CC BY
46
УДК 539.3, 550.834
Возможности обнаружения множественной трещиноватости сплошной среды на основе оценки спектральной плотности энергии отраженного сигнала
М.М. Немирович-Данченко
Томский филиал Института нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН, Томск, 634021, Россия
В работе рассмотрены твердые тела, включающие в себя трещиноватые области. При прохождении через такое твердое тело зондирующего сигнала (упругой волны) свойства сигнала меняются по-разному для сплошной и трещиноватой среды. По результатам численного моделирования показано, как изменяются спектральные характеристики сигналов для двух моделей поведения среды—упругой и упругопластической. Результаты сопоставляются с данными лабораторного эксперимента. В качестве примера рассмотрено выделение участка с повышенной трещиноватостью (пористостью) на реальном сейсмическом временном разрезе. Результаты численных расчетов и реальные данные обрабатываются с использованием преобразования Фурье и метода Прони.
Ключевые слова: трещиноватые среды, волновые сейсмические поля, преобразования Фурье и Прони
Possibilities of detection of multiple cracking in a continuous medium from estimates of spectral energy density of reflected signals
M.M. Nemirovich-Danchenko
Tomsk Division of Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics, SB RAS, Tomsk, 634021, Russia
The paper deals with detection of multiple cracking in a continuous medium. When passed through a solid with cracked regions, a probing signal (an elastic wave) changes differently in continuous and cracked regions. In this context, numerical simulation is performed to show how the spectral characteristics of signals change for two behavioral patterns of the medium: elastic and elastoplastic. The simulation results are compared with data of laboratory experiments. As an example, a region of increased cracking (porosity) on a real seismic time section is detected. The simulation and experimental data are processed with the use of Fourier transform and Prony’s method.
Keywords: cracked media, seismic wave fields, Fourier transforms, Prony’s method
1. Введение
Развитие методологии обнаружения дефектных областей в сплошных средах — это актуальная проблема для широкого круга прикладных задач, от тепловой интроскопии [1] до микросейсмического зондирования [2]. В тех случаях, когда дефектные области представляют собой зоны множественного разрушения (трещиноватые зоны), действенными оказываются электромагнитные и акустические методы и их комбинации [3, 4]. Акустические методы, основанные на изучении свойств упругих волновых полей при активном и пассивном мониторинге сред, содержащих трещиноватые зоны, применяются особенно широко в горном деле и при поисках залежей углеводородов, причем в последнем
случае развиваются как собственно акустические методы (акустический каротаж), так и сейсмические методы, использующие и продольные, и поперечные волны [5].
В предлагаемой работе развивается спектральный подход анализа волновых сейсмических полей для выделения трещиноватых зон. Методика анализа амплитудных спектров сейсмических полей основывается на результатах численного конечно-разностного моделирования прямых задач механики деформируемого твердого тела для тел с трещинами [6].
Цель работы — на основании решения прямых задач найти способы анализа волновых полей для выявления трещиноватых областей. Волновые поля — это времен-н ые записи от совокупности датчиков, отклик которых
© Немирович-Данченко М.М., 2013
есть (обычно) вертикальная компонента скорости смещения. Такие функции можно анализировать как во вре-менн ой области, так и в частотной. В настоящей работе анализ будет проводиться в частотной области. Поэтому формулируется задача — на основании численного моделирования прямых задач выделить такие модели сред, для которых трещиноватость уверенно сказывается на спектральных свойствах отраженных сигналов. В этой связи рассмотрены две модели поведения среды — упругохрупкая и упруго-хрупкопластическая.
2. Постановка задачи
Рассмотрим задачу о падении плоской упругой волны на среду, содержащую слой, в котором случайно заданы трещины. Отдельная трещина описывается двумя берегами и вершинами [6], распределение трещин задается двукратным обращением к датчику случайных чисел. Берега трещин нормальны лучу падающей волны (в данном случае — горизонтальны). Такие трещины ведут себя как трещины I типа (трещины отрыва).
Расчеты проводились конечно-разностным методом в рамках модели гипоупругой хрупкой среды. Система уравнений и переход к конечно-разностным соотношениям приведены в работах [6, 7], применимость численного метода к расчетам волновых полей для большого числа длин волн и спектральные свойства обсуждаются в [7], механизм взаимодействия берегов трещин частично обсуждается в [8]. Отсылая желающих более подробно ознакомиться с уравнениями и с методом к перечисленным работам, перейдем непосредственно к описанию задачи.
