CC BY
15
-►
Моделирование. Математические методы
УДК 621.31 1
Н.И. Гумерова, Б.В. Ефимов
ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН АТМОСФЕРНЫХ ПЕРЕНАПРЯЖЕНИЙ ВДОЛЬ ДВУХПРОВОДНОЙ КОРОНИРУЮЩЕЙ ЛИНИИ
В статье развиваются результаты, полученные в [1]. Рассмотрим общие вопросы расчета распространения волн в «-проводной однородной подлине коронирующей линии. Поперечные размеры фаз линии (с учетом объемного заряда короны вокруг них) много меньше расстояний между фазами. Наиболее естественная запись системы телеграфных уравнений в этом случае — форма, включающая в явном виде заряды на проводах и динамические потенциальные коэффициенты [2]:
ди
ф
дх
д
ф
ддФ, дчф
¿и,!, дд
ф
3/ дх д1 дt
.(1)
где 11ф, 1ф, Цф — «-мерные векторы мгновенных значений фазных напряжений, токов и зарядов на проводах и в окружающем их пространстве; Ь — квадратная симметричная матрица собственных и взаимных индуктивностей проводов.
Считаем, что удельные сопротивления земли и проводов равны нулю и все индуктивные параметры определяются по обычным формулам для системы проводов с радиусами подвешенными над землей на высотах /?,-, а именно: индуктивности проводов
и ^^ 13
Ц0
п,,
2л ^ 2л
взаимоиндукции между проводами
Ц0
М1к ^^ 1П ^ п 2л ^ 2л
(2)
(3)
где (¡¡к — кратчайшее расстояние между /-м и к-ш проводами, Б!к — расстояние между /-м проводом и отражением в земле А:-го провода.
Тогда матрица индуктивных параметров линии будет выглядеть так:
Ь М-
м
Ь-
12
М«1 М«2
М М
Ь
2 и
- 1 =
2л
2л
пп
п„
'2 и
(4)
'«1 п2 ■■■ пп
В дальнейшем помимо фазных напряжений и токов будут рассматриваться независимые моды. Для подчеркивания того факта, что в данном случае имеются ввиду суммарные напряжения, токи и заряды на проводах, введен индекс "ф" (фазные).
В третье соотношение системы (1) входит производная от вектора иф по вектору qф. Соответственно для /-го провода будет уравнение
ди,
ф/
диф( ддф1 диф, дд,
1Ф2
дх ддф1 д? дд, диф, дд,
ф2
д?
(5)
фл
ддФи д?
или в матричной форме (индекс "ф" опущен)
дщ дщ дЪ
ди дд] дЧп д/
д/ дщ дип дЯ„
дя„ д/
= А(Ч) ^. (6)
д/
При принятых допущениях все внедиаго-нальные элементы матрицы А(о) зависят только
от геометрии расположения проводов, а на диагонали находятся функции ди^дщ = а;(<7;), которые определяются из вольт-кулоновыххаракте-ристикдля одиночных проводов (обозначим их дополнительным индексом "д"). Тогда
6 =
ад11 а 12
2ле„
а
а
21
21
л I
а
а
а
I л
12
«1« П ,
л
'/¡1
(7)
2лЕп
-I
9и.
ф
д!
ф
Щф. ^Иф
5Чф ,(8)
дх д1 дх дt 5/ д 5/ где Ь — матрица с постоянными коэффициентами; Ад — матрица, диагональные элементы которой зависят от зарядов цФг
Положим, что аргументы всех искомых напряжений, зарядов и токов имеют вид аргументов запаздывающих функций: £ = ? — х/у, где у — неизвестные скорости распространения волн. Тогда в уравнениях (8) можно перейти к производной по одной переменной ^ [ 1 ]:
о'"® ¥ <ЯФ
— = уЬ——
ф _ (р , ^цф _ д
■ (9)
й?^ й?^ й?^ й?^ й?^ й?^
Из соотношений (9) путем последовательного исключения иф, ¡ф и qф можно получить три выражения для определения у:
1__й?Ц
(ЬА:
Е)—^- = 0;
-Е)
ей,
ф
(Ь-'А-^Е)
= о;
= о,
(11)
(12)
где Е — единичная матрица.
Эти выражения представляют собой системы однородных линейных алгебраических уравнений. Как известно, система «-го порядка имеет п решений, каждое из которых связано с
? ?
собственным значением (1/у;- илиу,- ^собственен® ^ф dqф ным вектором ——, —— или —— соответственно
<
где А,- = Д<7;-) — поправка к логарифмическому множителю собственного потенциального коэффициента коронирующего провода.
Теперь систему (1) можно записать так:
матриц !Ад \ Ад1Ь или Ь_1АД, где /=1,2 ..., п. Собственные значения (СЗ) дают возможные скорости распространения волн у,-, а собственные вектора (СВ) — фиксированные соотношения составляющих искомых величин для каждой скорости у,- на каждом из проводов.
Таким образом, исходная нелинейная система уравнений коронирующей линии (8) сводится к линейной системе для приращений (дифференциалов) от этих переменных:
с!иф = \'Ы\Ф; (1\ф = У£/(1ф; с!иф = АЛ£Л|Ф. (13)
Будем называть составляющие, распространяющиеся со скоростью у,-, модами и введем для них индекс 5. Обозначим собственные вектора через Щ//, Щ/И а матрицы, составленные из них, — \¥у, \¥; и \¥д. Переход от модальных координат к фазным осуществляется с помощью соотношений
<Л1Ф = \\'(Д1Л.; сГ\ф = XV/¿/¡л.; с/цф = (14)
В результате получаем
(ъа;1 - ЛЕ)Х/ = (ЛII1 Е)Х/ =
V? с~ V?
