Механизм подавления релаксационных колебаний в быстропроточном лазере на смеси газов Текст научной статьи по специальности «Физика»

ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ. ЛАЗЕРНАЯ ФИЗИКА УДК 621.373.826.038

МЕХАНИЗМ ПОДАВЛЕНИЯ РЕЛАКСАЦИОННЫХ КОЛЕБАНИЙ В БЫСТРОПРОТОЧНОМ ЛАЗЕРЕ НА СМЕСИ ГАЗОВ

JI. С. Кузьминский, Ю. В. Лужинская, А. И. Одинцов, А. И. Федосеев

(.кафедра оптики и спектроскопии) E-mail: [email protected]

Пожазано, что обмен возмущениями между компонентами движущейся активной среды, такой жаж рабочая смесь СО2-N2 -лазера, приводит ж подавлению релажсаци-онных жолебаний и стабилизации стационарной генерации. Получены аналитичесжие соотношения, определяющие частоты и инжременты релажсационных жолебаний и порог их самовозбуждения по харажтеристижам стационарной генерации.

Введение

В лазерах с движущейся активной средой существуют специфические механизмы неустойчивости стационарной генерации, обусловленные возникновением обратной связи в потоке среды [1-5]. Развитие неустойчивости приводит к различным типам автоколебательных режимов генерации, одним из которых являются релаксационные колебания (РК) [6-8]. Изучение механизмов автоколебательной неустойчивости в лазерах с движущейся средой представляет практический интерес для разработки новых методов управления режимами генерации быстропроточных лазеров (БПЛ), используемых в современных технологиях обработки материалов [4, 5]. Особенности возбуждения автоколебаний в смесях газов, которые служат активной средой практически во всех типах БПЛ, до настоящего времени во многом оставались невыясненными. В настоящей работе путем численных и аналитических расчетов исследуется механизм РК в неустойчивом резонаторе (НР) с движущейся двухкомпонентной активной средой, качественно моделирующей рабочую смесь СОг-^-лазера.

Основные уравнения

В расчетах использовалась простейшая одномерная модель НР с движущейся двухкомпонентной средой и неоднородной внутренней накачкой, являющаяся обобщением модели БПЛ с одноком-понентной средой [8]. На рис. 1 показана часть резонатора от оптической оси (х = 0) и выше по потоку среды, которая определяет динамику генерации БПЛ. В каждой из компонент среды рассматривается по одному возбужденному уровню, которые обмениваются энергией между собой. Применяемый подход к исследованию неустойчивости, как и в [8], основан на анализе свойств мод малых возмущений.

Рис. 1. Схема неустойчивого резонатора с движущейся активной средой. Направление потока показано стрелками

Система уравнений для поля и среды в нормированных величинах имеет вид

dG2 dG2 dt дх (Юз _ (Юз dt дх OW 0W

= - (723 + 72 + W)G2 + 732G3 + <72 - (1) = -(732 + 7з)Сз + 723G2 + <7з- (2)

(3)

Здесь б, = ап)/в — приведенные населенности уровней (¿ = 2,3), где п,- — населенности уровней, и — оптическое сечение лазерного перехода, в = 1п М/21 — распределенные потери на увеличение НР (М — коэффициент увеличения НР, — длина резонатора). Индекс 1 = 2 относится к ла-зерно-активной компоненте смеси, индекс ¿ = 3 —

к энергонесущей компоненте, передающей возбуждение на лазерный переход. Величина 62 выражает коэффициент усиления, нормированный на величину потерь. Использованы также следующие обозначения: №* = а1т[, где I — интенсивность поля по числу квантов, 77 = /г/о — время пролета среды до оптической оси резонатора, /г — апертура резонатора, V — скорость потока; 7г- — нормированные на т^1 константы скоростей обмена и релаксации компонент смеси; ^ = где — скорости

накачек компонент; тс = 2Ь/(ст[ ЫМ) — нормированное время затухания поля в НР. Переменные I и х нормированы на г/ и /г соответственно. Стационарные решения (1)-(3) дают распределения С2$(х), С?,8(х) и Ш5(х) в непрерывном режиме генерации.

Исследование устойчивости стационарных решений проводилось на основе линеаризованных уравнений для малых возмущений ^(хЛ), йз(хЛ) и хю(х, I), причем возмущение поля нормировалось на Ш5(х). Путем подстановки I) = д2(х)еГ1,

§з(х, I) = £з(х)еГг и хю(х, I) = шеГг находятся уравнения для комплексных амплитуд_ ¿гМ. ёз(х) и Ф(х) с комплексным инкрементом Г = Г+Ш (чертой сверху обозначаются комплексные величины):

= (Г + 72 + ^ + 72з)& - 7зг|-з + Р*й>, (4)

(1х

= (Г+ 7з+ 7згШз - 723&, йш _ - _

(5)

(6)

где Р8 = С25Ш8 — стационарная генерируемая мощность. В отсутствие возмущений на входе потока в резонатор (х= 1) граничное условие имеет вид

&(1) = 0, ЫП = 0. (7)

На оптической оси НР, как следует из (6), должно выполняться условие

ш

ш(0)

= Г-т>.

