CC BY
38
О различных сценариях распространения трещин в геоматериалах
М.М. Немирович-Данченко, Ю.И. Колесников
Институт геофизики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
В работе изучаются различные сценарии распространения одиночной трещины в условиях растяжения и сложного напряженно-деформированного состояния. Рассматриваются случаи равномерного и неравномерного роста. Расчеты, проведенные численным методом, сопоставляются с данными скважинных наблюдений.
1. Введение
Не вызывает сомнений, что процессы разрушения в природе большей частью неравномерны. Это проявляется на различных пространственных и временных масштабах [1]. Так, одним из характерных для сейсмологии проявлений неравномерности роста трещины являются землетрясения с последующими афтершоками. Эти процессы могут быть изучены лишь косвенно, на основании анализа излучаемых сейсмических волн. Более непосредственное инструментальное измерение акустической эмиссии возможно на другом масштабном уровне — при исследовании распространения трещин вблизи скважин. В настоящей работе результаты численного моделирования сопоставляются с наблюдениями в скважине.
На основе численного моделирования в рамках модели гипоупругой хрупкой среды рассмотрены два сценария «динамического поведения» трещин отрыва. В первом случае предполагалось, что на сплошную среду, в которой имеется нарушение в виде ограниченной плоской трещины, действуют нормальные к плоскости трещины, постоянные по времени растягивающие напряжения, в результате чего происходит дальнейший рост трещины. Во втором случае первоначальное нарушение сплошности среды представляет собой плоскую трещину, осложненную «малоамплитудными прямоугольными ступеньками», препятствующими проскальзыванию берегов трещины под действием первоначально приложенных к ним касательных напряжений. Проскальзывание происходит в результате приложения некоторого нор-
мального к плоскости трещины растягивающего напряжения, играющего роль триггера.
2. Основные уравнения и модель
Теоретическое исследование задач распространения трещин и излучающихся при этом упругих волн проводится в двумерной постановке с помощью численного моделирования [2]. Для численного моделирования используются уравнения движения
да,,
дх
■ = р(Х, Y, Z)щ
(1)
,
и определяющие соотношения гипоупругой среды
^ = сщ (X, 7, г)ён. (2)
Здесь а у =■
ёаг,
дЛ
4 - ак - Ц ,к аа
производная
Яуманна;
а,,
тензор напряжении;
ди, ди
—- + —-
дх, дх,
Л
есть тензор деформациИ; Ц, — спин-
тензор; р — плотность; и1 — вектор смещения; Сук1 — тензор модулей упругости; t — время; х{ — декартовы координаты X, У, Z.
По поводу уравнений (1) (их в двумерном случае два) необходимо сказать следующее. При их выводе обычно рассматривается элементарный объем (куб или параллелепипед) и записываются условия равновесия этого объема. Далее, в классической теории упругости предполагается, что соседствующие друг с другом эле-
© Немирович-Данченко М.М., Колесников Ю.И., 2003
ментарные объемы не свободны в своих движениях и видоизменениях, т.е. деформации совместны.
Нам же для моделирования разрушения среды необходимо допустить относительное движение частиц, вплоть до полной дезинтеграции исходной сплошной среды. Это достигается при замене уравнений (1) конечно-разностными соотношениями. Предполагается, что вершины элементарного объема (расчетной ячейки) имеют свои координаты, уникальные для каждой ячейки. В двумерном случае будем считать ячейки прямоугольниками. Четыре таких ячейки могут соприкасаться вершинами в одной точке. Первоначально, когда среда сплошная, эти четыре вершины сливаются в одну. Если в силу каких-либо условий между соседними ячейками происходит разрыв или сдвиг, то скорости смещений по уравнениям (1) рассчитываются для каждой ячейки отдельно. Здесь важно подчеркнуть, что для каждой материальной точки, в силу прямоугольности ячеек, мы задаем четыре набора функций
X = gi(х° х° х3’гX
о
(3)
переводящих координаты х в х при перемещении материальной точки М0 в положение М. Тем самым, функции gi остаются непрерывными и непрерывнодифференцируемыми в течение всего процесса разрушения.
Построенную таким образом вычислительную модель мы называем моделью гипоупругой хрупкой среды.
На рисунке 1 приводится пример расчета разрушения. В этом примере относительные деформации и смещения, которые выдерживает материал, увеличены на порядок. Это сделано для демонстрации возможностей алгоритма описания хрупкости среды. С другой стороны, использование модели гипоупругой среды, т.е. инкрементального закона поведения (2), допускает конечные (и сколь угодно большие) деформации, что и показано на рис. 1.