= (II1 - Е)Х = 0;
(15)
(а;1Ь - Е)Х = Е)Х = о; (16)
отн/ 2
(Ь"'АД -у^ЕЖу, = -у^Е^, =0, (17)
где уота; 2 —
с ■
■
Матрицы ЬАдЛ Ад1Ь и Ь_1АД для корониру-ющей линии — вещественные, несимметричные, имеющие (по физическому смыслу) вещественные собственные значения. Назовем эти три матрицы вариантами характеристических матриц коронирующей линии. Соответственно матрицы NN7N1"^ и N"'N3 будем называть
нормированными характеристическими матрицами коронирующей линии.
Для нахождения соотношений между самими модами необходимо ввести начальные (или граничные) условия по координатам I и х. Рассмотрим простейшую задачу этого класса — полубесконечную многопроводную линию, начинающуюся в сечении х = 0 и уходящую в бесконечность. При х = 0 между каждым проводом и землей включены источники ЭДС е! с внутренним сопротивлением Яи. Обозначим как е вектор ЭДС ¿7 и через И — квадратную матрицу, на диагонали которой расположены а остальные элементы равны нулю. Далее будем считать, что волны в точке х = 0 (то есть формы е^г)) имеют фронт конечной длительности с плавным нарастанием напряжения. Для расчета напряжений на проводах при х = 0 необходимо учесть переменное входное сопротивление линии [1].
(кхф = Ък(Аф\ (18)
Ък = \¥(/у \¥(7'Ь = \¥(/Уотн \¥(7'6(Ш =
= W(/v0THW(7lZи/=KíZl,r, (19)
где ZИ/ — матрица волновых сопротивлений не коронирующей линии; Кк = W[/v0THWyl — квадратная матрица, коэффициенты которой определяются СЗ и СВ матрицы NN7'.
Теперь имеем матричные соотношения
= (Л + Ък)(Аф\ <Л1Ф = ЪкАф. (20)
Отсюда
л]ф = гк(к + гкгЧеф. (21)
При отсутствии короны все у,- = с, диагональная матрица уотн = Е, Кк = Е и Ък = ZИ/. В общем случае матрица Ък — квадратная матрица волновых сопротивлений коронирующей линии. Коэффициенты этой матрицы зависят от процесса ко-ронирования, т. е. от зарядов на проводах, и поэтому для каждого момента времени гк определяются всем предыдущим развитием процесса на промежутке времени 0—^ (для незаряженной линии при /= 0). Для полубесконечной линии Ък одновременно является матрицей входных сопротивлений.
На основе полученных выражений в [ 1 ] сформулирован простой алгоритм расчета напряжений при х = 0 и на заданном расстоянии х = хг
Ряд эффектов, вызванных влиянием параллельных проводов многопроводной линии на процесс коронирования одного из них, можно исследовать на примере простейшей модели
двухпроводной линии. Рассмотрим полубесконечную однородную линию, состоящую из первого провода, на котором возможна корона, и второго, где корона отсутствует при любых условиях.
На первый провод при х = 0 через очень малое сопротивление включен источник ЭДС. Второй провод в начале линии может быть или изолирован, или наглухо заземлен. При удалении второго провода на расстояние, которое на порядки больше высот подвеса, распространение волн по коронирующему проводу происходит, как в однопроводной линии. Для выявления механизма влияния второго провода на процесс коронирования можно ввести существенное упрощение. Поскольку уравнения для приращений искомых величин при фиксированной матрице Ад являются линейными, можно рассмотреть следующую линейную задачу: а) корона начинается при напряжении равном нулю; б) динамический потенциальный коэффициент задан постоянным; он меньше геометрического, но не зависит от искомых функций; в) ЭДС на первом проводе при I = 0 скачком изменяется от 0 до некоторого заданного значения (например, 1000 кВ) и далее остается постоянной.
Несмотря на простоту, эта модель точно соответствует уравнениям для приращений напряжений, токов и зарядов, т. е. решению исходной нелинейной задачи на любом шаге по времени, в пределах которого Ад принимается постоянной.
Такую задачу можно физически интерпретировать как двухпроводную линию с одним обычным проводом (под номером 2) и первым проводом двухслойной конструкции с хорошо проводящим сердечником, радиус которого равен радиусу исходного провода, и покрытием из материала с удельным сопротивлением, на порядки превышающим удельное сопротивление сердечника (е = е0 и ц = ц0). Внешний радиус покрытия определяется уменьшенным потенциальным коэффициентом. Поскольку почти весь токтечет по сердечнику, то общая индуктивность провода практически равна индуктивности одиночного сердечника над землей. С другой стороны, почти весь заряд сосредоточен на поверхности покрытия, и общая емкость провода определяется емкостью между поверхностью покрытия и землей.
Рассмотрим процессы коронирования в аналитическом виде с параллельным расчетом для конкретной геометрии расположения проводов линии. Пусть заданы два провода с радиусами
/•[ = г2 = 1 см на высотах кх = к2 = 10 м. Расстояние между ними примем равным Ьх2 = 4 м.
