CC BY
15
УДК 532.59:534.1
DOI: 10.18698/1812-3368-2018-4-73-89
ДАЛЬНИЕ ПОЛЯ ВНУТРЕННИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН ОТ ДВИЖУЩИХСЯ ИСТОЧНИКОВ ВОЗМУЩЕНИЙ
В.В. Булатов Ю.В. Владимиров
ИПМех РАН, Москва, Российская Федерация
[email protected] [email protected]
Аннотация
Исследованы дальние поля внутренних гравитационных волн, возбуждаемых источником возмущений, движущимся в бесконечной по вертикали стратифицированной среде. Рассмотрено распространение волн в невязкой, несжимаемой среде с экспоненциальным распределением невозмущенной плотности. В линейном приближении и приближении Буссинеска построены равномерные асимптотики возбуждаемых полей внутренних гравитационных волн вдали от движущегося источника возмущений, в том числе в окрестности траверсной плоскости и горизонта движения. Полученные асимптотические решения позволяют эффективно рассчитывать основные амплитудно-фазовые характеристики возбуждаемых дальних полей внутренних гравитационных волн при определенных режимах генерации и, кроме того, качественно анализировать полученные решения. Это важно для правильной постановки более сложных математических моделей волновой динамики реальных природных стратифицированных сред
Ключевые слова
Стратифицированная среда, внутренние гравитационные волны, дальние поля, равномерные асимптотики, движущийся источник
Поступила в редакцию 10.10.2017 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018
Работа выполнена в рамках государственного задания (№ АААА-А17-117021310375-7)
Введение. Важный механизм возбуждения полей внутренних гравитационных волн (ВГВ) в природных (океан, атмосфера Земли) и искусственных стратифицированных средах является их генерация источниками возмущений различной физической природы: природного (движущийся тайфун, ветровое волнение, обтекание неровностей рельефа океана, изменения полей плотности и течений, подветренные горы) и антропогенного (морские технологические конструкции, схлопывание области турбулентного перемешивания, подводные взрывы) характеров. Система уравнений гидродинамики, описывающая волновые возмущения стратифицированных сред в общем виде представляет достаточно сложную математическую задачу как в плане доказательств теорем существования и единственности решений в соответствующих функциональных классах, так и с вычислительной точки зрения. Основные результаты решений задач о генерации ВГВ представляются в самой общей интегральной форме, и в этом случае полученные интегральные решения требуют разработки численных и асимптотических методов их исследования, допускающих качественный анализ и проведение экспресс-оценок решений [1-6].
Для детального описания широкого круга физических явлений, связанных с динамикой волновых возмущений неоднородных и нестационарных природных стратифицированных сред, необходимо исходить из достаточно развитых математических моделей. Трехмерность структуры природных стратифицированных сред также играет существенную роль, и в настоящее время отсутствует возможность проведения масштабных вычислительных экспериментов по моделированию трехмерных океанических течений на больших временах с достаточной точностью. Однако в некоторых случаях первоначальное качественное представление об изучаемом круге волновых явлений можно получить на основе более простых аналитических моделей. В связи с этим необходимо отметить классические задачи гидродинамики о построении асимптотических решений, которые описывают эволюцию волновых возмущений, возбуждаемых источниками различной природы в тяжелой жидкости. Модельные решения позволяют в дальнейшем получить представления волновых полей с учетом изменчивости и нестационарности реальных природных стратифицированных сред (океан, атмосфера Земли). Ряд результатов анализа модельных линейных задач, описывающих различные режимы возбуждения и распространения волновых возмущений, также лежит в основе активно развивающейся в настоящее время нелинейной теории генерации волн экстремально большой амплитуды — волн-убийц [7-12].
Моделирование динамики ВГВ особенно актуально вследствие возросшего числа морских платформ, установленных на шельфовых месторождениях нефти и газа. Можно отметить некоторые случаи повреждения морских платформ внутренними волнами большой амплитуды, например, в Андаманском море, когда одна из опор платформы в октябре 1997 г. была изогнута сдвиговым течением во внутренней волне. Измерения показывают, что нагрузки от ВГВ, действующие на подводные части морских платформ в вертикальном направлении могут в 30 раз превосходить нагрузки от ветровых волн. Действие ВГВ приводит к мощному транспорту наносов и размывам дна, особенно в глубоководных районах, где влияние ветровых, в том числе штормовых волн, пренебрежимо мало. Внутренние гравитационные волны также способствуют диффузии осадков и транспорту наносов в морской среде, поэтому процессы переноса частиц за счет индуцированных волнами потоков активно исследуют в рамках различных прикладных направлений, связанных с гидробиологией (миграция планктона, бентоса), экологией (распространение примесей и загрязнений) и инженерной океанологией [1-3, 13].
