ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 37

Ращупкина С.О.

студентка 2 курса магистратуры факультета математики и компьютерных наук

Кубанский государственный университет (г. Краснодар, Россия)

ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

Аннотация: в работе представлены математические модели, необходимые для решения экономических задач. Приведены примеры решения финансовых задач из ЕГЭ. Предложен обобщённый подход к составлению математической модели при решении задач с экономическим содержанием.

Ключевые слова: проценты, экономика, кредиты, вклады, математическая модель.

Задачи с экономическим содержанием являются наиболее сложными для разбора на уроках математики и при подготовке старшеклассников к ЕГЭ профильного уровня. Но в тоже время решения таких задач очень полезно для обучающихся, т.к. они позволяют старшеклассникам, применяя знания математического аппарата, знакомиться с такими экономическими понятиями как вклады, кредиты, курсы валют и т.д. Поэтому в образовательных организациях решению такого рода задач необходимо уделять большое внимание.

Под задачей с экономическим содержанием по математике мы рассматриваем задачу, сформулированную в области экономики, решение которой требует использования математического аппарата.

Для того, чтобы ученик успешно справился с заданием даже в стрессовых условиях экзамена, нужно предложить особые методические приёмы для решения экономических задач.

Решение любой текстовой задачи происходит по следующей схеме, которая представлена на рисунке 1:

1) Условие задачи необходимо «перевести» на математический язык

2) Найти решение задачи, используя знание математических формул

3) Объяснить полученный для математической модели результат в терминах первоначальной задачи. Как показывает практика, самый сложный этап решения задачи - это составление математической модели.

Рис. 1 - Схема решения текстовых задач

Трудности при составлении модели возникают у большинства учеников. Согласно анализу результатов ЕГЭ по математике по Краснодарскому краю в 2023 году ненулевые баллы за задание 16 получили около 3% участников экзамена. Процент выполнения экономических задач достаточно низок даже среди учеников, набравших более 80 баллов. Чаще всего ученики делают ошибки при составлении модели задачи, путаются в связи величин, делают вычислительные ошибки при решении квадратного уравнения. [2] Правильно построенная модель задачи поможет уже получить 1 балл в решении задачи № 16 ЕГЭ по математике, это можно увидеть в таблице критериев оценивания этого задания

Чтобы верно составить математическую модель, ученик должен уметь работать с текстом.

Приведем примеры работы с задачей № 16 (ЕГЭ, профиль) - это текстовая задача, которая содержит большое количество данных. И первым шагом на пути к правильному решению задачи является умение внимательно читать текст и извлекать из него нужную информацию. В свою очередь, выполнение этих заданий требует от учащихся эффективного использования своих знаний: сложный процесс, требующий математической грамотности.

Язык математики может включать жанры таких областей, как научные, географические или другие социальные условия, а также символические и графические представления математической информации, которая требует соответствующего отбора, понимания и организации этой информации, чтобы можно было приобрести соответствующие знания. Освоив основы моделирования экономической задачи, необходимо обратить особое внимание на умение выделять из текста нужные величины. Можно составить план (алгоритм) для решения задач каждого вида, который будет отрабатываться путем решения задач из открытого банка заданий и материалов ЕГЭ прошлых лет. [1]

Пример алгоритм составления математической модели для задачи на вклад представлен на рисунке 2.

1) Необходимо сделать анализ условии задачи, то есть выделить искомую величину (сумму вклада, срок, процент), затем необходимо определить, как изменяется величина вклада (однократное'последовательное

2) Если в условии задачи сказано оо однократном изменении величины вклада на определённое число процентов, тогда при решении задачи будем применять формулу начисления простых процентов

если о последовательном через равные промежутки времени — формула

тг - количество периодов начисления процентов, р — банковский процент по вкладу за период начисления.

3) Пользуясь ну ясной формулой, выразить сумму вклада, сумму после начисления процентов, процент и т.д. в зависимости от вопроса.

