Современные инновации, системы и технологии // Modern Innovations, Systems and Technologies
2024; 4(4) eISSN: 2782-2818 https://www.oajmist.com
УДК: 532.59:532.135 EDN: VYEUGU
DOI: https://doi.org/10.47813/2782-2818-2024-4-4-0238-0253
Особенности распространения волн в вязкой среде в
трубах
Н. K. Эсанов1, Ж. М. Саипназаров2
1Университет Альфрагануса, Ташкент, Узбекистан 2Каршинского филиала Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада аль-Хорезми, Карши, Узбекистан
Аннотация. В данной статье приведены исследования по распространению волн, в частности, рассмотрено их распространение в полупространстве, на контакте двух тел, а также в различных пластинчатых и цилиндрических формах. В области длинных волн, соответствующих толщине этого слоя, фазовая скорость будет зависеть от длины волны и от частоты. Этот факт, характерный для слоистых структур, позволяет создавать волноводные элементы, в которых распространяются волны, а также линии задержки, где время задержки зависит от частоты. Установлено, что поверхностные волны могут распространяться в любом направлении в изотропных или анизотропных телах.
Ключевые слова: полупространства, собственная волна, частота, слой, фазовой скорость.
Для цитирования: Эсанов, Н. К., & Саипназаров, Ж. М. (2024). Особенности распространения волн в вязкой среде в трубах. Современные инновации, системы и технологии - Modern Innovations, Systems and Technologies, 4(4), 0238-0253. https://doi.org/10.47813/2782-2818-2024-4-4-0238-0253
Features of wave propagation in viscous media in pipes
N. Q. Esanov1, J. M. Saipnazarov2
]Al-Farghani University, Tashkent, Uzbekistan 2Karshi Branch of Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad
al-Khwarizmi, Karshi, Uzbekistan
Abstract. This article presents research on wave propagation, specifically focusing on their propagation in half-spaces, at the contact between two bodies, as well as in various plate-like and cylindrical forms. In the region of long waves corresponding to the thickness of the layer, the phase velocity will depend on the wavelength, meaning the phase velocity is frequency-dependent. This characteristic, typical for layered structures, allows the creation of waveguide elements through which waves propagate, as well as delay lines where the delay time is frequency-dependent. It has been established that surface waves can propagate in any direction in isotropic or anisotropic bodies.
Keywords: half-space, eigenwave, frequency, layer, phase velocity.
© Эсанов Н. K., Саипназаров Ж. М., 2024
0238
For citation: Esanov, N. Q., & Saipnazarov, J. M. (2024). Features of wave propagation in viscous media in pipes. Modern Innovations, Systems and Technologies, 4(4), 0238-0253. https://doi.org/10.47813/2782-2818-2024-4-4-0238-0253
ВВЕДЕНИЕ
Один из типов поверхностных волн являются трубные волны (рисунок 1). Волны, распространяющиеся по оси заполненной жидкостью скважины (трубные волны), представляют значительный интерес при измерениях скоростей в буровых скважинах, а также в связи с их потенциальной способностью доставлять информацию об упругих свойствах окружающих пород [1, 2]. Эти волны в трубе возникают под воздействием внешних сил и в результате взрывов. Образование волн в скважинах, заполненных жидкостью, было зафиксировано сейсмодинамиками.
ur
Рисунок 1. Изменение элементарного объема жидкости в скважине: ur и uz -соответственно радиальное и осевое смещение.
Figure 1. Change in the elementary volume of liquid in a well: Ur and Uz are the radial and
axial displacement, respectively.
Задачи о динамическом взаимодействии оболочек и пластин со сплошными средами (воздух, вода, грунт) рассмотрены в [3, 4]. Несмотря на многочисленные исследования по указанным проблемам, ряд вопросов изучен недостаточно. В частности, весьма важные для практики - расчеты конструкций на действие различного рода подвижных нагрузок. Простейшими примерами систем с подвижными нагрузками являются: железнодорожные рельсы под действием движущихся составов, асфальтированные, бетонированные и другие поверхности под действием движущихся транспортных средств, в частности, самолётов, трубопроводы под действием очистных устройств и движущейся жидкости, пластины и оболочки под действием
перемещающейся жидкости, газа т.п. [5-7]. Такие покрытия ослабляют колебания, не изменяя прочности и веса конструкции, переводя акустическую энергию в тепловую.