Матрица логарифмов и обратная ей выглядят так:
N =
"7,60 1,63"
1,63 7,60
Э 2 I1 2
' 0,138 - 0,09
^21 ^22 - 0,09 0,138
■ (22)
Х12 2
21
пп 2 ^12
пп ^22
пп 2 ^21
п 511
(23)
Р 2 2
Рп Рп 0 1
2,10 - 0,236 0 1
(24)
т. е. по сравнению с единичнои матрицей изменяется только первая строка, относящаяся к коронирующему проводу. Коэффициенты матрицы Р можно найти аналитически, если воспользоваться свойством перестановки сомножителей при перемножении матриц: N14^1 = (]ЧДГГ1Г' = (^в Г' • Аналитические вы -ражения для первой строки Р выглядят так:
Рп
1 - ^ А,
Рп =
% А1 1 - ^ ,А,
(25)
Получены следующие результаты для матрицы собственных значений (Л) и матрицы собственных векторов, расположенных по столбцам:
Л =
"у 0" "2,10 0"
0 у2 0 1
X 2
Щи Щг
щ21 ™22 _
0,20956 0,97779
(26)
Собственные векторы определяются с точностью до постоянного множителя. Нормировка по наибольшему элементу в столбце дает
Коэффициенты связи между первым и вторым проводом (к12) и между вторым проводом и первым (к2\) для не коронирующей линии следующие:
X 2
"1 0,214" "1 к2]'
0 1 0 1
(27)
Отметим, что равенство коэффициентов связи, вычисленных через матрицу логарифмов и обратную матрицу, верно только для двухпроводной линии.
Примем, что первый провод интенсивно ко-ронирует, а именно, А, = 0,5«п = 3,80, что по формулам аппроксимации вольт-кулоновых характеристик для одиночного провода соответствует превышению критических значений по напряжению — в 3,09 раза, по заряду — в 4,35 раза, т. е. вполне реальный случай для грозовых поражений высоковольтных линий (ВЛ). Матрица, для которой нужно вычислять СЗ и СВ, равна
Можно отметить, что в [ 1] выражение (24) получено аналитически, при этом второй элемент первой строки (к2\) нужно вычислять как коэффициент связи между вторым и первым проводом, т. е. определять потенциал на оси первого провода, созданный зарядом второго (не коронирую-щего) провода. Отсюда следует, что матрица \¥ не зависит от наличия и интенсивности короны.
ЛА ния легко получить из (14) как нули определителя однородной системы алгебраических уравнений:
ае!(Р -у Е) 2 ае!(Р —Е) 2 0. (28)
отн/
Поскольку р2х = 0, определитель (25) равен (р{, -)(1 -= 0. Отсюда%2= У, уотн2 = 1,р2 = с, т. е. вторая мода не зависит от наличия короны и соответствующие волны напряжений, токов и зарядов распространяются как в обычной однородной линии без потерь. Для первой моды
1
Ь\=Р\ 1><ТН1 = — = 1 А
1 отн!
= л/1 —у, ,А, Рп -------- ^
Для рассматриваемой геометрии двухпроводной линии расчет по VА~1 или (29) дает совпадающие результаты: уотн1 = 0,670, т. е. скорость распространения волн, отвечающих первой моде, примерно на треть меньше с.
Теперь необходимо найти составляющие, которые соответствуют обеим модам на каждом из проводов, т. е. по четыре значения напряжений, токов и зарядов.
В рассматриваемой линейной задаче составляющие напряжений, бегущие по проводам со скоростями у и с, будут такие [ 1]:
•фу
'Ф1
^21Мф2
=
к21 ^ф 2 Мф2
(30)
Это один из основных результатов, полученных в [1]. Волна, бегущая со скоростью меньше скорости света, распространяется только по ко-ронирующему проводу (второй элемент столбца Цфу всегда равен нулю). Волна, бегущая со скоростью с, в зависимости от начальных условий при х = 0 может распространяться по обоим проводам.
При заданных напряжениях токи и заряды находятся по обычным формулам через матрицы волновых сопротивлений и потенциальных коэффициентов.
Для вычисления токов и напряжений в начале линии необходимо вычислить матрицу ZИ/волновых сопротивлений некоронирующей линии, матрицу Кк, матрицу Ък волновых сопротивлений коронирующей линии и задать матрицу И:
а = 601=
456,1 97,74 97,74 456,1
Кк = 2
0,670 0,0665 0 1
(31)
(32)
а - -
(33)
к,
готн1 ^2]0--готн]) 0 1
(34)
41
1
- V л =
> оттг
<Д1
ч и
'И'11 чтгн!
■ (36)
Осталось задать матрицу И. Рассмотрим два варианта:
а) в начале линии на провод 1 через очень малое сопротивление подана постоянная ЭДС ех = = 1000 кВ; второй провод прих= 0 наглухо заземлен;
б) в начале линии на провод 1 через очень малое сопротивление подано напряжение 1000 кВ; второй провод при х = 0 изолирован; внешняя ЭДС на него не подается (е2 = 0).