Рис. 2 - Алгоритм 1

Решим задачу, представленную на рисунке 3:

Какой вклад выгоднее: первый - на 1 год под 16% годовых или второй - на 4 месяца (с автоматической пролонгацией каждые четыре месяца в течение года с момента открытия вклада) под 15% годовых? При расчётах считайте, что один месяц равен 1/12 части года.

Используя алгоритм, представленный выше, начнем решение задачи. Схема изменения величины вклада: для первого вклада проценты будут начислены один раз, а для второго - последовательно через каждые четыре месяца.

Для первого вклада (под 16% годовых) будем применять формулу простых процентов, где S0 - первоначальная сумма вклада, количество периодов начисления процентов равно 1.

Для второго вклада (под 15% годовых) будем использовать формулу сложных процентов, где - начальная сумма вклада, количество периодов начисления процентов равно 3. Так как банковский процент по вкладу

15

составляет 15% в год, то за 4 месяца он составляет — 4 = 5 %.

Задача 3:

Рис.3 - Задача 1

Решение:

12

0

Ответ на вопрос задачи будем искать, сравнивая суммы вкладов после начисления процентов. В результате увидим, что первый вклад выгоднее второго при данных условиях.

Алгоритм составления математической модели для задачи на погашение кредита представлен на рисунке 4.

1) Проанализировав условия задачи, выделить величину, значение которой требуется найти (сумму кредита, срок, процент) и определить схему погашения (равные/неравные) платежи.

2) Если кредит погашается равными платежами, то после начисления процентов на оставшуюся сумму долга вносится сумма платежа: одинаковая в каждом платёжном периоде (для аннуитетной схемы) или состоящая из фиксированной части долга и процентов (для дифференцированной схемы

3) Обозначить буквой коэффициент, на который увеличивается

4) Пользуясь нужной формулой, выразить сумму кредита, общую сумму всех выплат, сумму платежа и т.д. в зависимости от вопроса.

Рис. 4 - Алгоритм 2

В качестве примера решим, следуя составленному алгоритму, задачу, предложенную в сборнике для подготовки к ЕГЭ 2020 года по математике профильного уровня .

Задача 2 показана на рисунке 5 [3]:

31 декабря 2013 г. Сергей взял в банке 9 930 ООО рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Рис. 5 - Задача 2

Решение:

В этой задач мы имеем дело с аннуитентными платежами. Это следует из условия задачи, говорится о погашении кредита равными платежами, и проценты начисляются до окончания платёжного периода на оставшуюся сумму долга. Подробное решение задачи приводим на рисунке 6.

Пусть - сумма кредита, л: - сумма ежегодного платежа, а р - годовые проценты, начисляемые на оставшийся долг. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на ксзф фнднент

- = (1 + 5зУ = 1 + М1р

Запишем сумму долга после каждого их трёх платежей. После первой выплаты дслг оудет составлять:

— — х После второй выплаты долг составит:

А2 = А^т — х = (Лдт — х) -т — х = ЛдШ- — тх — х После третьей выплаты сумма оставшегося долга составит: Л; = Агт — х = - лиг - — х = - т~х - шдг — х

По условию кредит погашается полностью тремя выплатами, тогда сумма долга после третьего платежа станет равна 0,

=0

— т-* - пи — х = 0

—171+1) =

Для вычисления суммы (го* + т — 1) воспользуемся формулой суммы первых л членов геометрической прогрессии:

Где = \,ц = т. Получаем:

3-1

тэ- I

= ¿„т х = А*

I "

Рис. 6 - Решение задачи 2 Мы описали условие задачи с помощью математической модели. Обобщим формулу и запишем остаток, который будет после «-ой выплаты, где п - количество платежей. Сумма долга по истечении последнего платёжного периода равна 0, получаем формулу для вычисления платежа при аннуитетной схеме погашения кредита:

Ап = Ап-1т — х = А0тп — тп гх-----тх — х

тп (т — 1) х — Ао ^

0 тп — 1

Подставляя данные из условия, вычисляем х:

т3(т— 1) 1,13(1,1 — 1)

х — 40 —^—-- — 9930000 • ^——- — 3993000 0 т3 — 1 1,13 — 1

Так как за х мы обозначили сумму ежегодного платежа, ответ на вопрос задачи получен.