Такие покрытия наносят на нагруженные поверхности деталей самолетов и автомобилей, хотя этот метод не представляет пример наиболее эффективного использования демпфирующих свойств этих материалов. Ясно, что для правильного использования таких систем необходимо знать их динамические характеристики. Расчет низшей ветви выполнен с использованием разложения трансцендентных функций в степенные ряды, что ограничивает область применимости результатов: значения безразмерных волновых чисел не должны быть больше единицы, и, кроме того, ограничиваются значения отношений толщин и модулей сдвига центрального слоя и покрытия. Если среда не изотропна, то чем больше анизотропия, тем сложнее становятся уравнения движения среды. Результаты измерений анизотропии обычно выражают в виде отношения скоростей - параллельной и перпендикулярной напластованию.
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ
В работах [8, 9] рассмотрено распространение поверхностных волн Рэлея в слое, лежащем на полупространстве (слой и полупространство имеют различную вязкость). Получено общее дисперсионное уравнение, а в случае слабого поглощения выведена формула для коэффициента затухания рэлеевских волн, как функции коэффициентов затухания и скоростей продольных и поперечных сред. Затухание поверхностных волн в слое на полупространстве исследовано в работе [10]. Исследовано распространение поверхностных волн Лява и Рэлея в слое на полупространстве. Рассмотрен общий случай слабого поглощения для любых реологических моделей сред. Получены формулы коэффициента поглощения волн Лява и Рэлея, и в качестве примеров приведены их значения для всех встречающихся реологических моделей.
В работе [11] проведено экспериментальное изучение поверхностных волн, возбуждаемых ударами и слабыми взрывами и распространяющихся в рыхлых отложениях, лежащих на твердых породах. Показано, что при регистрации колебаний в среднечастотном диапазоне (20-50гц) на записях выделяется ряд диспергирующих поверхностных волн Лява и Рэлея. Эти волны принадлежат к основным тонам и обертонам, и характер их дисперсии определяется различными разделами поверхностей.
Проведена количественная интерпретация данных о дисперсии фазовых и грунтовых скоростей отдельных волн.
Волны Рэлея в зернистых средах исследованы в [12]. Рассматривается распространение волн Рэлея в твердых зернистых средах, заполняющих полупространство и слой. Элементы этих сред (зерно) совершают не только поступательное движение, но могут вращаться вокруг своих центров тяжести. Предположения о неразрывности и об упругих деформациях зерен позволяют записать 6 уравнений движения, описывающих векторы смещения и вращения в среде. На основании решения уравнения движения и учета граничных условий записывается уравнение для определения скоростей волн Рэлея. Полученное уравнение содержит определитель девятого порядка и в статье не решается.
В работе [13] вычислены теоретические дисперсионные кривые рэлеевских волн для однослойной среды. Фазовые и групповые скорости вычислены для основной и первой гармоник. Расчеты позволяют исследовать влияние изменения упругих констант на дисперсионные кривые. Дисперсионное уравнение волн Рэлея в слоистом твердожидком полупространстве приведено в [7]. Матричный метод Хаскелла распространяется на слоистую среду с чередованием жидких и твёрдых слоев. Выводятся формулы для вычисления скорости рэлеевских волн и вертикального распределения поляризации колебаний. В работе [14] рассматривается распространение волн Рэлея в двухслойной среде.
Плоскопараллельный упругий или жидкий однородный слой лежит на однородном упругом полупространстве. На поверхности слоя по круговой площадке распределена внешняя нагрузка. Величина нагрузки изменяется во времени с заданной частотой. Смещения в среде представляются в виде интегралов Фурье-Бесселя, которые оцениваются методом стационарной фазы. В работе [15] исследовано распространение гармонических волн Рэлея в упругом однородном полупространстве с вертикальным уступом на свободной поверхности. Предполагается, что высота уступа h либо мала, либо велика по сравнению с длиной X падающей на него рэлеевской волны. Приближенные выражения для коэффициентов отражения и преломления получены с помощью функций Грина. Приведены численные примеры, показывающие, что при h< X/ 2 фаза проходящей волны не претерпевает заметного возмущения; амплитуда значительно убывает с уменьшением X. При h> X сильно возмущается и фаза и
амплитуда. Важным частным случаем динамической задачи является задача о гармонических колебаниях, в которой внешние нагрузки являются тригонометрическими функциями времени, изменяющимися с круговой частотой ш, а механический процесс рассматривается в бесконечном интервале времени (-да <К да) [15, 16]. Начальные условия в гармонической задаче не ставятся.
