Особенности отражения волн Россби от берега Текст научной статьи по специальности «Физика»

Об авторе

С. В. Ялунин — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта, e-mail: [email protected].

42

УДК 551.511

А. А. Зайцев, А. И. Руденко ОСОБЕННОСТИ ОТРАЖЕНИЯ ВОЛН РОССБИ ОТ БЕРЕГА

В рамках квазистатического приближения и бета-плоскости рассмотрены особенности отражения волн Россби от западного побережья океана. Показано, что сумма углов падения и отражения равна 90°.

In the frame of the quasi-static approach and beta-plane the features of a reflection of the Rossby waves from a western bank of an ocean are considered. It is shown that the sum of the angles of incidence and reflection it is equal 90°.

1. Введение

Вращение Земли ведет к ряду гидрофизических явлений: возникновению геострофических течений, синоптических вихрей в атмосфере, океанах и морях, инерционных волн, краевых волн Кельвина, распространяющихся вдоль берегов океанов, морей и островов, волн Россби. Причиной появления волн Россби является зависимость локальной угловой скорости вращения Земли от широты местности. Их длина значительна: она меняется от нескольких сотен до несколько тысяч километров. По данным наблюдений, распространенность волн Россби в атмосфере и океане велика. Благодаря своим пространственным масштабам и распространенности они переносят значительную энергию на большие расстояния и поэтому существенно влияют на общую циркуляцию океана и атмосферы, а также на погоду на планете. Специфическая зависимость их скорости от длины волны приводит к тому, что отражение от берега не подчиняется закону равенства углов падения и отражения. Решение задачи об отражении волн Россби от берега океана приведено в [1], однако анализ проводился в рамках усложненной модели сферической Земли, поэтому он оказался громоздким и его результаты недостаточно полные. Кроме того, требуется выполнить более тщательный анализ условий отражения. В теории волн Россби имеется другая, значительно более простая модель, использующая приближения бета-плоскости и квазистатики. Нам представляется полезным рассмотреть вопрос об отражении волн Россби именно в рамках этой модели. Это и есть цель данной работы. Особое внимание уделено анализу условий отражения волн Россби от берега.

Вестник РГУ им. И. Канта. 2008. Вып. 4. Физико-математические науки. С. 42 — 46.

2. Распространение волн Россби в безграничном океане

Для полноты изложения приведем известное решение задачи о распространении линейных волн Россби в безграничном океане. Считаем, что жидкость идеальная, однородная, несжимаемая и вертикальные движения пренебрежимо малы. Тогда уравнения Эйлера в линейном и квазистатическом приближении с учетом влияния силы Кориолиса будут иметь следующий вид:

р(и - /V)+px=0, р^+/и)+ру=0, (1)

Их+»у=0.

Здесь р — плотность, р — давление, и, V — широтная и меридиональная составляющие горизонтальной скорости частиц жидкости, /=2&Бт6 — параметр Кориолиса, где О — угловая скорость вращения Земли, в — широта местности. В рамках данной модели считается /=/(у). С целью дальнейших упрощений вводится функция тока с помощью равенств и=Щ, V=-yx.

Тогда система (1) сводится к одному уравнению

Ащ+в^х=0, (2)

где в=/(у)>0. В приближении бета-плоскости параметр в считается положительной константой, поэтому уравнение (2) является дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами и обладает синусоидальными решениями. Будем использовать для них экспоненциальное представление

у=яехр(ф), ф=at - кх - 1у, ю>0. (3)

После подстановки представления (3) в уравнение (2) убеждаемся, что (3) является решением при условии, что частота волны зависит от волнового вектора следующим образом:

а=-вк/(к2+12). (4)

Это есть дисперсионное соотношение для волн Россби. Поскольку ю>0, из этого соотношения следует, что проекция волнового вектора на широту всегда отрицательна. Это означает, что все волны Россби движутся в западном направлении. Для широтной С\ и меридиональной с2 составляющих фазовой скорости этих волн и ее модуля с из формулы (4) получаем

