CC BY
9
дополнительные вложения должны учитываться при определении оптимального размера трещин гидравлического разрыва для скважины, что было видно из двух протестированных в этой работе моделей.
Применение алгоритма для моделирования искусственных трещин путем закачки под разрывными условиями в динамическом симуляторе показало увеличение во времени работы примерно на 38%. Тем не менее, существуют и другие факторы, которые могут увеличить ожидаемое время работы. Некоторые из них: представление расчетов в динамическом симуляторе и использование случая с меньшим размером трещин, что приводит к увеличению в числе сетки блоков для большей детализации.
Литература
1. Valko, P., and Economides, M. J. 1995. Hydraulic Fracture Mechanics, first edition. Chichester, England: John Wiley & Sons, Chap.11, 267-284.
2. Taleghani, A., Ahmadi, M., and Olson, J. 2013. Secondary Fractures and Their Potential Impacts on Hydraulic Fractures Efficiency. In Effective and Sustainable Hydraulic Fracturing, first edition, Andrew P. Bunger, John McLennan and Rob Jeffrey, Chap. 38, 785-789. Brisbane: INTECH.
3. Economides, M.J. 1992. A Practical Companion to Reservoir Stimulation. Amsterdam: Elsevier.
4. Economides, M.J. and Nolte, K.G. 2000. Reservoir Stimulation, third edition. New York: John Wiley and Sons.
5. Valko, P. (2001). HF2D Frac Design Spreadsheet. Lecture conducted from Texas A&M University, Houston, TX.
DOI: 10.18454/IRJ.2016.47.219 Булатов В.В.1 Владимиров Ю.В.2
профессор, Институт проблем механики им А.Ю.Ишлинского РАН; 2Кандидат физико-математических наук, Институт проблем механики им.А.Ю.Ишлинского РАН ОСОБЕННОСТИ ВОЛНОВОЙ ДИНАМИКИ СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ СРЕД С ПЕРЕМЕНОЙ
ЧАСТОТОЙ ПЛАВУЧЕСТИ
Аннотация
В статье рассмотрены вопросы, связанные с динамикой внутренних гравитационных волн в стратифицированных средах с переменной частой плавучести Брента-Вяйсяля. Используя точное решение задачи для линейного распределения частоты Брента-Вяйсяля, построена асимптотика волнового поля для произвольного распределения плотности. Обсуждаются основные особенности лучевой структуры получаемых решений.
Ключевые слова: внутренние гравитационные волны, динамика стратифицированной среды, частота плавучести.
Bulatov V.V.1 Vladimirov Yu.V.2
:Professor, Institute for Problems in Mechanics RAS; 2PhD, Institute for Problems in Mechanics RAS WAVE DYNAMICS OF STRATIFIED MEDIUMS WITH VARIABLE BUOYANCY FREQUENCY
Abstract
The problems of internal gravity waves dynamics in stratified medium with variable buoyancy frequency are considered. For arbitrary density distribution we construct asymptotics of fields using exact solutions for linear distribution of Brent-Vaisaila frequency. We discuss the main features of rays structure of obtained solutions. Keywords: internal gravity waves, stratified medium dynamics, buoyancy frequency.
I ) работе исследуется волновая динамика стратифицированной среды с переменной частотой плавучести Брента-Вяйсяля N2(z) [1-5]. В [1-4] достаточно подробно изложен пространственно-временной лучевой метод для решения задач волной динамики стратифицированных сред. В работе будет продемонстрирована возможность расширения использования данного метода. Действительно, возникает вопрос о том, насколько свойства
функции Грина для случая N = const переносятся на случай произвольной функци и N2 (z), то есть произвольного
распределения невозмущенной плотности Pq(z) [5]. Ясно, что для произвольного N2(z) не удастся выписать явное выражение для функции Грина, и речь может идти лишь об асимптотике этой функции, например, об
асимптотике при t —> & в фиксированной точке наблюдения Г , или рассматривать иные асимптотики, например,
I r
при t — го; r — го; - = const .