В варианте а влияние второго провода можно рассматривать как некоторое приближение земли к коронирующему проводнику, или снижение высоты его подвеса. При прочих равных условиях заряд провода, а также его суммарная емкость на землю и заземленный проводник растут. Корона начинается раньше и развивается более интенсивно. Пусть И = 0. Тогда матрица, определяющая переход от вектора еф к напряжению на проводах (иф), будет такой:
= г,(К + г,Г,еф=К„еф =
321,0 97,74 97,74 456,1
Как видно из сравнения (31) и (33), в матрице Ък три элемента не зависят от наличия короны. Изменяется только собственное волновое сопротивление коронирующего провода. Путем аналитических преобразований можно получить формулы для вычисления первой строки Кк и 1к\\, а именно:
- ЪкЪк еф -
1000 о
Теперь по (29) можно найти составляющие мод напряжений на проводах (кВ):
1000" "0"
^Ф V 0 : иф. = 0
т. е. все напряжение распространяется, как и в однопроводном случае, по первому проводу со скоростью V.
Моды токов на проводах при этом следующие (кА):
I =^и1|[уотн1 + ^И^ИС1 — ^отш)]- (35) Ч
3,332 - 0,714
3,332 - 0,714
Из (29) и (35) получаются простые формулы для вычисления скорости распространения и волнового сопротивления одиночного коронирующего провода как функции поправки к пхх. Если обозначить первый элемент матрицы логарифмов как «д[ 1 = пи — А, и учесть, что одиночный провод можно представить какдвухпровод-ную линию с кх2 = к1х = 0, то получим
Заряды на проводах (Кл/м):
16,1-ю-6
= А;иф.10л =
-3,45 -10"
Чф„ =Ад Чф,-"10' =
16,1-ю-6
- 3,45 -10н
"0"
; чФ, 0
Существует хорошая проверка токов и зарядов. Должно сохраняться условие, что ток равен заряду, умноженному на скорость распространения волн. Действительно: /ф2 = <7ф2у0тн1с = = -3,45-0,67-3-108 = - 0,714. Однако линейная А
жения от нуля до максимума не может дать правильное значение заряда на коронирующем проводе, вычисленного по вольт-кулоновой характеристике. Поэтому в конце расчета заряд на первом проводе оказался примерно в четыре раза больше, чем рассчитанный по алгоритму с плавным нарастанием напряжения на фронте волны и постепенным уменьшением потенциаль-
А
исходной нелинейной задачи полученные результаты могут использоваться только для малых приращений искомых величин.
В рамках линейной модели можно сравнить заряд на первом проводе двухпроводной линии с одиночным коронирующим проводом. В последнем случае (612 ^ да) получим цх = 14, !• Ю-6 Кл/м, т. е. заземленный провод приводит к увеличению заряда на коронирующем на 14 %. Другим фактором является заряд противоположного знака, распространяющийся по заземленному проводнику. С оговорками на линейную постановку можно предполагать, что тонкий грозозащитный заземленный трос может коронировать из-за наведенного напряжения при прорыве молнии на фазный провод. Если на проводе отрицательное напряжение создано молнией, то на тросе будет положительный заряд, что дополнительно усилит интенсивность коронирования. По крайней мере, в алгоритме расчета деформации волн в многопроводной линии нужно учесть такую возможность.
Более сложной оказывается физика распространения волн при изолированном параллельном проводе, что будем имитировать включением сопротивления, равного Ю10 Ом, между вторым проводом и землей. Считаем, что провод тонкий и не искажает поле первого провода. В пренебрежении концевым эффектом при х = 0 и при напряжении, меньшем напряжения короны, заряд второго провода равен нулю, и этот провод принимает потенциал точки в поперечном сечении линии, расположенной на его оси. При А ^ 0 картина поля изменяется. Теперь матрица активных сопротивлений на входе линии и
матрица перехода от ЭД С к напряжениям на проводах следующие:
К
0 0 0 10к
к = ^(к+аг =
1 0 0,3045 0
МФ1 "1000"
Мф2 304,5
Первый элемент второй строки матрицы К„ является коэффициентом связи между первым (коронирующим) и вторым проводом. Можно аналитически показать, что он вычисляется по обычным формулам для коэффициентов связи через элементы матриц Zí. и \к = Zí71 (последнюю назовем матрицей волновых проводимостей ко-ронирующей линии):
к 2 ки
кк\2 -
Ук\1
2 0,3045
2кП Ук 22 Причем вычисление через проводимости верно для произвольного числа проводов. Нужно только вместо первого индекса подставить номер коронирующего провода, а вместо второго индекса — номер провода на котором определяется наведенное напряжение.
Коэффициент ккх1 в данном случае почти в полтора раза больше геометрического коэффициента связи. Это необходимо учитывать при расчетах наведенных напряжений на проводах, что особенно важно при анализе грозозащиты подстанций от волн, возникающих при обратных перекрытиях на ВЛ.
Поскольку теперь не равны нулю оба напряжения на проводах, то оказываются не равными нулю и обе моды напряжений:
Мф1 ^21Мф2 0
1000 - 0,214 • 304,5 0
935,75" 0 ,
=
^21 ^ф 2 "64,75"
иф2 304,5
(37)
Следует подчеркнуть, что в (37) входит коэффициент связи между вторым и первым проводом для некоронирующей линии. Токи, соответствующие обеим модам, в этих проводах будут такими:
'ф
3,115 О
■ф.' и4
3,115 - 0,668
0
0,668
Заряды на проводах (Кл/м):
ЧФ =
15,1 -10"6 -1,001-10"
%с
: ЧФ„ =
15,1-10 - 3,226 -10"
0
2,225 -10"
Каждая составляющая волны, соответствующая той или иной моде, распространяется со своей скоростью. В рассматриваемом примере скорость, отвечающая первой моде, составляет 0,67 с, поэтому для любого момента времени распределение напряжения на каждом из проводов вдоль линии таково:
есть часть линии, по которой без искажений пробежала волна со скоростью с;
примерно на две трети этого участка, накладываются волны, бегущие со скоростью V. При постоянной ЭДС на входе линии, скачком возникшей в точке х = 0 в момент времени / = —0, со временем эта картина только растягивается по длине линии, оставаясь без изменений по величинам напряжений, токов и зарядов.
