — комплексный инкремент автоколебаний. В отличие от [8] в (1)-(3) и последующих формулах координата х отсчитывается от входа потока в резонатор, при этом положение оптической оси соответствует х = 1.
На входе потока в резонатор (х = 0) выполняются граничные условия
йг(0) = 0, |з(0) = 0.
На оптической оси НР из (3) имеем
ми
w( 1)
= Гт>.
(4)
(5)
В большинстве расчетов вместо (5) использовалось приближенное условие квазистационарной модели резонатора
¿2(1) = 0, Ф2(1) = 0, (6)
где Ф2 — разность фаз колебаний усиления и поля. В области значений тс < 10^3, охватывающей все типы проточных лазеров, возникающие при этом искажения решений имеют место лишь в узком интервале вблизи оптической оси резонатора. В пределе тс —^ 0 решения становятся точными во всей незамкнутой области 0 <х ^ 1.
В аналитической модели для слабонеоднородной системы решения уравнений, удовлетворяющие граничным условиям (6), записываются в виде [6-8]
Ё2(х) = §2е(х) + Й2и(х), Йз(х) = Й3е(х) + Й3и(х), (7)
где Й2е(х) и Йзе(х) — квазиоднородные частные решения, Ё2и(х)> Йзи(х) — решения однородной системы (1)-(2), описывающие пространственные осцилляции населенно-стей. Для Й2е и ЙЗе использовались соотношения [8]
Й2е(х) = -PsW
123Й2е
Г + Х23'
723732
Г + Х32
Й3е(х)
Г + Х32
(В) (9)
ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ. ЛАЗЕРНАЯ ФИЗИКА
45
где
Х23 = 723 + 72 ■
Х32 = 732 + 73 ■
' Ws
_L ^
s Ps dx ' dR
(10)
A dx '
Функции Й2и(х) и ¿'зц(х) на малых интервалах хь ^ х < хь+\ аппроксимировались локальными решениями системы уравнений с постоянными коэффициентами
gu(x) =
fg2u(xV
,\-2(xk)(x-xk)
(11)
В (11) «вектор состояния» возмущений смеси ¿и{х) представлен в виде суперпозиции собственных мод смеси, являющихся собственными векторами матрицы коэффициентов однородной системы (1)-(2). При этом
Ши(хк)=Р\(хк.)$и(хк), Ёзи (хк) = Р2(хк)Ё2и (Хк), где значения р^Хк) и А¡(хк) (¿=1,2) известным образом выражаются через коэффициенты системы уравнений [9].
Наряду с вектором состояний £и{х) (11) удобно ввести
^
сывающий решения для активной компоненты. Внутри интервалов указанные векторы связаны соотношениями
«вектор локальных решений» g2u(x) = | _(2)
опи-
g2u (X) = Pgu (X), gu (X) = Р Xg2u (X),
где
Р =
Р~1 =
Р1 — Р2
{Р1 Р'2 ,
(12)
(13)
Изменение вектора g2u(x) на интервале Ах = хи+\ — хи определяется преобразованием g2U(xk+\) = TMg2u(xk), где
Тм — Р(л,- 1 1 (л'а )Л (л-д) •
А(хк) =
0
о 1
?\2(xk)x
В точке х — хп имеем g2U{xn) = ТпТп-\ В пределе Ах —»■ 0, п оо имеем
g2u(x) = f(x)g2u( 0).
(14)
■ng2u( 0).
(15)
Матрица Т(х) связана с фундаментальной матрицей решений М(х) [9]:
Г(х) = Р(х)М(х)Р^(0). (16)
В случае слабонеоднородной системы, когда величины А,(х) и pi{x) являются медленными переменными и выполнено условие dp-Jdx -С р\ — рг. имеем
Тп(х)= 1
Tl2{x) =
dp\/dx Pi ~ Р2
dx I ехр
Ai dx
(17а)
df2/dx Р\ ~ Р2
ехр
А2 dx"
Ai dx"Idx'
dx 1 exp
Ai dx"
X2 dx ,
A2 dx" I dx'.
