CC BY
79
ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
АНИМАЦИОННЫХ РИСУНКОВ
ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ
THE FEASIBILITY OF USING ANIMATED FIGURES IN SOLVING PROBLEMS WITH PARAMETERS
C.B. Ларин
S.V. Larin
Задачи с параметрами, анимационные рисунки, компьютерная среда веовеЬга.
В статье обосновывается и демонстрируется эффективность использования компьютерной среды СеоСеЬга с ее анимационными возможностями при решении задач с параметрами.
Problems with parameters, animated drawings, computer environment GeoGebra. The article proves and demonstrates the effectiveness of using GeoGebra computing environment with its animation capabilities in solving problems with parameters.
Актуальность статьи автор видит во все возрастающем интересе преподавателей вузов и учителей школ к новым информационным технологиям. Анимационные возможности компьютерных сред представляют собой новую часть современной дидактики образования. Статья посвящена применению анимации при решении задач с параметрами с использованием динамической геометрической системы СеовеЬга [http://ru.wikipedia.org/wiki/GeoGebra], которая наилучшим образом подходит для этой цели.
Задачи с параметрами относятся к наиболее трудным в составе ЕГЭ, и выработка общего анимационно-геометрического подхода к их решению является важной методической проблемой. Цель статьи - продемонстрировать на конкретных примерах следующую стратегию решения задачи с параметром. Сначала моделируем геометрически (графически) условие задачи на экране компьютера. Затем решаем задачу на экране, используя анимационные возможности. В завершение увиденное на экране решение обосновываем и записываем математически.
Выбор задач в статье обусловлен тем, что они взяты из совсем свежей методической литературы [Мальцев и др., 2017а, б; Феоктистов, 2016], где для них приведены неверные ответы. Конечно же,
ошибки в методической литературе ее не украшают. Но сколько радостного недоумения появляется в глазах ученика, когда он сам обнаружит и исправит ошибку! Это ниспровержение автора учебника с пьедестала небожителя до обыкновенного человека, которому свойственно ошибаться, учитель может использовать на благо своего воспитанника.
Задача 1. Найдите количество решений системы
(у2 -ху + 4х-у-\2)-л[х~+3 _
х + у-а = О в зависимости от значений параметра а.
Решение. Открываем файл беовеЬга и сначала строим график первого уравнения системы. Записываем его в строку ввода и после ввода на экране компьютера видим два отрезка (на рис. 1-
]
Для осмысления увиденного заметим, что областью определения первого уравнения является совокупность условий х + 3 > О и 9-х > О, откуда — 3<х<9. Геометрически это означает, что график первого уравнения принадлежит полосе, ограниченной вертикальными прямыми х = — 3 и х = 9, причем вторая прямая исключается из полосы.
Чтобы понять происхожде-
ние пары отрезков, рассмотрим равен-у2 -ху + 4х- у-12 = 0 как урав-
ство
нение
относительно
переменной
У:
у — (х + \)у + (4х -12) = 0. Корни уравнения: ух=х — 3, у2 = 4. Следовательно, у1 -ху + 4х-у-12 = (у-у1)(у-у2) = (у--х + 3)(у-4).
Таким образом, отрезки, увиденные на экране, являются решениями следующих систем уравнений:
>-х + 3 = 0, Гу-4 = 0, - 3 < х < 9, [-3 < х < 9.
Заметим, что компьютер не выдает график уравнения л]х + 3 = 0, и в этом отношении он может подвести. График этого уравнения мы добавляем самостоятельно в виде прямой х = —3. Таким образом, решением первого уравнения данной системы является вертикальная прямая х = —3 и пара отрезков.
Теперь займемся вторым уравнением системы. Строим ползунок для параметра а и строкой ввода строим график уравнения х + у — а — 0 (на рис. 1 - прямая ЛВ). Помечаем эту прямую надписью, на которой значение параметра а определяется ползунком. В нашем случае надпись X + у — 5,45 = 0 соответствует значению а = 5,45. Перемещаем ползунок в положение, при котором наблюдаем максимальное количество точек пересечения графиков уравнений данной системы, и отмечаем точки пересечения А, В, С. Теперь у нас все готово для получения ответа. Изменяем на ползунке значения параметра а, наблюдаем соответствующее перемещение наклонной прямой АВ и количество точек пересечения этой прямой с графиком первого уравнения системы. Для наглядности строим и надписываем «рубежные» положения этой прямой.