Для расчетов рассмотрена абстрактная идеализированная среда с некоторыми средними для горных пород параметрами. Геометрия модели среды, содержащей слой с трещинами, случайно распределенными в локальной области, приведена на рис. 1.
Параметры вмещающей среды: скорость продольной волны Ур = 3000 м/с, скорость поперечных волн V = 2000 м/с, плотность р = 2000 кг/м3. Параметры слоя соответственно: Ур = 2000 м/с, V = 1500 м/с, р = = 2000 кг/м3, сверху расположена линия «источник-
р УУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУ С
Рис. 1. Модель трещиноватой среды с трещинами I типа (отрыва), трещиноватость 2 %: 1 — вмещающая среда, 2 — слой с трещиноватой зоной, V — падающая волна
приемник». Слой с такими свойствами позволяет проводить более подробный анализ результатов во временной области. Грани АВ, ВС, ВА свободны от напряжений, на грань СВ нормально падает плоская волна — импульс Рикера [9]:
иу | Сд = ^ (/) = - | йо\ 2п/4~е (/ - /о) е~2пП{ /- < (1)
где йу — 7-компонента скорости смещения, м/с;
| и0 \ — амплитуда волны, м/с; f— частота, Гц; t — текущее время, с; /0 — сдвиг по временной оси, с.
Этот импульс характеризуется высокой плавностью функции, ее производных и спектра (рис. 2).
3. Дифракция на одной трещине
Для дальнейшего анализа важно выявить особенности поведения в такой волне отдельной трещины. Для этого был проведен предварительный расчет; геометрия задачи та же, но в правой части слоя 2 задана одиночная трещина, в остальном слой однороден. Для этой задачи на рис. 3 приводится 7-компонента скорости смещения для некоторого момента времени.
Из рис. 3 видно, что падающая 7-волна прошла через трещину — это определяется появлением области дифракции В. Заметим, что в области В появляется и ненулевая Х-компонента, невозможная в отсутствие трещины. Падающая волна отразилась от кровли слоя (РР-волна), и фронт продольной дифрагированной волны (цифра 1) касателен фронту РР-волны. Кроме этого, трещина излучает также и поперечную волну (цифра 2). Подробная картина волнового поля рассматривалась ранее в [6], где показано, что поскольку трещина не бесконечно мала, а имеет конечный линейный размер и границы ее есть свободные поверхности, то излучаются также и волна Рэлея, и коническая волна.
Таким образом, отдельная трещина при прохождении через нее знакопеременного импульса (1) порождает область дифракции.
4. Упругая и упругопластическая модели.
Спектры Фурье
Обратимся теперь к основной задаче (рис. 1). На рис. 3 приведен массив значений некоторой функции в один момент времени. Если же в какой либо точке среды
1.0
& 0.5
я
£ о.о
Р-Г-0.5 -1.0
0 5 10 15 20
мс
Рис. 3. Дифракция падающей плоской волны на одиночной трещине I типа, 7-компонента скорости смещения. Р — прямая продольная волна (импульс Рикера), РР — отраженная продольная волна, В — область дифракции, 1 — фронт дифрагированной Р-волны, 2 — фронт дифрагированной S-волны
расположить приемник, т.е. записывать значения этой функции в течение всего времени расчета, то эта запись называется трассой. Совокупность трасс для точек наблюдения на линии СВ — это сейсмограмма и у | св (/) (рис. 4). Нужно подчеркнуть, что импульс Рикера приходит в среду своей положительной фазой (см. рис. 2). Поэтому на рис. 3 и 4 фазы визуально расположены по-разному.
