CC BY
65
УДК 51 (07)
Magomedgadzhieva A.M., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Dagestan State Pedagogical University; math teacher, CHOU"Gymnasium "Sahab"
(Makhachkala, Russia), E-mail: ami-76@mail.ru
Gadzhieva Z.D., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia),
E-mail: gadzhieva.zulfiya@mail.ru
Gadjiagaev Sh.S., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia), E-mail: sharafudin79@mail.ru
METHODOLOGICAL ASPECTS OF SOLVING PROBLEMS OF THE ECONOMIC CONTENT OF THE UNIFIED STATE EXAM IN MATHEMATICS. The article considers one of the approaches to solving common types of tasks with bank differentiated payments, which are unequal annual or monthly payments (tranches), proportionally decreasing over the entire loan term. For this type of tasks, a pattern has been revealed in the compilation of the sequence of debt with interest accrual, the sequence of debt with repayment of debts and the sequence of debt payments. The formula of the total amount of all payments and the formula of payment (tranche) for a specific year (month) of lending is derived. The article provides examples of the use of derived formulas in the context of specific tasks and shows the construction of a mathematical model of problems of this type. The article is relevant, since tasks with bank differentiated payments are one of the main types of economic tasks of the 2nd part of the Unified State Exam, where it is required to give a reasoned detailed answer with the construction of a mathematical model of the problem. The tasks are taken from the collection of the FIPI Unified State Exam-2021 profile level edited by I.V. Yashchenko.
Key words: differentiated payments, loan, tranches, loan rate, loan term, total amount of payments.
А.М. Магомедгаджиева, канд. пед. наук, доц., Дагестанский государственный педагогический университет,
учитель математики ЧОУ «Гимназия «Сахаб», г. Махачкала, E-mail: ami-76@mail.ru
З.Д. Гаджиева, канд. пед. наук, доц., Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала, E-mail: gadzhieva.zulfiya@mail.ru
Ш.С. Гаджиагаев, канд. пед. наук, доц., Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала, E-mail: sharafudin79@mail.ru
МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭКОНОМИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
В статье рассматривается один из подходов к решению распространенных типов задач с банковскими платежами. Все эти платежи неравные, выплачиваются каждый год или по месяцам. Сумма платежей будет уменьшаться по мере выплаты кредита к концу его срока. Для этого типа задач выявлена закономерность в составлении последовательности долга с начислением процентов, последовательности долга с погашением задолженностей и последовательности долга платежей. Выведена формула общей суммы всех платежей и формула выплаты (транша) за конкретный год (месяц) кредитования. В статье приведены примеры использования выведенных формул в контексте конкретных задач и показано конструирование математической модели задач такого типа. Все рассматриваемые нами экономические задачи взяты из сборника ФИПИ ЕГЭ-2021 профильного уровня под редакцией И.В. Ященко.
Ключевые слова: дифференцированные платежи, кредит, транши, кредитная ставка, срок кредитования, общая сумма выплат.
Экономические задачи являются наиболее сложными, но и в то же время интересными для разбора при подготовке к ЕГЭ профильного уровня по математике. Введение таких задач в задания ЕГЭ по математике очень полезно для учащихся, т.к. они позволяют детям размышлять о реальных жизненных ситуациях. Очень много людей, которые, беря кредиты в банках, не владеют навыками произведения расчетов с процентами, не осознают сумму итогового платежа и попадают в кредитовую зависимость. Играть на бирже с ценными бумагами, следить за их курсом, за процентными ставками - это сложное дело, которое требует от любого из нас больших знаний, поэтому к решению такого рода задач нельзя относиться легкомысленно.
Актуальность статьи заключается в том, что задачи с банковскими дифференцированными платежами являются одним из основных видов экономических задач 2-й части КИМов ЕГЭ, где требуется дать обоснованный развернутый ответ с построением математической модели задачи.
Проблема исследования заключается в том, что учащиеся 10-11 классов при обучении решению задач на банковские вклады и процентные ставки сталкиваются с рядом терминов, которые им незнакомы и в которых они плохо ориентируются.
Объект исследования: процесс подготовки учащихся 10-11 классов к сдаче профильного экзамена (ЕГЭ) по математике.