Введем относительные длины. Расстояние, до которого в рассматриваемый момент добежала волна второй моды (х = сг), примем равным х(, = 1, т. е. х(, = х/с. Тогда составляющая, отвечающая первой моде, займет участок линии х = л или в
относительных координатах ху
чуш!
. Отрезок
линии, на котором существует только более быстрая волна, соответствующая второй моде, ра-вс н Хе_у.............—— .а у.
Соответствующие графики для случаев заземления и изоляции от земли второго провода в начале линии даны на рис. 1. Случай, когда по проводам бегут только волны со скоростью V, не требует комментариев. Во втором случае по ко-ронирующему проводу распространяются обе составляющие. На втором проводе вся волна напряжения, возникшая в точке х = 0, движется только со скоростью с. Это приводит к тому, что на нем в непосредственном виде отсутствует напряжение первой моды. Этот вывод неочевиден,
поскольку кажется, что составляющая, бегущая со скоростью у в первом проводе, не влияет на процессы во втором. Это не так. Напряжение в точке х = 0 значительно больше, чем при отсутствии короны (ккх1 > А:12), и определяется с учетом обеих мод. Это напряжение (здесь лучше говорить об электромагнитной волне, для которой провод без потерь служит только направляющей) обязано распространяться со скоростью с. Нет причин, которые бы замедлили этот процесс в идеальном диэлектрике, идеально проводящих проводах и земле. Для таких проводников отражения и преломления волн могут возникать только в местах неоднородности многопроводной линии. По крайней мере, в линейной постановке задачи вся линия, даже с учетом изменения потенциального коэффициента первого провода по сравнению с геометрическим значением, — однородная. Точка ху для второго провода в этом смысле не является особой. Волны напряжения и тока на нем в этой точке непрерывны. Наоборот, на участке хс_х, в предположении, что = 0, возникает неуравновешенная система напряжений. Поддержать непрерывность напряжения в точке ху может только заряд того же знака, что и на первом проводе. Но последний возникает на первоначально незаряженном проводе только из-за разделения зарядов на участках ху и хс_г
Действительно, расчеты процессов на втором проводе показывают, что научастке хутоки обеих мод равны по амплитуде, но ток второй моды имеет обратный знак; на всем участке, как и в точке х= 0, суммарныйтокравен нулю.
Заряды мод также имеют разные знаки, но заряд второй моды по модулю больше, что следует из соотношения |/у1| = |/у2|:
(
М = ■
\Л Г
\\
ЯМ = -
Именно замедление волны первой моды по сравнению со скоростью света приводит к избыточному отрицательному погонному заряду на втором проводе на участке ху (при положительной волне ихЛ). Научастке хс_х, возникает положительный погонный заряд. Суммарный заряд всего провода, как это и должно быть в изолированном проводнике, равен нулю. Таким образом, на любом участке линии система напряжений, токов и зарядов оказывается уравновешенной.
Второй провод при л =0 заземлен (осоставляющая отсутствует)
Второй провод прих=0 изолирован (распространяются с-и у-составляющие)
Токи
(1)
1у2
©
1С2
£
Ь
1у2
О
(1)
Заряды
%
0
(1)
/%2
/ Ь
х.% ~ а
Рис. 1. Составляющие напряжений, токов и зарядов в линейной модели коронирующей двухпроводной линии
Суммарный заряд первого провода больше, чем у одиночного коронирующего проводника. Этот заряд должен быть такой величины, чтобы компенсировать влияние распределенного отрицательного заряда на участке ху для выполнения условия равенства нулю суммарного тока второго проводника на этом участке. На участке xc_v напряжение на первом проводе можно рассматривать как наведенное самостоятельной волной напряжения, тока и заряда второго провода. Это напряжение рассчитывается, как в обычной системе проводников без потерь. При этом соблюдается непрерывность волны исХ в точке xv.
Вообще влияние второго изолированного провода на интенсивность короны на первом имеет сложный характер. Суммарный заряд коронирующего провода больше, чем у одиночного проводника, но меньше, чем в случае заземленного второго провода. При наличии изолированного второго проводника независимо от уровня напряжения появляется составляющая, распространяющаяся без искажения; такая составляющая не возникает при превышении напряжением критического значения в одиночном проводнике. Короной деформируется только часть волны напряжения, но зато деформируется сильнее.
Отмеченное выше полностью применимо к конечным приращениям и их модальным составляющим для искомых величин в исходной нелинейной задаче. Считаем, что, как и ранее, коро-нирует один (первый) провод. По сравнению с линейной задачей изменения состоят лишь в постепенном увеличении влияния короны по мере нарастания волны напряжения (и заряда) на первом проводе. Наиболее наглядно процесс деформирования импульсов грозовых перенапряжений виден в случае волн с постоянной крутизной в пределах фронта и u(r) = const после его окончания, т. е. волн с так называемым косоугольным фронтом. Была задана волна отрицательной полярности с амплитудой —1200 кВ. Длительность фронта — 1 мкс.