В модели среды задается множественная трещиноватость — 2 % трещин I типа. Зона трещиноватости (светлый участок слоя 2 на рис. 1) составила 1 600 расчетных точек — 32 трещины. Учитывая линейный размер зоны (80 ячеек), можно предполагать, что взаимный импеданс трещин невелик, но при длине волны около 100 ячеек дифракция в целом будет носить фраунгофе-ровский характер [10]. На сейсмограмме хорошо виден
п. !9° . / 300 х>м
200
Рис. 4. Модельная сейсмограмма 1&у | сп (/). Знаками «+» и «-» показаны положительная и отрицательная фазы импульса Рикера. Цифрами обозначены: 1 — падающая волна, 2 — отражение от кровли слоя, 3 — отражение от подошвы слоя. Слева приведен участок трассы для пунктирной линии
і
общий вклад области дифракции в волновое иоле — дифракция начинается сразу иосле образования отраженной волны (цифра 2) (50 мс) и ири 175 мс достигает краев модели.
На сейсмограмме в центре выделена иунктирная линия — иримерный центр наблюдения. Для этой линии сирава на рис. 4 ириводится верхняя часть трассы с указанием иоложительной и отрицательной фаз. Для дальнейшего анализа берется часть трассы между цифрами 2 и 3 (512 точек), т.е. отраженная волна. В таком окне ироводится иреобразование Фурье, и оно же вы-иолняется для исходного имиульса Рикера, т.е. для иа-дающей волны. Для иллюстрации ниже будут ириво-диться только модули комилекснозначных амилитудных сиектров Фурье, которые для краткости будем называть сиектрами. На рис. 5 ириведены нормированные сиект-ры иу (ш) для иадающей (силошная линия) и отраженной (иунктир) волн ш = 2п£ f— частота, Гц.
Из рис. 5 видно, что амилитудный сиектр отраженной волны осложнен интерференционными экстремумами, но ири этом огибающая сиектра для области с трещинами мало отличается от сиектра для силошной среды. Поэтому та же задача была решена с оиределяю-щими соотношениями уиругохруикой среды, доиолнен-ной условием иластичности Мизеса:
727 -,/^0 ^ о, (2)
где 3 — второй инвариант девиатора наиряжений; У0 — в иростейшем случае константа среды. Пока в (2) сохраняется неравенство, среда считается уиругой.
Уместность такой модели для оиисания иоведения среды в окрестностях небольших трещин ири иадении илоской волны объясняется тем, что длина волны много больше линейного размера трещины и на фазе растяжения знакоиеременного имиульса вершина трещины работает как концентратор наиряжений [6], иоэтому включение аккомодационных механизмов виолне корректно.
Сиектры на рис. 6 иостроены аналогично сиектрам рис. 5, но для модели с условием (2). Хорошо видно, что максимум сиектра явно сместился вираво. Кроме того, если для частот около 20 Гц амилитуды сиектров
1.0 Й».8 І 0.6 'зо А
0.2
0.0 —.-------■
0 40 80 120 160
Ґ, Гц
Рис. 5. Сиектры II у(ш) иадающей (1) и отраженной (2) волн для модели уиругохруикой среды
Рис. 6. Спектры иу (м) падающей (1) и отраженной (2) волн для модели упруго-хрупкопластической среды
в трещиноватой и сплошной средах сопоставимы, то в диапазоне от 30 до 50 Гц можно говорить об отличиях на порядок.
Для пояснения этого факта на рис. 7 приводятся диаграммы значений энергии сдвига в каждой расчетной ячейке в окрестности области с трещинами для упругохрупкой и упруго-хрупкопластической модели. Так как они построены в абсолютных значениях, то хорошо видно, что энергия, затраченная на производство пластических деформаций, локально (в трещиноватой области, рис. 7, б) в несколько раз превышает фоновый уровень.
Анализ рис. 5-7 позволяет полагать, что при соответствующем выборе цифрового фильтра эффект поглощения высоких частот может быть устойчиво обнаружен.
5. Сопоставление с лабораторным экспериментом
Для проверки применимости вышеизложенных соображений на практике был выполнен спектральный анализ реального сейсмического разреза одного из вы-сокодебитных месторождений углеводородов.
Автор далек от мысли, что в нефтяном коллекторе при прохождении сейсмической волны могут происходить пластические деформации, но речь идет о возможной дифференциации по спектральным свойствам более
поглощающих сред от менее поглощающих. Поэтому на модельных расчетах в качестве менее поглощающей среды была использована упругохрупкая, а в качестве более поглощающей—упруго-хрупкопластическая среда. Использование фильтрации в спектральной области может как раз выявить эту большую степень поглощения.
