Локальная устойчивость колебаний магнетрона со связанными резонаторами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.385.64

ЛОКАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЕБАНИЙ МАГНЕТРОНА СО СВЯЗАННЫМИ РЕЗОНАТОРАМИ

А.И. Заревич, С.С. Новиков*

Томский политехнический университет *Томский государственный университет E-mail: antonzarevich@tpu.ru

Статья посвящена актуальной проблеме сильноточной электроники - стабилизации колебательного режима релятивистского СВЧ-магнетрона. Строится автоколебательная модель магнетрона со связанными резонаторами. В резонансной системе магнетрона выделяются две колебательные подсистемы, которые взаимодействуют друг с другом через внутренние и внешние цепи. Проводится феноменологическое описание синхронных взаимодействий подсистем. Решается задача о влиянии связей на локальную устойчивость когерентных процессов. Показано, что введение внешних связей позволяет повысить степень устойчивости когерентных колебаний.

Ключевые слова:

Релятивистский СВЧ магнетрон, локальная устойчивость колебаний, автоколебательная модель.

Введение

Резонансные системы многих электровакуумных генерирующих приборов СВЧ-диапазона являются сложными электродинамическими структурами, имеющими достаточно много собственных типов колебаний - мод. Эти моды отличаются распределением поля в резонансной системе, а спектр их частот может быть весьма плотным. Это является источником нестабильности СВЧ-излучения, переходов между конкурирующими видами колебаний, скачков частоты и мощности. Данная проблема особенно характерна для импульсных приборов, в том числе для сверхмощных релятивистских генераторов [1, 2]. Известны методы разделения видов, направленные на модификацию колебательных систем с целью разредить спектр собственных частот [3, 4].

В статье обсуждается автоколебательная модель магнетрона со связанными резонаторами. Решается задача о влиянии связей на локальную устойчивость когерентных колебаний.

Автоколебательная модель магнетрона с двумя выводами

В ряде случаев механизм вложения энергии в электромагнитные колебания допускает определенную степень локализации этих процессов в пространстве взаимодействия. В резонансных системах таких приборов могут быть выделены компоненты единого электродинамического процесса. Действительно, спектр собственных частот соответствует определенным распределениям высокочастотных полей и характеризует электродинамическую конфигурацию резонансной системы. Априорное знание этих полей, их пространственной симметрии позволяет путем декомпозиции построить многополюсную модель генератора, Так как со стороны выделенных полюсов система обладает резонансными свойствами и регенерирована, то в таком виде она предстает уже как система взаимосвязанных автогенераторов. В свою очередь, известно, что существование и устойчивость когерентных колебаний в системах связанных авто-

Заревич Антон Иванович,

канд. техн. наук, доцент кафедры компьютерных измерительных систем и метрологии Института кибернетики ТПУ. E-mail: antonzarevich@tpu.ru Область научных интересов: теория и разработка сильноточных импульсных генераторов, генераторов измерительных сигналов, цифровая обработка сигналов.

Новиков Сергей Сергеевич,

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры радиоэлектроники Томского государственного университета. E-mail: snovik@tsu.ru Область научных интересов: теория колебаний, нелинейная радиотехника, когерентные процессы автоколебательных систем со многими степенями свободы.

генераторов зависит в основном от структуры взаимных связей и их характера. Эти вопросы достаточно хорошо разработаны в теории и практике когерентных систем [5-7].

Опираясь на физическую аналогию, можно ввести между колебательными компонентами «внутренние» взаимные связи, моделирующие реальный механизм устойчивости колебаний. Точно так же можно ввести в систему «внешние» взаимные связи. В отличие от внутренних, они представляются реальными цепями.

Исходя из высказанных выше соображений и используя азимутальную симметрию полей магнетрона, считаем, что нам удалось выделить некоторую пару полюсов резонансной системы. Тогда генератор можно представить эквивалентной схемой (рис. 1).