Внутренние гравитационные волны, существующие в океане вследствие стратификации его вод, являются принципиально двумерными, а во многих случаях и трехмерными, поэтому в вычислительном плане анализ двумерных и трехмерных нестационарных волновых движений представляет собой весьма сложную задачу. Разработан и получил широкое применение численный код MIT, решающий полные уравнения гидродинамики с учетом реального рельефа дна, вращения Земли и турбулентных процессов, код разработан в Массачусетском технологическом институте (США) совместно с мировыми специалистами по численному модели-
рованию океана. Такая модель требует больших компьютерных ресурсов, оправданных только для решения отдельных практических задач океанологии. Тем не менее даже такие полные модели пока еще не учитывают, например, существующей в реальных океанических условиях стабильной фоновой горизонтально-неоднородной стратификации. Для учета этого гидрофизического эффекта необходимо вводить внешние силы, удерживающие эту неоднородность стратификации, параметризация которых численно затруднительна. Существующие в настоящее время другие методы численного моделирования, в том числе с использованием суперкомпьютеров (алгоритм IGW Research, алгоритмы Riemann Solver для решения гиперболических уравнений мелкой воды, псевдоспектральный алгоритм высокого порядка для решений уравнений гидродинамики HOSM) не всегда позволяют эффективно рассчитывать конкретные физические задачи волновой динамики океана и атмосферы с учетом их реальной изменчивости, так как ориентированы на решение достаточно общих задач, требуют большой вычислительной мощности, не всегда учитывают физическую специфику решаемых задач, что существенно ограничивает их практическую применимость, особенно при расчетах волновых полей в реальных природных средах. Кроме того, использование мощных численных алгоритмов требует верификации и сравнения с решениями модельных задач [3, 4, 14]. Поэтому в современных научных исследованиях при анализе волновых явлений в реальных стратифицированных средах (океан, атмосфера Земли) широко применяют упрощенные асимптотические и аналитические модели. В линейном приближении существующие подходы к описанию волновой картины возбуждаемых полей ВГВ основаны на представлении волновых полей интегралами Фурье. Цель настоящей работы — исследование дальних полей ВГВ, возбуждаемых источником возмущений, движущимся в бесконечной по вертикали стратифицированной среде.
Постановка задачи, интегральные формы решения. Рассмотрено распространение ВГВ в невязкой, несжимаемой среде с экспоненциальным распределением невозмущенной плотности р0 (z) = exp(—A,z), т. е. частота плавучести Брента — Вяйсяля
N 2(z) = - g dp0(z)
Po(z) dz
предполагается постоянной, N (z) = = N = const. В линейном приближении и с учетом приближения Буссинеска компоненты скорости (u, v, w) ВГВ удовлетворяют системе уравнений [1, 2, 5, 6]:
б2
Lw = --
дЬы д2 dt dt2
dt dz
S2 Fx д2 F~
SFX | 6Fy ÖM dx dy dt
dF dt
dy2 dz2
Лт2 б2Fx ( д2 лт2 )52Fy б4Fz ( д2 лт2 )6M +N2—X-I —т+N I----—+ 1 —+N2 1-
dy2 ^ dt2 ) dxdy dt2öxöz ^ dt2 ) dxdt
(1)
ÖLv dt
dt2
d2Fy d2 Fy
dx2 dz2
2 ö2Fv N2--
dx2
dt2
-N2
a2Fx a4Fz
a2
5x5- dt 2d-dz ^ dt
+ N2
Г 52 L 52 1 xrtA Л 52 52 L = —-I A + —- 1 + N2A, A = —-+—-,
dt ^ dz ) dx2 d-2
d2M ; d-dt
(1)
где Гх, Гу, Гг — массовые силы; М — плотность распределения источников массы. Далее будут рассмотрены поля ВГВ, возбужденные нелокальным движущимся источником возмущений в случае его равномерного и прямолинейного движения с постоянной скоростью V вдоль оси Ох. Такое поле обычно аппроксимируется как поле, возбужденное системой движущихся источников; при наличии подъемной силы следует принять Бг, при этом компоненты Гх, Гу массовых сил можно полагать равными нулю [5, 6, 10]. В результате систему (1) можно представить в виде
Lw = -
d 3M dzdt2
dFz
dt
Lu = —
a 3Fz
Lv = --
d3Fz
dt d-dz ^ dt2
dt dx dz d2
- + N2
'dt2 dM d-
- + N2
dM ; dx
(2)
В пренебрежении переходными процессами, связанными с началом движения источника возмущений, правые части в (2) являются функциями ^ = х + Vt, у, г. В силу линейности задачи решения уравнений (2) выражаются через функцию Грина О, т. е. через решение уравнения ЬО (х + Vt, у, г) = 5(х + Vt) 5 (у) 5 (г). Решение ^ уравнения Ьц = П с ненулевой правой частью П выражается через функцию Грина О по формуле ^ (£, у, г) = Д[О(£-у, у -а, г -Р) П(у,а, Р) йуйайр. Единственность решения О обеспечивается условием излучения, т. е. рассмотрено решение с правой частью, экспоненциально нарастающей во времени: ЬОе,х, у, г) = ехр^)5 (х + Vt, у, г), и предполагается, что Ое имеет тот же рост по t: Ое = ехр^) О1(х + Vt, у, г). Тогда О строится однозначно и решение определяется как предел Ое при в^0. Применяя оператор Ь к функции Ое, получаем уравнение для определения О :
s +V —
( d2 а2 ^
б2 d d2 „ ^ —7 + —7 + —7 О + № . 2 дс^ dy dг \ ^ dq2 dy
Решая это уравнение методом Фурье, можно определить
1 ехр(г(а^ + Ру + уг)) йа йу
G = 8(£, -, z).
