CC BY
44
УДК 539.3, 55G.34
Особенности разрушения отрывом и сдвигом при деформировании геосред
М.М. Немирович-Данченко
Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. A.A. Трофимука СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
В работе рассматриваются результаты численного моделирования разрыва по готовой трещине. Расчеты проводятся конечноразностным методом с использованием раздвоения точек сетки. С помощью принципа суперпозиции получены сейсмические поля излучения. Построены амплитудные спектры Фурье волновых полей, излучаемых трещинами чистого сдвига и чистого отрыва. Проводится сравнение с экспериментальными и наблюденными данными.
Ключевые слова: геомеханика разрушения, трещины отрыва и сдвига, численное моделирование, спектры Фурье
Peculiarities of cleavage and shear fracture in deformed geomedia
M.M. Nemirovich-Danchenko
Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia The paper presents the results of numerical simulation of rupture along a crack. The calculations are performed by the finite difference method with splitting of grid points. Seismic emission fields are obtained using the superposition principle. Fourier amplitude spectra of the wave fields emitted by pure shear and pure cleavage cracks are constructed. The results are compared with experimental data and observations.
Keywords: fracture geomechanics, opening mode crack, sliding mode crack, numerical simulation, Fourier spectra
1. Введение
При изучении землетрясения обычно исходят из предположения о чисто сдвиговой модели очага [1]. В этом случае нодальные линии взаимно перпендикулярны. Однако изучение характера первых вступлений на сейсмограммах землетрясений показывает, что нередко знаки «+» (волна сжатия по одну сторону сдвиговой подвижки) преобладают над знаками «-» (волна растяжения). С другой стороны, сейсмологический анализ зачастую дает неперпендикулярные нодальные линии без явно выраженной области пересечения [2].
Было высказано предположение [3], что дополнительными источниками волн сжатия являются отрывные нарушения сплошности в очаге сдвигового (в основном) типа. Наличие неровностей на берегах разрыва приводит к раздвиганию берегов разрыва при сдвиговой подвижке, т.е. к возникновению трещин отрыва, что, в свою очередь, приводит к изменению характера нодальных линий. Заметим, что раздвигание берегов разрыва при-
водит к дилатансии. Для анализа описанных явлений в работе [4] на физических моделях были проведены исследования сдвиговых подвижек типа stick-slip (прерывистое скольжение) [5].
В результате обработки данных лабораторных экспериментов на образцах плексигласа с наведенной (готовой) трещиной в [4] показано наличие отрывной компоненты при распространении разрыва; приведены сейсмограммы и функции направленности, при этом спектры Фурье для сейсмических записей не анализируются. В то же время спектральный анализ на сегодняшний день является одним из нескольких общепринятых инструментов исследования и описания сейсмических событий [6].
Ранее автором на основе конечно-разностного моделирования в рамках модели гипоупругой хрупкой среды с использованием метода раздвоения точек сетки были получены волновые поля скоростей смещений, излучаемые при росте трещин отрыва и сдвига [7]. Было показа-
© Немирович-Данченко M.M., 2G1G
но, что берега наведенной трещины раздвигаются при чисто сдвиговом нагружении, а функции направленности сейсмического источника существенно отличаются от общепринятых.
В настоящей работе с использованием методологии, изложенной в [7], рассчитаны волновые поля векторов скоростей смещений, излучаемые из вершины наведенной трещины при чистом разрыве (трещина I типа) и чистом сдвиге (трещина II типа). Показано различие амплитудных спектров Фурье для сейсмических полей от таких трещин.
2. Основные уравнения и описание взаимодействия берегов готовой трещины
Приведем для модели гипоупругой среды основные уравнения, которые используются при построении численной схемы.