Ответ: 1) если а <—9 или а > 15, то система имеет единственное решение (принадлежащее одной из залитых частей плоскости);
2) если -9 < а < 1, или а = 11, или 13 < а < < 15, то система имеет 2 решения;
3) если 1 <а < 13 и а Ф 11, то система имеет 3 решения.
Для подтверждения ответа изменяем значение параметра а на ползунке и на панели объектов читаем соответствующие решения системы в виде точек А, В, С. Результаты эксперимента представим в виде таблицы.
Значение параметра a Решения системы Количество решений
a = -10 A = (-3,-7) 1
a = - 9 A = (-3,-6) 1
a = l Л = (-3,4), B = (2-1) 2
a = 5 A = (-3,8), В = (1,4), С = (4,1) 3
a = ll A = (-3,14), В = (7,4) 2
a = 12 A = (-3,15), В = (7.5,4.5), С = (8,4 3
a = 13 A = (-3,16), В = (8,5) 2
a = 14 A = (-3,17) ,5 = (8.5,5.5) 2
<3 = 15 A = (-3,18) 1
a = 16 A = (-3,19) 1
<
m
и
Л
I
о
с с m
S 3
и m н о
Plh <
О
о о u u
s
о и F
s
О P
к h
и ^ < ^
Ph w
« с «
s
sa
H
и
w
CQ
27]
Представленная задача является обобщением задания 18 теста № 9 из [Мальцев и др., 2017а, с. 41]. Там предлагается найти те значения параметра а, при которых система имеет единственное решение, и приводится неверный ответ, а в [Мальцев и др., 20176, с. 46-47] приведено неверное решение этой задачи. Дело в том, что данная система эквивалентна следующей совокупности двух систем:
fy2 - xj; + 4х - у -12 = 0, <х+у-а= 0, или
- 3 < х < 9,
а не только первой из них, как утверждают авторы решения.
Неверные ответы приведены и к заданию 18 тестов 8 и 10 из [Мальцев и др., 20176]. Аналогично с помощью моделирования в среде GeoGebra нетрудно проверить все ответы к заданию 18 из остальных тестов.
Решенные ниже задачи являются обобщением заданий 6 двух вариантов самостоятельной работы 11 из [Феоктистов, 2016, с. 38-46], где требуется рассмотреть лишь случай четырех решений и приведены неверные ответы.
Задача 2. Найдите количество решений системы
х\+4 \ у\= а, у I +х2 = 1
в зависимости от значений параметра а. (Аналог задания 6 варианта 1 самостоятельной работы 11 из [Феоктистов, 2016].)
Решение. Строкой ввода строим график уравнения \у\+х =1. В верхней полуплоскости (при у > 0) получаем часть параболы у — 1-х2, ограниченной снизу осью абсцисс, а в нижней полуплоскости (при у < 0) получаем часть параболы у = х2 — 1, ограниченной сверху осью абсцисс.
Затем строим ползунок для параметра а и строкой ввода строим график уравнения | X | +4 | у |= а, «управляемого» ползунком. Чтобы осмыслить увиденный на экране ромб, достаточно рассмотреть уравнение по четвертям. Изменяя значения а на ползунке, видим (рис. 2), что при а = 1 ромб имеет с первой фигурой только две общие точки, а при а > 1 - четыре, вплоть до случая, когда ромб станет касаться парабол. При каком а это произойдет? Достаточно рассмотреть ситуацию в первой четверти. Получаем систему
х + 4у - я, у + х2=1.
Исключая у, приходим к квадратному уравнению, дискриминант которого приравниваем к
65 . .. . . _
нулю. Это дает искомое а = — = 4.0625.
16
На рис. 2 отмечены «рубежные» положения ромба.
Рис. 2
Ответ: 1) если а < 1 или а > 4.0625, то система не имеет решений;
2) если а = 1, то система имеет два решения:/} (1,0),# (-1,0);
3) если 1 < а < 4 или а = 4.0625, то система имеет четыре решения (например, на рис. 2 при а = 2, решением будут точки С, /), Е, /');
4) при а = 4 система имеет шесть решений:
4 16 4 16
симметричные им относительно оси абсцисс;
5) при 4 < а < 4.0625 система имеет восемь решений. Например, при = 4.05 это точки
Д М,Щ, О и симметричные им относительно оси абсцисс.