При построении уточенных теорий трехслойных оболочек движения заполнителя должно описываться трехмерными уравнениями теории упругости, тогда несущие слои представляют собой оболочки на упругом основании. Состоянию вопроса о динамическом взаимодействии оболочек и пластин со сплошными средами (воздух, вода, грунт) в последние десятилетия посвящены обзоры работы, из которых [17-19] следует, что, несмотря на многочисленные исследования по указанным проблемам ряд вопросов изучен недостаточно. В частности, весьма важным для практики являются расчеты конструкций на действие различного рода подвижных нагрузок. В работе [20] рассмотрена задача о распространении свободных волн в трехслойных пластинках в уточненной постановке, когда движение заполнителя описывается уравнениями Ляме с инерционными членами, а для обшивок используется гипотеза Кирхгофа-Лява.
Рассмотрим полученные дисперсионные уравнения и определенные фазовые скорости для симметричных и антисимметричных волн. Перейдем к изучению закономерностей распространения волн в таких упругих средах, для которых существенную роль в формировании поля играет не только взаимодействие границ. В качестве объектов, которые, в связи с этим рассмотрены, используются бесконечная упругая пластинка или полоса переменной толщины Возможность выразить характеристики волнового поля в цилиндре через хорошо исследованные специальные функции впервые отмечались в работах Похгаммера и Кри, которые имеют следующий вид:
РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
к 'a J ^ ц у
(1)
где
h — k^ k , k
k — kg k , k
2 ®
Такое представление дает нам зависимость фазовой скорости от частоты со и следующих параметров: радиуса а, X , ц, коэффициентов Пуассона V и р. Записав это уравнение в безразмерной форме ,можно уменьшить число переменных до следующих трех: с/с0, a/X, V, где X =2 л/к -длина продольной волны, с=с/к.
Пусть с - фазовая скорость бесконечной серии синусоидальных волн с длиной волны X, со=уЩТр - скорость бесконечно длинных волн расширения в цилиндре, а - радиус
цилиндра и V - значения коэффициента Пуассона для материала. Если предположить, что смещения, напряжения и деформации изменяются во времени гармонически, то уравнения Похгаммера-Кри будут распадаться на три независимые системы, которые относятся соответственно к волнам расширения, изгиба и кручения. Каждая система уравнений может быть сведена к единственному уравнению (уравнению частот), содержащему функции Бесселя, корни которого дают зависимость между тремя безразмерными параметрами с/с0, a/X и с/с0, а/А. Если принять V равным постоянной величине, то уравнения частот можно решить численными методами, получив дисперсионную кривую, которая для каждого типа волн даст зависимость с/с0 от a/X. В случаях волн расширения и кручения уравнения частот имеют кратные корни и дисперсионные кривые состоят из ряда ветвей, соответствующих основным и более высоким формам колебаний.
Однако для изгибных волн при фиксированном значении V параметр с/с0 является однозначной функцией от a/X, и дисперсионная кривая состоит только из одной ветви. Для волн расширения (или продольных) вычисления, приводящие к дисперсионной кривой, были выполнены рядом авторов; исчерпывающая система значений для равных бесконечности, как показал Банкрофт, с асимптотически приближается к скорости ся поверхностных волн Рэлея. Кривая 1, 2 и 3 относятся к различным формам колебаний цилиндра, которые отличаются друг от друга распределением смещений, деформаций и напряжений по поперечному сечению (рисунок 2). Если за узловые поверхности принять поверхности, на которых продольные смещения и деформации равны нулю, то в данном случае узловыми поверхностями будут цилиндры. До последнего времени эти волноводы не применялись достаточно широко по трем основным причинам. Одна из этих причин связана с двумя недостатками, которые обычно приписывают волноводом:
потерями и низкой эффективностью возбуждения. Вторая причина сравнительно редкого использования волноводов связана с вопросом о том, помогают ли они получить устройства, отвечающие современным требованиям.