3. Расчет распространения трещины отрыва при приложении постоянной нормальной нагрузки
Рассмотрим сначала случай трещины I типа (трещины отрыва) в условиях постоянной нагрузки. Пусть
в теле имеется первоначальная трещина, или надрез, бесконечно малой толщины. К граням тела приложены растягивающие усилия нормально к линии трещины (рис. 2).
До тех пор пока в вершине трещины (точка Н) сохраняется прочность, роста трещины не происходит. Под прочностью здесь нужно понимать некоторое обобщенное макроскопическое состояние. Точнее, имея в виду результаты, полученные за последнее десятилетие и опирающиеся на мезомеханику [3], можно утверждать, что до тех пор пока частица сплошной среды сохраняет аккомодационные способности, в ней не происходит разрушения. Здесь, естественно, подразумевается некоторый масштабный уровень. Так, можно считать, что для характерного размера частицы среды L появление трещин с характерным размером I << L нужно описывать не алгоритмами образования свободных от напряжений берегов трещин, а изменением уравнений состояния частицы среды.
Пока разрушение в вершине трещины не произошло, берега трещины расходятся, а в окрестностях вершины резко возрастают напряжения. На рис. 3 показана часть расчетной сетки и в каждой ячейке приведен уровень напряжений. Максимальное главное напряжение показано с использованием естественной теневой шкалы (чем темнее заполнение, тем больше уровень максимального главного напряжения). Хорошо видно, что берега трещины разошлись.
В последнее время бесспорно признается необходимость пространственно-временного подхода к процессу разрушения. Так, в работе [4] обобщены основные подходы к описанию разрушения, закрепившиеся к настоящему времени, приведены критерии разрушения и делается вывод о том, что в общем случае неоднородного динамического процесса разрушения необходимо применять следующий структурно-временной критерий:
1 г *1 й
— || а(R, 0, г)dRdt < ас,
т-* й Л
го 0
(4)
Рис. 1. Пример расчета разрушения среды
Рис. 2. Геометрия задачи о росте трещины отрыва. GH — линия первоначального надреза бесконечно малой толщины
Рис. 3. Теневая картина значений максимального главного напряжения в каждой расчетной ячейке. Хорошо видна концентрация напряжений в окрестности вершины исходной трещины
где Я, 0 — полярные координаты с центром в вершине трещины; т, й, ас — константы моделирования.
Нами используется критерий, аналогичный по сути, но имеющий больше эмпирических констант, предложенный В.А. Гридневой с коллегами [5]. Этот критерий получен на основе принципа суммирования повреждаемостей
_dt_
т(ст)
: 1
с использованием предположения [6], что материал при разрушении ведет себя как тело Фойгта с неньютоновской вязкостью:
c(t) = с0 + A(dc/ dt )n. (5)
Пусть g(£) — значение компоненты тензора напряжений, которая определяет разрушение в интересующем нас направлении. Тогда критерий Гридневой запишется в виде:
Поскольку в работе рассматривается поведение геологической среды, то о выборе величины а0 нужно сказать следующее. Одна из распространенных моделей — так называемая гидростатическая модель Земли, в которой предполагается, что она слоисто однородна и сферически симметрична, а литостатическое давление равномерно возрастает с глубиной. В этих условиях тензор напряжений будет шаровым в каждой точке внутри Земли. С другой стороны, обработка наблюдений за орбитами искусственных спутников Земли показала [7], что если предположить равномерное распределение девиа-торных компонент напряжений в Земле, то их среднее значение окажется равным 8.7 МПа.
Часто в лабораторных условиях образцы демонстрируют прочность до 100 МПа и даже выше, но на небольших глубинах, куда проникают скважины, можно принять а 0 < 100 МПа. Далее заметим, что сцепление глин, например, не превышает 0.5 МПа, а средняя прочность мелкозернистого песчаника — 8.3 МПа. При этом мгновенный предел прочности может отличаться от предела прочности при длительном нагружении на порядок и более [8]. Проведенные расчеты в широком диапазоне значений а0 показали, что если использовать критерий (6), то скорость роста трещины зависит линейно от а0.
Зависимость скорости роста трещины от т0 приводится на рис. 4.
Практически такой же характер имеет зависимость скорости роста трещины от параметра в. Параметр п характеризует хрупкость материала среды. При изменении значения п от 0.45 до 0.6 (значения в от 1 до 0.66) скорость роста трещины меняется от 100 до 1172 м/с.