Ответ: 3 993 000 рублей.

Приведем в пример решение еще одной задачи из банка заданий ЕГЭ, представленной на рисунке 6. Задача 3 [3]:

1 июля не високосного года Екатерина взяла в банке кредит на сумму 109 500 рублей под 24% годовых сроком на 6 месяцев. Условия погашения кредита: - до 1-го числа каждого следующего за июлем месяца, банк начисляет 24% на оставшуюся сумму долга; - после начисления процентов Екатерина вносит в банк некоторую фиксированную сумму - одну и ту же для каждого платежа. Найдите сумму всех выплат по кредиту.

Рис. 7 - Задача 3

Решение:

Начисление процентов на оставшуюся сумму до истечения платёжного периода и погашение равными платежами означает, что схема погашения аннуитетная. Можно заметить, что в задаче важно количество месяцев, так как долг погашается ежемесячно. Поэтому информация о том, что год нне високосный нам нужна (так как она о количестве дней в году). Чтобы найти

проценты, начисляемые ежемесячно, следует годовые проценты поделить на 12 (количество месяцев):

0,24

V — -ГТГ = 0,02 н 12 ,

В задаче 2 мы получили формулу, которая позволяет вычислить разовый платеж при аннуитентной схеме, применим данную формуду для решения задачи:

р(р + 1)п „ 0,02-1,026 ,ппгпп тг-лъг-ъ г-

х = —с = —6-- 109500 « 19548,58 руб.

(р + 1)п-1 0 1,026-1 ^

Вернёмся к условию, нам необходимо найти сумму всех выплат:

5 — бх — 6 • 19548,58 « 117291,48 руб.

Ответ: 117 291,48 руб. Алгоритм составления математической модели для задач на оптимизацию величины мы представляем на рисунке 8:

1) Про анализ ировав условия задачи, выделить величину, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь, обозначить ее буквой у (Б, V, и так далее, в зависимости от фабулы).

2) Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую сравнительно нетрудно выразить остальные, принять за независимую переменную и обозначить ее буквой х.

3) Установить границы изменения независимой переменной в соответствии с условиями задачи.

4) Выразить величину, наибольшее или наименьшее значение которой требуется найти, через х.

5) Математическая модель задачи представляет собой функцию у = [(х) с областью определения которую нашли на втором шаге. Надо найти точку максимума (минимума) этой функции на данном интервале.

Рис. 8 - Схема решения задач на оптимизацию Решим задачу.

Задача 4 представлена на рисунке 9. [4]:

Компания продает товар по цене 100 рублен, если объем партии не превышает 5000 единиц. При большем объеме предоставляется скидка в размере 5 рублей на каждую по следующую тысячу, превышающую уровень 5000. При каком объеме заказа компания получает наибольший доход?

Рис. 9 - Задача 4

Решение:

Пусть х - количество товара. Если х < 5000, то цена единицы товара по условию составляет 100 рублей. Если х > 5000, то определить цену можно, используя формулу показанную на рисунке 10:

* - Ü000

р(*} = 100 - 5 ■ = IDO - 0,005* + 25 = 125 - 0.005*

Б nepsoi: случэЕ, прн * < ^000. максимальный joto" достигаете при л" = 5 ООО . Он ране:-:

Я] = 5000 ■ L00 = 500000 (ру£.)

Ed нторолс с.тучае. при * > 5ООО. доход определяется следующей функцией:

R2 = R(x\ = *р(*| = *(125 - 0,003*: = 125* - 0.005** (руо. :

Находим производную. затем приравниваем ее к нулю н определяем критическую точку:

Я'С*) = (125* - 0.005**)' = 12; - 0.01*

L2S

й [х) =0,-» 125 - 0,01j = 0,-J * = 12500

Заметны, что вторая производная функции Д (*} всегда отрицательна:

я" С*) = (125 - о,о1*з' = -ОгО 1 < о

Поэтому найденная критическая точи соотв етстьугт максимуму фд-НЕЦш Д:*). Таким образом, доход Боо^спаннн будет ыакспмальныы при

продаже партии товаров глнннп. Максимальный доход при этоы составит: = 125 ■ 12500 - 0.005 ■ 12500" = 761250 (руб.)