а=ак/(к2+12)=-вк2/(к2+12)2, С2=а1/(к2+12)=-вк1/(к2+12)2,

с=аЫк2 +12 =в | к |/(к2+/2)3/2. (5)

Формулы (4), (5) показывают, что модуль фазовой скорости волн Россби зависит от направления движения, то есть их распространению свойственна анизотропия. Расчет групповой скорости дает следующие выражения:

с®1=Юк=в(к2-/2)/(к2+/2)2, с(х)2=юг=2вк//(к2+/2)2, с(х)=д/®к2 +а^ =в/(к2+/2). (6)

Из них следует, что направление переноса энергии волнами (он происходит с групповой скоростью в направлении этой скорости) мо-

43

А. А. Зайцев, А. И. Руденко

44

жет быть любым. Абсолютные значения фазовой и групповой скоростей пропорциональны квадрату длины волны: длинные волны Россби движутся быстрей. Абсолютное значение групповой скорости зависит только от длины волны.

Анализ дисперсионного соотношения приводит к еще одному полезному выводу: значение меридионального компонента волнового вектора у волн Россби с одним и тем же периодом Т может быть любым. Среди этих волн наименьшую длину 1тт=(вТ) -1 имеют волны, которые движутся в зональном, то есть строго западном направлении. Если направление движения волны отклоняется от зонального на угол а, то ее длина возрастает обратно пропорционально cos а, то есть L=(flTcos а)-1.

3. Отражение баротропных волн Россби от западного берега океана

Анизотропия распространения волн ведет к тому, что при отражении углы падения и отражения не равны. В случае анизотропии для расчета отраженной волны нужно использовать следующее свойство: частоты, а также проекции волнового вектора на границу у набегающей и отраженной волн совпадают. Для определения второго компонента волнового вектора, перпендикулярного к границе, следует воспользоваться дисперсионным соотношением. Вторая особенность отражения, которой обладают только волны Россби, состоит в том, что для них не только набегающая, но и отраженная волна движутся в западном направлении, то есть к берегу. Из-за этого в наблюдениях сложно отделить обе волны друг от друга и однозначно установить, какая из двух волн является набегающей, а какая отраженной. При теоретическом рассмотрении проблемы набегающая волна задается, а отраженная вычисляется.

Пусть волна Россби набегает на прямо-if линейный берег. Рассматривается случай, ко/ гда береговая линия идет вдоль меридиана

уТ (рис. 1), то есть уравнение береговой черты

---------------------можно записать в виде x=0. Берег является

линией тока, поэтому там должно N. выполняться граничное условие

^=0, x=0. (7)

Немного изменим обозначения для состав-

Рис. Отражение ляющих волнового вектора: фазу набегающей

волны Россби ,„ч

_ волны (3) запишем в следующем виде:

от западного берега океана J

qn=at - kix - liy, ki<0. (8)

Дисперсионное соотношение (4) принимает такой вид:

Q=-eki/(ki2+li2). (9)

Соответствующим образом изменятся формулы (5), (6) для фазовой и групповой скоростей.

Учитывая граничное условие (7) и свойство сохранения частоты волны при отражении, отраженную волну запишем в виде

^2=-яехр(гф2), фі=аї - кг% - Ьу, к2<0. (10)

Задача определения отраженной волны Россби сводится к нахождению компонент волнового вектора к2 и 12. Отраженная волна подчиняется тому же дисперсионному соотношению, что и набегающая, поэтому для нее в соответствии с формулой (4) будем иметь

а=-вк2/(к22+Ї22). (11)

Поскольку проекции волнового вектора набегающей и отраженной волн на береговую линию совпадают, то имеет место равенство

І2=І1=І. (12) Теперь из формул (9), (11) и (12) получаем уравнение для к2:

к1(к22+/2) - (к-12+/2)к2=0.

