Особенности применения системы GeoGebra при изучении темы "задачи с параметрами" Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

Педагогика

УДК: 378

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, информатики и естествознания Войтенко Татьяна Юрьевна

Лесосибирский педагогический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Сибирский федеральный университет» (г. Лесосибирск); студент Седых Анастасия Александровна

Лесосибирский педагогический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Сибирский федеральный университет» (г. Лесосибирск)

ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ СИСТЕМЫ GEOGEBRA ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «ЗАДАЧИ С

ПАРАМЕТРАМИ»

Аннотация. В статье приведены примеры использования интерактивной среды GeoGebra в обучении на профильном уровне алгебре и началам математического анализа в старшей школе. Возможности среды GeoGebra демонстрируется на примерах решения задач с параметрами. Решение каждого примера рассматривается как в аналитическом виде, так и в геометрическом, в среде GeoGebra. В статье приведен также анализ изложения теоретического материала по теме «Задачи с параметрами» в школьных учебниках различных авторов.

Ключевые слова: задачи с параметрами, профильный уровень, старшая школа, алгебра и начала математического анализа, ЕГЭ, интерактивная среда GeoGebra.

Annotation. The article gives examples of the use of the GeoGebra interactive environment in learning at the profile level of algebra and the beginnings of mathematical analysis in high school. The capabilities of the GeoGebra environment are demonstrated on examples of solving problems with parameters. The solution of each example is considered both in analytical form and in geometric, in GeoGebra environment. The article also analyzes the presentation of theoretical material on the topic "Problems with parameters" in school textbooks of various authors.

Keywords: the tasks with parameters, the profile level, the high school, the algebra and beginning of mathematical analysis, EGE, the interactive environment GeoGebra.

Введение. Целью большинства исследований математического образования является ответ на вопрос «как лучше преподавать математику?". Однако «преподавание только с говорением» является традиционным подходом и он недостаточен, поскольку этот подход игнорирует когнитивные способности и самосовершенствование каждого ученика. Многие исследователи считают идеальной средой обучения различные интерактивные, мультимедийные программы. Примером такой программы является GeoGebra. Это динамическое математическое программное обеспечение для всех уровней образования, которое объединяет геометрию, алгебру, электронные таблицы, графику, статистику и исчисление в одном удобном пакете [1]. В школе данная программа может использоваться для построения и демонстрации графиков функций, геометрических чертежей. Моделирование способствует глубокому пониманию математических понятий, демонстрирует применимость математики к реальной жизни, а также способствует изучению новых математических понятий.

Изложение основного материала статьи. Тема «Задачи с параметрами» является одной из сложных в школьном курсе алгебры и начал анализа. Она встречается в ЕГЭ по математике профильного уровня и оценивается по максимальному баллу. Многие учебники базового уровня не включают в содержание данную тему, именно поэтому анализ учебного материала мы проведем исключительно на основе учебников с углубленным изучением математики.

1. А.Г. Мордкович и др. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс, в 2 ч.

а) Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень).

Учебник предназначен для углубленного изучения алгебры в 11 классах общеобразовательной школы.

Изложение материала представлено подробно, что дает возможность, по мнению авторов, даже обучающимся самостоятельно, в домашних условиях, усвоить материал. Учебник содержит 6 глав. Тема «Задачи с параметрами» изучается в конце курса и содержится в 6 главе «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств». Разбор данной темы в учебнике позволяет учащимся получить некоторое представление о решении уравнений и неравенств с параметрами. В учебнике приводится определение уравнения с параметром, а также рассмотрено 4 примера с подробным решением: 3 примера уравнений и 1 пример неравенства с параметрами. Таким образом, неравенствам с параметрами уделяется недостаточно внимания, совсем не рассмотрены системы уравнений (неравенств) с параметрами и трансцендентные уравнения (неравенства) с параметрами. Хотелось бы отметить, что в учебнике того же автора, но базового уровня данная тема повторяет тему из учебника профильного уровня слово в слово.

б) Часть 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень).

Задачник содержит большое количество упражнений. В каждом параграфе представлены задания трех

уровней сложностей. Задачник имеет дополнительный раздел «Дополнительные задачи», здесь представлены задания с нестандартными формулировками. Все представленные в задачнике упражнения параграфа «Задачи с параметрами» не относятся к простому уровню сложности, то есть это задачи либо среднего уровня сложности, либо трудные.