Рис. 1. Эквивалентная схема генератора

Комплексные проводимости укЦю) описывают свойства колебательной системы со стороны полюсов 1 и 2, а определяемые ими резонансные частоты соответствуют типам колебаний. Проводимости Уьк по отношению к колебательной системе являются внешними и нагружают ее. Считаем, что нагруженная резонансная система на частоте рабочего вида колебаний обладает достаточно высокими избирательными свойствами. Поэтому в ней развивается почти гармонический колебательный процесс с частотой ю0, описываемый на клеммах 1 и 2 медленно меняющимися комплексными амплитудами напряжений:

ик = ик )

(')

к = 1,2.

Выделенные на схеме фрагменты резонансной системы (будем называть их колебательными подсистемами) питаются наведенными токами. Считаем, что в колебательном процессе участвуют только первые гармоники токов, описываемые комплексными амплитудами 1к. Между наведенными токами и напряжениями может существовать разность фаз, поэтому

¡к =(~г; + Я7)).

Тогда дифференциальные уравнения системы можно записать в символической форме:

¡к(I)+ о(р)ик(I) = 0, р = Ш. (1)

ш

В соответствии с формализмом метода медленно меняющихся амплитуд в его символической трактовке [5], символический импеданс О(р) представим в приближенном (укороченном) виде:

А (р) = ГЬк + ]2ск (Шо -щ) + 2скр, (2)

где ск =

1 ш(1т¥к (Ш))

. Параметры Ск пропорциональны крутизне фазовых характери-

2 Шш

стик подсистем и аналогичны емкости колебательного контура. Частотными свойствами Уьк пренебрегаем.

Выделенные колебательные подсистемы неавтономны, они являются частями исходной генерирующей структуры и взаимосвязаны через электронный поток. Это означает, что токи в (1) зависят от всех переменных: амплитуд ик и фаз фк. Как видно из (2), модель допускает отличие резонансных частот юк подсистем за счет некоторой несимметрии колебательной структу-

ры генератора относительно полюсов 1 и 2. Таким образом, дифференциальные уравнения (1) описывают когерентные процессы в генераторе, представляя его как систему с двумя степенями свободы.

Нелинейные свойства модели

При исследовании локальных движений в задаче об устойчивости стационарных состояний автоколебательных систем проводится линеаризация исходных нелинейных дифференциальных уравнений. Поэтому необходимо определить функциональные зависимости 1к (и1, и2, ф1, ф2), которые отражают связь колебаний за счет взаимодействия электромагнитного поля с электронным потоком. Будем конструировать функции 1к исходя из общих свойств автоколебательных систем, используя феноменологический подход.

Синфазная с напряжением ик составляющая тока 1[е определяет активную мощность, отдаваемую электронным потоком полю. Ограничительные свойства системы описываются зависимостью IГ (ик ). Квадратурная составляющая вызывает отстройку частоты автоколебаний от частоты задающего резонанса. Расфазировка колебаний токов и напряжений (т. е. Г^" * 0), как известно, приводит к неизохронности процессов, что должно отражаться функциональной зависимостью I'™ (ик). Далее учтем, что в системе за счет взаимодействия колебательных компонент формируется механизм удержания стационарной разности фаз А ф0 = ф20 -ф10. При этом можно говорить, что оптимальное взаимодействие реализуется в хорошо сфази-рованной системе. Если в системе по какой-либо причине возникает возмущение разности фаз, то должны измениться как амплитуды автоколебаний, так и частота когерентного процесса. Сказанное означает, что в список аргументов токовых функций должна входить разность фаз Аф = ф2 - ф1.

Перепишем укороченные дифференциальные уравнения (1):

[Ук (ик и А) + Уа + 2Ск («0) + 2Скр~]ик = 0, к = 1,2; I * к, (3)

где Ук = —— = — Ск + ]Вк(Ок > 0) - комплексные проводимости активных элементов.