Геометрические параметры линии такие же, как и в линейной модели: оба провода радиусом 1 см подвешены на высоте 10 м. Расстояния ЬХ1 между проводами задавались равными 2,4,8,16 м, а также 1000 м. В последнем случае имитировалась однопроводная линия. Критическая напряженность электрического поля, напряжение
начала короны и критический заряд, рассчитанные по [1] для одиночного провода, оказались следующими: £кр1 = —32,0 кВ/см; <7кр1 = = —1,778-Ю-6 Кл/м; 11крХ = -243,3 кВ. За независимую переменную принимался заряд, накапливающийся на проводе и вокруг него по мере роста напряжения грозовой волны, что и определяло поправку кдинамическому потенциальному коэффициенту А, по формулам, приведенным выше.
Результаты расчетов по изложенному выше алгоритму деформации фронтов волн после пробега х = 3 км на первом проводе приведены для случая заземления второго провода при х = 0 на рис. 2, я, для изолированного второго провода — на рис. 2, б. Соответствующие начальные части кривых напряжений приведены на рис. 3, я, б. На рис. 3, е, г даны графики снижения относительных скоростей распространения приращений напряжений на участках фронта — от напряжения начала короны до конца ее действия, т. е. до / = 1 мкс (для удобства анализа отрицательная часть оси напряжений на дальнейших рисунках направлена вверх; кривые напряжения в начале линии и для х= 3 км при и < 11кр совмещены).
Из рис. 3, я видно, что по мере сближения проводов начало короны сдвигается вниз. Это объясняется влиянием положительного заряда, подтекающего из земли на второй провод, который компенсирует внешнее поле первого провода на оси второго (согласно условию и2 = 0). Тот же фактор приводит и к усилению деформации фронта. По коронирующему проводу распространяется только у-составляюгцая напряжения; е-составляющая равна нулю. Вариант для ЬХ1 = = 2 м приведен только в методических целях. Реальные расстояния для линий 110 кВ и выше — по горизонтали от 4 м и более. По данным, приведенным на рис. 2, можно считать, что наличие заземленного (и тем более изолированного) второго провода существенно влияет при ЬХ1 = 4 м, заметно сказывается при ЬХ1 = 8 м, практически не влияет при ЬХ1 = 16 м. Для стандартных линий 110 кВ с горизонтальным расположением проводов расстояние между соседними фазами составляет около 4 м. Следовательно, в расчетах распространения грозовых волн по крайним проводам нужно учитывать только ближайший провод, а при поражении молнией средней фазы бестросовой линии 110 кВ — влияние обеих крайних
Рис. 2. Деформация косоугольной волны на первом проводе двухпроводной линии (второй провод при х = 0 заземлен (а) либо изолирован (б) 1 - Ьп = 2 м; 2 - Ьп = 4 м; 3 - Ьп = 8 м; 4- Ьп = 16 м; 5 - Ьп = 1000 м
Рис. 3. Деформация начальной части фронта волны на первом проводе двухпроводной линии (а, б) и относительные скорости распространения приращений напряжений (в, г) при заземленном (а, в) либо изолированном (в, г) втором проводе 1 - Ьп = 2ж 2- Ьп = 4 м; 3 - Ьп = 8 м; 4- Ьп = 16 м; 5 - Ьп = 1000 м
фаз. Для бестросовых линий 330 кВ с характер- В двухпроводном варианте ВЛ сдвиг вниз ным расстоянием между фазами 8 м влиянием со- напряжения начала короны можно объяснить седних фаз вообще можно пренебречь. исходя из простейшей схемы замещения емкост-
ных связей. Как легко проверить аналитически, в случае изолированного второго провода параллельное сложение емкости первого провода на землю и цепочки из двух последовательно включенных емкостей дает обычную полную емкость одиночного провода на землю: СцС 1
кт 2
42
42
с,=с11+-
" 12^ 22 С] 2+С22
■. При заземлении второго
провода одна из емкостей закорачивается и увеличивается суммарная емкость первого провода на землю и второй провод — она равняется С\ = Сп + С12. Но сумма всех частичных емкостей на землю и остальные провода является собственным коэффициентом электростатической индукции, который с точностью до множителя 2ле0 равен коэффициенту ^, матрицы Б. Поэтому при вычислении напряжения начала короны (при наличии заземленного второго провода) вместо обычной формулы для критического значения напряжения на проводе
2 Г1@кр1 Уп и 2 Г1@кр1И11
нужно применять
2 Г\@щ>\'
(38)
(39)
г*и ^тн1 + к21к120 - ^тн 1) V,
(40)
отн!
Результаты расчета начала короны по (39) и по общему алгоритму деформации волн полностью совпадают. Естественно, что до момента начала короны при незаряженном изолированном втором проводе все процессы в первом происходят как в однопроводной линии, и на начало короны второй провод не влияет (рис. 2, б иЗ, б).
Далее, второй провод влияет на скорость распространения волн, на волновое сопротивление коронирующего провода и на коэффициенты связи между коронирующим и вторым проводами. Выражение (29) содержит вместо 1 /пп коэффициент |, что и учитывает влияние второго провода. Более сложное выражение получается для волнового сопротивления (35). Для однопроводной линии коэффициенты связи со вторым проводом равны нулю, и (35) превращается в гкп= г№иУот1. Все остальные коэффициенты матрицы Zí. от коронирования не зависят. Коэффициент связи между коронирующим первым проводом и изолированным вторым можно определить выражением
В (40), как и в предыдущих случаях, знак приближенного равенства означает пренебрежение влиянием второго провода.