Оно имеет 2 корня, из которых имеет физический смысл корень

к2=Р/к1. (13)

Неравенство к2<0 автоматически следует из к1<0, то есть фазовая скорость отраженной волны, как и набегающей, имеет западную составляющую, поэтому отраженная волна тоже движется к берегу. Записав равенство (13) в форме пропорции к.2/1=1/к\, приходим к выводу, что сумма углов падения и отражения равна п/2, то есть гребни набегающей и отраженной волн Россби всегда перпендикулярны, независимо от

того, под каким углом движется к берегу

^ г Рис. 2. Волновые векторы

набегаюшэя волна (рис. 2). С помощью (13) набегающей (1) и отра-получаем следующее выражение для волнового женной (2) волн Россби числа р2 отраженной волны через волновое число р набегающей волны: р2=- 1І1 р1/к1.

В следующем пункте на основе результатов анализа направления переноса энергии набегающей и отраженной волнами Россби будет установлено, что угол падения (отражения) больше (меньше) 45°. Следовательно, длина отраженной волны меньше длины набегающей.

4. Перенос энергии набегающей и отраженной волнами

Для определения направления переноса энергии набегающей и отраженной волнами Россби следует сравнить их групповые скорости. Формулы (6) для них запишем в виде

с®1(1)=в(к12 - І12)/(к12+І12)2, с(х)2(1)=2вкЛ/(к12+/12)2, сЦ1)=в/(к12+І12),

с(«Ч2)=в(к22 - І22)/(к22+І22)2, еЩ2)=2вк2І2/(к22+І22)2, еЩ2)=р/(к22+І12).

С помощью равенств (12) и (13) эти формулы преобразуются к таким:

с®1(1)=в(к12 - І2)/(к12+І2)2, с(Й2(1)=2вк1І/(к12+І2)2, с&)(1)=в/(к12+І2),

с<^>1 (2)=-в к-12(к-12 - І2)/І2(к12+І2)2= - к12/І2с®1(1), с&)2(2)=2вк13/(к12+І2)2=к12/І2 (^(1),

с(х)(2)=вк12/І2(к12+І2) =к12/І2 сЦ1). (14)

45

А. А. Зайцев, А. И. Руденко

Они показывают, что оба компонента и абсолютное значение групповой скорости второй волны получаются умножением на один и тот же множитель к12/І2 соответствующих составляющих и абсолютного значения групповой скорости первой волны, при этом зональный компонент меняет знак. Если бы, вопреки традиции, углы падения и отражения связывали с направлением групповой (а не с фазовой) скорости, то тогда и в случае волн Россби был бы выполнен закон равенства этих углов. С другой стороны, естественно считать набегающей (отраженной) волной ту, которая осуществляет перенос энергии по направлению к берегу (от берега). Далее, групповая скорость первой волны направлена в сторону берега только тогда, когда | к1|<| 11 (только в этом случае с(х)1(1)<0, как показывает первая из формул (14)). Таким образом, угол падения должен быть больше 45°, а угол отражения меньше 45° (рис. 2).

Это свойство набегающей и отраженной волн Россби должно помочь идентифицировать их при анализе данных натурных наблюдений. Из (14) следует, что абсолютное значение групповой скорости и длина отраженной волны меньше, чем те же значения для набегающей.

Заключение

В рамках квазистатического приближения и бета-плоскости рассмотрены особенности отражения волн Россби от западного побережья океана. В этом случае фазовые скорости набегающей и отраженной волн имеют западные составляющие, как это свойственно любым волнам Россби. Показано, что сумма углов падения и отражения равна 90°. Анализ групповой скорости и направления потока энергии позволяет сделать вывод, что набегающая (отраженная) волна осуществляет перенос энергии по направлению к берегу (от берега) и угол падения должен быть больше 45°, а угол отражения меньше 45°. Это свойство набегающей и отраженной волн Россби должно помочь идентифицировать их при анализе данных натурных наблюдений.

Список литературы

1. Монин А. С. Теоретические основы геофизической гидродинамики. Л., 1988.

Об авторах

А. А. Зайцев — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.

А. И. Руденко — канд. физ.-мат. наук, доц., БГА РФ, [email protected].