(8)

Если характеристики стационарной генерации Ш5(х) и С28(х) медленно изменяются на масштабе пространственного периода автоколебаний Л = 2тг/0, то, как и для однокомпонентной среды [8], удается получить приближенные аналитические соотношения, описывающие квазиоднородные частные решения §2е(х) и §3е(х) уравнений (4), (5). В типичных системах молекулярных БПЛ (СО2-N2-, СО-лазеры) время затухания поля в НР тс намного меньше других характерных времен (тс <С т/, . 7^' и др.). Отсюда с учетом (6) и (8) следует, что нормированное возмущение поля й> является «медленной переменной» и мало меняется на апертуре резонатора. В большинстве случаев его можно с хорошим приближением считать постоянным [8]. Для заданного й> система уравнений

(4)-(5) решалась методом итераций. В первом приближении формулы для §2е(х) и §3е(х) имвют вид

Г + Х23

§2еМ =

Ё3е(х) = -723А® [(Г

723732

Г + Х32. Х23)(Г + Х32)-7237321

(9)

(10)

где

Х23 = 723 + 72 + ^5

\_dPs_

Ро йх '

Х23 = 732 + 73-

Возмущения д2е и связаны соотношением

123Ё2е

\_dPs_

Р8 йх ' (11)

ЁЗе

г + Х32 '

(12)

Формулы 2-го приближения дают лишь небольшие поправки к (9)—(12), за исключением достаточно узкой области 732 ~ О, где эти поправки оказываются значительными. Соотношения (9) и (10) устанавливают связь возмущений среды с возмущениями поля. Подстановка (9) в (6) позволяет получить выражение для т в квадратурах. Общее решение системы уравнений (4)-(5) для среды является суммой найденного квазиоднородного частного решения и осциллирующего общего решения однородной системы:

82 = Ё2е+Ё2и, ЁЗ=ЁЗ е + ЁЗи- (13)

Оно должно удовлетворять граничному условию (7) на входе потока в резонатор. При этом интерференция слагаемых в (13) приводит к явлению «краевой модуляции». В типичных условиях возбуждения РК в среде с высоким уровнем накачки и релаксации осциллирующие решения и быстро затухают, и краевая модуляция не достигает оптической оси НР. В других случаях имеет место взаимодействие краевых и релаксационных колебаний [8]. Чтобы полностью избежать влияния краевой модуляции, в численных расчетах вместо (7) использовалось условие согласования возмущения |г(1) = |2е(1), |з(1) = |зе(1), которое исключает возможность возбуждения осцилляций. Поэтому в дальнейшем будем считать 82 (х) = Ё2е(х)> Ёз(х) = йзе(х) ■ Соотношение (9) с граничным условием (8) на оси НР приводит к уравнению 3-й степени для Г. Разделение действительной и мнимой частей в этом уравнении дает

ЗГ2 •

п2 = п1

2хеГ + 1/'.

(14)

Г3 + хеГ2 + (02-

' х!

-ф)

Г 1

(Хгз^о + ХхФ) = О, (15)

где Оо = \/^(0)/тс — релаксационная частота [6, 7], хе = Х23 + Х32, Ф = Х23Х32 - 723732- В типичных условиях величина Оо имеет порядок 102. Уравнения (14) и (15) позволяют получить соотно-

шения для Г и О в предельных случаях слабого и сильного обмена и найти границы устойчивости системы по отношению к возбуждению РК. Так, в случае слабого обмена (7/£<СОо), сохраняя в уравнениях (14) и (15) только члены, содержащие находим

Х2з(0) Г0-72З

о = о0, г = •

(16)

2 2 '

где Г0 = - Щ° + ъ -{\/Р5){с1Р$/йх)х=о\/2 - инкремент в отсутствие обмена, = 1^(0). В случае сильного обмена (7,^ >> Оо), сохраняя в (15) члены порядка х% и Х/А^О' найдем

Ыз ^

Г = Г„

(17)

2732

где Г ос = -[&(Ш?+ъ)ЧзЪ-(иР5)№/Лх)х=0]/2 -значение инкремента при бесконечной скорости обмена. Здесь величины 6 = 7зг/7Е- 6 = 72з/7е- где 7^= 723 + 732- в случае резонансного обмена (как в смеси С02-^) соответствуют относительным содержаниям компонент в смеси. Порог возбуждения РК соответствует условию 7д| ^ ^^ъ^ЧК^оо) ■ В случае сильного обмена из (14) и (17) получаем для частоты