В настоящее время серьезно рассматривается использование волноводов в линиях задержки на большие времена задержки, в основном, чтобы устранить уширения пучков. Однако это применение очень узкое и требует низких потерь в волноводе и пренебрежимо малой дисперсии. Третья причина заключается в том, что до сих пор еще нет ни одного волновода, который позволил бы заметно увеличить емкость запоминающих устройств, использующих пучки. Это объясняется остаточной дисперсией, и именно эта дисперсия представляет собой основное препятствие на пути использования волноводов в устройствах хранения информации. В заключение еще отметим, что волноводные системы свободны от некоторых недостатков, присущих широким пучкам поверхностных волн. Сфера применений волноводов еще мала, однако в будущем она может существенно расшириться, особенно если будет создан волновод без дисперсии.
Вязкоупругие свойства материалов выражаются прежде всего в явлении ползучести, т. е. в постепенном нарастании деформаций при неизменном напряжении. Например, при одноосном напряженном состоянии деформация в является функцией времени I, т.е. в=в(^). График этой зависимости называется кривой ползучести. Свойства вязко упругости выражаются также в явлении релаксации, т.е. в постепенном уменьшении напряжений в загруженном теле при остающейся неизменной деформации [21, 22]. Так, при одноосном напряженном состоянии напряжение а при в=сопб1 является функцией времени. График этой зависимости называется кривой релаксации (рисунок 2). К вязкоупругим материалам относятся полимеры и композиты, бетоны и горные породы, лед с включениями и без включений, металлы при повышенных температурах и др. Заметим, что конструкционные металлы при обычных температурах (от -20 до +200С) ведут себя как упругие тела, а при повышенных (более +200 0С) температурах проявляют вязкоупругие свойства.
Пластмассы при 00С имеют слабо выраженные свойства, т.е. близки к упругим телам, но уже при +500С проявляют весьма существенные свойства вязкоупругих материалов. Поэтому можно не разделять материалы на упругие и вязкоупругие, а говорить об упругом и вязкоупругом состоянии одного и того же материала в зависимости от
температуры или других факторов. К другим факторам можно отнести некоторые особенности эксплуатации конструкций. Такие, например, конструкции, как амортизирующие и виброзащитные устройства, выполненные из упругих материалов, в целом ведут себя под эксплуатационной нагрузкой как вязкоупругие тела. Наличие новой переменной (времени 1) усложняет расчет конструкций из вязкоупругих материалов по сравнению с расчетами теории упругости [23, 24]. Основной трудностью является здесь установление зависимостей между напряжениями и деформациями вязкоупругого тела.
о
U
и
о
и и
о
и Ö
аю
Рисунок 2. Тело Кельвина-Фойгта. Зависимость фазовой скорости с, групповой скорости сё и коэффициента затухания у от частоты ш/2 ж для синусоидальных волн.
Figure 2. Kelvin-Voigt body. Dependence of phase velocity c, group velocity Cg and attenuation coefficient у on frequency ш/2 ж for sinusoidal waves.
Существует несколько подходов для установления этих зависимостей. Один из них основан на упрощенных механических моделях (модели Фойгта и Максвелла), в которых упругие свойства описываются на основании закона Гука, а вязкие - на основании реологического закона Ньютона о течении вязкой жидкости. Так например, модель тела Фойгта не обладает свойством релаксации напряжений, а из модели релаксирующего
тела Максвелла следует только линейный закон изменения деформации во времени, что является частным случаем деформирования вязкоупругих тел. Обобщая модели Фойгта и Максвелла, можно получить более сложные комбинированные модели (обобщенная модель Кельвина-Фойгта-Мейера), которые во многих случаях оказываются вполне приемлемыми для описания процессов ползучести и релаксации. Для тела Кельвина -Фойгта зависимость напряжения - деформации дается уравнениям, учитывающими, что в = д и / д х, и тогда получим
д2и _ д2и д3и р—т = Е —т+—о— д г2 1 д х2 1 д х 2д г
Это уравнение совпадает с уравнением Стокса, используемым в акустике. Если обозначить ^1/Е1=а и С1 = Е1 / р, то уравнение принимает вид
д2и д3и 1 д2и ■ + а-
д г2 д х2д г С22 д х2 '
Для синусоидальной волны с начальной амплитудой А и частотой ш/2л: решение имеет вид
и = А в~гх ехр[ш (г - х / с)],
где у - коэффициент затухания и с - фазовая скорость волны [27, 28]. Если это значение и подставить в уравнение, то получится система из двух уравнений для у и с; окончательно получим
с2 2
.2 2
С а ш
(1 + а2ш21 + а2ш2 -1) ;
с а2ш2 аш ( г-гт Л
ас0у =--= ^—. (V1 + а ш -1).