(17b)
Применительно к однородной системе (1)-(2), вводя коэффициенты затухания пространственных осцилляций /ц 2 = — А1,2 — Г, находим
¿1,2 = 73 + у =F g У'% ~ 4732^,
Р 1,2 :
732 + Ws - kh2
732
(18)
Здесь введены обозначения 7^ = 7^ + 7, 72 = 723 + 732.
= + , = + 72 — 73. Из (18) следует, что р\ > 0 и р2 < 0 — действительные числа. Таким образом, в первом решении с А = А1 колебания компонент происходят синфазно, во втором с А = Аг — в противофазе. В типичном случае имеют место приближенные
соотношения
h = £2(^5 + 72) + Сз7з - СгСз
W[
&2 = 7s + Сз( Ws + 72) + C273 + C2C3
W[
Р\
Р'2
723 +
732
(19)
(20)
где ^2. Сз — относительные концентрации компонент в смеси. Из (19), (20) видно, что противофазные возмущения затухают значительно быстрее, чем синфазные. В предельном случае медленного обмена 7^ -С имеем
h = 732 - СгСз
Ws
Р\ = (^ + 723 -732) — , (21)
732
h = WS+ 723 + СгСз
Р2 :
(22)
723
Г. '" Г. '
Здесь происходит расщепление решений — синфазное решение с р\ 1 описывает среду с преимущественным возмущением неактивной компоненты >§2к), а противофазное (р2 —^ 0) — активной (gзu с^п)'
Соотношения (19)—(22) позволяют получить достаточно простые выражения для матричных элементов 7^. В случае сильного обмена недиагональные элементы 7,2 и Г21. ответственные за «перемешивание» решений, оказываются малыми, и их учет дает лишь небольшие поправки. Приведем выражения для диагональных элементов:
Тп(х)= 1
Щ0) - Щх)] \ х
Т22(х) = 1
(23)
Ws dx J, Щ0ЬЩх)]1 х
х ехр I ^Гх — (7s + 7')х — ^з
(24)
W,dx\.
23 ВМУ. Физика. Астрономия. № 2
Сз72 + ?27з — эффективные
Здесь 7 = ^272 + Сз7з. 7' константы релаксации.
Величина инкремента ПК зависит как от скорости затухания краевых осцилляций в резонаторе, так и от начальных амплитуд мод возмущений ^„(О) и ^'(0), которые определяются из граничного условия (4). Их величину удобно характеризовать комплексными коэффициентами
X?"
х1
(х,+Х2 = 1). (25)
Ы0)' Л2 Ы0)
Используя преобразования (13) и соотношение (9), -ра(0)+72з/(Г+ Х32(0))
(25а)
найдем
X?"
Р1(0)-Р2(0)
Х2'
Р\ — 71'з/(Г + Хзг(0)) Р\(0)-Р2(0)
Тогда, вводя Тц.(х) = екр(Тх)Тц.(х) из граничного условия на оси (6), находим
Г = 1п
Ы0) йЛ1)
■1п[{Ти + %х)х1 +(Ти + %2)£§], (26)
где значения Тц. соответствуют х= \. В частном случае бесконечно быстрого обмена, когда перемешивание мод отсутствует, для инкремента ПК получаем в согласии с работой [3]
./едошт 1 г.(1) )
• 7 ~ &
и'.(л-) с!х.
(27)
Легко показать, что в этом случае двухкомпо-нентная среда оказывается подобной однокомпонент-ной со значениями величин ц' = £2(^2 + ^3). 7'' = 7> = При этом полный поток возмущений равен
Использованный подход, основанный на разложении краевого возмущения среды по модам смеси, может быть обобщен на случай многокомпонентных сред с несколькими активными компонентами.