Предмет: обучение учащихся 10-11 классов решению задач на банковские вклады и процентные ставки в процессе подготовки к ЕГЭ по математике.
Основная цель данного исследования - изучить методические аспекты обучения учащихся 10-11 классов решению практических задач на банковские вклады и процентные ставки при подготовке к ЕГЭ по математике учителям и ученикам 10-11 классов.
Задачи исследования:
1) рассмотреть уровень современного состояния проблемы обучения математике учащихся 10-11 классов;
2) изучить методику обучения учащихся 10-11 классов решению банковских задач на вклады и проценты.
Гипотеза исследования: если найти оптимальные способы решения экономических задач, то это поможет создать условия для успешной подготовки учащихся к сдаче ЕГЭ по математике и лучшего освоения учащимися материала на уроках математики.
Основные этапы работы:
• рассмотрение основного теоретического материала по данному исследованию;
• работа над практической частью.
Методы исследования:
• теоретический анализ научной и методической литературы по данному исследованию;
• анализ методической литературы;
• Подбор методически обоснованных заданий, способствующих успешной подготовки учащихся к сдаче ЕГЭ.
Теоретическая значимость заключается в обосновании и рассмотрении методических аспектов обучения старшеклассников решению задач с экономическим содержанием для оказания помощи при подготовке к ЕГЭ учителям и ученикам 10-11 классов.
Практическая значимость исследования состоит в том, что результаты могут быть использованы учителями школ, гимназий и лицеев в учебном процессе школ, а также студентами педагогических вузов и колледжей.
Данная статья - попытка помочь учителям математики в подготовке учащихся к ЕГЭ по математике. Идея обобщить материал, связанный с решением «экономических задач», появилась у нас в ходе разбора с учениками на дополнительных занятиях задач такого рода. Решение «экономических» задач вызывает у учащихся наибольшие затруднения по сравнению с другими видами текстовых задач. Объективные причины этого кроются в содержании самой задачи, которое связано с непомерно длинной формулировкой условия и смысловой необычностью сюжета, а это, как правило, «напрягает» учащихся.
Первое знакомство учащихся с процентами происходит в курсе математики 5 класса, где они решают простейшие задачи на проценты. В 6 классе рассматриваются задачи на нахождение частей по процентам. В 8 классе в заданиях ВПР по математике встречаются задачи на вклады под банковские и процентные ставки. А при подготовке к ОГЭ по математике в 9 классе эти задачи также можно увидеть среди других в первой части.
Встает вопрос: зачем мы рассматриваем экономические задачи, ведь их представлено немало в различных источниках? Ответ очевиден: хотелось бы найти более рациональный и универсальный способ их решения на собственном педагогическом опыте.
Задачей данной работы является рассмотрение способов решения разных типов заданий под № 15, за которое при оценивании результатов ЕГЭ дают учащимся 2 первичных балла.
Рассмотрим этапы решения банковских задач с экономическим содержанием:
1. Внимательно и несколько раз читаем условие задачи.
2. Указываем и распределяем основные действия в условии задачи.
3. Выражаем их на математическом языке.
4. Выполняем действия и указываем ответ.
Решение задания № 15 включает в себя представление условия задания в виде математической модели, т.к. все эти задачи являются текстовыми, но с финансовым уклоном и громоздкими вычислениями.
Существует несколько видов таких заданий:
- банковские кредиты и вклады;
- на ценные бумаги и акции;
- задачи на поиск оптимальных решений.
Предлагаем рассмотреть один из самых распространенных типов экономических задач - с банковскими платежами. Если брать в банке кредиты, выплаты могут быть разными в течение всех лет, их можно выплачивать каждый месяц, пропорционально уменьшая в течение всего срока кредитования. Прежде всего, для решения этого типа задач полезно усвоить закономерности в составлении последовательности долга с начислением процентов, последовательности долга с погашением задолженностей и последовательности долга платежей.
Задача 1. Пусть мы хотим взять в банке кредит S млн рублей на п лет (месяцев) на определенных условиях. Представим эти условия в виде таблицы для большей наглядности.
Условие задачи На имеющуюся сумму задолженности начисляется г% (каждый год 1 января)
Необходимо выплатить часть долга (со 2-го по 6-е месяцы- с февраля по июнь) — до 15 числа каждого месяца Долг должен стать меньше долга на июль (на конег предыдущего года (месяца) на одну и ту же сумму (в 7 месяце — 1. июле каждого года)
С учетом того, что долг в банке равномерно уменьшался на одну и ту же величину, это составит S/n млн рублей - за год или за месяц.