Это первый закон Коши (уравнения движения в напряжениях):
да—
= р(X, Y, Z
дх—
и определяющие соотношения гипоупругой среды
а— = с—и(хУ^ )г й ,
гу 2
ди,
дxj дх,
^ 1
dа„
(1)
(2)
(3)
Здесь агу = —— - О,ка— - О —каИ — производная Яуман-dí
на; а— — тензор напряжений; г— — тензор деформаций; г ы — тензор скоростей деформаций; О— — спин-тензор; р — плотность; и1 — вектор смещения; с—и — тензор модулей упругости; t—время; х, — декартовы координаты X, У, ^
Внешние граничные условия обсуждаются для разных типов трещин отдельно, а здесь приведем вкратце специально разработанный алгоритм взаимодействия берегов трещин.
Для описания трещин автором предложен метод раздвоения точек сетки. Этот метод предполагает в самом начале построения расчетной области и разбиения области на расчетные ячейки наличие нескольких лагранжевых расчетных сеток, совмещенных в началь-
ный момент времени. При задании готовой (наведенной) трещины точки одной сетки будут относиться к одному берегу трещины (обозначены х, г на рис. 1), а точки другой сетки — к другому берегу (обозначены х, г'). В двумерном случае для определения исходной модели, состоящей из отдельных квадратов (т.е. с готовыми трещинами по всем сеточным линиям), необходимо иметь четыре лагранжевых расчетных сетки.
Алгоритм взаимодействия берегов состоит в следующем (рис. 1). При прохождении через трещину волн (а это происходит постоянно, т.к. вся среда рассматривается динамически) берега трещин могут частично сближаться, частично расходиться. На рис. 1 это хорошо видно: ячейки IV и IV' зримо разошлись, а ячейки II и II' сблизились. В алгоритме по вычисленным значениям скоростей смещений проверяется возможное новое положение ячеек II и II', и в соответствии с возможным «перехлестом» берегов выполняется корректировка граничных условий как для нормальных компонент напряжений, так и для касательных компонент; затем скорости смещения вычисляются вновь.
Модельные расчеты показывают, что берега трещин при использовании данного алгоритма корректно взаимодействуют при сжатии и растяжении.
3. Постановка задач и методология расчетов
На рис. 2 и 3 приведена постановка задач для трещин отрыва и сдвига с наложенными деформированными расчетными сетками для 400-го шага по времени, что соответствует моменту времени t ~ 28 мс.
Для трещины I типа на левом торце заданы растягивающие усилия, остальные границы свободны от напряжений. Хорошо видно раскрытие наведенной трещины. В каждой расчетной точке (т.е. в каждом узле) верхней грани в течение всего времени расчета записываются X- и У-компоненты векторов скоростей смещений. Таким образом, на линии приемников строятся отдельные трассы, образующие сейсмограмму.
Для трещины сдвига (II типа) постановка задачи несколько иная. Слева в верхней части торца задано усилие, сдвигающее верхнюю часть надрезанной среды впра-
Рис. 1. К механизму взаимодействия берегов трещины. Здесь k — линии расчетной сетки
Рис. 2. Трещина I типа. Символами Д обозначена линия приемников
Рис. 3. Трещина II типа
во. Нижняя грань фиксирована, остальные поверхности свободны от напряжений. Хорошо видно смещение верхнего берега наведенной трещины относительно нижнего берега. Применение определяющих отношений в инкрементальной форме (2) позволяет получать конечное деформирование.
Расчеты полей векторов скоростей смещений для трещин обоих типов проводятся за 3 шага.
Шаг 1. Рассчитываем процесс деформирования с учетом конечной прочности материала среды (критерий в данной работе не обсуждается, т.к. несущественен для дальнейшего изложения). Фиксируем время разрушения (время роста наведенной трещины). Расчет продолжается до тех пор, пока излученные при росте трещины волны не достигнут приемников, при этом должны записаться несколько длин волн.
Шаг 2. Рассчитываем процесс деформирования для той же геометрии задачи, но с бесконечной прочностью. Расчет по времени волнового процесса должен в точности совпадать с расчетом первого шага.