Рис. 10- Решение задачи 4

Ответ: 781250.

Схема формирования общего подхода к составлению математической модели для задания № 16 из ЕГЭ представлена на рисунке 11.

Внимательно прочитать задачу, определить ее тип

Задача на вклад

Проанализиро» аз условия задачи, определить, какую формулу следует использовать

Однократное изменение величины вклада на определенное число процентов (простые проценты)

Формула простых процентов

Задача на кредит

Задача на оптимизацию

Проанализировав условия задачи, выделить величину, значение которой требуется найти (сумму кредита, срок, процент) и определить схему погашения (равные/неравные) платежи.

Изменепне величины вклада через равные промежутки времени на определённое число процентов (сложные проценты)

I

Формула сложных процентов

При погашении неравными платежами клиент возвращает п-ую часть суммы кредита и проценты от не выплаченной на начало »того периода части кредита (п -количество периодов). Проценты начисляются на остаток долга

Проанализировав условия задачи, выделить величину, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь. Иди две величины, из которых нужно выбрать наилучшую согласно условию задачи.

Формула простых процентов, формула суммы п первых членов арифметической профессии

При погашении равными платежами (аннуитетная схема) клиент вносит платеж после начисления процентов, сумма долга

уменьшается и проценты начисляются на уменьшенную сумму долга.

I

Формула процентов, суммы п членов

геометрической 1

сложных формула

первых

М атем ати1ч е е кая модель представляет собой функцию у=А[х) с областью определения, задаваемой границами изменения переменной в задаче или систему уравнений (неравенств)

Исследование функции с помощью производной/Решение системы уравнений (неравенств)

Еще раз внимательно прочитать условия задачи и убедиться, что работа с _полученной моделью даст ответ на вопрос задачи__

Рис.11- Обобщенный подход к составлению математической модели при

решении задач с экономическим содержанием

Регулярное решение задач по отработанному алгоритму позволит сформировать единый подход к решению задач с экономическим содержанием, а также довести до автоматизма навыки составления математической модели, что считается наиболее трудным этапом решения задачи. Решение экономических задач развивает логику мышления, что способствует лучшему освоению трехмерного видения, прогрессу в развитие ускорения сообразительности и наблюдательности, способности самостоятельно проводить небольшие исследования в области банковских расчетов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. ФГБНУ «ФИПИ» : федеральная служба по надзору в сфере образования и науки : официальный сайт. - Москва. - URL: https://fipi.ru/;

2. ГБОУ Институт развития образования Краснодарского края : Официальный сайт. - Краснодар. - URL: http://iro23.ru/;

3. Сдам ГИА: решу ЕГЭ // Образовательный портал для подготовки к экзаменам: сайт. - 2024. - URL: https://ege.sdamgia.ru/;

4. Баврин, И.И. Начала анализа и математические модели в естествознании и экономике: книга для учащихся 10-11кл. 2-е изд. / И.И. Баврин. - Москва : Просвещение, 2000. - 80 с. - ISBN 5-09-009905-7;

5. Стефанова, Н.Л. Методика и технология обучения математике : Пособие для вузов. 2-е изд. / Н.Л. Стефанова, Н.С. Подходова. - Москва : Дрофа, 2008. -415 с. - ISBN 5-7107-7414-6;

6. Шапиро, И. М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики: книга для учителя / И.М. Шапиро. - Москва: Просвещение, 1990. - 95 с. - ISBN 5-09-002725-0.

Raschupkina S.O.

Kuban State University (Krasnodar, Russia)

FEATURES OF SOLVING TEXT PROBLEMS WITH ECONOMIC CONTENT

Abstract: the paper presents mathematical models necessary for solving economic problems. Examples of solving financial problems from the Unified State Exam are given. A generalized approach to the compilation of a mathematical model for solving problems with economic content is proposed

Keywords: interest, economics, loans, deposits, mathematical model.