При изолированном втором проводе кроме у-составляющей заметную роль играет е-составля-ющая, которая возникает для каждого из приращений напряжения. Максимальное запаздывание е-составляющей для последнего приращения (перед переходом к горизонтальному участку) равно длительности фронта (в рассматриваемом случае — 1 мкс). Появление составляющей, которая распространяется без искажения, приводит к некоторому повышению деформированного фронта волны по сравнению с однопроводным случаем. Поскольку по мере роста напряжения влияние короны усиливается, то увеличивается и доля е-составляющей в приращениях. Кривая напряжения на участке после начала короны и до /= 1 мкс имеет вогнутый характер, что заметно на рис. 2, б. Процессы в двухскоростной модели распространения волн имеют сложный характер. С одной стороны, некоронирующий провод создает дополнительный канал, волны в котором должны распространяться без искажений и потерь. С другой,—распределенный заряд противоположного знака, обусловленный разными скоростями распространения волн тока на втором проводе, усиливает действие короны. Это приводит ктому, что кривые напряжений для х = 3 км пересекаются при разных расстояниях между проводами.
Характерные данные, показывающие интенсивность короны в двухпроводной линии приведены в таблице.
Как видно из нее, приведенные величины заметно изменяются по мере сближения первого и второго проводов. Существенные отличия в деформации волн на рис. 2, 3 при различных Ьп определяются изменениями напряжения начала короны, суммарного заряда на коронирующем проводе, относительной скорости распространения у-составляюгцей, волнового сопротивления. При изолированном втором проводе дополнительно нужно учитывать наличие е-составляющей.
Сопоставление с расчетами, выполненными по точной и приближенной (40) формулам для 1/оти < 5 и (30ТН <10, показывает, что погрешности пренебрежения вторым слагаемым в знаменателе
не превышают 1 %. Поэтому расчет деформации волн на коронирующем проводе в двухпроводной линии можно вести, как в однопроводной, используя напряжение в качестве независимой переменной. Однако скорости волн и волновые сопротивления коронирующего провода нужно считать с учетом обоих проводов. На рис. 4, 5 приведены результаты расчетов по полному алгоритму [1] для волн с фронтами, нарастающими по экспоненте. Видно, что здесь описанные выше эффекты сохраняются, но в более сглаженной форме.
Перейдем к анализу варианта коронирова-ния обоих проводов. К таким случаям можно отнести:
прорыв молнии на провода. Коронирует пораженный провод и ближайший (единственный) грозозащитный трос, который может быть в месте разряда молнии как изолирован (удар в пролете), так и заземлен через сопротивление заземления опоры (удар в опору или вблизи от нее);
двухфазное перекрытие в месте удара. Тросы отсутствуют или напряжение на фазах недостаточно для начала короны на тросах;
удар молнии в опору с одним тросом, сопровождающийся обратным перекрытием на фазный провод. Волна распространяется по этому тросу и проводу. Оба могут коронировать;
удар в опору с двумя тросами. Перекрытие на провода не происходит. Корона возникает на обоих тросах, а на изолированных проводах заряды остаются ниже критических.
Вопрос о степени влияния остальных (неко-ронирующих) проводов не рассматривается. Решение для СЗ и СВ будем находить из матричного уравнения для зарядов
(АЬ-'-^Е)^-
а'
= 0.
Матрица потенциальных коэффициентов при сохранении допущений об отсутствии взаимного влияния проводов будет такая:
А =
1
2ле,
-ЩЧхЯг ) =
1
2ле„
«и "А1
п
«Т) п
'-0 о
АА
ки, вычисляемые с учетом возможной короны одинаковой или разной полярности и связанные только с зарядом соответствующего провода.
Раскрывая (АЬ_1 - vfЕ), получим АЕ
-V' Е =
с~ (1 - 9) - V
2 д
С ^ ^ ■у дд ■у
с ^ 2д,
С-(1 - Иу±9) - V
2 С
(1 ) - ,д,
С
2А2
512 Д1
(1 —'—) - я22 А,
А
А
только коэффициенты второй строки. Введем обозначение
к,,
1 — у1/С1.
(41)
Тогда СЗ определяются из условия равенства нулю определителя, то есть
(к - 9 )(ку - 9) - 4= ° (42)
Изменение основных параметров, определяющих интенсивность процесса коронирования одного провода двухпроводной линии
Второй тоовод з^емлен Второй тоовод изотарован
¿2, М при и = 1200кВ при и = 1200кВ; = 243,3 кВ
ик1, ], кВ 4 1ШХ, Кл ^отн тш "к 1,1 тш 41 тах ^отн тт " 1,1 тш Хк12 тах X к12тах К
2 220,8 20,3 0,535 263,7 16,4 0,566 276,4 0,499 0,303 1,65
4 232,1 17,4 0,587 276,5 15,8 0,600 281,8 0,346 0,214 1,62
8 239,1 16,0 0,614 282,8 15,5 0,618 284,6 0,209 0,130 1,60
16 242,3 15,5 0,624 285,4 15,3 0,625 285,8 0,099 0,062 1,60
да 243,3 15,3 0,627 286,1 15,3 0,627 286,1 - - -
Рис. 4. Деформация фронта стандартной волны на коронирующем первом проводе двухпроводной линии (второй провод заземлен) 1 - Ьп = 2 м; 2 - Ьп = 4 м; 3 - Ьп = 8 м; 4 - Ьп = 16 м; 5 - Ьп = 1000 м
и, кВ
-1000
-500
Рис. 5. Деформация фронта стандартной волны на коронирующем первом проводе двухпроводной линии (второй провод изолирован) 1 - Ьп = 2 м; 2 - Ьп = 4 м; 3 - Ьп = 8 м; 4 - Ьп = 16 м; 5 - Ьп = 1000 м
Решение квадратного уравнения (42) дает два значения кх,(Х 2) и соответственно скоростей ух и vъ которые могут существовать при заданных А, и А2. Рассмотрим случай двух одинаковых проводов, подвешенных на одинаковой высоте. При АА
получим
X - 2лп 9 + ^п9 - 9 ^ 0.