0/ 2с0 1 + а ш 72^ 1 + а2ш2 ^ >
Данные зависимости иллюстрирует рисунок 3. Характерной чертой для вязко упругости является зависимость упругих и затухающих свойств от температуры или времени нагружения, или же частоты динамического процесса нагружения. Анализ реакций конструкций из таких материалов на динамическое нагружение требует уже более общей формы выражения закономерностей их динамического вязкоупругого действия. Динамические вязкоупругие характеристики материала выражаются комплексным модулем при сдвиге [25, 26] 0*ш,т = Ош,т (1+15ов§пш), и комплексным
модулем объема В*ш,т = Вю,т(1+i5вsgnш). Устанавливая значения вязкоупругих характеристик Gщ,т, Вш,т, 5о, 5в при всех частотах ш, полностью определяется вязкоупругое действие материала при данной температуре Т.
В работе [24] решение получено для задачи продольных колебаний цилиндрического стержня с вязкоупругим покрытием. Последнее предполагали достаточно тонким, чтобы можно было пренебречь усилиями на поверхности контакта. Появился также ряд работ, где исследованы при различных допущениях изгибные и «мембранные» колебания слоистых конструкций, содержащих вязкоупругие элементы. Результаты экспериментов в этой области обычно обрабатывали или сравнивали с приближенными или упрощенными теориями [35]. Исследуются дисперсионные характеристики и характеристики затухания изгибных колебаний системы, состоящей из двух одинаковых наружных слоев линейно-вязкоупругого материала, соединенных с бесконечной (в двух направлениях) упругой пластинкой постоянной толщины.
U U
о
и
са
1,2
1,0
0,8
0.6
0,4
0,2
Г
i /I
/
I/
Cg/C0
C/C0
Зю
Рисунок 3. Зависимость фазовой скорости, групповой скорости и коэффициента затухания от частоты для синусоидальных волн.
Figure 3. Dependence of phase velocity, group velocity and attenuation coefficient on
frequency for sinusoidal waves.
n
1
1
A
s
A
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Выполнены расчеты зависимости рассеяния энергии от волнового числа и действительной части частоты колебаний. Эти расчеты основаны на точном решении, которое обобщает решение задачи Рэлея-Лэмба, полученное на двух приближенных методах решения. Свойства вязкоупругого покрытия характеризуются комплексным модулем упругости. Причем числовые значения характеристик материала выбраны при расчетах из предположения, что пластинка алюминиевая, а покрытие выполнено из высокополимерных материалов. Демпфирующая способность материала имеет большое значение для динамического состояния конструкции. Это, в свою очередь, приводит к снижению колебаний и значительному уменьшению амплитуды при вынужденных колебаниях, а также к снижению напряжений по центральной оси во время колебаний. Этот процесс можно понять, изучив поглощение энергии во время колебаний. Существует множество представлений об этом механизме. Долгое время в этой области доминировала гипотеза вязкого сопротивления, которая была удобна для расчетов, но не подтверждалась экспериментами для металлов. Демпфирующая способность материала, его способность при повторной деформации поглощать энергию за счет необратимых процессов, использовалась при разработке вибропоглощающих покрытий и конструкционных материалов. Задача таких покрытий заключается в снижении уровня резонансных колебаний и уменьшении уровня звука, независимо от его источника. Такого рода покрытия созданы в ряде стран и используются в различных областях инженерного дела - в авиации, в строительстве, в судостроении, в транспортном машиностроении и др. Основное внимание уделено исследованию закономерностей распространения волн в телах различной геометрической формы при однородных начальных состояниях.