1,0 х
Рис. 1. Амплитуды мод возмущений (/), ¿'з (3) и «медленное« решение (2) ПК порядка т= 11 в смеси £>: = 1:3. Условия рсчета: «согласованная« система, ■-■/•> = 0.2, 73 = 1, Г = 0.5, 732 = 20
8и<8е
¿1"
8 (Г^ О' ]
//¿Г
1.0 X
gu>ge
ge
¿е
¿К/ 0 У А'
О
Рис. 2. (а) Фазы мод возмущений компонент <¡>2 (/), Фз (2). Стрелками показаны бифуркации фаз. (б) Векторные схемы сложения —и для различных соотношений амплитуд
ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ. ЛАЗЕРНАЯ ФИЗИКА
47
Результаты расчетов и обсуждение
На рис. 1 и 2,а представлена пространственная структура мод. Анализ кривых показывает, что за исключением узкой области вблизи х = 0 они соответствуют синфазной моде краевой модуляции. Сдвиг максимумов кривых на рис. 1 обусловлен разностью фаз колебаний ДФ = Ф2(,(л:) — ФзДлс). Начальные амплитуды и фазы мод на входе в резонатор представлены на рис. 3. Можно видеть, что для данных рис. 1 на входе потока в резонатор противофазная мода имеет преимущество, но, согласно (20), она быстро затухает на длине .с и 10^2. Фазы возмущений Ф2 и Фз (по отношению к фазе колебаний поля) обнаруживают различное поведение в зависимости от соотношения амплитуд и (рис. 2, а). Если ёи > ёе< то происходит монотонное уменьшение фазы при увеличении .с. Это имеет место для кривой 3 на рис. 1, где амплитуда значительно (примерно в 4 раза) превосходит Если, наоборот, ёи<ёе< то изменение фазы носит характер пилообразных осцилляций [6, 7]. Этот случай соответствует кривой 1 на рис. 1. В точке, где имеет место равенство амплитуд ёи=ёе< происходит бифуркация фазы. Сказанное поясняется векторными схемами сложения возмущений, представленными на рис. 2, б. Для упрощения чертежа принято, что вектор направлен по мнимой оси. При изменении .с конец вектора §и движется по окружности с центром в точке О', совпадающей с концом вектора Конец суммарного вектора §(х) = §е(х) + ёЛх) также перемещается по указанной окружности. В случае ёи=ёе в точке О происходит скачок фазы на тт.
¿2и^2е, §2и^2е АФ2, А®3, РЗД
Рис. 3. Амплитуды синфазного (1) и противофазного (5) решений, нормированные на ¿ь,-, и сдвиги фаз ДФ2 = Ф,',^ - $2,- (2), ДФз = Ф,® - Ф2,- (4) на входе в резонатор при разных скоростях обмена
На рис. 4 показаны зависимости инкрементов ПК от скорости обмена для набора смесей. Расчеты выполнены как для «согласованной» среды со специальным выбором профиля накачки [8], так и в отсутствие согласования. В последнем случае скорости накачек компонент полагались пропорциональными их концентрациям, а величина потерь резонатора пропорциональной £> • Параметры системы выбирались таким образом, чтобы в отсутствие обмена имел место положительный инкремент ПК.
Рис. 4. Инкременты моды пролетных колебаний (т = 5) в смесях 1:1, 1:3, 1 : 10 (/, 2, 3) для «согласованных« систем при разных скоростях обмена. Инкременты ПК в смесях 1:1, 1 : 3 (4, 5) в отсутствие согласования.
Точки — расчет по аналитической модели
В области слабого обмена -С Щ, П, когда обратный поток возмущений /32 не играет заметной роли [8], действие прямого потока сводится к увеличению скорости релаксации. Поэтому в соответствии с (22) имеем Г = Го —723. где Го — инкремент в отсутствие обмена. В этой области преимущественно возбуждается противофазная мода возмущений.
В средней области неполного обмена Щ < ^ П возрастает вклад медленно затухающей синфазной моды. В результате уменьшение инкремента сменяется его ростом и достигается порог неустойчивости. В области сильного обмена П инкременты принимают пре-
дельные значения ГЖ! (27). Для «согласованных» смесей с одинаковыми Щ(х), значения ГЖ! в соответ-
ствии с (27) оказываются более высокими у «бедных» смесей (£><£з)- В расчетах без согласования принималось 72 = 7з, поэтому для всех смесей величины инкрементов одинаковы.