G = ■
-ж-
(2л)2 ^ (^ - гв)2(а2 +р2 +у2) - N2(а2 +р2)
Вычислим интеграл по у, полагая г > 0 (легко заметить, что О — четная функция г). Этот интеграл равен вычету полюса подынтегрального выражения,
лежащего в верхней полуплоскости. При а2У2 < N этот полюс находится на расстоянии порядка в от вещественной оси:
^а2 +Р2 л/N2 -а2У2 + 2гавУ
У =-.
а У - гг
При а2У2 > N2 этот полюс лежит вблизи мнимой оси:
г (7а2У2 - N2 - 21еа V V«2 + Р2)
а У -is
Вычисляя соответствующий интеграл и переходя к пределу при 8^0, получаем искомую функцию в виде
г ехр(га^ + Ру+ л/Ы2-а2У2 4а2 +р2 Ы/аУ )
с=|Г—*-. ,—- й
аУЧN2 -а2У2 V«2 +р2 Примем х2 = N2 / У2, тогда
г ехр(г а^ + Ру + -а2 -у/а2 +р2 /а Ы ) йа
с = —тт И—-, . -^-.
8^2У2 " ^а2 + р2 Vх2 -а2
Здесь под -у/х2 -а2 понимается арифметическое значение корня при |а|<х и
¡^а2 -х2 при |а|>х, при интегрировании по а полюс обходится в нижней полуплоскости. Далее рассмотрим, как выражаются через функцию С возвышение С, ^= и компоненты скорости и, V в случае движущегося 5-образ-
ного источника массы и диполя. Пусть Рг = 0, М = 5 у, г), ^ = х + Уt. Тогда для компонент скорости и, V, ^ можно получить
^ = У2 а ^ у,г) ; Ьи = ( У2 £_ + N2 V «(^;
д^дг { 8Е,2 ) 8
IV-<у2 +N2Ту,г).
^ ) 8у
д 25 (£, у, г)
Для возвышения ^ имеем Щ = У-. Поэтому в случае движущего-
8^8г
ся точечного источника массы возвышение ^ = С,М и компоненты скорости и = иМ, V = vM равны:
г _ д2° ехр (г (а^ + Ру + у|г\)) йа
^м " У " ^^» а ;
i д2 i dG 1 |у2 -а2
v = vm = V2 (|,+z2 = -JL fl^^exp (, K+Py + y| z| ))* ф,
где у = л/х2 _а2л/а2 +Р2 /а- Для дипольного источника массы, ориентированного по направлению движения источника и имеющего единичный момент, получаем
d =Sn^ Я exp 0'( а^+РуZ ))da .Р ;
o% 8%2V
u = uD = = —ff exp (i(а^ + Ру + y |z|))da dp;
^ 8 л ^а2 +p2
v = Vd = ^ = "exP^+ + Y|z'^"dP'
Далее примем
r=5G = -1 exp (i (g^ + Py + y| z\)) da dp
~ 8%2V2 JJ л/^^Тр^Тх2"^^2 ,
тогда
Cd = V -^L ; Ud = V2 (Ü- + X2 ; Vd = V2 + X2 .
sd dt,dz l^2 ) D l^2 A ) dy
Построение асимптотик вдали от источника возмущений. Рассмотрим
асимптотики интеграла (3) при r = + у2 + z2 » 1, т. е. поля ВГВ вдали от движущегося источника возмущений. Учитывая, что фазовая функция в (3) нечетная функция переменных а, р, имеем
, <» <» exp (i (а^ + Ру + Vx2 _а2 Vа2 +Р2 zl / а)) Г =--—Re f da Г dp-i-i-, , -^.
4^2V2 0 V«2 + P2VX2 -а2
В приведенном интеграле выполним замену переменных a = jp, р = %pq. Примем <^ = r cos 0, у = r sin 9 cos ф, |z| = r sin 9 sin ф (0 <9, ф<л), т. е. перейдем к сферическим координатам r, 9, ф. В результате запишем
Г = Re Ф, (4)
J
dp
- Р
expcosÖ + pqsin9cosф + V1 -p2-\A + q2 sin9sinф^dq
1 ou
Ф =--— f^d^ X
4*2v2 0 vrp7
—со д/Г+ q2
Под — p2 при p > 1 понимается величина iyjp2 — 1, т. е. разрез функции
yjl — p2 обходится при Re p ^го в нижней полуплоскости. Найдем сначала неравномерную асимптотику Г: асимптотику, применимую при r ^(ю и фиксированных значениях 9, ф, причем 9^0, % / 2, %, ф^ 0. Вычисляя внутренний интеграл в (4) методом стационарной фазы, получаем
exp(rá/4) ? exP(W(pcose + Vsin2 Ф-p2 sine)) dp
~ (2л)3/2y24v- J0 (sin2 Ф- p2 )1/4 VSine A/irp2
Выпишем неравномерную асимптотику интеграла (5), которая состоит из двух слагаемых: 1) вклад края области интегрирования; 2) вклад стационарной точки фазовой функции в (5). Учитывая, что эта точка p = p0 = sin ф cos 9 оказывается в области интегрирования и дает вклад в асимптотику лишь при 9<л/2
exp (i%r sin ф) ©(cos 9) exp (in / 4) exp (i%r sin ф sin 9)
Ф ~--1 H--1 =-, (6)
2nVV^ 1 - sin2 ф cos2 9 (2n)3/2У2 (jr)3/2 ^sin ф sin 9 cos 9