Параметр ат для твердых тел обычно весьма велик. Так, для идеальных кристаллов даже с учетом специальных допущений предел прочности на сдвиг ат ~ ц/30, где ц — модуль сдвига [9]. Для средней по жесткости горной породы получается оценка ат порядка 300 МПа. Мы проводим моделирование на макроуров-
J (с(У) - Со)Р dt = To(°T - °0)Р-
(6)
Здесь а0 — напряжение, при превышении которого в среде происходят микроразрушения; а(^ — текущее значение одной из компонент тензора напряжений; ат — теоретическая прочность материала; т0, в —
1 — п
подбираемые параметры, в =------• Сам интеграл вы-
п
числяется только для тех значений а(^, которые превышают а0. Для улучшения точности и придания естественного физического смысла целесообразно рассчитывать интеграл (4) в нескольких расчетных ячейках, окружающих данную ячейку. Этот естественный вычислительный прием делает критерии (4) и (6) идентичными по методологии.
Рис. 4. Зависимость скорости роста трещины от параметра т 0
Рис 5. Нормированные сейсмограммы X- и У-компонент скоростей смещений при излучении из вершины трещины. Жирной линией показана трещина
не, поэтому условимся о том, что теоретическая прочность — это такое значение напряжения, при приложении которого происходит мгновенное разрушение в расчетной ячейке, а параметр а0 — это то минимальное значение напряжения, начиная с которого внутри расчетной ячейки накапливаются повреждения. Поэтому в качестве параметра а0 в формуле (6) мы взяли значение 10 МПа (порядка долговременной прочности песчаника). При выборе значения теоретической прочности для решения конкретных задач нужно иметь ввиду, что с глубиной растет всестороннее литостатическое давление, что делает горные породы более прочными. Нами в расчетах использовано значение а т = 300 МПа.
При выполнении критерия в одной ячейке происходит рост трещины, излучается сейсмическая энергия. Затем происходит перераспределение напряжений и, возможно, дальнейший рост трещины. На рис. 5 приведены численные сейсмограммы, полученные для датчиков, расположенных вдоль линии трещины при росте трещины на одну ячейку. Приводятся X- и У-компоненты, ось X в начальный момент времени коллинеарна линии трещины.
Если на границах AD и ВС (см. рис. 2) задать постоянную скорость смещения вдоль оси У, то получатся следующие сейсмограммы непрерывного роста трещины (рис. 6).
На рис. 6 хорошо видно, что скорость распространения трещины при указанных граничных условиях
почти постоянна (близкий к прямолинейному годограф отмечен на рисунке 6 жирными точками).
4. Расчет резко неравномерного распространения трещины
Рассмотрим теперь первоначальное нарушение сплошности среды, представляющее собой плоскую
20 40 60 1, мс
Рис. 6. Нормированная сейсмограмма при непрерывном росте трещины. Приведена У-компонента скорости смещения
Рис. 7. Геометрия задачи о неравномерном росте трещины г» о г» к ~
г г гг г — рис. 8. Раздвигание берегов трещины проходящей волной
трещину, осложненную малоамплитуднои прямоугольной ступенькой, препятствующей проскальзыванию берегов трещины под действием первоначально приложенных к ним касательных напряжений (рис. 7). Проскальзывание происходит в результате приложения некоторого нормального к плоскости трещины растягивающего напряжения, играющего совместно с касательными напряжениями роль триггера.
Такая постановка задачи вовсе не является надуманной. Так, плиты движутся относительно друг друга, создавая значительные касательные и нормальные напряжения. Известно также, что поверхности, контактирующие при таком взаимодействии, не являются гладкими [10]. Кроме того, В.В. Ружич [11] наблюдал значительные временные задержки между воздействием на берега разлома и достаточно сильной эмиссией после такого воздействия.
Поэтому предлагается следующий «сценарий» замедленной реакции среды на внешнее воздействие.
Проходящая волна (например, от произошедшего поблизости землетрясения или взрыва) раздвигает контактирующие поверхности трещины (разлома) (рис. 8).
Если амплитуда в волне такова, что раскрытие берегов трещины станет не меньше, чем размер ступеньки, то, в силу продолжающегося тангенциального деформирования среды, трещина не захлопнется (рис. 9). Она останется раскрытой на величину ступеньки.
Эта ступенька либо разрушится сразу (это тоже будет вариантом замедленного отклика разлома на внешнее воздействие), и тогда роста трещины в вершине не произойдет, либо этот механизм останется взведенным. Тогда в вершине разлома будут концентрироваться напряжения (возможно, с последующим разрушением). И это разрушение, эта эмиссия произойдет ощутимо позднее, чем воздействие.