Тогда последовательность размеров долга на июль каждого года (или на
, nS (n-1)S (n-2)S 2S IS „
конец каждого месяца) примет вид: —; ; ; —; 7; 0; а последовательность размеров долга на январь каждого года (или на 1 число каждого месяца) будет выглядеть так:
nS (1 + 0,01r); (n-nl)S (1 + 0,01r); (n-2)S(1 + 0,01г); 2S (1 + 0,01r); ^(1 + 0,01r). Очевидна и последовательность всех выплат за период кредитования:
1-я выплата примет вид — (1+0,01 r) - (n-l)S = ( 1 + 0,01r - )S;
n n n n
2-я выплата составит (n-1)S (1 + 0,01r) - (n-2)S = ( 1 + 0,01r — )S;
n n n n
3-я выплата составит —(1 + 0,01r) - — = (^ + 0,01r — )S и так
n n n n
далее.
Рассуждая аналогично, получим, что выплата за k-й год (месяц) будет выражаться формулой: (1 + 0,01r n-(*-1)yS;
предпоследняя выплата будет равна ( 1 + 0,01r 2 )S, а последняя выплата ( n + 0,01r 1 )S. Прослеживая закономерность, легко записать общую сумму всех выплат:
S ( 1 • п +0,01r (n + — + — + - + 2 + i )) = S ( 1 + 0,01r —) = S + S 0,01 r
n n n n n n 2
Таким образом, сумма всех выплат за период кредитования состоит из возврата долга S и оплаты процентов S^0,01r —.
Уместно предложить учащимся составить таблицу всех выплат и долга. Приводим в пример табл. для кредита на срок п лет:
год размеры долга в январе выплата долга (с февраля по июнь) размеры долга на июль
год получения кредита - - S
1-й год - (1+0,01 r) n ( 1 +0,01 r n )S nn (n - 1)5 n
2-й год ^ (1+0,01 r) n ( 1 +0,01 r—)S nn (n - 2)5 n
3-й год (n - 2)5 —-—(1 + 0,01г) ( 1+0,01r—)S nn (n - 3)5 n
(n-1) -й год - (1+0,01 r) n ( 1+0,01 r 2 )S nn 15 n
последний n-й год 15 — (1 + 0,01r) ( 1+0,01 r 1 )S nn 0
Таким образом, можно составить сумму выплат за любой период, например, за первые 10 месяцев кредитования или за второй год кредитования или просчитать выплату за любой месяц (год).
Делаем вывод: Если кредит, взятый в банке на п лет (месяцев), равен S млн рублей, кредитная годовая (месячная) ставка равна г%, то S + S■0,01r ^ млн рублей составит общая сумма всех выплат за весь период, S ■ 0,01 г ■ ^ млн рублей составит переплата за п лет (месяцев), а ( - + 0,01г "~(,'~1)) ■ S млн рублей составит выплата за к-й год кредитования.
Использование этих формул значительно облегчит решение задач с банковскими дифференцированными платежами. Главное - научить школьников разбираться в условии задачи.
Рассмотрим еще одну задачу по теме исследования.
Задача 2. Пусть нами планируется 15 июля текущего года взять кредит в банке на сумму 1400 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:
Найдите г, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1989 тысяч рублей.
Решение: В данной задаче целесообразно составить таблицу всех выплат и долга.
размер долга на 1-е число (после начисления%) выплата долга (со 2-го по 14-е) размер долга на 15-е число (после выплаты)
размер кредита - - 500 + 30х или 1400
1-й месяц 1400 (1 + 0,01r) 30 + 14r 500 + 29х или1370
2-й месяц 1370 (1 + 0,01r) 30 + 13,7r 500 + 28х или1340
3-й месяц 1340 (1 + 0,01r) 30 + 13,4r 500+27х или1310
28-й месяц 590 (1 + 0,01r) 30 + 5,9r 500+2х или 560
29-й месяц 560 (1 + 0,01r) 30 + 5,6r 500+х или 530
30-й месяц 530 (1 + 0,01r) 30 + 5,3r 500
31-й месяц 500 (1+0,01 r) 500 + 5r 0
Согласно таблице, общая сумма всех выплат составит: (30 + 14г) + (30 + 13,7г) + (30 + 13,4г) + ...+ (30 + 5,9г) + (30 + 5,6г) +(30 + 5,3г) +(500 + 5г) = 30 ■ 30 + 500 + г (14 + 13,7 + 13,4 + ... + 5,6 + 5,3 + 5) = 1400 +449,5 г. Так как мы имеем сумму полного погашения кредита, равную 1989 тысяч
589
рублей, то, значит: 1400 + — г = 1989, откуда г = 2. Поэтому кредитная месячная ставка при таких условиях составит 2%.