где © (cos 9) = 1 при cos 9 > 0 и © (cos 9) = 0 при cos 9 < 0. Асимптотика (6) непригодна, во-первых, при cos 9^0 (т. е. при малых <^ = x + Vt — вблизи траверсной плоскости движения источника возмущений) и, во-вторых, при sin ф sin 9 ^ 0, т. е. при малых |z| = jr sin ф sin 9 вблизи горизонтальной плоскости движения источника. Далее рассмотрим асимптотику, применимую вблизи траверсной плоскости. При cos 9^0 стационарная точка фазовой функции p0 = sin ф cos 9 стремится к краю области интегрирования p = 0. Алгоритм получения равномерной по cos 9 асимптотики интеграла (4) известен, и эта асимптотика выражается через интеграл Френеля [15]. Чтобы ее получить, необходимо заменить в (6) функцию © (cos 9) выражением
* ( i-:- (% ©^Л exp (in/4 - 2i%r sin ф sin2(rc/4-9/2))
F I J2yr sin ф sin I---I 1 +-—. --—,
^ ^4 2 )) 2^l%yl2irsinф sin(ti/4-9/2)
где F (т) — комплексно сопряженный интеграл Френеля, F (х) =
= exp(i^/4) J exp (-is2) ds [16-18]. Тогда
exp(i%r sin ф) F* sin ф sin((rc /4 - 9 /2)))
Г = Re Ф « Re--v --'- +
2%V2 jry 1 - sin2 ф cos2 8
exp(i%r sin ф sin 9 + i% / 4) - sin2 ф cos2 9 - sin((rc /4 - 9 / 2))Vsin 9
V2(l%)3/2(jr)3/2 ^/sin ф sin Qyj 1 - sin2 ф cos2 9 cos 9
(7)
Полученное выражение (7) применимо при 9, близких к п /2, однако непригодно при sin ф sin 9 ^ 0, т. е. вблизи горизонтальной плоскости источника. Далее преобразуем интеграл (4) по q, примем q = shf:
exp
^i^aq + Ьл] 1 + q2 jjdq
F(a, Ь) = J---, --—= J exp(i(a sh + Ь ch t)) dt.
1
q2
За счет сдвига по t в полученном интеграле легко показать, что при a2 - b2 = = aj2 -bj2 имеет место равенство F(a,b) = F(ai,bi), поэтому интеграл по q в (4) можно записать в виде
j exp ^ ijr sin Q^pq cos ф+ \J i - p2 ^/i + q2 sin ф^ dq
= J
л/1+q1
exp^ijr sin9^pq + y¡ 1 + q2 sinф^dq
л/1+q2
<» exp mr sin 9Íq cos ф+ J i - p2 Ji + q2) J dq
= J —^--U-. (8)
-y/i + q
Используя первое из равенств (8), запишем Ф в виде i dp
exp (г'хг (p(cos 9+ q sin9) + y¡i + q2 sin 9 sin qjjdq í;/;^ 1 • (9)
В интеграле (9), как и в (4), под yji - p2 при p > i понимается величина iyjp2 - i, т. е. разрез функции -^/i-p2 обходится при Rep^ да в нижней полуплоскости. Далее сдвинем контур интегрирования по переменной q вверх от действительной оси на величину i и при Re q > 0 повернем контур на некоторый угол ф(0<ф<тс/2) против хода часовой стрелки. По переменной p при Rep > 0 повернем контур интегрирования на некоторый угол &(0 <&<п/2) по ходу часовой стрелки, причем ф<&. Тогда при cos 9<0 и таком выборе контуров интегрирования показатель экспоненты в (9) будет иметь отрицатель-
ную вещественную часть, интеграл будет абсолютно сходиться при р ^ да, ^ да и в (9) можно будет заменить порядок интегрирования:
ф = —
4Л2У 2
зехр(г'ф) exp ^ijryj 1 + q2 sin 9 sin ф j dq
£
q
»exp(-<») exp(iXr (cos 9 + q sin 9)p)dp
x ¡ -Л=г-•
0 V1 - p
Теперь внутренний интеграл при %r »1 вычисляется асимптотически ^ exp(i'xr (cos 9 + q sin 9)p) dp i
yr (cos 9 + q sin 9)
+ O (ir)
,-3
и для Г = Re Ф получим -1
Г =
exp[iyr^ 1 + q2 sin9sinф) dq Im J-\ ^ -f-+ O (ir)-3,
4n2V2ir ^ + q2 (cos 9 + q sin 9)
(10)
где полюс при q = —ctg 9 обходится в нижней полуплоскости. Функцию (10) можно записать как (r sin 9 sin ф = z):
Г« —
1 1х exp (¿xW1+q2)
-ImT J---¿
4tc2V 2(ir) 2 _
1
q
1
1
- cos 9 " exp (¿xW1 + q2) , , Im f v '
4n2V2ir
cos 9 + q sin 9 cos 9 - q sin 9 dq
dq -
1
q2
cos2 9 - q2 sin2 9
где полюс q = —ctg 9 обходится в верхней полуплоскости, а q = ctg 9 — в нижней. Докажем, что
cos
9 Im J
)(¿tV 1 + q2)
dq
cos2 9 -q2 sin2 9
• = -2л
/о(т) . 2 6 I r , n
— +]C^"ctg2- I J2n to
(11)
Здесь ¡2„ (х) — функции Бесселя. Действительно, обозначая левую часть (11) через F(^, 9), получаем
F(х, 9) + sin2 9
a 2F (х, 9)
ат2
■ = cos
9 Im J
exp 1 + q2 jdq
- cos9 Im(гаНо^х)) = cos9 /0(х),
1
2
где Н0 (х) — функция Ханкеля [16-18]. Поэтому F(x, 0) можно определить как
решение уравнения F(x, 0) + sin2 0 ^ F(x' _ п cos q j0 (т), стремящееся к нулю
Зх2
при |х| ^<х>, как |х| , что следует из сформулированного правила обхода полюсов в интеграле (10). Тогда формула (11) проверяется прямой выкладкой, использующей рекуррентные формулы для функций Бесселя:
а2/о(т) 1/т,ч т t д 2¡2n (т) (l2n-2(l) J 2n СО, ¡2n+2(^)
д■
2
l(T!\ Tí W 8 2¡2n (t) f J2n-2(l) J2n СО, J2n+2C0 ] = - (J 2(X) - J o(x) = [—---— + —^ J.