Отметим, что проблемы распространения волн в сплошных многослойных средах изучаются многими исследователями как в нашей республике, так и за рубежом. Это объясняется тем, что во многих областях науки и техники всё чаще требуется расчёт напряжений и деформаций, возникающих в многослойных телах с реологическими свойствами под воздействием различных динамических нагрузок. Динамические задачи диссипативных (вязких) динамических систем решаются методами математической физики. Сложность решения этих задач обусловлена несколькими факторами, например, реологическими свойствами реальных сред, что приводит к разнообразию
схематизированных моделей для описания реальных явлений в том или ином приближении и не позволяет создать единую математическую модель. Несмотря на множество математических моделей механических систем, методы решения таких задач разработаны, главным образом, для систем, движение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Анофрикова Н.С., Сергееева Н.В. Исследование гармонических волн в наследственно-упругом слое. Вестник Нижегородского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014; 14(3): 321-328.
[2] Бозоров М.Б., Сафаров И.И., Шокин Ю.И. Численное моделирование колебаний диссипативно однородных и неоднородных механических систем. Новосибирск: СО РАН. 1966. 188.
[3] Болтаев З.И. Распространение линейных гармонических волн в протяженных плоских и цилиндрических телах с учетом вязкоупругих свойств материала. Ташкент: ФАН. 2013. 136.
[4] Григоренко А.Я., Ефимова Т.Л., Соколова Л.В. Свободные колебания круговых цилиндрических оболочек переменной толщины в уточненной постановке. Теоретическая и прикладная механика. 2008; 43: 111-117.
[5] Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова Думка. 1981. 284.
[6] Каюмов С.С., Сафаров И.И. Распространение и дифракция волн в диссипативно -неоднородных цилиндрических деформируемых механических систем. Ташкент: ФАН. 2002. 214.
[7] Кулеш М.А., Шардаков И.Н. Волновая динамика упругих сред. Пермь: Перм. ун-т. 2007. 60.
[8] Микер Т., Мейтцлер А. Волноводное распространение в протяженных цилиндрах и пластинках. Физ. Акустика. Принципы и методы. 1966; 1А: 140-203.
[9] Олинер. Волноводы для поверхностных акустических волн. Тр. ин-та инженеров по электронике и радиоэлектронике. 1976; 64:.51-55.
[10] Safarov I.I., Boltaev Z.I., Axmedov M.Sh. Natural Oscillations of Cylindrical Bodies with External Friction on the Boundary. Applied Mathematics. 2015; 6: 629-645.
[11] Safarov I.I., Boltaev Z.I., Axmedov M.Sh. Waveguide Propagation in Extended Plates of Variable Thickness. Open Access Library Journal. 2014: 2-9.
[12] Safarov I.I., Boltaev Z.I., Axmedov M.Sh. Dissemination Sinusoidal Waves in of A Viscoelastic Strip. Global Journal of Science Frontier Research: Mathematics & Decision Sciences. 2015; 15(1): 39-60.
[13] Safarov I.I., Boltaev Z.I., Axmedov M.Sh. Ducting in Extended Plates of Variable Thickness. Global Journal of Science Frontier Research: F Mathematics & Decision Sciences 2016; 16(2): 33-66.
[14] Safarov I.I., Teshaev M.Kh., Boltaev Z.I., Axmedov M.Sh. Spread of Natural Waves in Cylindrical Panel. Case Studies Journal. 2015; 4(3): 34-39.
[15] Safarov I.I., Boltaev Z.I., Axmedov M.Sh. Impact of longitudinal and transverse waves by cylindrical layers were liquid. Journal of Multidisciplinary Engineering Science and Technology (JMEST). 2014; 1(4): 273-281.
[16] Safarov I.I.,Teshaev M.Kh., Boltaev Z.I. Wave propagation in visco elastic wedge with an arbitrary angle peaks. International Journal of Research in Engineering and Science (IJRES). 2014; 2(11): 32-37.
[17] Сафаров И.И., Тешаев М.Х., Болтаев З.И. Волновые процессы в механическом волноводе. LAP LAMBERT Academic publishing. 2012. 217.
[18] Уайт. Поверхностные упругие волны. Тр. ин-та инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. 1970; 58(8): 68-110.
[19] Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин. ПММ. 1948; 12(3): 287-300.
[20] Шемякин Е.И. Динамические задачи теории упругости и пластичности. Новосибирск: Изд-во НГУ. 1968. 337.
[21] Швец Р.К., Марчук Р.А. Колебания ортотропной цилиндрической оболочки типа Тимошенко, соприкасающейся со слоем жидкости. Мат. методы и физ.-мех. поля. 1975; 1: 135-140.