Имея более 20-летний стаж работы в педагогической деятельности и работая в ДГПУ и в ЧОУ «Гимназии «Сахаб», мы стали замечать, что многие качества личности наших студентов и учащихся, особенно деловые, культура их поведения в меняющихся жизненных ситуациях закладываются еще в раннем школьном возрасте.
На наш взгляд, задача как учителей математики гимназии, так и преподавателей вуза состоит в том, чтобы как можно лучше подготовить учащихся 10-11 классов к вступлению во взрослую и реальную жизнь, в экономические отношения.
К сожалению, на изучение математики в старших классах отводится 4 часа, этого катастрофически не хватает учителям для подготовки учащихся к ЕГЭ. Времени хватает только лишь для того, чтобы подготовить учащихся к сдаче базового уровня математики, а решение более сложных задач остается на самостоятельное изучение.
В ЧОУ «Гимназии «Сахаб» эта проблема решена за счет выделения дополнительного 1 час для подготовки к ЕГЭ из школьного компонента в качестве факультативного курса, на котором решаются задания ЕГЭ второй части.
Экономические задачи занимают в программе подготовки учащихся к ЕГЭ по математике в нашей гимназии, как и во всех остальных школах, лицеях, гимназиях, ключевое место, и на их изучение отводится 6 часов.
Ежегодно на базе ЧОУ «Гимназии «Сахаб» проводятся тематические круглые столы, открытые уроки и викторины по математике для учащихся 10-11 классов, где обсуждаются пути и способы решения банковских экономических задач, связанных с реальными жизненными ситуациями.
Также учащиеся гимназии готовят мини-проекты по теме нашего исследования на разные и очень интересные темы: «Если бы я был банкиром...», «Как выгодно вложиться в бизнес?» и т.д. Защита данных проектов проходит во время Недели математики в феврале каждого учебного года в форме конференции.
В 2018 году доклад по теме нашего исследования был представлен на общегородском семинаре учителей математики по проблемам преподавания математики и подготовки учащихся к ЕГЭ.
В 2020 году среди студентов 1 курса факультета математики, физики и информатики (МФиИ) был проведен брейн-ринг по теме: «Я - будущий банкир», на котором рассматривались задачи на проценты и вклады, разыгрывались призы
Библиографический список
от представителей одного из банков за оригинальный подход к решению нестандартных экономических задач.
Реализуя межпредметные связи математики с другими дисциплинами, также на базе МФиИ ДГПУ в сентябре 2021 года проводилась конференция среди студентов 1 курса и учащихся 10-11 классов ЧОУ «Гимназии «Сахаб», где студенты делились своими подходами к решению нестандартных задач с учащимися, а те, в свою очередь, на английском языке защищали свои проекты по решению нестандартных задач (т.к. данная гимназия с гуманитарным уклоном).
В этом учебном году по линии волонтерства преподаватели и студенты факультета МФиИ проводят безвозмездно дополнительные занятия для подготовки учащихся школ из многодетных и малообеспеченных семей к сдаче ЕГЭ по математике, где решаются, в том числе, банковские задачи и задачи на процентные ставки.
В статье продемонстрировано, как можно использовать выведенные формулы в контексте конкретной задачи. Знание формул ещё не обеспечивает готовой модели решения. Ученик должен сам на основе проведенного анализа задачи сконструировать её модель. При этом наглядность математической модели задачи и её исследование можно показать либо через построение последовательности всех выплат, либо через составление таблицы долга и выплат.
В ходе разработки материала нашего исследования поэтапно были раскрыты основные цели и задачи, ставящиеся перед началом исследования.