Рис. 5. Влияние релаксационного резонанса на инкременты ПК. Зависимости инкрементов от частоты автоколебаний в отсутствие релаксационного резонанса (тс-¥ 0, Я« ^ ею) (/) и при его наличии = 137). Смесь 1:1, 723 — 732 = 300. Точки — расчет по аналитической модели
Рисунок 5 иллюстрирует влияние релаксационного резонанса на инкременты ПК. Как и в случае одноком-понентной среды [6], область взаимодействия пролетных и релаксационных колебаний является достаточно широкой.
21 ВМУ. Физика. Астрчичмия. .4« 2
Заключение
Проведенные расчеты показывают, что, как и в случае РК [8], обмен возмущениями между компонентами активной среды проточного лазера приводит к качественным изменениям картины «пролетной» автоколебательной неустойчивости. Характерным для смесей является появление достаточно широкой зоны стабильности стационарной генерации в диапазоне скоростей обмена IV". < - ..с> < < >. в которой происходит эффективное подавление ПК. Неустойчивости возникают в области более высоких скоростей обмена 732 ^ П, где определяющим становится вклад в возмущение синфазной моды колебаний смеси. В смесях СОг-^ неустойчивость может возникать при парциальных давлениях СО2 порядка нескольких торр.
Списож литературы
1. Дрейзин ЮЛ., Дыхне A.M. //Письма в ЖЭТФ. 1974. 19, № 12. С. 718.
2. Alme M.L. // Appl. Phys. Lett. 1976. 29, N 1. P. 35.
3. Лиханский В.В., Напартович А.П. // Квантовая электроника. 1980. 7, № 2. С. 237.
4. Баранов А.Н., Николаева А.Ю., Одинцов А.И., Федосеев А.И. // Квантовая электроника. 1993. 20, № 6. С. 589.
5. Мушенков A.B., Одинцов А.И., Саркаров Н.Э., Федосеев А.И. II Квантовая электроника. 1997. 24, № 5. С. 431.
6. Одинцов А.И., Саркаров Н.Э., Федосеев А.И. // Квантовая электроника. 2006. 36, № 9. С. 853.
7. Ануфриева А.А, Кузьминский Л.С., Одинцов А.И., Федосеев А.И. Н Препринт физ. ф-та МГУ им. М. В. Ломоносова. 2006. № 13.
8. Кузьминский Л.С., Лужинская Ю.В., Одинцов А.И., Федосеев А.И. Н Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2008. № 6.
9. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1974.
Flow type self-oscillations features in two-component active medium of a fast-flow gas laser L.S. Kouzminsky , A.I. Odintsov . N.E. Sarkarov2, A.I. Fedoseev
1 Department of Optics and Spectroscopy, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia. 2 TR1N1T1, Troitsk 142190, Moscow Region, Russia. E-mail: "[email protected].
The mechanism of self-oscillations of "flow" type is studied in two-component active medium of fast-flow gas laser with an unstable optical cavity. It is shown that the instabilities of stationary lasing are associated with the excitation of inphase perturbations of medium components. These perturbations arise at the edge of the cavity and then reach the cavity axis leading to instability.
PACS: 42.60.-v, 42.60.Mi.
Keywords: fast-flow laser, unstable cavity, active medium, self-oscillations. Received 4 September 2008.
English version: Moscow University Physics Bulletin 2(2009).
Сведения об авторах
1. Кузьминский Леонард Сергеевич — аспирант.
2. Одинцов Анатолий Иванович — д. ф.-м.н., доцент, доцент; тел.: 939-59-81, e-mail: [email protected].
3. Саркаров Ниджеф Экбербубаевич — д. ф.-м.н., гл. научн. сотр.; тел.: 334-06-79, e-mail: [email protected].
4. Федосеев Анатолий Иванович — д. ф.-м.н., доцент, профессор; тел.: 939-59-81, e-mail: [email protected].