В связи с этим уместно привести результаты лабораторного исследования отражения сигнала от образца песчаника, выполненные А.П. Грегори [11]. Схема эксперимента подробно описана в работе [11], здесь приведем лишь спектры падающей (сплошная линия) и отраженной (пунктир) волны (рис. 8, а (рис. 22, [11])). Сравнение со спектрами рис. 6 говорит о следующем. Исходный сигнал (сигнал А в случае лабораторного эксперимента), распространяясь в поглощающей среде (образец песчаника, как и любое реальное тело, является поглощающим), записывается затем в виде сигнала В со спектром, существенно лишенным высоких частот. В случае численного моделирования поглощение происходит за счет пластических переходов в окрестностях вершин трещин. Сравнение лабораторных данных (рис. 8, а) и результатов моделирования (рис. 8, б, ненормированные спектры) говорит о достаточно высоком качественном соответствии численного моделирования и физического эксперимента в части спектральных проявлений неидеальности свойств среды.
6. Анализ реального сейсмического разреза. Фильтрация Прони
Перейдем собственно к практическому применению развитой методологии.
Для анализа реальных разрезов необходим аппарат обработки цифровыми фильтрами. При этом ограничения, связанные с теоремой Котельникова [12] и накладываемые конечными размерами блоков обработки, не позволяют извлекать из трассы гармонические компоненты с любой наперед заданной частотой. Чтобы обой-
Частота, МГц
£ Гц
Рис. 8. Спектры падающего (А) и отраженного от образца песчаника (В) сигналов (а), ненормированные спектры падающей (1) и отраженной (2) волн (б) [11, рис. 22]
ти это ограничение, обратимся к преобразованию Про-ни [13], которое не является спектральным преобразованием в чистом виде, а является способом оценивания (как метод наименьших квадратов) дискретных данных с помощью линейной комбинации экспоненциальных функций. Затем можно вычислить спектральную плотность энергии для любой частоты Прони.
Метод Прони позволяет оценить п-й элемент выборки 7(1), ...,у(Щ с помощью экспоненциальной модели порядкар следующим образом:
у(п) = £ ^пк-1, (3)
к=1
где множители ^ и Zk в общем случае комплексны и определяются выражениями hk = А ехрО'0к ),
Zk = ехР[(а к + ] 2 п/к )т ]> (4)
где Ак — амплитуда; а к — коэффициент затухания ^й комплексной экспоненты; /к и 0к — частота и начальная фаза ^й синусоиды.
Для значений N = 64 и р = 15 на рис. 9 приводятся первые 4 члена ряда (3). Первый член (р1, жирная линия) — затухающая экспонента, остальные 3 члена — затухающие синусоиды. Для большинства обычных сигналов (в том числе акустических) ряд (3) сходится значительно быстрее, чем ряд Фурье.
Вычислив массивы значений ^ и Zk, можно вычислить спектральную плотность энергии для любой частоты /к из диапазона -(2А/)-1 < /к < (2А/)-1, где (2 А/)-1 — аналог частоты Найквиста. В работе [13] приведены формулы, доказательства и алгоритмы, а также полные тексты вычислительных программ с подробными комментариями.
Воспользовавшись разложением (3) и предположениями о свойствах сигналов для участков трасс, соответствующих разным по степени поглощения областям среды, произведем блочную обработку трасс временного разреза. При этом каждой точке обрабатываемой трассы будем ставить в соответствие спектральную плотность Прони, тем самым снова формируя «трассу». На рис. 10, а приведен исходный временной разрез, на рис. 10, б — окно обработки. Разрез «трасс» для частоты 20 и 27 Гц приведен на рис. 10, в, г. Эллипсом на рис. 10, г обозначен участок, на котором в спектре почти исчезла составляющая 27 Гц. Этот участок в действительности соответствует скоплению углеводородов, выявленному в коллекторе (пласте) с высокой проницаемостью. В свою очередь, высокая проницаемость в случае данного разреза обусловлена повышенной пористостью (трещиноватостью) среды.
7. Выводы
В работе выполнено исследование влияния множественной трещиноватости среды на спектр отраженных волн. Рассмотрена дифракция упругой плоской волны на одиночной трещине, проанализированы образованные волны. Построено синтетическое полное волновое поле для случая отражения сигнала от среды, содержащей слой с трещиноватой областью.