Корни уравнения
Ко,2) = ^2
2 * 1А1
( * л 1+^
V
= 5иА,(1±А:св12),
М1У
где А;св12 — коэффициент связи, определяемый при отсутствии короны.
Подставляя кх,(Х2) в выражение (41), получим
41,2)
Ы1 - 5п "9 (1 ± 2)
При А;св12 = 0 формула для у(12) переходит в выражение (29) для случая коронирования одного провода. Обозначим эту скорость через у0, т. е. при А:св12 = 0 имеем ух = у2 = у0. При заданных условиях и при ксвХ2^0 двухпроводная линия может рассматривается как одна фаза с очень глубоким расщеплением. Появляются две скорости, одна из которых больше, а другая меньше скорости в однопроводной коронирующей линии.
Рассмотрим матрицу СВ, подставив кхЛ и кх,2 в систему уравнений для определения собственных векторов:
5ПА1(1±ков12)
% 9
% 9
51А(1±ксв12)-511А1
X
0(1.2)
X
= 0,
02(1,2) _
или, подставляя выражение А:св12 = — 512Ап и со-
А
512, получим
2 0.
"± 1 1" Х0(1,2)
1 +1 Х02(1,2)
Из любой строки получим \Удц
Щи и
ную матрицу не зависящую от зарядов на проводах:
X =
1 1 1 - 1
1Уд21 = —^22- Одинаковые знаки относятся к большей скорости, а противоположные — к меньшей. Полагая 1¥дХ 1 = 1 и = 1, получим пол-
Аналогичные выкладки можно получить и для матричного уравнения напряжений. Для двухпроводной линии имеем две моды. Первой (назовемее "двапровода — земля") соответствует распространение волны с меньшим искажением, чем в однопроводном случае. Второй моде ("провод — провод") — с большим искажением. В этом смысле действие короны противоположно влиянию потерь в земле, где канал "все провода — земля" вносит наибольший вклад в общее затухание процессов. С точки зрения физической теории этот факт тривиален. Суммарный заряд двух электромагнитно связанных проводов меньше удвоенного заряда двух одиночных линий. При прочих равных условиях корона на каждом из проводов двухпроводной линии развивается слабее, т. е. такая линия по сути есть фаза с очень глубоким расщеплением.
При синхронном развитии процессов на обоих проводах волны в канале "провод — провод" не возникают, и все процессы полностью определяются каналом "два провода — земля". На рис. 6 приведены результаты расчетов по программе, реализующей модальный метод для любой конфигурации линии. Видно, что даже при большомрас-стоянии между проводами, сравнимом с высотой их подвеса, влияние короны заметно ослабляется по сравнению с одиночными проводами. Вопросы искажения волн при разных напряжениях на проводах и грозозащитных тросах нагляднее рассматривать при числе проводов более двух, что выходит за рамки настоящей статьи.
Выполнен подробный анализ распространения двух мод волн в двухпроводной коронирующей линии.
Показано, что наиболее сложным с физической точки зрения является случай изолированного второго провода, в котором из-за действия короны на первом происходит процесс разделения зарядов, распространяющихся вдоль линии с двумя скоростями.
Показано, что при одновременном корони-ровании двух проводов действие короны существенно ослабляется.
U, кВ
X a 0
4 -
3 74/ I
X a 3000 м
-1000
-500
8
t, мкс
Рис. 6. Двухпроводная линия с двумя коронирующими проводами при разных расстояниях между ними
1 -Ъ
12 '
1000 м; 2-6,
16 м; 3 - Ьп = 8 м; 4 - Ь,
■ 4 м
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ефимов Б.В. Грозовые волны в воздушных линиях. Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 2000. 134 с.
2. Костенко М.В., Кадомская К.П., Левиншгейн МЛ., Ефремов И.А. Перенапряжения и защита от них в
воздушных и кабельных электропередачах высокого напряжения. Л.: Наука, 1988. 301 с.
УДК 621.389
A.M. Прохоренков
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ РАСПРЕДЕЛЁННОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЕМ ГОРОДА
Вопросам внедрения ресурсосберегающих технологий в современной России уделяется значительное внимание. Особенно остро эти вопросы стоят в районах Крайнего Севера. В качестве топлива для городских котельных используется мазут, который доставляется железнодорожным транспортом из центральных регионов России, что существенно повышает стоимость вырабатываемой тепловой энергии. Продолжительность
отопительного сезона в условиях Заполярья на 2—2,5 месяца длиннее по сравнению с центральными районами страны, что связано с климатическими условиями Крайнего Севера. При этом теплоэнергетические предприятия должны вырабатывать необходимое количество теплоты в виде пара, горячей воды при определенных параметрах (давление, температура) для обеспечения жизнедеятельности всех городских инфраструктур.