На наш взгляд, соотношение учебного материала по теме «Задачи с параметрами» в учебнике и задачнике неравноценное. Обучающиеся, изучив теоретический материал и примеры, представленные в учебнике, в полной мере не смогут освоить способы решения задач с параметрами; очевидно, что потребуется помощь со стороны учителя.

2. Н.Я. Виленкин и др. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций (углубленный уровень).

Данный учебник направлен на углубленное изучение алгебры школьного курса. Учебник включает в себя также и задачник. Излагаемый в книге материал по объему больше, чем предусмотрено требованиями ФГОС среднего общего образования (это отмечают авторы). Учебный материал отличается строгостью

изложения, содержит большое количество упражнений повышенного уровня сложности. Книга содержит 6 глав. Тема «Уравнения и неравенства с параметрами» рассмотрена во второй главе «Показательная, логарифмическая и степенная функции» и содержит информацию о рациональных, иррациональных, трансцендентных уравнениях и неравенствах с параметрами. В учебнике дается общее понятие об уравнениях и неравенствах с параметрами, определение решения уравнения (неравенства) с параметрами и определение трансцендентных функций, а также описан в самом общем виде способ решения уравнений (неравенств) с параметрами.

В учебнике разобрано большое количество примеров по теме «Задачи с параметрами». Примеры разобраны лаконично, но со всеми необходимыми пояснениями; простейшие преобразования подробно не расписаны, но это и не обязательно для учебника с углубленным изучением. После перечисленного материала следует ряд упражнений для самостоятельного решения.

3. С.М. Никольский и др. Алгебра и начала математического анализа. Учебник 11 класс (для классов с углубленным изучением математики).

Учебник соответствует федеральным компонентам государственного стандарта общего образования по математике и содержит материал как для базового, так и для профильного уровня. Учебник также включает в себя задачник. Содержание учебника делится на 3 главы. Для каждой темы имеется достаточное количество упражнений. Учебный материал представлен в порядке возрастания сложности рассматриваемых тем: от более легких к более сложным. Тема «Уравнения, неравенства и системы с параметрами» рассматривается в конце второй главы и помечена звездочкой, что соответствует уровню повышенной трудности. Данная тема включает в себя 4 пункта: «Уравнения с параметром», «Неравенства с параметром», «Системы уравнений с параметром», «Задачи с условиями». Теоретический материал учебника по данной теме содержит определения решений уравнения, неравенства и системы уравнений с параметром; рассмотрен основной принцип решения уравнений с параметром, дана информация о том, что из себя представляет ответ к задаче с параметрами, а также в чем заключается сложность данных задач. Для каждого пункта подобраны примеры задач с решениями. Все решения излагаются подробно и доступно. Задачи представлены в виде иррациональных уравнений (неравенств), рациональных уравнений (неравенств), трансцендентных уравнений (неравенств). Пункт «Задачи с условиями» рассматривает задачи, в которых требуется найти все значения параметра, при каждом из которых выполнено некоторое условие. Задачи данного пункта имеют такую же формулировку, как задачи С8 из ЕГЭ. В конце темы представлены исторические сведения. Этот материал хорошо дополняет представленную тему и в какой-то степени мотивирует учащихся к ее изучению.

Таким образом, каждый учебник отличается по изложению теоретического материала и подбором упражнений. Наиболее подробно, на наш взгляд, тема «Задачи с параметрами» рассмотрена в учебниках Никольского С.М. и Виленкина Н.Я.

Как показывает практика, для изучения темы «Задачи с параметрами» недостаточно только теоретических знаний с последующим нарешиванием примеров. Необходимо показать учащимся как выглядит график функции с которой они работают, как зависит данная функция от значения параметра. Все это можно увидеть с помощью среды GeoGebra.

Отметим некоторые возможности применения ИКТ-технологий и, в частности, системы GeoGebra для учителя математики.

- Иллюстрация объяснений эффектными и точными чертежами.

- Организация экспериментальной исследовательской деятельности учащихся в соответствии с уровнем и потребностями учащихся.

- Повышение разнообразия форм работы учащихся, значительное увеличение доли активной творческой работы в их учебной деятельности.