1 t
Существует одна задача, в которой известно точное аналитическое выражение для функции Грина через квадратуры от специальных функций, если N 2(z) отлична от постоянного значения. Это задача о распространении внутренних волн в полупространстве z > 0 и нулевыми граничными условиями при z = 0 с квадратом частоты плавучести N2 (z) = B2 z. В этом случае в уравнении
LW = 0
д2 д2 д2 д2 L = 4т Аз + , А3 = А + |Т, А = +д
dt2 Аз ' Аз dz 2 ' &2 ду2
переменные делятся и если искать решение в форме sin BaJ0 (oar)Ф(z) (o, б - произвольные константы), то для Ф(z) получится уравнение, которое после замены переменной д =о23(б2 — z) , сводится к уравнению Эйри:
д2 Ф «ч
-— = дФ. Функция Грина строится как суперпозиция таких решений. Эта функция определяется как решение
уравнения
LG = S(t) S(x) S(y) S(z — z0) (2)
удовлетворяющее нулевым граничным условиям при г = 0, стремящееся к нулю при г = дх2 + у2 и
тождественно обращающееся в нуль при Х < 0. Из этого условия и (2) следует, что при Х > 0 функция С является
д дО
решением однородного уравнения (1) и что при Х ^ 0 О ^ 0, —АО ^ 5(х) 8(у) 5(г — г0 ) , откуда для -
дХ д
при Х ^ 0 имеем
дО
— 1 1
+-, „ „ (3)
х^+0 4жл/ г2 + (2 — г0)2 4жл/ г2 + (2 + г0)2 Удовлетворяющая перечисленным условиям функция С имеет вид двукратного интеграла
^.........-0Q6, )Ф(zo,
4ж2 B Ц W (o2/3a2)W2 (o2/3a2)
К'~2- „(,r2¡3«¿\-wU23(г.-? -
. 1 г'т , i a13 sinBatJ' (обг)Ф(^,o,a)
G(t,r,z,z0) = —— I I dada--7 Д 7 7
^ att2rj j w ín-2!3
(4)
Ф( г, (г, с) = Щ [а2/3 (С — г)] Щ (а2/3а2)—Щ (а2/3а2) Щ [а2/3 (а2 — г)]
где функции (£) и (£) - первая и вторая функции Эйри-Фока, заданные квадратурами
з Л ^„з Л
W = Iexp(i I у + д )dt; W2 =^= |exp(i I у + tg
)dt
С V ^ У с2 V ^ У
где функции - два линейно независимых решения уравнения Эйри [5]. Очевидно, что функция О является при Х > 0 точным решением уравнения (1), обращающимся в нуль при 2 = 0, и стремящимся к нулю при Х ^ 0. Поэтому для проверки того, что О является функцией Грина, остается проверить, что
дО 1 (оюг)Ф(г,(,а)Ф(г0_
lim — = —T11 dada
t^0 Plt Л.ТГ2 j j
t^o 3t 4ж2 || W(o2/3a2)W2(o2/V)
— 1 1
1
4жЛ/г2 + (г — г0)2 л/г2 + (г + г0)2 Доказательство этого факта достаточно громоздко и здесь не приводится. Выражение (4) позволяет найти асимптотику О при Х ^ 0 . Оказалось, что эта функция осциллирует не везде, а лишь вне воронок V+ и V—, имеющих уравнения
2
V+ (Z > Zo): Гд/zo" = з(z — zo)3/2 (5)
2
V— ( г < ): г4г = -(г0 — г)3'2
—2
Внутри этих воронок поле монотонно убывает не медленнее, чем ? . Вне воронок оно имеет асимптотику
Ж
G » i_A(r,z,z0,6)sin|6t + (6)
x 1 /i at V 4 J
Л/ 1'
+ A(r, z, z0, a2 )sin^61 — ~ j + o(t з2)
./ \ 1 1 да A(r, z, zn,a) =-;—, , ,----(7)
V 0 ' (2ж)з/2 VN2(z) — a2 VN2(^) — б2 V гадг
а функции a =aí2 (r, t) определяются из уравнения
™1,2 = 3§2 I (B 2 z " ^ " ^1,2 (B 2 z0 - ) I (8)
Эти функции принимают значения между N(z0 ) = Bи нулем. Линии уровня G)12= B+J^ совпадают с границей воронки V+. Наклон линий уровня шх = const в верхней полуплоскости z > Zq уменьшается с ростом Г, в нижней - при Z < Zq - увеличивается, и линия уровня Ш^ = C = const упирается в воронку V- на горизонте z = zc , для которого N(t) = C, из этой точки выходит линия уровня ш2 = C. Можно сказать, что
V2 2
X + y ) представляют собой искривленные конусы с