[22] Abramson U.N. Flexural waves in elastic beams of circular cross section. J. Acoust. Soc. Amer. 1957; 29(1).
[23] Esanov N. Q., Saipnazarov J. M. Effect of moving load on a cylindrical shell with an elastic filler. Modern Innovations, Systems and Technologies. 2024; 4(4): 0301-0309. https://doi.org/10.47813/2782-2818-2024-4-4-0301-0309
[24] Kulmuratov N., Esanov N. Q., Saipnazarov J. M. On propagation of natural waves in
viscoelastic media. Theoretical & Applied Science. 2024; 137: 16-21. https://doi.org/10.15863/TAS.2024.09.137.4
[25] Almuratov Sh. Radial vibrations of a viscoelastic spherical shell. Universum: технические науки. 2022; 3-7(96): 4-8.
[26] Yunusov G.G., Esanov N.Q., Almuratov Sh.N., Ablokulov Sh., Sobirov R. On numerical simulation of vibrations in radio-electronic structures. AIP Conf. Proc. 2022; 2467: 060038.
[27] Esanov N.Q., et al. Natural and forsed osculations of pipelines in contact with the Wincler medium. E3S Web of Conferences. 2023; 411: 01005.
[28] Safarov I.I., Esanov, N.Q., Saipnazarov J.M. Xalilov Sh.F. Колебания плоской вязкоупругой спиральной пружины. Journal of Advances in Engineering Technology. 2024; 3: 67-73.
REFERENCES
[1] Anofrikova N.S., Sergeeeva N.V. Issledovanie garmonicheskih voln v nasledstvenno-uprugom sloe. Vestnik Nizhegorodskogo universiteta. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika. 2014; 14(3): 321-328. (in Russian)
[2] Bozorov M.B., Safarov I.I., SHokin YU.I. CHislennoe modelirovanie kolebanij dissipativno odnorodnyh i neodnorodnyh mekhanicheskih sistem. Novosibirsk: SO RAN. 1966. 188. (in Russian)
[3] Boltaev Z.I. Rasprostranenie linejnyh garmonicheskih voln v protyazhennyh ploskih i cilindricheskih telah s uchetom vyazkouprugih svojstv materiala. Tashkent: FAN. 2013. 136. (in Russian)
[4] Grigorenko A.YA., Efimova T.L., Sokolova L.V. Svobodnye kolebaniya krugovyh cilindricheskih obolochek peremennoj tolshchiny v utochnennoj postanovke. Teoreticheskaya i prikladnaya mekhanika. 2008; 43: 111-117. (in Russian)
[5] Grinchenko V.T., Meleshko V.V. Garmonicheskie kolebaniya i volny v uprugih telah. Kiev: Naukova Dumka. 1981. 284. (in Russian)
[6] Kayumov S.S., Safarov I.I. Rasprostranenie i difrakciya voln v dissipativno -neodnorodnyh cilindricheskih deformiruemyh mekhanicheskih sistem. Tashkent: FAN. 2002. 214. (in Russian)
[7] Kulesh M.A., SHardakov I.N. Volnovaya dinamika uprugih sred. Perm': Perm. un-t. 2007. 60. (in Russian)
[8] Miker T., Mejtcler A. Volnovodnoe rasprostranenie v protyazhennyh cilindrah i plastinkah. Fiz. Akustika. Principy i metody. 1966; 1A: 140-203. (in Russian)
[9] Oliner. Volnovody dlya poverhnostnyh akusticheskih voln. Tr. in-ta inzhenerov po elektronike i radioelektronike. 1976; 64:.51 -55. (in Russian)
[10] Safarov I.I., Boltaev Z.I., Axmedov M.Sh. Natural Oscillations of Cylindrical Bodies with External Friction on the Boundary. Applied Mathematics. 2015; 6: 629-645.
[11] Safarov I.I., Boltaev Z.I., Axmedov M.Sh. Waveguide Propagation in Extended Plates of Variable Thickness. Open Access Library Journal. 2014: 2-9.
[12] Safarov I.I., Boltaev Z.I., Axmedov M.Sh. Dissemination Sinusoidal Waves in of A Viscoelastic Strip. Global Journal of Science Frontier Research: Mathematics & Decision Sciences. 2015; 15(1): 39-60.