- Реализация дифференциации по уровню знаний и возможностей учеников и индивидуализировать обучение (это относится как к уровню формирования предметных умений и знаний, так и интеллектуальных и общих умений).

GeoGebra - свободно распространяемая динамическая геометрическая система, которая дает возможность создавать анимационные чертежи, в частности, построенные с помощью циркуля и линейки [1]. Система также имеет прекрасные возможности в построении кривых (построение графиков функций, построение конических сечений, построение кривых, заданных параметрически в декартовой системе координат и т.д.); в вычислении (вычисление корней, вычисление интегралов, действия с матрицами и т.д.); в работе с таблицами. Программа была разработана австрийским математиком Маркусом Хохенвартером. Первая версия программы была выпущена в 2001 году. GeoGebra является динамической, кроссплатформенной программой, свободно распространяемой и известной во многих странах мира. Она может использоваться как в школе на уроках алгебры и геометрии, так и в ВУЗах при изучении высшей математики. В школе, с использованием технических средств, таких как интерактивная доска и проектор, применение интерактивной среды GeoGebra позволит учащимся наиболее полно разобрать изученный материал, наглядно удостовериться в правильности своего решения.

Рассмотрим возможности программы на примере решения типовых заданий С8 из ЕГЭ «Задачи с параметром». В ЕГЭ существует несколько видов задач по данной теме, такие как: функции, зависящие от параметра; уравнения с параметром; неравенства с параметром; системы с параметром. У школьников все задачи с параметрами и, в частности, задачи вида «системы с параметром» зачастую вызывают затруднения при решении. Основные ошибки, которые допускают школьники при решении таких задач, заключаются в следующем:

1. ошибки при использовании метода интервалов;

2. проблемы с учетом допустимых значений параметров;

3. определение неполного перечня возможных ситуаций в решении [5].

Рассмотрим следующее

Задание 1. Найти все значения а, при каждом из которых система

Ex-ax — a>Q

х -2 + 2а~ х - 8 > ах

не имеет решений [8].

Вначале приведем краткое аналитическое решение этой задачи, а затем рассмотрим ее решение с помощью системы GeoGebra. Имеем

гх -ах -а

>0,

Г _

{% - I + 2а 1 г - 8 > ах.

Представим второе неравенство в виде Если ^ 1

> В

то неравенство, а, значит, и вся система не имеет решений.

в

Если

Если

а < 1

а > г

х >

то решением неравенства является луч

.

X <

то решением неравенства также является луч

.

Используя метод интервала, при й 1 первое неравенство системы примет вид:

-аИх -

а

1 -а)

\х-

-а))>0.

Если й 1

а

то решением данной системы являются два луча с концами в точках

1 -А'

Если а > 1

то решение данной системы - полуинтервал

а

1 -а'

.

Чтобы система не имела решений, при О 1 необходимо и достаточно:

а > 1, а &

1 - А ~ 1 - А' <=>

^ * 1 -а а € "

Г1 < а < 8, 1(1 - а)2 < 4

1< а < 3.

Значит, при "* 1 г "Л исходная система не имеет решений. Решение задачи с использованием GeoGebra.

Для начала строим ползунок для параметра a; задаем интервал, например, от -10 до 10.

х-ах-а

У =

С помощью строки ввода строим график функции является гиперболой. Используя также строку ввода строим вертикальную асимптоту

(рис. 1).

.V - ^ _ 2 "л . График данной функции

х = 2 —2. а

Отмечаем область ^ 8 > Я^Г

Рисунок 1. Система имеет решение

Замечаем, если параметр принимает значение равное 0, то система неравенств имеет решение на

промежутке V (рис. 1).

Исходя из условия задачи нам необходимо найти все значения параметра, при которых исходная система

а

XV/ 11и1 ни 111W и ^ .Л11Л Х^ХХХХ./Х X X и 1У 1 ри -

при которых вертикальная область — 8 ^ й ^ не содержит точек гиперболы, расположенных выше оси

НЕ ИМЕЕТ РЕШЕНИЯ. С помощью перемещения точки на ползунке находим все значения параметра

не соде

х-ах-

абсцисс Ч " X — 2 2

a от 1 до 3 исходная система не имеет решения (рис. 2).