вершиной в источнике. Волновые гребни (линии равной фазы первого слагаемого в (6)) с ростом t движутся в одном направлении, волновые гребни второго слагаемого движутся в противоположном направлении. Если положить
B2 — 0, z0 — ю, B2z0 = N02 = const и зафиксировать ^ = Z — Zq , Г, t, то функция G(t, Г, Z, z0) перейдет в функцию Грина G(t, Г, Z — Zq ) для постоянного N2 = Ng , функция Ш^ будет стремиться к N|cos 9\, - к N, а асимптотика (6) перейдет в асимптотики, полученные в [1-4]. Описанная выше асимптотика функции Грина для линейного N2 (z) позволяет сформулировать гипотезу об асимптотике функции Грина для произвольного N(z) . Эта асимптотика состоит из суммы слагаемых вида
i(to„ (r, z, z0) + wn)+o(t-32)
A (rz>z0) sm(to„ (r, z, z0) + wn)+O(r3'2) (9)
,]Шп (г, г,
Выясним, каким уравнениям должны удовлетворять функции Ши, Ап . Подставляя (9) в (1) и приравнивая нулю члены, растущие как ?32 , получим "дисперсионное уравнение" для функции Шп (г, г, г0 ), имеющее вид
ш2 (Щ)'=(n 2(z)—шг ..0)
Приравнивая нулю члены, растущие как , получим "уравнение переноса" для
N ^ ^ = ЛМ(<) <">
дг дг дг дг
где выражение для оператора М(Шп) опускается. Из (10) следует, что линии уровня Ш= Ш = СОПХ удовлетворяют дифференциальному уравнению
йг ^ 2( г) -ш2 ^ 1
— = 5^-—-, £ = ±1 (12)
йг ш
и являются характеристиками для уравнения (11), то есть что это уравнение задает производную Аи вдоль линий
уровня Шп = СОП1. Поэтому эти линии будем называть "лучами". Как и в геометрической оптике амплитуда Аи распространяется вдоль лучей. Общее решение уравнения переноса (11) имеет вид
Л = Рп (Шп) Р» (13)
п л/г х\ы 2(г) -»п V дг
где (Шп) - произвольная функция Шп (постоянная интегрирования). Таким образом, чтобы построить асимптотику функции Грина при ? —следует указать начальные условия для уравнения (11), значения Рп (Шп ) из (13) и, наконец, значения фазовых сдвигов в (9). Чтобы найти эти величины, воспользуемся прежде всего тем, что при г — 0, г — г0 , то есть при приближении точки наблюдения к источнику, искомая функция Грина должна иметь ту же асимптотику, что и функция Грина в модельной задаче - в случае линейной функции N2 (г). В результате получим следующий алгоритм построения решения. Пусть функция N2 (г) строго монотонна. Выпустим из точки г = 0, г = г0 первичные лучи, то есть решения уравнения (12), соответствующие значениям Ш из интервала [0, N(г0 )]. Значению 5 = 1 соответствуют лучи, распространяющиеся в верхнем полупространстве г > г0, 5 = — 1 - в нижнем полупространстве г < г0 . Каждый луч характеризуется некоторым значением Ш и задается уравнением
r=r (ffl) Лв—а!
J а
(14)
Обращая эту функцию, получим О = щ (г, г). Постоянная интегрирования ^ (щ ) в (13) определяется из решения модельной задачи линейного N2 (г), в результате чего для А1 (г, г) оказывается справедливой формула (7), в которой О = О (г, 2) - функция, обратная к (14). Фазовый сдвиг ^ оказывается равным я/4 . Каждый луч продолжается до тех пор, пока он не приходит на горизонт г = г(о) , на котором N(г) = О и наклон луча делается вертикальным. В этой точке Г = г(о), где
r (а) = r (а) =
| ,/N2(z)-а2 i) а
da
(15)
Из каждой такой точки выпускается вторичный луч, удовлетворяющий (12) с противоположным выбором знака 5 , что возвращает нас в область, где N(г) > О . Вторичные лучи задаются уравнением
, . } JN2(z)-а2 } JNz(z)-az .