Таким образом, при jr »1 и cos0<O для Г получено асимптотическое приближение
г=- 1
2%V 2jr
f Jo(iz) t 2еТ7 ( )^
— + £ l"ctg2 2 J J2n
O(%r )-3, (12)
где z = 2sin0sin9. Формулу (12) удобно использовать при малых yjz, так как hn (%z) экспоненциально стремится к нулю при 2n >%z, и в ряде по степеням —ctg2 (0 /2) достаточно брать относительно небольшое число слагаемых. Кроме того, дополнительным фактором сходимости является множитель ctg2(0 /2), стремящийся к нулю при 9 = л. При jz »1 и cos0<ü формула (12) асимптотически эквивалентна формуле (7). Действительно, при cos 0, отличном от нуля, cos 0 < С <0 и jz » 1, асимптотика интеграла (10) определяется стационарной точкой q = 0 и совпадает со вторым членом в (6) (первый член при cos 0 < 0 обращается в нуль). Если cos 0 близок к нулю, то необходимо использовать асимптотику интеграла (10), равномерную по cos 0, т. е. по расстоянию между полюсом q = — ctg 0 и стационарной точкой q = 0 [15]. Эта асимптотика выражается через комплексно сопряженный интеграл Френеля и имеет вид
Ф = -
T^2yrsinф sin(7t/4-0/2
exp (ijr sin ф) 2% V 2jr
exp (in /4 + ijr sin ф sin 0)
(2л)3/2 V2(jr)3/2 cos Qyjsin фsin 0 '
T(p) = f*(p) + exp(i^/4-Ф2). р = sin(n/4-0/2),
2v n p
т. е. отличается от (7) на слагаемое
exp(ijr sin ф) 1 -J1 - sin2 ф cos2 0
2 У t (p). (13)
2%V2jr _ sin2 фcos2 0
Покажем, что выражение (13) мало при jr » 1, для чего рассмотрим функцию p2T(р). Поскольку T(р) = 0(р~3) при р^-оо и p2T(р) ^ 0 при р^-0, функция p2T(р) ограничена при р<0: |p2T(р)| <M, где M — некоторое фиксированное число. Поэтому (13) можно переписать в виде
exp (iyr sin ф) 1 -yj 1 - sin2 ф cos2 0 p2T(p)
l^v V y¡1 - sin2 ф cos2 0 lyr sin ф sin2 (л/4-0/2 )' и так как функция p2T(p) ограничена и при -1 < C < cos 9 < 0, выражение
1 -yj 1 - sin2 ф cos2 0
- sin2 ф cos2 0 sin ф sin2 (л /4 -0 /2 ) lsinф (1 + sin0)
■^1 - sin2 ф cos2 0 + -J1 - sin2 ф cos2 0 j
также ограничено, тогда функция (13) имеет порядок (%r )2.