Видим, что при значениях параметра

Рисунок 2. Система не имеет решения

л G

а

Ответ: "* l 11

Задание 2. Найдите все значения параметра ~ , при которых уравнение

sin1*x-\- (а — 3 sin xV +siri'X + a = 3 sinr \ / ]

Решение аналитическим способом. Запишем уравнение в виде:

имеет хотя бы одно решение [8].

sinux + sinsx =

sin

X - fl)

sin X -.

Функция

является суммой двух возрастающих функций и поэтому возрастает.

Исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда 7 Л-' )

откуда получаем

зт'Х = зз1пэг- а о а = зб\л.х - зт'Х

Функция У Slll.t принимает значения от [-1;

-i

до , а функция

z =

-Т

монотонно

возрастает на отрезке I и принимает на нем значения от т до Значит, уравнение

й ЗЕ1н.£— £171 X _ а с ним и исходное уравнение имеют решения при - 4 != А ^ 2. Решение в системе GeoGebra. Построение:

1. Строим ползунок для параметра ® с диапазоном от 5

2. Строкой ввода строим график функции

до

У = sin(x)14i + (а — Зш(х}) + sin(x)2 + а — 3 SínG:)

(см. рис. 3)

Рисунок 3. Уравнение имеет решения

Перемещая ползунок, можно заметить, что когда значение параметра ® находится в промежутке от _ ^ до , наше уравнение имеет решение, график либо пересекает, либо касается оси абсцисс.

Ответ: ^ £ [ 2]

Выводы. Применение среды GeoGebra на уроках математики позволяет демонстрировать решения алгебраических или геометрических задач наглядно, с возможностью изменять в них данные, чтобы увидеть поведение графика и проследить за геометрическими построениями. Благодаря этому, учащиеся лучше воспринимают учебный материал и легче его усваивают. Двигая ползунок, можно самостоятельно сделать вывод о влиянии параметра на решение. GeoGebra способствует развитию умения анализировать и синтезировать. Графические иллюстрации, созданные программой, позволяют ученикам закрепить знания о построении графиков элементарных функций и уравнениях. В ходе самостоятельной работы с программой, учащиеся приобретают учебно-исследовательские умения и развивают умения работы с информационно-коммуникационными технологиями.

Литература:

1. GeoGebra [Электронный ресурс]: Графический калькулятор для функций, геометрии, статистики и 3D геометрии. - Режим доступа: https://www.geogebra.org/

2. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович [и др.].; под ред. А. Г. Мордковича. - 3-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 264 с.

3. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / С. М. Никольский [и др.]. - 8-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 4б4 с.

4. Виленкин, Н. Я. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций (углубленный уровень) / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. - 18-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2014. - 312 с.

5. Крамор В.С. Задачи с параметрами и методы их решения / В. С. Крамор. — М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2007. — 416 с.: ил.

6. Ларин С.В. Компьютерная анимация в среде GeoGebra на уроках математики: учебное пособие. -Ростов-на-Дону: Легион, 2015. -192 с.

7. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 3-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 287 с.

8. Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. - Режим доступа : https://ege.sdamgia.ru/

Педагогика

УДК: 159. 922.7: 373. 29

кандидат педагогических наук, доцент Волченкова Тамара Владимировна

Муромский институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых» (г. Муром); кандидат педагогических наук, доцент Сафонова Татьяна Николаевна Муромский институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых» (г. Муром)

ПРЕОДОЛЕНИЕ ЭМОЦИОНАЛЬНЫХ И ПОВЕДЕНЧЕСКИХ НАРУШЕНИЙ У ДОШКОЛЬНИКОВ ГРУППЫ КОМПЕНСИРУЮЩЕЙ НАПРАВЛЕННОСТИ

Аннотация. В статье предлагается материал аналитико-практического характера. Опираясь на анализ научных источников, автор называет специфику социальной ситуации развития детей-инвалидов и детей с ограниченными возможностями здоровья, выделяет симптомы нарушений эмоционального развития, а также поведенческие проблемы детей. На примере группы развития «Особый ребенок» ДОУ комбинированного типа рассматривается психолого-медико-педагогическая помощь с целью формирования у детей предпосылок учебной деятельности, в которой используются разнообразные методы, элементы арт-терапии.