Мы считаем, что цель исследовательской работы достигнута, и задачи в целом успешно решены.
Подводя итоги, можно отметить, что материал данной статьи можно использовать в курсе основной школы для подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ по математике.
1. Демонстрационный вариант контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена 2015 года по математике. Профильный уровень. Available at: http://www.ege.edu.ru/
2. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов. Москва: Издательство «Национальное образование», 2021.
3. Малкова А.Г Математика: авторский курс подготовки к ЕГЭ. Ростов-на-Дону, Феникс, 2019.
4. Семенов А.В., Ященко И.В. Математика. Решение задач повышенного и высокого уровня сложности. Как получить максимальный балл на ЕГЭ. Москва, Интеллект-центр, 2017.
5. Спецификация контрольно-измерительных материалов для проведения в 2015 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень. Available at: http://www.ege.edu.ru/
References
1. Demonstracionnyj variant kontrol'no-izmeritel'nyh materialov edinogo gosudarstvennogo 'ekzamena 2015 goda po matematike. Profil'nyj uroven'. Available at: http://www.ege. edu.ru/
2. EG'E. Matematika. Profil'nyj uroven': tipovye 'ekzamenacionnye varianty: 36 variantov. Moskva: Izdatel'stvo «Nacional'noe obrazovanie», 2021.
3. Malkova A.G. Matematika: avtorskij kurs podgotovki k EG'E. Rostov-na-Donu, Feniks, 2019.
4. Semenov A.V., Yaschenko I.V. Matematika. Reshenie zadach povyshennogo i vysokogo urovnya slozhnosti. Kak poluchit' maksimal'nyj ball na EG'E. Moskva, Intellekt-centr, 2017.
5. Specifikaciya kontrol'no-izmeritel'nyh materialov dlya provedeniya v 2015 godu edinogo gosudarstvennogo 'ekzamena po matematike. Profil'nyj uroven'. Available at: http://www. ege.edu.ru/
Статья поступила в редакцию 01.12.21
УДК 378
Mitskevich M.V., teacher of additional education,"Academic" Center for Extracurricular Work (St. Petersburg, Russia),
E-mail: marcmitskevich@gmail.com
MUSIC COMPUTER TECHNOLOGIES: THE EXPERIENCE OF USING MODERN SEQUENCERS AND PROBLEMS OF WRITING MUSIC USING VIRTUAL VST INSTRUMENTS. Relevance of the chosen topic is due to the need for a thorough study of extensive possibilities of music computer technologies as a tool and means of creating musical compositions. The article analyzes experience of using a musical computer, with the help of which new musical ideas and images are born. The very way and approach to the embodiment of the composer's bold thoughts and ideas in musical form is changing. The work outlines problems that many musicians face today who come into contact with the field of electronic music composition and use music computer technologies as a tool for creativity. The question of practical possession of computer resources, synthesizers and other tools that allow a musician to unleash his creative potential is considered. The author also focuses on a problem of using music computer technologies as a means of teaching music and relevant tools for organizing inclusive musical education.
Key words: music computer technologies, musical form, composition, VST instruments, sequencer, synthesizer, plug-ins.
М.В. Мицкевич, педагог доп. образования Центра внешкольной работы «Академический», г. Санкт-Петербург,
E-mail: marcmitskevich@gmail.com
МУЗЫКАЛЬНО-КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ: ОПЫТ ОБРАЩЕНИЯ К СОВРЕМЕННЫМ СЕКВЕНСОРАМ И ПРОБЛЕМЫ НАПИСАНИЯ МУЗЫКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВИРТУАЛЬНЫХ VST-ИНСТРУМЕНТОВ
Представленная в статье тематика исследования обусловлена необходимостью досконального изучения обширных возможностей музыкально-компьютерных технологий как инструмента и средства создания музыкальных композиций. В статье анализируется опыт обращения к музыкальному компьютеру с использованием которого рождаются новые музыкальные идеи, новые художественные образы. Обозначены проблемы, с которыми сталкиваются сегодня многие музыканты, соприкасающиеся с областью электронной музыкальной композиции и использующие МКТ как инструмент для творчества. Рассматривается вопрос практического владения компьютерными ресурсами, синтезаторами и другими инструментами, позволяющими музыканту раскрыть его твор-