Рассмотрим значения cos0>0. Интеграл (4) после замены p, q ^—p, —q записывается в форме
_ Q , 1 0 dp °°r exp(iA)dq Ф (r, 0, ф) =---- J rJ— J —- ;
4n2v2i TT^q2
A = yr (-p cos 0 + pq sin 0 cos ф 1 -p2 + q2 sin 0 cos . Очевидно, что
_ Q -1 7 dp 7 exp(iA) dq
Ф(г,я-е,ф) = - 2-2-j . r j —. ;
Ф(r,0,ф) + Ф(r,п-э,Ф) = A(r,0,Ф) = J^^- J ^pt^B-; (14)
п a \ п a \ Re A(r, 0, ф) Г(г , 0, ф) = -Г(г, я-0, ф) -- T
4n2V2
Поскольку асимптотика Г(г,0,ф) при 0>л/2 уже известна, достаточно найти асимптотику интеграла Л. Используя второе равенство в (8), выражение для Л можно представить как
1 ^ exp(-i%rp cos Q)dp » exP(wsine(qcosФ+>/1"p2 л/1^^^))d4
Л"" 4*2V2 i TT^p2 I ^+7
и, изменив порядок интегрирования, получить
1 ® exp (i%rq sin 9 cos ф) dq
Л = -
4 *2v 2 jL TT--2
J
q
exp (i%r p cos 9 + 1 - p2 -\Д + q2 sin dp
1
p2
Асимптотика внутреннего интеграла при %r»1 определяется методом стационарной фазы и оказывается равномерной по q, 9, ф. В результате имеем
exp(in/4) 7 ехР(ilr(qsin6cosФ+Vl + q2sin29M
Л ~--Г-----— dq —
(2л)3/2 У2 4%r jL (1 + q2 sin2 9)1/4 Jl + q7
exp(-i^/4) »exp(ár(qcosФ+V1+q2)) - ---- f-i-i-. " dq. (15)
(2rc)3/2V24jr jL (1 + q2)1/4Vsin2 9 + q2
Рассмотрим критические точки интеграла (15). Во-первых, это стационарная точка q = -ctg ф и, во-вторых, две близкие к вещественной оси при малых 9 точки ветвления q = ±isin9. Если ctgф не мал, т. е. cosф = 0(cosф = 1), то асимптотика Л состоит из суммы вкладов этих точек. Вклад стационарной точки вычисляется стандартным методом. Вклад точек ± i sin 9 в главном члене асимптотики совпадает со значением модельного интеграла
7 exp(-¿xrq cos y)dq
J -1 -= 2Ko(xr sin 9 cos ф) = 2Ko(xy),
yjsin2 9 + q2
где K0(x) — функция Бесселя от мнимого аргумента [16-18]. При х ^ да K0(x) экспоненциально стремится к нулю, при х ^ 0 — логарифмически возрастает,
П X
К0(х)« i— e~т(х^<х>), К0(х) — ln—C, C = 0,5772 — постоянная Эйлера. \ 2ц 2
Таким образом, если sin 9 не мал (достаточно потребовать sin Q>(%r)~1//4), то асимптотика Л вычисляется методом стационарной фазы:
- exp (ijr sin ф) _ ч
Л«-. F Л ' . (16)
2%V2jrJsin2 9 sin2 ф + cos2 ф
Если sin9 мал, то cosф не мал (cos9>(%r)~1/4 ) иследует учесть вклад точек ветвления ± i sin 9:
^ exp(i%r sin ф) exp(-rá /4 + ijr )K0(jr sin 9 cos ф) (17)
2% V2jr<Jsin2 ф sin2 9 + cos2 ф V2n3/2V2yjjr
Если малы и sin 0 и cos ф, то асимптотики (16) и (17) непригодны. В этом случае стационарная точка оказывается вблизи точек ветвления и модельным интегралом является следующая функция, которая не сводится к известным специальным функциям [16-18]:
exp (i (x - а)2) dx
ß) = J
л/р2
- x2
Асимптотика Л при малых cos ф и sin 0 выражается через функцию ^(а, Р):
exp (-¿ж / 4 + ¿jr (1 + sin2 ф) / 2) ..... \jr ^
* (2rc)3/2V 2\fxr
— cos ф, -J— sin 0
(18)
Заключение. Рассмотрена функция Г(^, y, z), имеющая интегральное представление (4). Все компоненты поля ВГВ от точечного движущегося источника массы и диполя с единичным моментом выражены через функцию Г по явным формулам. Асимптотика Г на больших расстояниях от движущегося источника возмущений (х = N/ V, £ = r cos0, y = r sin0cosф, |z| = r sin0sinф) при |z| >(r /x)1/2, |cos 0|> (xr)_1/4 определена по формуле (6). Вблизи траверсной плоскости 0 = я/2 при > (r / х)1/2, |cos 0|< c < 1 асимптотика Г найдена по формуле (7). В окрестности горизонтальной плоскости движения источника при z < (r / %)1/2 и перед источником, т. е. при cos0<0 (п/2<0<тс), асимптотика Г получена по выражению (12), причем при jz ^го и cos 0<0 эта формула асимптотически эквивалентна (7). Наконец, вблизи горизонтальной плоскости движения источника z < (r / х)1/2 и за ним, т. е. при cos 0>0 и при sin Q>(%r )"1/4, дальние поля ВГВ описаны выражениями (14)-(18). В дальней зоне возбуждаемые волновые поля относительно малы по амплитуде и, как правило, хорошо описываются с помощью линейных уравнений, поэтому при исследовании дальнего распространения ВГВ прямые численные расчеты нецелесообразны. Как показано в настоящей работе, аналитические представления дальних полей ВГВ описываются сравнительно простыми аналитическими выражениями. Начальные и граничные условия для конкретных источников возмущений должны определяться из результатов прямого численного моделирования полной системы уравнений гидродинамики или из сугубо оценочных полуэмпирических соображений, позволяющих адекватно аппроксимировать реальные нелокальные источники возмущений некоторой системой модельных источников. Полученные асимптотические решения дают возможность эффективно рассчитывать основные амплитудно-фазовые характеристики возбуждаемых дальних полей ВГВ при определенных режимах генерации и, кроме того, качественно анализировать полученные решения, что важно для правильной постановки более сложных математических моделей волновой динамики реальных природных стратифицированных сред (океан, атмосфера Земли). Модельные решения позволяют в дальнейшем получить представления волновых полей с учетом реальной изменчивости и нестационарности этих сред.