(a, z) = I ^-—-da + I ^-—-da (16)
J J m
r = r (а, z) =
аа
z(©) z(a)
Обращая эту функцию, получаем а = ©2(^5 z), для в (9) сохраняется формула (7), где а = ©2 (r, z), а Я Я
=^—^2=—^' Опишем далее алгоритм построение вторичных лучей и их амплитуд. В окрестности линии
возврата (r (а), z(©) ) функция ю(г, z) двузначна - ее первая ветвь ©^(г, z) получена обращением функции (14),
а вторая ^2 (r, z) - функции (16), на линии возврата а = ^2. При приближении к этой линии кривизны линий
—1/2
уровня фазовой функции а12 (r, z) в (9) стремятся к бесконечности, как l (где l - расстояние до линии
, I -1/4 (2 2 V/4
возврата), а амплитудные множители A в (9) - как l (из-за наличия члена IN (z) — а Г в знаменателе в (13)).
Иными словами, вблизи линии возврата фазовые функции а12 ведут себя аналогично эйконалам, а амплитуды Л12 -аналогично амплитудам в обычной геометрической оптике, линия возврата аналогична каустике. Поэтому вблизи линии возврата для асимптотики G удается выписать равномерное представление через функцию Эйри, аналогичное соответствующему прикаустическому разложению [1-4]. Из анализа этого представления и следуют указанные выше
выражения для а2 (r, z), A и щ2. Линию возврата Г = Г (а), z = z(©) естественно назвать каустикой первичных лучей. Если функция N(z) немонотонна, то продолжая вторичные лучи, можно снова вернуться на горизонт z = z2 (а) , для которого N(z) = а . В этой точке
r = r (а) = т^—а. dz
J rn
+
\]N 2( z) — а^
dt
а
z2(©)
N 2( г) — О
О
Все такие точки образуют каустику вторичных лучей. Из каждой точки г2(о), г2(о) выходит луч третьего
порядка, несущий значения О = ю3 (г, г), и так далее. Для амплитуды А (г, г) сохраняется формула (5.3.7), где
/ \ я
О = Оп (г, г), фазовый сдвиг после каждого отражения от каустики получает скачок равный — —:
я
Уп+\ = ^п — • Асимптотика функции Грина определяется лучами, проходящими через точку наблюдения; каждый
луч приносит в эту точку значения фазы О и амплитуды А , и ему соответствует слагаемое вида (9) в асимптотике С . В некоторой области например, не проходит ни один луч, в этой области (аналоге воронки ) функция Грина не осциллирует и убывает с ростом ?. В другой области через каждую точку проходит два луча - идущий вверх первичный луч и идущий вниз вторичный луч. Поэтому в этой области II асимптотика С состоит из двух слагаемых типа (9), соответствующих этим двум лучам. В третьей области добавляются еще два луча - идущий вверх вторичный луч и идущий вниз луч третьего порядка, поэтому асимптотика функции Грина состоит из четырех слагаемых вида (9)
и т.д. Эти построения легко переносятся на случай слоя ^ < г < г2 , на границах которого ставятся краевые условия. Когда какой-либо луч достигает границы, то далее строится его отражение, для чего интегрируется уравнение (12) с измененным на противоположный знаком 5 . Амплитуда отраженного луча определяется по амплитуде падающего луча в соответствии с граничным условием. Изложенный выше алгоритм построения асимптотики функции Грина
74
О
может быть обобщен на случай горизонтально неоднородных стратифицированных сред, когда частота Брента-Вяйсяля зависит не только от вертикальной координаты z, но и от горизонтальных координат X, y [1-4]. Работа
выполнена при частичной поддержке РФФИ (проект 14-01-00466).
Литература
1. Bulatov V.V., Vladimirov Yu.V. Internal gravity waves: theory and applications. Moscow: Nauka Publishers, 2007, 304 p.
2. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Динамика негармонических волнох пакетов в стратифицированных средах. М.: Наука, 2010, 470 с.
3. Bulatov V.V., Vladimirov Yu.V. Wave dynamics of stratified mediums. Moscow: Nauka Publishers, 2012, 584 p.
4. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Волны в стратифицированных средах. М.: Наука, 2015, 735 с.