У к

С целью более глубокой формализации модели (3) подчиним ее условию перестановочной симметрии, т. е. примем, что выделенные колебательные подсистемы обладают качественной идентичностью. Тогда предположение о количественной идентичности линейных и нелинейных параметров подсистем дает нам вариант оптимальной настройки и фазировки: А ф0 = ф20

- ф10 = о, Ц = и2, «0 = «1 = «2, Вк(Афоо = 0) = 0.

Отталкиваясь от этого идеального случая, определяем профили зависимостей Вк(Аф), Gk(Аф). Из стационарных уравнений (полагая в (3) р = 0) следует, что функции Вк являются знакопеременными по Аф. С другой стороны, отклонение разности фаз от оптимального значения Аф0 = 0 эквивалентно возмущению поля в пространстве взаимодействия. Это ухудшает энергетический обмен с электронным потоком, снижает степень регенерации. Поэтому зависимость Gk(Аф) имеет вид четной функции с максимумом при Аф0 = 0.

Отрицательный наклон зависимости Gk(Uk) очевиден. Он обусловлен ограничительными свойствами активной среды, что в колебательных задачах обычно считается выполненным по умолчанию. Функция ^^Цг), (I Ф к) имеет обратный и меньший наклон. Это строго доказывается исходя из устойчивости стационарного состояния к возмущению амплитуд. Наконец, профили Вк(ик, Ц) задают направление амплитудно-фазовой конверсии, т. е. влияние амплитуд на частоту синхронных колебаний «0. Здесь естественно принять, что при силовом (непараметрическом) взаимодействии частота затягивается более мощными автоколебаниями. Использование перестановочной симметрии дает искомые профили.

Представленная здесь нелинейная модель когерентной системы с двумя степенями свободы является качественной. Однако заметим, что при ее построении использовались универсальные свойства автоколебательных явлений.

Локальная устойчивость

Приступая к исследованию локальной устойчивости и применяя стандартную процедуру линеаризации дифференциальных уравнений (3) и последующей подстановки решений вида

5а*ехр (Л/), приходим к системе алгебраических уравнений для возмущений амплитуд 5а* и фаз 5срк:

2СЛ + с -си -с$ с$ 5а*

-си 2СЛ + с -с$ с$ X 5а*

'т си 'т -си 2СЛ+с'т 'т -с$ 5$

'т си 'т -си 'т 2СЛ+с\т 5$*

= 0.

(4)

Коэффициенты матрицы являются продуктами линеаризации нелинейных функций Ок (индекс ге) и Вк (индекс ¡ш), а их сигнатура соответствует нелинейным свойствам модели для

Дф0>0. Для Дф0<0 знаки перед коэффициентами с™ и с™ следует изменить на противоположные. Условие совместности системы уравнений (4) дает характеристическое уравнение det[Л(Я)] = 0, корни которого определяют устойчивость стационарного режима.

В общем случае колебательные подсистемы неодинаковы и соответствующие им коэффициенты в равнозначных позициях матрицы (4) отличаются по величине. В поставленной задаче наибольший интерес представляет оценка сделанных при построении модели предпосылок с точки зрения устойчивости. Поэтому как вариационные уравнения (4), так и весь дальнейший анализ ограничены случаем идентичности всех параметров подсистем, кроме частот (т. е. « Ф «2, Дфо Ф 0).

Как известно, нахождение корней характеристического уравнения и соответствующих им векторов-решений составляет полную проблему собственных значений [8]. При этом собственные значения описывают характер локального движения, а векторы - направления в фазовом пространстве. Для систем, характеристическая матрица которых обладает элементами симметрии, можно изменить обычный порядок решения задачи и определить сначала собственные векторы [6]. После этого соответствующие им значения находятся простой подстановкой векторов в уравнения (4). Сделанные упрощения позволяют применить такой подход к нашей задаче. Выпишем собственные векторы и собственные значения:

1. За* = 5а* * 0, 5$ = 5$$ = 0, 2Й\=-с + с';; < 0.