Ключевые слова: психо-эмоциональное развитие, эмоциональные нарушения, поведенческие нарушения, дети-инвалиды, дети с ограниченными возможностями здоровья, группа компенсирующей направленности, коррекционная работа, арттерапевтические методы.

An^tatton. The article offers analytical and practical material. Based on the analysis of scientific sources, the author calls the specifics of the social situation of development of children with disabilities and children with disabilities, identifies the symptoms of emotional development disorders, as well as behavioral problems of children. On the example of the "Special Child" development group of the pre-combined type, psycho-medical and pedagogical assistance is considered with the aim of forming the prerequisites for educational activity in children, which uses a physicological emotional development, emotional disorders, disabled children, children with disabilities, a compensating group, correctional work, art therapy methods.variety of methods and elements of art therapy.

Keywords: physicological emotional development, emotional disorders, disabled children, children with disabilities, a compensating group, correctional work, art therapy methods.

Введение. Современные реалии свидетельствуют о возрастающем количестве детей-дошкольников с особенностями поведения. Для них характерны: неуверенность, эмоциональная неустойчивость, нередки состояния беспокойства. Перечисленные признаки психологи относят к нарушениям эмоциональной сферы. Чаще эмоциональные нарушения встречаются у детей-инвалидов и детей с ограниченными возможностями здоровья. Поэтому, коррекция эмоциональных отклонений относится к наиболее важному направлению деятельности специалистов, особенно на этапе подготовки дошкольников к обучению в школе. Известно, что школа предполагает соблюдение учениками определенных правил поведения как на уроках, так и вне их. Эти правила порой сложно бывает выполнить ученикам с нарушенной эмоциональной сферой. Следует отметить, что эмоции детей мало исследованы, в этой связи сложно определить влияние эмоций на детскую деятельность и ее результативность. Мы согласны с мнением о том, что работа по данному направлению исследований будет способствовать решению целого ряда проблем старших дошкольников, а именно: возможности принятия и выполнения новой социальной роли - роли школьника, лучшей адаптации к школьному обучению. Выравнивание и дальнейшее развитие сферы эмоций, научение правильному поведению помогут школьнику успешно учиться, взаимодействовать и общаться с одноклассниками, что и предполагает инклюзивное образование, главная идея которого сводится к тому, что детям с физическими и психическими особенностями очень важно научиться контактировать с учащимися класса и другими учениками.

Изложение основного материала статьи. Сфера эмоциональных и поведенческих нарушений детей интересовала многих известных отечественных ученых. Интересны работы в этой области Л. С. Выготского, А. В. Запорожца, А. И. Захарова и др. Они подчёркивали важность планирования коррекционных и психотерапевтических мероприятий, при проведении которых следует учитывать ведущую деятельность детей на каждом возрастном этапе. Запорожец А. В., Захаров А. И. и др. определяют эмоциональное неблагополучие у детей как «отрицательное состояние на фоне плохо разрешимых личностных конфликтов» [3, 43].

Важным и актуальным вопросом является вопрос о причинах происхождения эмоциональных нарушений. Психологическими причинами, как считаю исследователи, могут быть, прежде всего, своеобразие сферы эмоций ребенка: неадекватность реакций на внешнее воздействие, недостаточное развитие контроля за своими действиями, импульсивные действия и поведение в целом и др.

Большинство нарушений поведения детей немногим отличается от нормы, но по симптомам (совокупности проявлений) могут напоминать заболевание [1, 67]. По этой причине дальнейшие исследования, проводимые в интересующей нас области, актуальны и важны для многих детских специалистов: психологов, дефектологов, учителей и др.

Цель исследования: изучение и систематизация теоретических положений и обобщение практического опыта деятельности воспитателей ДОУ комбинированного типа нашего города с детьми-инвалидами, с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ), имеющими нарушения поведения и эмоциональной сферы, и возможных путей их коррекции. Задачи исследования: определить специфику и характер эмоциональных нарушений, часто наблюдающиеся у дошкольников; выявить сущность психологических коррекционных методов и апробировать их в работе по исправлению нарушений поведения и эмоций у детей; описать последовательность специально организованной образовательной деятельности, с дошкольниками-инвалидами, в основе которой - метод арт-терапии.