Задача 3. Найдите количество решений системы
х | +2 | у |= 1, у | +х2 = а,
в зависимости от значений параметра а. (Аналог задания 6 варианта 2 самостоятельной работы 11 из [Феоктистов, 2016].)
Решение. Как и в предыдущей задаче, строкой ввода строим график первого уравнения | х | +21 у |= 1, на полотне появляется ромб (рис. 3).
а = 0.55
0.6 D a = 0.5
^sf 0.2
-l^-irsXo.e -0.4 -0,2 -02 NN(w 0 0.2 0.4 1 1.2 "
-0.6 G
а = 0.45
а = 0.4375
L^jf // 0.2 / 0 ^K ---
-ГчМ -\б -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 yé 0>- •""l 1.2
-0.2
Рис. 3
Затем строим ползунок для параметра а и строкой ввода строим график уравнения \у\+х2 = а, «управляемого» ползунком (фигура из двух парабол). Изменяя значения а на ползунке, фиксируем «рубежные» положения подвижной фигуры из двух парабол. Чтобы найти значение а для случая шести точек пересечения, используем, то, что верхняя парабола проходит че-
[29]
рез точку D = (0,0.5) - вершину неподвижного ромба. Подставляя координаты точки D в уравнение параболы у + х2 = а, получаем а = 0.5. Наконец, чтобы найти а, при котором ромб будет касаться фигуры из двух парабол, решаем систему
х + 2у = 1,
[у + х" = а.
< m
ш
hQ
I
и <
С
И
0 1
g £
1 £ a s
CQ H
U
Рч
<
«
>>
и о о
i-ч t>
и а*
И
m
s
X
>>
о
Щ
и M !Т
S
fa
о р к Ь
G S
< pi S w
m с »
S ffl
H
и w
PQ
Выражаем^ из первого уравнения и подставляем во второе уравнение. Получаем квадратное уравнение, дискриминант которого прирав-
7
ниваем к нулю. Получаем а = — = 0.4375. Teló
перь у нас все готово, чтобы написать ответ, глядя на рис. 3.
Ответ: 1) если а < 0.4375 или а > 1, то система не имеет решений;
2) если а = 1, то система имеет два решения:^ = (-1,0), В = (1,0);
3) если 0.5 < а < 1 или а = 0.4375, то система имеет четыре решения (например, на рис. 3, при а = 0.55 решением будут точки S, Т, U, V);
4) при а = 0.5 система имеет 6 решений (на рис. 3 это точки С, D, Е, F, Н)-,
5) если 0.4375 < а < 0.5, то система имеет 8 решений (например, на рис. 3 при а = 0.45 решениями будут точки О, Р, Q, R и им симметричные).
Аналогично можно установить ошибочность ответа в задании 6 варианта 3 из самостоятельной работы 11, а также в подготовительном варианте и во всех трех вариантах самостоятельной работы 10 из [Феоктистов, 2016].
Автор выражает благодарность учителю математики гимназии № 13 г. Красноярска П.И. Лариной, обратившей внимание автора на рассмотренные задачи.
Таким образом, компьютерная анимация не только помогает в решении задач с параметра-
ми, устраняя трудности геометрического моделирования условия задачи, но и формирует геометрическую идеологию решения таких задач. Ученик, лишенный компьютерной поддержки, сохраняя геометрическую направленность решения, выполняет ключевые рисунки схематично на основе математических исследований, дополняя анимационные изменения силой своего воображения.
Понятно, что роль компьютерной анимации не ограничивается приведенными примерами. Подробнее о ее возможностях можно познакомиться, например, по книге автора [Ларин, 2015].
Библиографический список
1. Ларин C.B. Компьютерная анимация в среде GeoGebra на уроках математики. Ростов-на-Дону: Легион, 2015. 192 с.
2. Мальцев Д.А., Мальцев A.A., Мальцева Л.И. Математика. ЕГЭ 2017. Ростов-на-Дону: Издатель Мальцев Д.А.; Народное образование. М., 2017а. Кн. 2: Профильный уровень. 224 с.
3. Мальцев Д.А., Мальцев A.A., Мальцева Л.И. Математика. ЕГЭ 2017: решебник. Ростов-на-Дону: Издатель Мальцев Д.А.; Народное образование. М., 20176. Кн. 2: Профильный уровень. 224 с.
4. Феоктистов И.Е. Алгебра. 9 класс. Дидактические материалы: метод, рекомендации. М.: Мнемозина, 2016. 180 с.
5. URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/GeoGebra