2. За* =5а* = 0, 5$ =5$ * 0, 2Й^= 0.

3. За* = 5а* * 0, 5$ =-5$, 2Й\=-2с'т < 0.

4. 5а* = -5а*, 5$ =5$ * 0, 2й\=-с-( < 0.

Полученные решения имеют ясный физический смысл. Одинаковыми возмущениями амплитуд (решение 1) система тестируется на устойчивость их стационарных значений. Как видим, из требования об устойчивости с необходимостью вытекает отмеченное ранее условие -

с > ( . Если предположить, что рассматриваемые подсистемы не связаны (с^ = 0), то неравенство 1 в таком виде известно как условие амплитудной устойчивости автономного генератора, а коэффициент с = - называется прочностью предельного цикла.

Согласно решению 2 система не реагирует на однонаправленное возмущение фаз, что отражает присущую генерирующим системам неопределенность начальной фазы. Устойчивость к противоположным возмущениям фаз (решение 3) предопределена свойствами токовых функций, описывающих взаимодействие колебательных подсистем модели. Наконец, система

устойчива к встречному возмущению амплитуд. Таким образом, проведенный анализ показывает, что построенная нами с помощью феноменологического подхода автоколебательная модель магнетрона адекватно описывает взаимодействие выделенных подсистем для устойчивых когерентных режимов.

Система с внешней связью

Введем внешнюю связь, соединив полюса подсистем 1 и 2 (рис. 1) посредством симметричного пассивного четырехполюсника. Укороченные уравнения такой модели непосредственно получаем из (4), заменив в них YLk:

Y = Y + Y — Y = Y + Y —

YL1 1 11 ^ Y 12 Ц , yL2 1 22 ^ 1 21 Ц ,

где Yu = Y22, Y12 = Y21 = —g exp( ja), (g > 0) - параметры матрицы проводимостей четырехполюсника связи. Параметр g определяет величину внешней связи, а а - ее фазовые свойства.

Новая модифицированная структура по физической и математической моделям аналогична системе двух взаимосвязанных автогенераторов. В теории взаимной синхронизации показывается, что оптимальной с точки зрения устойчивости колебаний, близких к синфазным, является резистивная связь первого типа (а = 0) [5-7]. На практике подбор такой связи производится путем изменения фазового параметра цепи связи и составляет наиболее важный элемент настройки когерентных систем СВЧ-диапазона.

В силу линейности задачи каждый элемент новой матрицы является суммой слагаемых, описывающих внутренние и внешние связи. Так как ее структура аналогична (4), то решение задачи на собственные значения записывается по аналогии с предыдущим.

1. Если система тестируется одинаковыми возмущениями амплитуд (Sa* =Sa2 Ф 0, 5 ф* =S ф* = 0), то реакция связи при таком движении исключается и условия устойчивости 2N\ = —G + (Г^ < 0 полностью совпадают с аналогичными для системы без внешней связи.

2. На одинаковые возмущения фаз (Sa* =Sa* = 0, S ф =S * Ф 0) система также не реагирует: TN^ = 0.

Влияние внешней связи проявляется, когда система возмущается в трансверсальных направлениях фазового пространства, соответствующих противоположным вариациям фаз и амплитуд.

3. При возмущении стационарной разности фаз (Sa* =Sa* Ф 0, S ф =—5 * ) локальная устойчивость характеризуется условием TN\ = —2(с™ + g cos А*) < 0 .

Видим, что при резистивной связи первого типа (а = 0), когда Yi2=-g, степень устойчивости синфазного или близких режимов возрастает. Такую связь будем называть благоприятной. Наоборот, для резистивной связи второго типа (а = п), когда Yi2=+g (при этом в неравенствах следует изменить знак перед g на противоположный), устойчивость ослабевает. При достаточно сильном неблагоприятном взаимодействии рабочий когерентный режим может потерять

устойчивость (g > с™). Второй тип резистивной связи является благоприятным для режима

противофазных (Дф0 = п) или близких к ним колебаний.