Шаг 3. Вычитаем результаты второго шага из результатов первого шага.
Это делается и для волновых полей, и для отдельных трасс, и для сейсмограмм в целом. Третий шаг позволяет избавиться от присущего лагранжевым методам недостатка и получить практически чистое излучение от источника, которым является растущая трещина.
Данные, полученные после третьего шага, используются далее для анализа, в том числе для преобразования Фурье.
Под спектром Фурье функции g(t) будем понимать функцию G(ro), связанную с g(t) следующей парой преобразований [8]:
1 +^ +^
g(t) = —SG(uymldo, G(o) =$g(t)e-otdt. (4)
Здесь используются общепринятые обозначения: ю = = 2п f = 2п/T, T — основной период колебаний.
Для вычислений по формуле (4) был использован алгоритм быстрого преобразования Фурье. Алгоритм предполагает, что временной ряд, т.е. трасса, имеет длину 2й чисел. Это во многом определяет общее число слоев по времени.
4. Обсуждение результатов
Наибольший интерес представляют результаты, относящиеся к наведенной трещине в условиях сдвига. Первый расчет (шаг 1) показал, что рост трещины происходит на 1507 слое по времени, t = 106.72 мс. На рис. 4 приводится часть векторного поля скоростей смещений для шага 2 (без роста трещины), t = 107.07 мс.
На рис. 4 хорошо видно, что векторы скорости смещений в верхней половине левой границы коллинеарны нагрузке. По мере приближения к вершине наведенной трещины векторы поворачиваются, стремясь раскрыть берега трещины. В работе [7] автор рассматривал другой способ инициирования сдвиговой трещины — нагрузка прикладывалась к верхней и нижней границам в разных направлениях, т.е. реализовывался двусторонний сдвиг. При этом раскрытие берегов было еще более ярко выраженным.
На рис. 5 приводится результат шага 1 после роста трещины также для момента времени t = 107.07 мс.
На рис. 5 хорошо видны большие по амплитуде векторы, выходящие из вершины трещины. Это и есть акт излучения, аналогичный излучению в очаге землетрясения. Хорошо видно, что эти векторы не коллинеарны нагрузке, а содержат вертикальную компоненту, стремящуюся раздвинуть берега трещины. Это происходит в самом начале излучения, с момента роста трещины
Рис. 4. Фрагмент векторного поля скоростей смещений для трещины сдвига в момент времени г = 107.07 мс. Стрелка указывает на вершину наведенной трещины
Рис. 5. Фрагмент векторного поля скоростей смещений после роста трещины
Рис. 6. Фрагмент поля скоростей смещений в момент времени г = = 107.07 мс
прошло всего 5 шагов по времени (шаг по времени меняется и примерно равен 0.07 мс)
На рис. 6 показаны поля векторов смещений после выполнения шага 3, то есть после вычитания полей, для момента времени 107.07 мс.
На рис. 7 представлена развитая картина излучения полного волнового поля; показана вся расчетная область в момент времени г = 117 мс.
Анализ рис. 6 и 7 позволяет утверждать, что в излучении сразу присутствует вертикальная (отрывная) компонента скорости смещения и значительная энергия распространяется вдоль нижнего берега трещины в сторону, противоположную росту трещины. Эти результаты были ранее проанализированы автором в [7], поэтому далее они не обсуждаются. Для дальнейшего важно отметить, что смоделированное разрушение сдвигом есть фактически сдвиг с отрывом.
Обратимся к анализу спектров трасс, зарегистрированных в приемниках. В работе [6] для 14 сильных землетрясений России и мира приведены основные и динамические параметры по данным различных сейсмологических центров. По записям цифровой аппаратуры на станции «Обнинск» рассчитаны характеристики спектров Р-волн и некоторые другие характеристики очагов землетрясений. Показано, что для спектров землетрясений характерны следующие особенности (схематично приводятся на рис. 8).