Нас далее в этой задаче будет интересовать не то, когда произойдет разрушение в вершине трещины при таком раскрытии, а то, каким будет процесс распространения трещины в случае фиксированного раскрытия ее берегов без дополнительного растяжения.
На рис. 10 приводится сейсмограмма Х-компоненты скорости смещений, зарегистрированная вдоль линии трещины (линия регистрации показана на рис. 9). Каж-
Рис. 9. Взведение механизма замедленного отклика. Слева заметно боковое воздействие на верхний берег трещины. Черным показана линия регистрации сейсмограмм
дая трасса нормирована для удобства выделения годографа.
Можно оценить скорость роста трещины. Прежде всего, необходимо отметить, что, как видно из рис. 5, а, характерным проявлением единичного увеличения трещины является наличие антисимметричных движений среды по обе стороны от вершины. В этом смысле удобнее прослеживать движение вершины трещины именно по Х-компоненте. На рис. 10 на участке от 60 до 100 мс вершина трещины проходит 10 м за 23 мс. Скорость получается равной 435 м/с. Средняя скорость роста по всему временному интервалу — 159 м/с. Заметим, что
Рис. 10. Нормированная сейсмограмма для Х-компоненты скорости смещения. Жирными точками показаны видимые годографы движения трещины
60 80 100 120 140 160 1, мс
Рис. 11. Нормированная сейсмограмма для У-компоненты скорости смещения вдоль линии трещины
в среде скорости продольной и поперечной волн составляют соответственно 4000 м/с и 2000 м/с. Это подтверждает тот факт, что годограф, отмеченный жирными точками, соответствует именно движению трещины, а не распространению какой-либо волны.
На рис. 11 приводится для сравнения сейсмограмма для У-компоненты скорости смещения.
На рис. 11 штриховой линией выделен годограф прямой волны, бегущей от первого скачка вершины трещины вдоль ее берега. Скорость этой волны — 4000 м/с.
Анализ сейсмограмм позволяет сделать исключительно важный для дальнейшего обсуждения вывод, а именно: в точках, которых вершина трещины еще не достигла, т.е. на приемниках, расположенных выше вершины трещины (для рис. 9 — правее вершины трещины) и удаленных от вершины трещины на расстояния более 5 метров, записи прямой волны практически отсутствуют.
5. Сравнение с экспериментальными данными
Таким образом, расчеты показали, что рост трещины во втором случае происходит с изменяющейся во времени скоростью. Соответственно и излучаемые в аналогичных случаях в виде сейсмоакустической эмиссии импульсы упругой энергии при регистрации их на квазипа-раллельных плоскости трещин профилях образуют сложную волновую картину с многократно меняющими наклон годографами, как на рис. 10, 11.
Эти результаты, как нам кажется, позволяют интерпретировать экспериментальные данные о необычных импульсах, которые присутствуют на сейсмических записях, полученных при регистрации микросейсмичес-кого поля («сейсмического шума») в скважине 115 на Потанайском месторождении нефти (Ханты-Мансийский национальный округ). Эти записи были получены с помощью сейсмического скважинного зонда, состоящего из трех соединенных каротажным кабелем трехкомпонентных приборов, жестко зафиксированных при-
жимными устройствами у стенки скважины. Верхний прибор находился на расстоянии около 1 000 м от устья скважины, средний на 10 и нижний на 20 м ниже. В месте установки зонда скважина была обсажена металлической трубой и заполнена водой.
На фоне относительно однородного малоамплитудного шума преимущественно электромагнитной природы на сейсмических записях с разной периодичностью регистрируются более мощные импульсы нескольких типов. К первому типу можно отнести импульсы, регистрируемые лишь одним из трех приборов зонда (пример записи на рис. 12, а), причем соотношение амплитуд на разных компонентах прибора (вертикальной и двух горизонтальных) может изменяться в широких пределах. Так как эти импульсы имеют локальный характер, то, по-видимому, их источником являются либо малые перемещения корпуса прибора или прижимного устройства относительно обсадной трубы, либо какие-то внутренние «щелчки» вследствие теплового изменения объема деталей прибора.
Другой тип зарегистрированных сигналов (рис. 12, б) вполне типичен для сейсмических измерений и имеет сходство с записями от землетрясений — за первыми вступлениями продольных волн следует цуг колебаний, вызванных волнами, приходящими в последующих вступлениях. Заметим, что кажущаяся скорость распространения волн в первых вступлениях близка к скорости продольных волн в этой части разреза, определенных при вертикальном сейсмическом профилировании на данной скважине (2380 м/с). Это говорит о том, что импульсы такого вида распространяются в субвер-тикальном направлении (иногда от дневной поверхности вниз, иногда наоборот).