П = уД~2П0. (18)

Из (16) и (17) видно, что РК могут возбуждаться при наличии достаточно больших градиентов стационарного поля и усиления на оси НР. Необходимый для этого спадающий к оси резонатора профиль накачки задавался выражением <7200 = <7шП - ехр(-л2/Ао)]-где Чт — скорость накачки на периферии НР, Ао ширина зоны неоднородности накачки (/го <С 1). Входные значения стационарных населенностей не оказывают заметного влияния на характеристики РК. В расчетах обычно задавались С2Х(1)«6|, Сзх(1) и Сз^/Сг- что обеспечивало отсутствие резких градиентов усиления и поля на краю резонатора.

Естественно предположить, что основной механизм влияния обменных процессов на возбуждение РК в двухкомпонентной смеси связан с обменом возмущениями — передачей колебаний от активной компоненты к энергонесущей и обратно. С другой стороны, обмен энергией возбуждения может заметно изменять и сами стационарные профили 62-,00 и вид которых существенно влия-

ет на возбуждение РК [7, 8]. Чтобы исследовать действие механизма обмена возмущениями «в чистом виде», нами в ряде расчетов производился специальный выбор параметров среды, при которых изменение скоростей обмена не оказывает влияния на стационарные профили. В такой искусственно «согласованной» смеси соотношение стационарных населенностей компонент во всех точках соответствует равновесному 63,, 00 Л^., 00 = 723/732 и ПР°~

исходит «зануление» стационарного потока возбуждений Л = 723^25 — 732^35 = 0. В рамках нашей модели эти условия могут быть выполнены при выборе профиля накачки второй компоненты в виде <7з00 = (723/732) [<72 - + 72 - 7з)С2х] • При этом накладывается ограничение на выбор константы релаксации 73 ^ "у2+Щ{х)—ц2{х)/й28{х). В расчетах без согласования компонент смеси профиль накачки <7з00 задавался таким же, как <7г00, а величины скоростей накачки брались пропорциональными концентрациям компонент.

Результаты и обсуждение

На рис. 2 показаны типичные распределения скоростей накачки и стационарные профили населенностей уровней и интенсивности поля в резонаторе для согласованной смеси. При выбранных профилях накачки на всей апертуре резонатора имеет место равновесное соотношение населенностей 62-,00 и й3з(х).

^,отн. ед.

20

° Зл еД-

Рис. 2. Стационарные профили населенностей (/), в',,, (4), накачки цъ (2), ц2 (3), интенсивности поля Щ (5). Условия расчета: смесь £> : £з = 1 : 3, 72 = 2, 73 = 4.5

На рис. 3 показана структура мод возмущений в области, прилегающей к оси НР. Видно, что как амплитуды возмущений населенностей, так и их фазы (по отношению к фазе колебаний поля) достаточно быстро уменьшаются к оси НР, что является следствием спада стационарных профилей населенностей и поля. Особую роль в механизме неустойчивости играет фаза усиления Ф2, поскольку, согласно (8), она определяет инкремент колебаний Г и П соб Фг(0). При движении среды через переменное поле с уменьшающейся амплитудой происходит задержка фазы колебаний усиления по отношению к фазе поля [8]. Если при этом на оси резонатора оказывается Фг(0) < 7г/2, то возникает неустойчивость (Г > 0). При малой скорости обмена (рис. 3,а) происходит затухание колебаний, при этом Фг(0) > 7г/2. Фаза Ф3 заметно запаздывает

0.20 х 0.25

Рис. 3. Амплитуды мод возмущений (4), (/) и их фазы Фг (2), Фз (3) в приосевой области резонатора. Условия расчета: смесь 1 :3, у> = 2, 73 = 4.5, По = 156. Скорости обмена 730 = 10 (а),

'732=103 (б)

Г, 2

0

-2

-4

-6

-8

-10

2000 у32,отн. ед.

Рис. 4. Зависимость разности фаз возмущений компонент Фг(0) — Фз(0) на оси НР от скорости обмена для смесей 1 : 10 (/), 1 :3 (2), 1 : 1 (3).

Точки — теоретические значения

по отношению к $2- В области быстрого обмена (732 ^^0- Рис- 3,6) фазы колебаний компонент сближаются, при этом Фг(0) уменьшается ниже уровня 7г/2. На рис. 4 показана зависимость разности фаз ДФ = Фг(0) — Фз(0) от скорости обмена для разных смесей. Точками показаны теоретические значения, рассчитанные по соотношению (12).

Результаты расчетов частот и инкрементов РК в смесях с различной скоростью обмена представлены на рис. 5. Приведены данные для согласованных компонент смесей, соответствующие одним и тем же стационарным профилям населенностей и поля.