Показано, что спектр Фурье волн, отраженных от трещиноватой области, для упругой модели практически не отличается от спектра для сплошной среды.
На основе численного моделирования и сравнением с экспериментальными данными установлено, что спектр волны, отраженной от трещиноватой области, при упругопластическом поведении среды резко теряет часть вы-
60004000-
^ 2000-
О
$ ^
-2000 --4000 -
0 20 40 60 80 100 120
Номера отсчетов п
t, мс t, мс
200
1000 1800
2600
3400
t, мс 200
1000
1800
2600
3400
Рис. 10. Демонстрация возможностей фильтрации Прони: исходный временной разрез (а), окно обработки (б), разрез «трасс» для частоты 20 (в) и 27 Гц (г)
соких частот и существенно отличается от спектра волны в сплошной среде. Показано, что области трещиноватости соответствуют большие энергии сдвиговых деформаций.
Проведена обработка реального сейсмического разреза с использованием приближения Прони. Построение разрезов из «трасс», составленных из вычисленных значений спектров, позволило выявить зону с явно выраженным разрывом в отслеживании отражающего горизонта на временах ~2200 мс. Установлено, что данный разрыв соответствует зоне повышенного содержания углеводородов, что, в свою очередь, связывается с повышенной трещиноватостью (пористостью) среды.
Работа выполнена при финансовой поддержке СО РАН (междисциплинарный интеграционный проект № 127) и РФФИ (грант № 12-05-00337-а).
Литература
1. Горбунов В.И., Епифанцев Б.Н., Гефле Г.Х., Немирович-Данченко М.М. Обнаружение воздушных полостей под бетонными покрытиями тепловым методом // Изв. АН СССР. Дефектоскопия. -1980. - № 11. - С. 109-111.
2. Kolesnikov Yu.I., Nemirovich-Danchenko M.M., Goldin S.V., Seleznev VS. Slope stability monitoring from microseismic field using polarization methodology // Nat. Hazards Earth System Sci. - 2003. -No. 3. - P. 515-521.
Поступила в редакцию 20.09.2012 г.
3. Богомолов Л.М. О механизме электромагнитного влияния на кине-
тику микротрещин и электростимулированных вариациях акустической эмиссии породных образцов // Физ. мезомех. - 2010. -Т. 13. - № 3. - С. 39-56.
4. Кривецкий А.В., Бизяев А.А., Яковицкая Г.Е. Контроль разрушения некоторых металлических изделий по сигналам электромагнитного излучения // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 4. - С. 3944.
5. Хромова И. Ю. Практическое сравнение методик прогноза трещи-
новатости по сейсмическим данным // Технологии сейсморазведки. - 2010. - № 2. - С. 62-69.
6. Немирович-Данченко М.М. Модель гипоупругой хрупкой среды: применение к расчету деформирования и разрушения горных пород // Физ. мезомех. - 1998. - Т. 1. - № 2. - С. 107-114.
7. Немирович-Данченко М.М. Численное моделирование трехмерных динамических задач сейсмологии // Физ. мезомех. - 2002. -Т. 5. - № 5. - С. 99-106.
8. Немирович-Данченко М.М. Особенности разрушения отрывом и сдвигом при деформировании геосред // Физ. мезомех. - 2010. -Т. 13. - Спец. выпуск. - С. 53-57.
9. Nielsen P. Numerical Modelling of Seismic Waves: On the Elimination of Grid Artifact. - Bergen: Norsk Hydro Research Center, 1994. -47 p.
10. Скучик Е. Основы акустики. В 2-х т. - М.: Мир, 1976. - Т. 2.544 с.
11. Сейсмическая стратиграфия. Использование при поисках и разведке нефти и газа. Ч. 1 / Под ред. Ч. Пейтона. - М.: Мир, 1982. -375 с.
12. Харкевич А.А. Спектры и анализ. - М.: ГИТТЛ, 1957. - 236 с.
13. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. - М.: Мир, 1990. - 584 с.
Сведения об авторе
Немирович-Данченко Михаил Михайлович, д.ф.-м.н., внс ТФ ИНГГ СО РАН, michnd@mail.ru