Рис. 7. Развитая картина излучения сдвиговой трещины. Жирной линией показана линия наведенной трещины
1ЭД|,у.е.;1
I Гц
Рис. 8. Типичный вид очагового амплитудного спектра
Существует так называемая длиннопериодная ветвь спектра, на рис. 8 это пологая начальная часть кривой |й(/)|. На спектре отмечается точка /' = ^ — точка перелома спектра, соответствующая концу длиннопериодной ветви. Далее на ниспадающей ветви выбирается характерный для данного спектра угол наклона (иногда это можно сделать, построив линию тренда), и отмечается так называемая частота угловой точки часто в литературе ее называют угловой частотой, что не совсем корректно.
Эти три числа и характеризуют полностью очаговый спектр. При этом совершенно необходимым является наличие пологого участка.
Рис. 9. Амплитудные спектры для двух типов разрушения
На рис. 9 показаны амплитудные спектры, рассчитанные по результатам выполнения трех описанных шагов для одной из характерных трасс. На рис. 9, а приводится спектр для трещины сдвига с отрывом, а на рис. 9, б — для трещины отрыва. Легко видеть, что трещина отрыва не может быть охарактеризована двумя из трех параметров, а именно — у нее отсутствует длиннопериодная ветвь и не может быть выделена точка перелома. Вместе с тем трещина сдвига с отрывом (рис. 9, а) пригодна для нахождения всех трех параметров и дальнейшего анализа механизма очага, что, однако, не предусмотрено настоящей работой.
5. Заключение
По результатам численного моделирования с использованием метода раздвоения точек сетки показано, что при сдвиговом нагружении образца с наведенной трещиной происходит разрушение по типу «сдвиг с отрывом». При излучении упругих волн явно выраженной является вертикальная, отрывная компонента векторов скоростей смещений, которая раздвигает берега трещины. Временной амплитудный спектр Фурье рассчитанных трасс содержит все характеристики, характерные
для очаговых спектров и применяемые для анализа механизмов очагов.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 10-05-00699-а.
Литература
1. Аки К., Ричардс П. Количественная сейсмология: Теория и методы.
Т. 1. - М.: Мир, 1983. - 520 с.
2. Лутиков А.И., Донцова Г.Ю., Юнга С.Л. Сейсмологический анализ
Алтайского землетрясения 2003 г. // Сильное землетрясение на Алтае 27 сентября 2003 г.: Материалы предварительного изучения. - М.: ИФЗ РАН, 2004. - C. 38-49.
3. Аптекман Ж.Я., Желанкина Т.С., Шебалин Н.В. Положение плоскости разрыва в очагах некоторых сильных землетрясений // Вычислительная сейсмология. Вып.11. - М.: Наука, 1978. - C. 72-81.
4. Шамина О.Г., ПавловА.А., Ханутина РВ. Особенности излучения волн сжатия и растяжения сдвиговым разрывом // Физика Земли. -1979. - № 11. - С. 13-27.
5. Brace WF, Byerlee J.D. Stick-slip as a mechanism for earthquakes // Science. - 1966. - V. 153. - No. 3739. - P. 990-992.
6. Захарова А.И., Чепкунас Л.С., Малянова Л.С. Очаговые параметры
сильных землетрясений Земли // Землетрясения Северной Евразии, 2003 г. - Обнинск: ГС РАН, 2009. - C. 254-260.
7. Немирович-Данченко М.М. Модель гипоупругой хрупкой среды: применение к расчету деформирования и разрушения горных пород // Физ. мезомех. - 1998. - Т. 1. - № 2. - C. 107-114.
8. Харкевич А.А. Спектры и анализ. - М.: ГИТТЛ, 1957. - 236 с.
Поступила в редакцию 16.11.2010 г.
Сведения об авторе
Немирович-Данченко Михаил Михайлович, д.ф.-м.н., вне ИНГГ СО РАН, michnd@mail.ru