Наряду с описанными выше, в нескольких случаях (мы проанализировали записи, зарегистрированные в течение десятков часов) наблюдались импульсы, особенности которых не могут быть объяснены в рамках традиционных представлений о распространении сейсмических волн в сплошных средах. Один из примеров таких импульсов приведен на рис. 12, в. Отметим их основные отличия от импульсов другой природы:
- очень большие амплитуды (на 1 -2 порядка больше импульсов других видов, вплоть до перегрузки аппаратуры);
- импульсы могут регистрироваться как на всех трех приборах, так и (реже) на двух;
- наиболее интенсивны во всех случаях Z-компоненты записей сигналов;
- аномально низкие значения кажущихся скоростей (порядка нескольких сотен м/с), не соответствующие ни одному типу как сейсмических, так и скважинных волн для данных условий наблюдений;
- кажущиеся скорости на базе наблюдений 20 м могут изменяться в несколько раз (резкие изломы годографов).
8.5 8.6 8.7 8.8 8.9
У1
6.0 6.2 6.4 6.6 6.8
Рис. 12. Примеры записей отдельных приемников в скважине
С зарегистрированными в этих случаях импульсами могут быть сопоставлены, по-видимому, лишь волны от расположенных вблизи скважины «движущихся» источников, например от перемещающейся границы растущей или от проскальзывания берегов уже имеющейся почти вертикальной трещины (в самой породе или на границе породы с обсадной колонной).
Заметим, что регистрация на Z-приемниках соответствует в численных расчетах X- компоненте, так как в расчетах трещина направлена вдоль оси X, а для скважинных наблюдений, как мы предполагаем, имеет место распространение некоторой вертикальной несплош-ности.
6. Заключение
В статье проведено численное моделирование распространения трещины по двум сценариям. В первом случае прямолинейная трещина растет под действием растягивающих напряжений, во втором случае рассмотрена зигзагообразная трещина, находящаяся в сложном напряженно-деформированном состоянии. Во втором случае получен резко неравномерный рост трещины. Сравнение с экспериментом позволяет объяснить полученные при наблюдениях в скважине резкие изломы годографов.
Литература
1. Голъдин С.В. Деструкция литосферы и физическая мезомеханика // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 5. - С. 5-22.
2. Немирович-Данченко М.М. Модель гипоупругой хрупкой среды: применение к расчету деформирования и разрушения горных пород // Физ. мезомех. - 1998. - Т. 1. - № 2. - С. 107-114.
3. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физ. мезомех. -
1998. - Т. 1. - № 1. - С. 5-22.
4. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. «Квантовая» природа и двойственный
характер динамики разрушения твердых тел // ДАН. - 2002. -Т. 382. - № 2. - С. 206-209.
5. Гриднева В.А., Корнеев А.И., Трушков В.Г. Численный расчет напряженного состояния и разрушения плиты конечной толщины при ударе бойками различной формы // Изв. АН СССР. МТТ. -1977. - № 1. - С. 146-157.
6. Steverding B., Werheiser A. A model for dynamic fracture // J. Mech. Engng Sci. - 1971. - V. 13. - No. 3. - С. 200-204.
7. Jeffreys H. On the hydrostatic theory of the figure of the Earth // Geo-phys. J. - 1963. - V. 8. - P. 196-202.
8. Ржевский В.В., Новик Г.Я. Основы физики горных пород. - М.: Недра, 1978. - 390 с.
9. Lin T.H. Physical theory of plasticity // Advances in Applied Mechanics. - 1971. - V. 11. - P. 255-311.
10. Костюченко В.Н., Кочарян Г.Г., Павлов Д.В. Деформационные характеристики межблоковых промежутков различного масштаба // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 5. - С. 23-42.
11. Ружич В.В., Трусков В.А., Черных Е.Н., Смекалин О.П. Современные движения в зонах разломов Прибайкалья и механизмы их инициирования // Геология и геофизика. - 1999. - Т. 40. - № 3. -С. 360-372.
On different scenarios of crack propagation in geomaterials
M.M. Nemirovich-Danchenko and Yu.I. Kolesnikov
Institute of Geophysics, SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
In this paper different scenarios of single crack propagation were considered in conditions of tension and complicated stress-strain state. The cases of uniform and non-uniform crack growth were studied. The results of numerical calculations were compared with data of borehole observations.