ЛИТЕРАТУРА
1. Pedlosky J. Waves in the ocean and atmosphere: introduction to wave dynamics. Springer, 2003. 264 p.
2. Sutherland B.R. Internal gravity waves. Cambridge University Press, 2010. 394 p.
3. Massel S.R. Internal gravity waves in the shallow seas. Springer, 2015. 163 p.
4. Mei C.C., Stiassnie M., Yue D.K.-P. Theory and applications of ocean surface waves. In 2 vols. World Scientific Publishing, 2017. 1500 p.
5. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Wave dynamics of stratified mediums. М.: Наука, 2012. 584 с.
6. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Волны в стратифицированных средах. М.: Наука, 2015. 735 с.
7. Grue J., Jensen A. Orbital velocity and breaking in steep random gravity waves // J. Geoph. Res. 2012. Vol. 117. No. C7. Art. C013. DOI: 10.1029/2012JC008024
8. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Дальние поля внутренних гравитационных волн в неоднородных и нестационарных стратифицированных средах // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2013. Т. 6. № 2. С. 55-70.
9. Bulatov V.V., Vladimirov Yu.V. Asymptotical analysis of internal gravity wave dynamics in stratified medium // Appl. Math. Sciences. 2014. Vol. 8. No. 5. P. 217-240.
DOI: 0.12988/ams.2014.311637
10. Abdilghanie A.M., Diamessis P.J. The internal gravity wave field emitted by a stably stratified turbulent wake // J. Fluid Mech. 2013. Vol. 720. P. 104-139.
11. Rees T., Lamb K.G., Poulin F.J. Asymptotic analysis of the forces internal gravity waves equation // SIAM J. Appl. Math. 2012. Vol. 72. Iss. 4. P. 1041-1060. DOI: 10.1137/110842892
12. Navrotsky V.V., Liapidevskii V.Yu, Pavlova E.P. Features of internal waves in a shoaling thermocline // Int. J. Geosciences. 2013. Vol. 4. P. 871-879. DOI: 10.4236/ijg.2013.45081
13. Recurrent internal waves in a small lake: potential ecological consequences for metalim-netic phytoplankton populations / A. Pannard, B.E. Beisner, D.F. Bird, J. Braun, D. Planars, M. Bormans // Limnology and Oceanography. 2011. Vol. 1. Iss. 1. P. 91-109.
DOI: 10.1215/21573698-1303296
14. Vlasenko V., Stashchuk N., Inall M., Hopkins J. Tidal energy conversion in a global hotspot: on the 3D dynamics of baroclinic tide sat the Celtic Sea shelf break // J. Geophys. Res. Oceans. 2014. Vol. 119. Iss. 6. P. 3249-3265. DOI: 10.1002/2013JC009708
15. Borovikov V.A. Uniform stationary phase method. London, Institution of Electrical Engineers. 1994. 233 p.
16. White R.B. Asymptotic analysis of differential equations. Imperial College Press, 2005. 304 p.
17. Abramowitz M., Stegun I.A. Handbook of mathematical functions. Dover Publications Inc., 1992. 1046 p.
18. Watson G.N. A treatise on the theory of Bessel functions. Cambridge University Press, 1995. 804 p.
Булатов Виталий Васильевич — д-р физ.-мат. наук, д-р экон. наук, профессор, старший научный сотрудник ИПМех РАН (Российская Федерация, 119526, Москва, пр-т Вернадского, д. 101, корп. 1).
Владимиров Юрий Владимирович — канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник ИПМех РАН (Российская Федерация, 119526, Москва, пр-т Вернадского, д. 101, корп. 1).
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Дальние поля внутренних гравитационных волн от движущихся источников возмущений // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2018. № 4. С. 73-89. БО!: 10.18698/1812-3368-2018-4-73-89
FAR FIELDS OF INTERNAL GRAVITATIONAL WAVES FROM MOVING PERTURBANCE SOURCES
V.V. Bulatov Yu.V. Vladimirov
[email protected] [email protected]
Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russian Federation
Abstract
An important mechanism for excitation of far fields of internal gravitational waves in natural (oceanic, atmospheric) and artificial stratified media is their generation by perturbance sources of various physical nature: natural (a moving typhoon, wind wave, unevenness of ocean relief, changes in density fields and currents, leeward mountains) and anthropogenic (marine technological structures, collapse of the field of turbulent mixing, underwater explosions). The system of hydrodynamic equations describing wave perturbations of stratified media in a general form is a rather complex mathematical problem both in terms of proving the existence and uniqueness theorems for solutions in the corresponding functional classes, and from the computational point of view. The main results of solving problems on generation of internal gravitational waves are presented in the most general integral form, and in this case the integral solutions obtained require the development of numerical and asymptotic methods for their investigation that allow qualitative analysis and rapid estimation of the solutions obtained. Therefore in modern scientific studies in the analysis of wave phenomena in real stratified media, simplified asymptotic and analytical models are widely used. In linear approximation, the existing approaches to describing the wave pattern of excited fields are based on the representation of wave fields by Fourier integrals. The work studies far fields of internal gravitational waves excited by a perturbance source moving in an infinite vertical stratified medium. The propagation of waves in an inviscid, incompressible medium with an exponential distribution of the unperturbed density is considered. In linear approximation and Boussinesq approximation, uniform asymp-
Keywords
Stratified medium, internal gravitational waves, far fields, uniform asymptotics, moving source
totics of the excited fields of internal gravitational waves were constructed far from the moving perturbance source, including the vicinity of the traverse plane and the horizon of motion. The obtained asymptotic solutions make it possible to efficiently calculate the main amplitude-phase characteristics of the excited far fields of internal gravitational waves under certain generation modes and, in addition, qualitatively analyze the solutions obtained, which is important for the
correct formulation of more complex mathematical models of Received 10.10.2017 wave dynamics of real natural stratified media © BMSTU, 2018
This work was carried out within the framework of the state task (no. AAAA-A17-117021310375-7)
REFERENCES
[1] Pedlosky J. Waves in the ocean and atmosphere: introduction to wave dynamics. Springer, 2003. 264 p.