Видно, что инкременты и частоты РК критическим образом зависят от соотношения скоростей обмена 7,£ и величины Оо- На рис. 5 можно выделить три области скоростей обмена, соответствующие слабому (7/£<СОо), среднему (7,£~0о) и сильному (7,-£ ^ Оо) обмену. Качественные осо-

-12

120 100 80 60 40

Рис. 5. Частоты (1, 2, 3) и инкременты (4, 5, 6) в смесях 1 : 10 (1, 4), 1:3 (2, 5), 1:1 (3, 6) релаксационных колебаний при разных скоростях обмена. Точки — расчет по аналитической модели. Условия расчета: «согласованная» смесь, 79 = 2, 73 = 4.5, ^=10, ^ = 30, = 156 "

бенности поведения системы в указанных областях связаны с изменением соотношения прямого /23 = 7гзЯг_ и_ обратного /32 = 732Я3 потоков возмущений /32/^23 = 7зг/(Г + Х32) ■ В области слабого обмена можно пренебречь влиянием обратного потока, при этом уравнение (4) становится независимым от (5). Действие прямого потока сводится к увеличению эффективной скорости релаксации лазерного уровня, что вызывает падение инкремента (см. (16)).

В средней области неполного обмена возрастающий обратный поток возмущений начинает компенсировать действие прямого потока. Уменьшение инкремента прекращается и далее происходит его рост. В диапазоне скоростей обмена, соответствующих максимальному затуханию РК, наблюдается достаточно быстрое изменение частоты колебаний в сторону ее уменьшения, которое наиболее значительно для «бедных» смесей с малым содержанием активной компоненты. Влияние скорости обмена

отн. ед.

Г2, отн. ед. 160

на частоту РК во многом обусловлено изменением фазы Ф/ потока возмущений. Можно показать, что на оси НР Ф/(0) « Ф2(0) + Фз(0) и при увеличении 732 фаза Ф/(0) возрастает и приближается к фазе величины Г£2(0), что, как видно из (4), должно приводить к изменению частоты. Качественно это явление можно объяснить эффективным «перемешиванием» населенностей уровней компонент, в результате чего индуцированный полем «сброс» населенности лазерного уровня распределяется на обе компоненты смеси пропорционально их концентрациям. Заметим, что соотношение (18) для частоты РК в смесях носит общий характер и остается справедливым в случае неподвижных сред и для других типов резонаторных систем.

В области сильного обмена по мере увеличения прямой и обратный потоки возмущений выравниваются по величине и становятся синфазными. Предельная величина результирующего потока / = /23 — /32 на оси НР составляет /оо(0) я (72з/7зг)Г&(0) • Порог неустойчивости раньше достигается для более «богатых» смесей.

Результаты расчетов для несогласованных смесей качественно не отличаются от приведенных на рис. 5. Это говорит о том, что основной механизм затухания РК в смесях связан с обменом возмущениями между компонентами, в то время как изменение стационарных профилей играет меньшую роль. В отсутствие согласования предельные значения инкрементов Г^ для разных смесей не совпадают, причем, как правило, они оказываются более высокими в бедных смесях.

Заключение

Результаты работы показывают, что процессы обмена возмущениями в движущихся лазерно-актив-ных смесях вызывают эффективное подавление релаксационных колебаний. Последние могут возбуждаться только при очень высоких скоростях обмена (7ik >> Оо). В типичных условиях C02-N2-BnJI порог возбуждения РК соответствует давлениям смеси выше 100 торр. Следует ожидать, что взаимодействие РК с другими типами автоколебаний [8] при определенных условиях может приводить к снижению порога неустойчивости.

Литература

1. Дрейзин Ю.А., Дыхне A.M. // Письма в ЖЭТФ. 1974. 19, № 12. С. 718.

2. Alme M.L. // Appl. Phys. Lett. 1976. 29, N 1. P. 35.

3. Лиханский В.В., Напартович А.П. // Квант, электрон. 1980. 7, № 2. С. 237.

4. Баранов А.Н., Николаева А.Ю., Одинцов А.И., Федосеев А.И. // Квант, электрон. 1993. 20, № 6. С. 589.

5. Мушенков A.B., Одинцов А.И., Саркаров Н.Э., Федосеев А.И. // Квант, электрон. 1997. 24, № 5. С. 431.

6. Ханин Я.И. Динамика квантовых генераторов. М., 1975.

7. Mushenkov A.V., Odintsov A.I., Fedoseev A.I., Fed-janovich A. V. 11 Proc. of SPIE Int. Soc. Opt. Eng. 2002. 4644. P. 307.

8. Одинцов А.И., Саркаров Н.Э., Федосеев А.И. // Квант, электрон. 2006. 36, № 9. С. 853.

Поступила в редакцию 21.12.2007