5. Sutherland B.R. Internal gravity waves. Cambridge: Cambridge University Press, 2010, 394 p.
References
1. Bulatov V.V., Vladimirov Yu.V. Internal gravity waves: theory and applications. Moscow: Nauka Publishers, 2007, 304 p.
2. Bulatov V.V., Vladimirov Ju.V. Dinamika negarmonicheskih volnoh paketov v stratificirovannyh sredah. M.: Nauka, 2010, 470 s.
3. Bulatov V.V., Vladimirov Yu.V. Wave dynamics of stratified mediums. Moscow: Nauka Publishers, 2012, 584 p.
4. Bulatov V.V., Vladimirov Ju.V. Volny v stratificirovannyh sredah. M.: Nauka, 2015, 735 s.
5. Sutherland B.R. Internal gravity waves. Cambridge: Cambridge University Press, 2010, 394 p.
DOI: 10.18454/IRJ.2016.47.156 Бутусов О.Б.1, Редикульцева Н.И.2, Никифорова О.П.3
:ORCID: 0000-0003-1361-2121, Доктор физико-математических наук, Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ), 2Кандидат технических наук, Московский гуманитарный университет, 2Кандидат технических наук, Государственный университет управления БАЛАНСОВАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ЛЕСНЫХ ГАРЕЙ
Аннотация
Предложена интегральная математическая модель, описывающая суммарный баланс площадей зарастающих и вновь образующихся гарей. Модель учитывает различие между низовыми и верховыми пожарами. Количество возникающих лесных пожаров моделируется с помощью Пуассоновского потока. Размеры площадей пожара описываются с помощью случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону. Параметризация и идентификация модели была проведена на основе статистических данных о площадях лесных пожаров и площадях лесных гарей. Результаты моделирования находятся в удовлетворительном соответствии с статистическими данными.
Ключевые слова: математическая модель, лесные пожары, зарастание гарей, идентификация модели
Butusov O.B.1, Redikultseva N.I.2, Nikiforova O.P.3
1ORCID: 0000-0003-1361-2121, PhD in Physics and Mathematics Sciences, Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI), 2PhD in Engineering, Moscow University for the Humanities,
2PhD in Engineering, State University of Management BALANCE MATHEMATICAL MODEL OF BURNT-OUT FORESTS AREAS DYNAMICS
Abstract
The article put forward mathematical model using total balance between growing up and new burnt out areas. Model considers difference between creeping and crown fires. Model uses Poisson statistics to simulate number of fires. The article considers the size of fire area as exponential probability value. The model identification had been carried out using statistical data on forest fires and burnt out areas. The results of simulation is in good agreement with statistical data.
Keywords: mathematical model, forest fires, growing of burnt out areas, model identification.
В статье предложена вероятностная модель лесных пожаров и зарастания гарей. Описание гидродинамической модели лесных пожаров можно найти в [1]. Классические методы моделирования лесных пожаров проанализированы в обзоре [2]. Описание современных методов моделирования можно найти в статье [3]. Среди работ, посвященных моделированию зарастания гарей отметим работы Черкашина А.К. [4], а также работу [5], в которой использована модель, основанная на теории скрытых Марковских моделей.
Лесные пожары наносят огромный и невосполнимый ущерб природным и материальным ресурсам. По данным [4] эколого-экономический ущерб от пожара определяется в зависимости от площади участка выгоревшего леса, совокупности видов растений и животных, пострадавших от пожара, экологической и хозяйственной ценности пород деревьев на этом участке. Например, ущерб от лесных пожаров в 2005 году составил 2,8 млрд. рублей. Произошло 896 лесных пожаров, из них 44 крупных пожара. Выгорело 96300 гектаров лесов. Потеряно 2,6 млн. кубометров древесины (ущерб составил 251,8 млн. рублей). Огнем уничтожено 4240 га молодняков (ущерб - 58,2 млн. рублей). При этом ущерб от уничтожения или повреждения лесной подстилки, почвы, мха, сенокосных и пастбищных угодий составил 2,4 млрд. рублей.
Согласно [1] лес представляет собой фитоценоз, имеющий многоярусную структуру, что является следствием сосуществования растений различных видов и возраста и наличием отпада. В результате детального анализа работ по