[2] Sutherland B.R. Internal gravity waves. Cambridge University Press, 2010. 394 p.
[3] Massel S.R. Internal gravity waves in the shallow seas. Springer, 2015. 163 p.
[4] Mei C.C., Stiassnie M., Yue D.K.-P. Theory and applications of ocean surface waves. In 2 vols. World Scientific Publishing, 2017. 1500 p.
[5] Bulatov V.V., Vladimirov Yu.V. Wave dynamics of stratified mediums. Moscow, Nauka Publ., 2012. 584 p.
[6] Bulatov V.V., Vladimirov Yu.V. Volny v stratifitsirovannykh sredakh [Waves in stratified medium]. Moscow, Nauka Publ., 2015. 735 p.
[7] Grue J., Jensen A. Orbital velocity and breaking in steep random gravity waves. J. Geoph. Res., 2012, vol. 117, no. C7, art. C013. DOI: 10.1029/2012JC008024
[8] Bulatov V.V., Vladimirov Yu.V. Fields of internal gravity waves in heterogeneous and non-stationary stratified media. Fundamental'naya i prikladnaya gidrofizika [Fundamental and Applied Hydrophysics], 2013, vol. 6, no. 2, pp. 55-70 (in Russ.).
[9] Bulatov V.V., Vladimirov Yu.V. Asymptotical analysis of internal gravity wave dynamics in stratified medium. Appl. Math. Sciences, 2014, vol. 8, no. 5, pp. 217-240.
DOI: 0.12988/ams.2014.311637
[10] Abdilghanie A.M., Diamessis P.J. The internal gravity wave field emitted by a stably stratified turbulent wake. J. Fluid Mech., 2013, vol. 720, pp. 104-139.
[11] Rees T., Lamb K.G., Poulin F.J. Asymptotic analysis of the forces internal gravity waves equation. SIAM J. Appl. Math., 2012, vol. 72, iss. 4, pp. 1041-1060. DOI: 10.1137/110842892
[12] Navrotsky V.V., Liapidevskii V.Yu., Pavlova E.P. Features of internal waves in a shoaling thermocline. Int. J. Geosciences, 2013, vol. 4, pp. 871-879. DOI: 10.4236/ijg.2013.45081
[13] Pannard A., Beisner B.E., Bird D.F., Braun J., Planars D., Bormans M. Recurrent internal waves in a small lake: potential ecological consequences for metalimnetic phytoplankton populations. Limnology and Oceanography, 2011, vol. 1, iss. 1, pp. 91-109.
DOI: 10.1215/21573698-1303296
[14] Vlasenko V., Stashchuk N., Inall M., Hopkins J. Tidal energy conversion in a global hotspot: on the 3D dynamics of baroclinic tide sat the Celtic Sea shelf break. J. Geophys. Res. Oceans, 2014, vol. 119, iss. 6, pp. 3249-3265. DOI: 10.1002/2013JC009708
[15] Borovikov V.A. Uniform stationary phase method. London, Institution of Electrical Engineers. 1994. 233 p.
[16] White R.B. Asymptotic analysis of differential equations. Imperial College Press, 2005. 304 p.
[17] Abramowitz M., Stegun I.A. Handbook of mathematical functions. Dover Publications Inc., 1992. 1046 p.
[18] Watson G.N. A treatise on the theory of Bessel functions. Cambridge University Press, 1995. 804 p.
Bulatov V.V. — Dr. Sc. (Phys.-Math.), Dr. Sc. (Econ.), Professor, Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences (IPMech RAS) (Vernadskogo prospekt 101/1, Moscow, 119526 Russian Federation).
Vladimirov Yu.V. — Cand. Sc. (Phys.-Math.), Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences (IPMech RAS) (Vernadskogo prospekt 101/1, Moscow, 119526 Russian Federation).
Please cite this article in English as:
Bulatov V.V., Vladimirov Yu.V. Far Fields of Internal Gravitational Waves from Moving Per-turbance Sources. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2018, no. 4, pp. 73-89 (in Russ.). DOI: 10.18698/1812-3368-2018-4-73-89
В Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана вышел в свет учебник (5-е издание) под редакцией К.С. Колесникова, В.В. Дубинина
«Курс теоретической механики»
Изложены кинематика, статика, динамика точки, твердого тела и механической системы; аналитическая механика; теория колебаний; теория удара; введение в динамику тел переменной массы; основы небесной механики. Приведены примеры решения задач. Содержание учебника соответствует программе и курсу лекций, которые читаются в МГТУ им. Н.Э. Баумана. Для студентов машиностроительных вузов и технических университетов. Может быть полезен аспирантам и преподавателям, а также специалистам в области статики и динамики механических систем.
По вопросам приобретения обращайтесь:
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1 +7 (499) 263-60-45 [email protected] www.baumanpress.ru