[13] Safarov I.I., Boltaev Z.I., Axmedov M.Sh. Ducting in Extended Plates of Variable Thickness. Global Journal of Science Frontier Research: F Mathematics & Decision Sciences 2016; 16(2): 33-66.
[14] Safarov I.I., Teshaev M.Kh., Boltaev Z.I., Axmedov M.Sh. Spread of Natural Waves in Cylindrical Panel. Case Studies Journal. 2015; 4(3): 34-39.
[15] Safarov I.I., Boltaev Z.I., Axmedov M.Sh. Impact of longitudinal and transverse waves by cylindrical layers were liquid. Journal of Multidisciplinary Engineering Science and Technology (JMEST). 2014; 1(4): 273-281.
[16] Safarov I.I.,Teshaev M.Kh., Boltaev Z.I. Wave propagation in visco elastic wedge with an arbitrary angle peaks. International Journal of Research in Engineering and Science (IJRES). 2014; 2(11): 32-37.
[17] Safarov I.I., Teshaev M.H., Boltaev Z.I. Volnovye processy v mekhanicheskom volnovode. LAP LAMBERT Academic publishing. 2012. 217. (in Russian)
[18] Uajt. Poverhnostnye uprugie volny. Tr. in-ta inzhenerov po elektrotekhnike i radioelektronike. 1970; 58(8): 68-110. (in Russian)
[19] Uflyand YA.S. Rasprostranenie voln pri poperechnyh kolebaniyah sterzhnej i plastin. PMM. 1948; 12(3): 287-300. (in Russian)
[20] Shemyakin E.I. Dinamicheskie zadachi teorii uprugosti i plastichnosti. Novosibirsk: Izd-vo NGU. 1968. 337. (in Russian)
[21] Shvec R.K., Marchuk R.A. Kolebaniya ortotropnoj cilindricheskoj obolochki tipa Timoshenko, soprikasayushchejsya so sloem zhidkosti. Mat. metody i fiz.- mekh. polya. 1975; 1: 135-140. (in Russian)
[22] Abramson U.N. Flexural waves in elastic beams of circular cross section. J. Acoust. Soc. Amer. 1957; 29(1).
[23] Esanov N. Q., Saipnazarov J. M. Effect of moving load on a cylindrical shell with an elastic filler. Modern Innovations, Systems and Technologies. 2024; 4(4): 0301 -0309. https://doi.org/10.47813/2782-2818-2024-4-4-0301-0309
[24] Kulmuratov N., Esanov N. Q., Saipnazarov J. M. On propagation of natural waves in viscoelastic media. Theoretical & Applied Science. 2024; 137: 16-21. https://doi.org/10.15863/TAS.2024.09.137.4
[25] Almuratov Sh. Radial vibrations of a viscoelastic spherical shell. Universum: tekhnicheskie nauki. 2022; 3-7(96): 4-8. (in Russian)
[26] Yunusov G.G., Esanov N.Q., Almuratov Sh.N., Ablokulov Sh., Sobirov R. On numerical simulation of vibrations in radio-electronic structures. AIP Conf. Proc. 2022; 2467: 060038.
[27] Esanov N.Q., et al. Natural and forsed osculations of pipelines in contact with the Wincler medium. E3S Web of Conferences. 2023; 411: 01005.
[28] Safarov I.I., Esanov, N.Q., Saipnazarov J.M. Xalilov Sh.F. Kolebaniya ploskoj vyazkouprugoj spiral'noj pruzhiny. Journal of Advances in Engineering Technology. 2024; 3: 67-73. (in Russian)
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ / INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Эсанов Н.^., университет Альфрагануса, N.Q. Esanov, Al-Farghani University, Tashkent,
Ташкент, Узбекистан Uzbekistan E-mail: esanov-7373@mail.ru
Саипназаров Ж.М., Каршинский филиал J.M. Saipnazarov, Karshi Branch of Tashkent
Ташкентского университета University of Information Technologies named
информационных технологий имени after Muhammad al-Khwarizmi, Karshi, Мухаммада аль-Хорезми, Карши, Узбекистан Uzbekistan
Статья поступила в редакцию 21.10.2024; одобрена после рецензирования 18.11.2024; принята
к публикации 18.11.2024.
The article was submitted 21.10.2024; approved after reviewing 18.11.2024; accepted for publication
18.11.2024.