4. Взаимное возмущение амплитуд (Sa* = —Sa*, S ф =S * Ф 0) система демпфирует как за счет механизма амплитудной устойчивости, так и благодаря внешней связи: 2NЛ4=—с—С — 2g cos Аф < 0.

Таким образом, нами показано, что внешняя связь колебательных подсистем автогенератора оказывает существенное влияние на локальные движения вблизи стационарного состояния. Параметры внешних каналов связи g и а соотносятся с первичными параметрами реальных четырехполюсников и не имеют принципиальных ограничений для их изменения. В то же вре-

мя в условиях эксперимента они полностью контролируются и могут быть достаточно точно настроены. Так как собственные значения определяют скорость релаксации возмущений, то можно говорить о том, что благоприятная внешняя связь усиливает внутренний (электронный) механизм удержания стационарных фазовых соотношений.

Экспериментальные исследования релятивистского магнетрона показывают, что введение в его резонансную систему внешних связей улучшает процесс энергообмена, существенно повышает спектральную и модовую стабильность колебаний [9, 10].

Заключение

В работе предложена автоколебательная модель магнетрона с выделенными колебательными подсистемами. С использованием феноменологического подхода построено адекватное описание взаимодействий подсистем для устойчивых когерентных режимов. При решении задачи устойчивости применен аппарат полной проблемы собственных значений. В случае приемлемых упрощений модели это дает полную картину локальных движений и механизма влияния взаимодействий на устойчивость. Показано, что введение внешних связей позволяет повысить степень устойчивости когерентных процессов. Развитая в работе теоретическая модель может быть полезной при модификации свойств генерирующих приборов СВЧ-диапазона.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Operating mode of rising-sun and A6 magnetrons / T.A. Treado, W.O. Dogget, E.E. Thomas et al. // IEEE Transactions on Plasma Science. - 1988. - V. 16, № 2. - P. 237-248.

2. Evolution of spectral power density in grounded cathode relativistic magnetron / I. Schnitzer, A. Rosenberg, C. Leibovitz et al. // Proc. SPIE in Intense Microwave Pulses IV. - Denver, 1995. -V. 2843. - P. 101-109.

3. Gadetski N.P., Magda I.I, Neisteter S.I., Prokopenko Yu.I, Chumakov V.I. Microwave generator with the overcritical current of REB and a controllable feedback virtod // Plasma Phys. Rep. (Sov.) - 1993. - V. 19, № 4. - P. 273-276.

4. S.A. Kitsanov, A.I. Klimov, S.D. Korovin et al. // In Proc. 1st Int. Congress on Radiation Physics, High Current Electronics, and Modification of Materials. - Tomsk, 2000. - V. 2. - P. 423-428.

5. Dvornikov A.A., Utkin G.M. Phased self-oscillator of radio transmitting equipment. - M.: Energy, 1980. - P. 177.

6. Vladimirov S.N., Maidanovskii A.S., Novikov S.S. The nonlinear oscillations of multifrequency autooscillators. - Tomsk: Tomsk University Publishing House, 1993. - P. 203.

7. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. - М.: Наука, 1971. - 312 с.

8. Vintizenko I.I., Zarevich A.I., Novikov S.S. Microwave Radiation Characteristics of Relativistic Magnetron with Coupled Cavities // Proc. of 13th Symposium on High Current Electponics, Tomsk, Russia, 2004.

9. Vintizenko I.I., Zarevich A.I., Novikov S.S. Distributed Output of Microwave Radiation from Relativistic Magnetron // Proc. of 13th Symposium on High Current Electronics, Tomsk, Russia, 2004.

Поступила 11.11.2013 г.